STATISTICA Lezioni ed esercizi

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1 Uverstà d Toro QUADERNI DIDATTICI del Dpartmeto d Matematca MARIA GARETTO STATISTICA Lezo ed esercz Corso d Laurea Botecologe A.A. / Quadero # Novembre

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3 M. Garetto - Statstca Prefazoe I questo quadero soo state raccolte le lezo del corso d Metod Matematc e Statstc per l prmo ao del Corso d Stud Botecologe dell Uverstà d Toro. Ua parte del materale è stata ache utlzzata per u corso d Statstca per l prmo ao del Corso d Stud Igegera del Poltecco d Toro. Etramb cors sopra ctat s quadrao e uov cors d stud treal, e qual le uove esgeze ddattche rchedoo d prvlegare l aspetto operatvo puttosto che l eccessvo approfodmeto teorco; s è scelto qud d forre u troduzoe elemetare e abbastaza stetca a prcpal argomet d u corso d statstca d base, accompagado og argometo co umeros esemp, ma sacrfcado sa la maggor parte delle dmostrazo de rsultat teorc, sa alcu argomet, pur d rlevate mportaza. La statstca descrttva è trattata come prmo argometo; lo scopo è quello d trodurre metod d aals de dat, prcpal tp d grafc, l cocetto d varable, che sarà po svluppato co la defzoe d varable aleatora, le defzo delle pù mportat statstche e le ozo d correlazoe e regressoe da u puto d vsta elemetare. Vegoo po trodott cocett d base del calcolo delle probabltà, co u breve ceo al calcolo combatoro. Molt fra gl esercz rguardat l calcolo delle probabltà possoo essere rsolt seza rcorrere alle tecche del calcolo combatoro; questo argometo può percò essere cosderato facoltatvo e gl esercz che lo rchedoo soo dcat co u astersco. Partcolare mportaza vee data allo studo delle dstrbuzo d probabltà dscrete e cotue e de loro parametr e vegoo trodott modell fodametal: la dstrbuzoe bomale, la dstrbuzoe d Posso e la dstrbuzoe ormale; ell ambto della statstca ferezale vegoo ache trodotte le dstrbuzo t, χ e F. La parte dedcata alla statstca ferezale è preceduta da ua breve trattazoe delle dstrbuzo d campoameto; ache questo caso s è scelto d o dedcare troppo spazo a rsultat teorc e d cocetrare vece l attezoe sugl tervall d cofdeza e su test d potes umeros cas mportat; soo trattat var tp d test d uso pù comue, accompagat da molte applcazo. Vegoo fe descrtt l test ch-quadro d adattameto e l test ch-quadro d dpedeza, frequetemete utlzzat elle applcazo. Il testo, come cors a cu è destato, è costruto come ua successoe d lezo ed eserctazo e gl argomet teorc soo sempre segut da umeros esemp, che llustrao la teora esposta; gl esemp soo svluppat e dettagl, rportado tutt calcol, le tabelle e grafc: lo svolgmeto a volte u po ooso e rpettvo può autare lo studete ad acqusre la capactà d rsolvere correttamete problem. Il corso d Metod Matematc e Statstc è accompagato da u cclo d eserctazo d laboratoro aula formatca, elle qual vee llustrato l utlzzo del foglo elettroco Ecel; ache se Ecel o è u software specfcamete destato alla statstca, tuttava cotee molte fuzo e strumet che cosetoo d effettuare aals e calcol statstc e la sua grade dffusoe ha motvato la scelta d questo software. Il materale utlzzato per lo svolgmeto del laboratoro farà parte d u altro quadero d questa collaa. Per la realzzazoe de grafc presetat questo testo e per la stesura delle tavole rportate Appedce è stato utlzzato l software scetfco Matlab, che dspoe d u toolbo specfcamete destato alla statstca; questo software offre potezaltà grafche e d calcolo umerco e smbolco molto superor a Ecel, ma o s presta a u mmedato utlzzo per u attvtà d laboratoro d breve durata. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

4 Prefazoe Uverstà d Toro

5 M. Garetto - Statstca Idce Itroduzoe Captolo Statstca descrttva. Dstrbuzo d frequeza. Grafc delle dstrbuzo d frequeza. Idc d poszoe e d dspersoe. Calcolo d meda e varaza per dat raggruppat. Forma d ua dstrbuzoe.6 Correlazoe fra varabl 6.7 Metodo de mm quadrat. Regressoe leare 9.8 Regressoe polomale 8.9 Metod d learzzazoe 9 Captolo Probabltà 9. Espermet casual, spazo de campo, evet 9. Calcolo combatoro 6. Il cocetto d probabltà 67. Defzoe assomatca d probabltà 7. Probabltà codzoata 76.6 Il teorema d Bayes 8 Captolo Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà 9. Varabl aleatore 9. Dstrbuzo d probabltà dscrete 9. Destà d probabltà. Parametr d ua dstrbuzoe 8. Dsuguaglaza d Chebshev Captolo Dstrbuzo d probabltà dscrete. Dstrbuzoe bomale o d Beroull. Uso delle tavole della dstrbuzoe bomale. Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe bomale. Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe bomale. Dstrbuzoe d Posso.6 Uso delle tavole della dstrbuzoe d Posso 7.7 Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe d Posso 8.8 Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe d Posso 8.9 Approssmazoe della dstrbuzoe bomale co la dstrbuzoe d Posso Captolo Dstrbuzo d probabltà cotue. Dstrbuzoe ormale o d Gauss. Dstrbuzoe ormale stadardzzata. Alcue applcazo della dstrbuzoe ormale 6. Uso delle tavole della dstrbuzoe ormale 7. Relazoe tra la dstrbuzoe bomale e la dstrbuzoe ormale 6.6 Relazoe tra la dstrbuzoe ormale e la dstrbuzoe d Posso 6.7 Dstrbuzoe uforme 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 v Idce Captolo 6 Teora elemetare de campo Popolazo e campo Campoameto Dstrbuzo d campoameto 7 6. Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ ota) 7 6. Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ cogta) Dstrbuzoe della varaza campoara 8 Captolo 7 Stma de parametr Itroduzoe Stme putual e stme per tervallo Itervall d cofdeza per la meda (varaza ota) 9 7. Itervall d cofdeza per la meda (varaza cogta) Itervall d cofdeza per la proporzoe 7.6 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze ote) 7.7 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze cogte) Itervall d cofdeza per la dffereza fra due proporzo Itervall d cofdeza per la varaza e per lo scarto quadratco medo 7. Itervall d cofdeza per l rapporto d due varaze 6 Captolo 8 Test d potes 9 8. Itroduzoe 9 8. Ipotes statstche 9 8. Tp d errore e lvello d sgfcatvtà 8. Test d potes sulla meda (varaza ota) 6 8. Test d potes sulla meda (varaza cogta) 8.6 Test d potes sulla proporzoe Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze ote) 8.8 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze cogte) 8.9 Test d potes sulla dffereza fra due proporzo 8 8. Test d potes sulla varaza e sullo scarto quadratco medo 8. Test d potes sul rapporto d due varaze Captolo 9 Test ch-quadro 6 9. Itroduzoe 6 9. Test ch-quadro d adattameto 6 9. Test ch-quadro d dpedeza 7 Appedce A Tavole statstche A- Tavola. Dstrbuzoe bomale A- Tavola. Dstrbuzoe d Posso A-9 Tavola. Dstrbuzoe ormale stadardzzata A- Tavola. Percetl per la dstrbuzoe ormale stadardzzata A- Tavola. Dstrbuzoe t d Studet A- Tavola 6. Dstrbuzoe χ A-6 Tavola 7. Dstrbuzoe F A-7 Appedce B Formularo B- Appedce C Bblografa C- Uverstà d Toro

7 M. Garetto - Statstca Itroduzoe Per statstca s tedeva orge la raccolta d dat demografc ed ecoomc d vtale teresse per lo stato. Da quel modesto zo essa s è svluppata u metodo scetfco d aals ora applcato a molte sceze, socal, atural, medche, gegerstche, ed è uo de ram pù mportat della matematca. Come esempo d dage statstca s cosder l seguete problema. Prma d og elezoe gl et poll tetao d dvduare quale sarà la proporzoe della popolazoe che voterà per cascua lsta: ovvamete o è possble tervstare tutt votat e qud s scegle come uca alteratva u campoe d qualche mglaa d utà, ella speraza che la proporzoe campoara sa ua buoa stma della proporzoe relatva alla popolazoe totale. Per otteere u rsultato scuro sulla popolazoe s dovrebbe aspettare fo alla coclusoe dell'elezoe, quado sao stat computat tutt vot, ma questo o costturebbe pù ua prevsoe. Però, se l campoameto è computo correttamete e co metod adeguat, s possoo avere fort speraze che la proporzoe campoara sarà crca uguale alla corrspodete proporzoe della popolazoe. Questo c cosete d stmare la proporzoe cogta P dell'tera popolazoe medate la proporzoe p del campoe osservato P p ± e dove e dca u errore. La stma o è fatta co certezza; s deve coè ammettere la possbltà d essere cors u errore, poché può essere stato scelto u campoe o rappresetatvo, evetualtà possble, ache se mprobable: tale crcostaza la coclusoe potrebbe essere errata; s può percò avere soltato u certo grado d fduca elle cocluso. Le cocluso statstche duque soo sempre accompagate da u certo grado d certezza. S ot che l affermazoe che la proporzoe della popolazoe può essere dotta dalla proporzoe del campoe, s basa su ua deduzoe a pror, coè che la proporzoe campoara molto probablmete è vca alla proporzoe della popolazoe. L esempo dell et poll rappreseta u tpco esempo d statstca ferezale: le caratterstche della popolazoe complessva soo dotte da quelle osservate su u campoe estratto dalla popolazoe stessa. Altr esemp d dage statstca possoo essere: l cesmeto della popolazoe talaa fatto dall'istat, lo studo d campo d pezz prodott da u'azeda per l cotrollo della qualtà meda del prodotto, la spermetazoe d u uovo farmaco su u gruppo d persoe volotare. La statstca s può duque vedere come lo studo delle popolazo, lo studo della varazoe fra gl dvdu della popolazoe, lo studo de metod d rduzoe de dat. Le popolazo d cu s occupa la statstca o soo solo le popolazo umae, come l'esempo precedete potrebbe far pesare. Le popolazo soo tese come aggregat d dvdu o ecessaramete vvet o materal: ad esempo, se s effettua u certo umero d msure, l'seme de rsultat costtusce ua popolazoe d msure. Le popolazo che soo oggetto d studo statstco evdezao sempre delle varazo al loro tero, ossa gl dvdu che le costtuscoo o soo tutt detc: compto della statstca è lo studo d tal varazo. All'orge d queste varazo soo spesso feome aleator, dove per aleatoro s tede u feomeo cu è presete modo essezale u elemeto d casualtà. Questo sgfca che l feomeo o è completamete prevedble a pror, l che o vuol dre che sa completamete mprevedble. Ad esempo se s estrae ua palla da u'ura che cotee palle bache e ere, o samo cert del rsultato, ma abbamo ua certa aspettatva. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Itroduzoe Occorre qud studare l calcolo delle probabltà, che, oltre a essere utle per se stesso, ad esempo ella teora de goch, costtusce ache ua base per l fereza statstca. Per mezzo del calcolo delle probabltà s può fare ua trattazoe matematca dell'certezza, ossa delle regole co cu s può dare u certo grado d fduca al realzzars d u dato eveto; molte stuazo cocrete s può formulare u modello probablstco base al quale calcolare la probabltà d u certo eveto. Ad esempo, rferedos al caso dell'ura coteete palle bache e ere, s potrà calcolare la probabltà che, estraedo palle, sao bache. Le cocluso che la statstca ferezale c permette d trarre sulla popolazoe complessva a partre dall'dage sul campoe, o soo certezze, come gà osservato, ma asserzo formulate co metod, precs e quattatv, del calcolo delle probabltà. La statstca descrttva s occupa vece dell'aals de dat osservat, prescdedo sa da qualsas modello probablstco che descrva l feomeo esame, sa dal fatto che l'seme de dat sa u campoe estratto da ua popolazoe pù vasta o sa vece l'tera popolazoe. Lo scopo baslare della statstca descrttva è d rdurre l volume de dat osservat, esprmedo l'formazoe rlevate coteuta tal dat per mezzo d grafc e dcator umerc che l descrvoo; oltre possoo essere fatte dag d tpo comparatvo e s può verfcare l'adattars de dat spermetal a u certo modello teorco. Uverstà d Toro

9 M. Garetto - Statstca. Statstca descrttva. Dstrbuzo d frequeza Quado s raccolgoo de dat su ua popolazoe o su u campoe, valor otteut s presetao allo statstco come u seme d dat dsordat; dat che o soo stat orgazzat, stetzzat o elaborat qualche modo soo chamat dat grezz. A meo che l umero delle osservazo sa pccolo, è mprobable che dat grezz forscao qualche formazoe fché o sao stat ordat qualche modo. I questo captolo verrao descrtte alcue tecche per orgazzare e stetzzare dat modo da poter evdezare le loro caratterstche mportat e dvduare le formazo da ess forte. I questo cotesto o è mportate se tal dat costtuscoo l'tera popolazoe o u campoe estratto da essa. Cosderamo seguet esemp. Esempo Rlevado co uo strumeto d msurazoe l umero d partcelle cosmche perod cosecutv d u muto s ottegoo seguet dat 8 Tabella Esempo I seguet dat soo l rsultato d 8 determazo, ua data utà d msura, dell emssoe goralera d u gas quate da u mpato dustrale Tabella Esempo I uo stablmeto vegoo regstrat cas d malfuzoameto d ua maccha utesle cotrollata dal computer, e le loro cause. I dat relatv a u certo mese soo seguet fluttuazo d tesoe 6 stabltà del sstema d cotrollo errore dell'operatore strumeto usurato e o sosttuto altre cause Totale 8 Tabella I cascuo degl esemp s osserva ua varable, che è rspettvamete l umero d partcelle rlevate u tervallo d u muto; la quattà d gas quate emesso u goro; la causa d u guasto verfcato. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

10 Captolo - Statstca descrttva Della varable questoe abbamo u seme d osservazo regstrate (egl esemp vale, rspettvamete,, 8, 8), che costtuscoo dat da aalzzare. Le varabl oggetto d rlevazo statstche s classfcao pù tp dvers, a secoda del tpo d valor che assumoo dscrete umerche (quattatve) varabl cotue o umerche (qualtatve) Ua varable s dce umerca se valor che essa assume soo umer, o umerca altrmet; ua varable umerca s dce dscreta se l'seme de valor che essa a pror può assumere è fto o umerable, cotua se l'seme de valor che essa a pror può assumere è l'seme R de umer real o u tervallo I d umer real. Le varabl degl esemp e soo umerche, la varable dell'esempo è o umerca. La varable dell'esempo è dscreta, perché l umero d partcelle osservate è sempre u umero tero maggore o uguale a, e l'seme de umer ter è fto ma umerable; la varable dell'esempo è vece cotua, perché la msura della quattà d gas emesso può essere u umero reale postvo qualuque ( u certo tervallo). Molto spesso valor assut da ua varable cotua soo rsultat d msure. S osserv che, per decdere se ua varable è dscreta o cotua, occorre ragoare su qual soo valor che a pror la varable può assumere e o su valor effettvamete assut: è evdete fatt che valor assut osservazo sarao al pù, qud sempre umero fto. Per studare dat degl esemp precedet dvdamo dat stess class e determamo l umero d dvdu apparteet a cascua classe, detto frequeza della classe. Costruamo po la tabella d dstrbuzoe d frequeza, ossa ua tabella che raccogle dat secodo le class e le corrspodet frequeze. I dat ordat e rassut ella tabella d dstrbuzoe d frequeza soo dett dat raggruppat. Esempo Varabl umerche dscrete Nell'esempo la varable osservata è ua varable umerca dscreta, che può assumere solo valor ter; poché valor assut soo umer ter,,,,,, 8, è aturale sceglere come class umer k,,,,,, 6, 7, 8 e cotare per og classe l umero d osservazo cu soo state rlevate esattamete k partcelle. I questo modo s costrusce la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza. Nella tabella la prma coloa dca la classe; la secoda la frequeza assoluta, detta ache semplcemete frequeza d classe, ossa l umero d osservazo che cadoo cascua classe; la terza coloa la frequeza relatva, ossa l rapporto tra frequeza assoluta e umero totale d osservazo ( questo caso ); la quarta è la frequeza percetuale, ossa la frequeza relatva moltplcata per Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale.% 6 % % % 6 % % 6 % 7 % 8.% Totale % Tabella Rcordamo che u seme umerable è u seme che s può mettere corrspodeza buvoca co l seme N de umer atural. Uverstà d Toro

11 M. Garetto - Statstca Osservazoe S osservo le seguet propretà de umer rportat ella tabella d dstrbuzoe d frequeza (tabella ): la frequeza assoluta è u umero tero compreso tra e l umero totale d osservazo; la frequeza relatva è u umero reale compreso tra e ; la frequeza percetuale è u umero reale compreso tra e La somma delle frequeze assolute è sempre uguale al umero totale d osservazo; la somma delle frequeze relatve è sempre uguale a ; la somma delle frequeze percetual è uguale a ; valor otteut come quozet devoo essere spesso arrotodat e questo fatto comporta che la somma d tutte le percetual può o essere esattamete uguale a Esempo Varabl umerche cotue Nell'esempo la varable osservata è cotua. I valor de dat soo compres tra 6. e.8; l campo d varazoe R o rage de dat, coè la dffereza tra l pù grade e l pù pccolo, vale R Sceglamo come class 7 tervall Il modo d sceglere le class o è uco: potremmo sceglere u umero dfferete d class, o class co estrem dvers; og caso le class o devoo sovrappors e devoo coteere tutt dat. D solto le class hao tutte la stessa ampezza, ma questa caratterstca geerale o è obblgatora e cert cas l tpo d dat può suggerre la scelta d class d ampezza dversa (s vedao gl esemp 8 e 9); oltre, per dat cotu, è ecessaro specfcare se le class soo chuse a destra e/o a sstra, ossa se dat cocdet co gl estrem della classe devoo essere raggruppat ella classe stessa o ua delle class adacet. Troppe class redoo la tabella poco leggble; troppo poche class la redoo poco sgfcatva: l umero delle class è ormalmete compreso fra e ; se dat soo molto umeros s può arrvare a usare u massmo d class. Ua semplce regola pratca che s rvela a volte utle cosste ello sceglere u umero d class approssmatvamete uguale alla radce quadrata del umero de dat k. U'altra regola cosste ell'applcare la seguete formula k +. log dove rappreseta l umero de dat pres cosderazoe e k l umero delle class da usare. L'ampezza delle class (el caso d class d uguale ampezza) può essere determata applcado la formula R a k dove R è l campo d varazoe de dat. Le rsposte otteute applcado queste formule devoo essere comuque terpretate come dcazo d massma, da valutare caso per caso, a secoda de dat da trattare. Nell'esempo che stamo esamado s ha k +. log a. 7 7 S gustfca così la scelta d 7 class d ampezza. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

12 6 Captolo - Statstca descrttva Ua scrttura del tpo. 8.9, defete ua classe, è detta tervallo della classe; umer. e 8.9 soo dett lmt ferore e superore della classe. Co la scelta delle 7 class dcate s ottee la tabella seguete Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale % 9..9.% % 7. 9.%..9 7.% % 9..9.% Totale 8 % Tabella S ot che le class soo chuse e che lmt delle class utlzzate per la tabella precedete soo assegat co tat decmal quat e possedoo dat. Le class hao uo stacco per evtare ambgutà. Ifatt se s sceglessero ad esempo le class l dato 9. potrebbe adare ella prma classe o ella secoda, e così va. Per evtare questa dffcoltà s potrebbero sceglere le class S può otare che ache se lmt delle class s sovrappogoo, o c soo ambgutà, perché quest lmt soo valor che dat o assumoo, dal mometo che dat hao u solo decmale. Questa scelta però o è partcolarmete felce, quato l'uso d pù decmal appesatsce la scrttura delle class. E ' pù cosglable sceglere class chuse a sstra (aperte a destra), ad esempo < 9 9 <... 9 < oppure class chuse a destra (aperte a sstra), ad esempo < 9 9 <... 9 < S ot che queste class o presetao stacch. Co la scelta delle class chuse a sstra sopra dcate, per la dstrbuzoe d frequeza s ottee ua dstrbuzoe d frequeza uguale a quella della tabella (cambao solo gl estrem delle class, ma o le frequeze assolute). Ivece co la scelta delle class chuse a destra s ottee la dstrbuzoe d frequeza della tabella b. Uverstà d Toro

13 M. Garetto - Statstca 7 Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale < 9 % 9 < 9.% < % 7 < % < 7.% < 9 9.% 9 <.% Totale 8 % Tabella b Ua volta che dat soo stat raggruppat, cascu valore esatto de dat o è pù utlzzato: s rappresetao tutt dat apparteet a ua certa classe co l suo puto medo, detto valore cetrale della classe. Per cascua delle scelte proposte per le class questo esempo, le class hao la stessa ampezza, uguale a ; tale ampezza è geerale uguale alla dffereza tra due valor cetral successv; el caso delle class seza stacch, chuse da u lato, l ampezza è pù semplcemete uguale alla dffereza tra gl estrem d og classe. Co dat dell esempo e co la scelta delle class chuse a destra (tabella b) s ottee a valor cetral delle class ,,, 9,, 7, b ampezza d classe a 9 oppure a 7. Il procedmeto d raggruppameto de dat fa perdere alcue delle formazo che provegoo da dat: ad esempo vece d cooscere l'esatto valore d u'osservazoe, s sa solo che cade u certo tervallo. Cò accade per la dstrbuzoe d frequeza d og varable cotua. Tuttava s trae u mportate vataggo dalla leggbltà che s ottee e dalle relazo fra dat che s redoo evdet. Nel caso della varable dscreta dell'esempo o v è perdta d formazoe, quato le class tegoo coto d og valore assuto. Talvolta però ache per ua varable dscreta è coveete utlzzare come class degl tervall, azché dstguere tutt valor assut, soprattutto quado dat soo umeros (s veda ache l'esempo 8). Co dat dell'esempo s possoo usare class compredet due possbl valor della varable osservata, otteedo la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale % % % 6 7 % 8 9.% Totale % Tabella 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

14 8 Captolo - Statstca descrttva Esempo 6 Varabl o umerche Nell'esempo la varable tpo d guasto verfcato è o umerca; dat soo gà raggruppat class e s ottee la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale fluttuazo tesoe 6.% stabltà 8.8% errore operatore 7 7.% strumeto.% altro % Totale 8 % Tabella 7 C soo altr mod d raggruppare dat: ad esempo dat mor d, maggor d ; s ottegoo questo modo le dstrbuzo cumulatve. La frequeza totale d tutt valor mor del lmte superore d ua data classe è detta frequeza cumulatva. Ua tabella che preset frequeze cumulatve è detta tabella d dstrbuzoe cumulatva d frequeza. S possoo cumulare frequeze assolute, relatve e percetual; l'ultmo valore che compare ella tabella sarà uguale al umero totale d dat per le frequeze assolute, uguale a per le frequeze relatve e uguale a per quelle percetual. Nelle tabelle 8 e 9 s rportao le dstrbuzo cumulatve che s possoo rcavare rspettvamete dalle tabelle e 6 (dat dell esempo ). Classe Freq. cumul. assoluta 7 7 Classe Freq. cumul. assoluta Tabella 9 Tabella 8 La dstrbuzoe cumulatva otteble dalla tabella (esempo ), è rportata ella tabella ; se s usao le class chuse a destra (tabella b) s ottee la tabella. Classe Freq. cumul. assoluta Classe Freq. cumul. assoluta Tabella Tabella Uverstà d Toro

15 M. Garetto - Statstca 9 Esempo 7 Soo date msurazo del valore d ua varable; la pù pccola è.8 e la pù grade è 7.. Determare delle class adatte per raggruppare dat ua dstrbuzoe d frequeza, e corrspodet valor cetral. Campo d varazoe de dat R Numero d class e ampezza delle class. 6 k +. log 8. a 8 8 S possoo utlzzare 8 class d ampezza a. Nella tabella soo dcate le class scelte e relatv valor cetral (questa scelta ovvamete o è l uca possble). Class. <.. <.7.7 < < < < < < 7. Val. cetral Tabella Esempo 8 I seguet soo umer d lavorator asset da u azeda gor lavoratv Tabella Per costrure la tabella della dstrbuzoe d frequeza s utlzzao 6 class; fatt k +. log 6. 6 S ot che questa tabella è stata usata come ultma classe ua classe seza lmte superore, detta classe aperta: questo evta d avere class vuote o co frequeze molto basse. Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale < 8 8% < 9 % 9 < 6 % < % 9 < 6 6% > 8 8% Totale % Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

16 Captolo - Statstca descrttva Esempo 9 Nella tabella seguete soo rportat pes alla ascta d bamb at u ospedale u dato perodo d tempo Tabella Per costrure ua dstrbuzoe d frequeza questo caso s possoo usare 8 class, base al fatto che k +. log 7. 6 e le class possoo essere d ampezza dversa, per teer coto della atura de dat. Il campo d varazoe de dat è R I dat possoo essere raggruppat ella seguete dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale 8 < % < 8 8 8% < % < % 8 < % < 6 % 6 < % < % Totale % Tabella 6. Grafc delle dstrbuzo d frequeza Itroducamo alcue delle pù usate rappresetazo grafche per le dstrbuzo d frequeza e per le dstrbuzo cumulatve. Tal grafc soo ogg soltamete otteut co l uso del computer per mezzo d software d tpo statstco; quest cosetoo, dopo aver mmesso dat, d otteere rapdamete var tp d grafc. L osservazoe del grafco può far otare rregolartà o comportamet aomal o drettamete osservabl su dat; ad esempo c s può accorgere d error d msurazoe. U prmo tpo d dagramma è l dagramma crcolare; questo dagramma le frequeze percetual soo rappresetate da settor crcolar avet ampezze proporzoal alle frequeze stesse; dcado co f la frequeza percetuale e co g l'ampezza grad, s ha f : g : 6 Il dagramma crcolare è l pù adatto per le frequeze percetual e per le varabl o umerche. Uverstà d Toro

17 M. Garetto - Statstca Esempo La seguete tabella rappreseta l umero d studet scrtt a var a d corso d u sttuto superore (frequeze assolute) e le corrspodet frequeze percetual; la fgura rappreseta l dagramma crcolare delle frequeze percetual. Studet scrtt a dvers a d corso freq. assoluta freq. percetuale class prme 87 9.% class secode.7% class terze.87% class quarte % class qute 8 8.% Totale 98 % secode % prme 9% qute 8% quarte 8% Tabella 7 terze % Fgura U altro tpo d grafco molto usato per rappresetare dat raggruppat è l dagramma a barre. Per costrure u dagramma a barre s raggruppao dat class, come gà descrtto; per cascua classe s dsega u rettagolo avete base d ampezza costate e altezza uguale alla frequeza d classe; rettagol d solto o soo adacet e soo equdstat fra loro. Questo tpo d dagramma è partcolarmete dcato per varabl o umerche e per varabl dscrete. Il dagramma a barre della dstrbuzoe d frequeza assoluta della tabella 7 è l seguete Fgura Nel caso della varable dscreta dell'esempo, base alla tabella della dstrbuzoe d frequeza, s può traccare l dagramma a barre rportato ella fgura, otteuto dsegado rettagol co le bas cetrate el valore che defsce la classe e rportado ordata la frequeza assoluta Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

18 Captolo - Statstca descrttva Gl stogramm soo u altro modo molto usato per rappresetare grafcamete le formazo coteute ua tabella d dstrbuzoe d frequeza. U stogramma cosste u seme d rettagol adacet, avet base sull asse orzzotale; le bas soo gl tervall che defscoo le class ( put med delle bas soo valor cetral delle class). Se le class hao tutte la stessa ampezza le altezze de rettagol soo ugual, o proporzoal, alle corrspodet frequeze assolute (oppure relatve o percetual). Se vece le class soo d ampezza dversa, rettagol hao acora base uguale alla corrspodete ampezza della classe, e area (o pù altezza!) corrspodete alla frequeza: l'altezza del rettagolo sarà uguale, o proporzoale, al rapporto fra la frequeza e l'ampezza d classe. Tale rapporto s chama destà d frequeza (vedere fgura b). I etramb cas qud l'area d og rettagolo è uguale, o proporzoale, alla frequeza della classe. L'stogramma corrspodete alla dstrbuzoe d frequeza studata ell esempo (tabella b) è quello della fgura. Le class hao tutte la stessa ampezza e ordata è rportata la frequeza assoluta; le bas de rettagol hao put med e valor cetral delle class. L stogramma corrspodete alla dstrbuzoe d frequeza dell esempo 9 è quello della fgura b; questo caso le class o hao tutte la stessa ampezza e ordata s poe la destà d frequeza (ossa l rapporto fra la frequeza assoluta e l ampezza della corrspodete classe).,6,,,,, Fgura Fgura b Ua dstrbuzoe d frequeza può essere rappresetata grafcamete ache co u altro tpo d grafco: l polgoo d frequeza. Tale polgoo s ottee uedo fra loro put avet come ascssa l valore cetrale d og classe e come ordata l corrspodete valore della frequeza. Nella fgura rappresetamo l polgoo d frequeza per dat della tabella b. La fgura b rporta l polgoo d frequeza sovrapposto all stogramma della fgura ; questo grafco cosete d vedere, per lo stesso seme d dat, la relazoe fra due tp d grafco. Fgura Fgura b Uverstà d Toro

19 M. Garetto - Statstca Esempo Nella tabella 8 soo rportate le lughezze mm d sbarrette metallche; costrure ua dstrbuzoe d frequeza assoluta, scegledo u umero opportuo d class e dsegare l relatvo stogramma Tabella 8 La lughezza maggore è d 76 mm, la more è d 9 mm; l campo d varazoe de dat è R mm. S possoo sceglere 7 class d ampezza 9 e s ottee la seguete dstrbuzoe d frequeza assoluta e l corrspodete stogramma Classe Frequeza assoluta Totale Tabella 9 Fgura 6 Esempo S cosder la seguete tabella replogatva de vot fal rportat dagl studet delle class terze d u sttuto superore; ella tabella soo rportate due dverse dstrbuzo d frequeza assoluta e percetuale relatve a vot fal talao e matematca. voto fale studet che hao rportato l voto dcato talao matematca freq. assoluta freq. percetuale freq. assoluta freq. percetuale.6%.% 8.9% 8.7%.%.7% 6 6.6% 7 9.6% % 67.8% 8 7.8% 6 8.7% 9.%.% Totale 98 % % Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

20 Captolo - Statstca descrttva S possoo rappresetare le due dstrbuzo d frequeza assolute co u uco dagramma a barre, che permette l cofroto fra le due dstrbuzo ed evdeza le dffereze sgfcatve. talao matematca Fgura 7 Ua dstrbuzoe cumulatva vee rappresetata co u grafco detto polgoo cumulatvo o ogva; l grafco s ottee rportado sulle ascsse lmt superor delle class e, per cascuo d ess, ordata la frequeza cumulatva della corrspodete classe, e uedo po tra loro put otteut. Per la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta dell'esempo, tabella 8, s ottee l grafco della fgura 8; per la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta dell'esempo, tabella, s ottee l grafco della fgura Fgura 8 Fgura 9 Esempo Rprededo esame la tabella relatva all'esempo, s costrusce la seguete tabella della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta per vot d talao voto fale studet che hao rportato l voto dcato talao freq. assoluta freq. cumulatva assoluta Tabella Dalla tabella s possoo ad esempo dedurre seguet rsultat: Uverstà d Toro

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