IGiochidiArchimede-GaraTriennio 22 novembre 2006

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1 PROGTTO OLIMPII I MTMTI U.M.I. UNION MTMTI ITLIN SUOL NORML SUPRIOR IGiochidirchimede-GaraTriennio novembre 006 1) La prova consiste di 5 problemi; ogni domanda è seguita da cinquerisposteindicate con le lettere,,,,. ) Una sola di queste risposte è corretta, le altre sono errate. Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. ) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammessecancellatureo correzioni sulla griglia. Non è consentito l uso di alcun tipo di calcolatrice. ) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova èun oraemezza. uon lavoro e buon divertimento. Nome ognome lasse ) Laura sta leggendo un libro e nota che il numero della pagina a cui è arrivata è divisibile per, e 5. Qual è la cifra delle unità del numero dellapaginasuccessiva? () 1, (), () 5, () 6, () 9. ) laudia ha disegnato sul quaderno l iniziale del suo nome, una. Il disegno è stato fatto tagliando esattamente a metà una corona circolare con raggio interno 1 cm e raggio esterno cm. Quanto misura il perimetro della? () 5cm, () 5π cm, () (6 + 5π) cm, () (5 + 6π) cm, () (6 + 10π) cm. ) Il numero reale a è t a l e c h e l e q u a z i o n e x +ax +1=0 ha due soluzioni reali coincidenti. Quanti sono i possibili valori di a? () Nessuno, () uno, () due, () tre, () quattro. ) Quanti sono i multipli di maggiori o uguali di 000 e minori o uguali di 000? () 666, () 667, () 668, () 669, () ) In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull ipotenusa misurano m e 1 mrispettivamente.quantomisural areadeltriangolo? () 5 m, () 60 m, () 7 m, () 8 m, () 90 m. 6) Francesco è interessato a un modello di televisore che viene venduto nei supermercati Landscape a 800 uro. Si accorge poi che nei negozi Ipersfera vendono lo stesso modello al 15% in meno e praticano uno sconto del 10% a tutti i clienti di nome Francesco. Quanto spende acquistando il televisore nei negozi Ipersfera? () 600 uro, () 61 uro, () 680 uro, () 70 uro, () 790 uro. 7) Nella figura a fianco, il segmento è p a r a l l e l o a. d Sapendo che l area di è u g u a l e a i di quella di eche misura 1 m, quanto misura? () m, () ( ) m, () m, () m, () m. 8) Quanti divisori positivi ha 6! = 1 5 6? (Traidivisoridiunnumerodevono essere contati anche 1 e il numero stesso.) () 5, () 6, () 10, (), () 0. 9) Le misure delle diagonali di un rombo sono l una i dell altra e la loro somma è 56 m. alcolare il perimetro del rombo. () 60 m, () 80 m, () 96 m, () 100 m, () 108 m. 10) Mettere in ordine crescente i tre numeri 6, 5, 11. () 11 < 5 < 6, () 11 < 6 < 5, () 5 < 11 < 6, () 5 < 6 < 11, () 6 < 5 < ) In una scacchiera 8 8lerigheelecolonnesononumerateda1a8. Suogni casella Mauro appoggia dei gettoni secondo questa regola: guarda il numero di riga e di colonna corrispondenti alla casella, li somma e mette sulla casella tanti gettoni quanto è il risultato della somma. Quanti gettoni appoggia in tutto sulla scacchiera? () 8, () 576, () 768, () 10, () ) Ogni ora il patrimonio di zio Paperone aumenta del 50%. Se alle 1diuncerto giorno Paperone possiede 6 fantastiliardi, quale sarà il suo patrimonio alle 16 dello stesso giorno? () 19 fantastiliardi, () 56 fantastiliardi, () fantastiliardi, () 86 fantastiliardi, () 10 fantastiliardi. 1) Tra i 00 alunni di una scuola, 150 hanno partecipato ad una gara di chimica e 10 hanno partecipato ad una gara di fisica. Quanti studenti hanno partecipato ad entrambe le gare? () 70, () 80, () 10, () 10, () non è possibile determinarne il numero in base ai dati del problema.

2 1) Gigi dispone su un tavolo sei gettoni rossi, tondi, uguali tra loro e di raggio 10 cm, in modo che si tocchino a due a due senza sovrapporsi e che i loro centri siano disposti sui vertici di un esagono regolare. Poi nota che in mezzo c è ancora spazio per appoggiare un gettone blu, tondo, in modo che tocchi tutti eseiigettonirossi senza sovrapporvisi. Qual è il raggio del gettone blu? () 5 cm, () 10 cm, () 10 cm, () 15 cm, () 0 cm. 15) Quante soluzioni reali ha l equazione a + =1? () Nessuna, () una, () due, () tre, () otto. 16) ndrea entra in un negozio con la somma di denaro esatta per comprare una caramella per ciascuno dei suoi compagni di classe, al prezzo di tredici centesimi l una. Il prezzo delle caramelle però è sceso a dieci centesimi l una e ndrea compra sei caramelle in più del previsto, finendo il denaro che aveva. Quanti sono i compagni di classe di ndrea? () 18, () 0, () 1, (), (). 17) Nella figura a fianco, chiamiamo Q il quadrato circoscritto alla circonferenza e Q il quadrato inscritto nella circonferenza. Quanto vale il rapporto tra l area di Q e quella di Q? (), (), (), (), (). 18) In quanti modi distinti si possono ordinare le lettere I, S, O, L,,inmodochenon vi siano due consonanti consecutive? () 60, () 7, () 8, () 96, () ) Gli abitanti di un isola si dividono in due categorie: quelli chesonosempresinceri equellichementonosempre. Fratreabitantidell isola, ndrea, arbara e iro, avviene questa conversazione: ndrea dice: arbara è sincera, arbara dice: ndrea e iro sono sinceri, iro dice: ndrea è bugiardo. Possiamo concludere che () sono tutti e tresinceri, () sono tutti e trebugiardi, () ndrea e arbara sono sinceri e iro è bugiardo, () ndrea e arbara sono bugiardi e iro è sincero, () ndrea è sincero e iro e arbara sono bugiardi. 0) Nella figura a fianco il triangolo è e q u i l a t e r o e h a l a t o 1meFG è u n q u a d r a t o. Q u a n t o m i s u r a i l? l a t o () 1 m, () ( ) m, () 1 m, () 1+ m, () ( 1) m. G F 1) Qual è la cifra delle unità di 17 17? () 1, (), () 5, () 7, () 9. ) Un vandalo taglia tutti i copertoni delle auto e delle motociclette parcheggiate lungo una strada. La polizia lo arresta e rileva che i veicoli danneggiati sono. Il responsabile viene condannato a pagare le spese di sostituzione dei 1 copertoni da lui tagliati. Quante motociclette erano parcheggiate in quella strada? () Meno di 9, () più di 10 e meno di 1, () più di 15 e meno di 19, () più di 0 e meno di, () più di 5. ) Nel quadrato, aventeillatolungo1m,illato viene diviso in tre segmenti, F e F di uguale lunghezza. Si tracciano i segmenti e F che si intersecano nel punto H. Quantoèl areadeltriangoloh? () 6 m, () 8 m, () 5 m, () 60 m, () 7 m. ) Il numero è: () un numero primo, () un quadrato perfetto, () un multiplo di tre, () un cubo perfetto, () un multiplo di undici. 5) Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q eraggiouguale al lato di Q. Ilvolumedell intersezionetraq e S è : () un ottavo del volume della sfera, () un quarto del volume della sfera, () un sesto del volume del cubo, () un quarto del volume del cubo, () metà del volume del cubo. H F

3 PROGTTO OLIMPII I MTMTI U.M.I. UNION MTMTI ITLIN SUOL NORML SUPRIOR IGiochidirchimede-SoluzioniTriennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta Problema Risposta corretta Risoluzione dei problemi 1. La risposta è (). Il numero della pagina a cui è arrivata Laura, essendo divisibile per, per e per 5 deve necessariamente essere divisibile anche per il loro minimo comune multiplo, ovvero per 60. Tutti i multipli di 60 terminano per zero quindi la pagina successiva avrà 1 come cifra delle unità.. La risposta è (). Possiamo suddividere il perimetro del disegno in quattro parti: due segmenti ( e )eduesemicirconferenze(gliarchi e di raggio rispettivamente cm e 1 cm). La lunghezza dei segmenti è pari alla differenza tra iraggidelleduecirconferenze: = =cm. La lunghezza delle semicirconferenze è la metà della lunghezza della circonferenza corrispondente: = π =π cm; = π 1 = π cm. In definitiva, =(6+5π) cm.. La risposta è (). Una equazione di secondo grado ammette una sola soluzione soltanto nel caso in cui il discriminante sia uguale a zero. Nel nostro caso si deve annullare =a. bbiamo quindi che a 1=0dacuia =1 oppure a = 1. i sono quindi due valori di a per cui l equazione ammette una sola soluzione. 1

4 . La risposta è (). Il più grande multiplo di tre inferiore a 000 è I multipli di tre successivi possono essere scritti come a k =1998+k con k intero positivo. d esempio per k =1otteniamoa 1 =001, il più piccolo tra i numeri cercati. Si tratta di stabilire qual è il più grande valore di k per cui a k < 000, cioè per cui k < La disuguaglianza è soddisfatta per k<,cioèperk< 00 = ma, dato che k è i n t e r o p o s i t i v o, q u e s t o e q u i v a l e k a d 667. i r e Il numero dei multipli di compresi tra 000 e 000 è quindi La risposta è (). L ipotenusa ha come lunghezza la somma delle lunghezze delle proiezioni dei cateti, ovvero m +1 m = 15 m. La lunghezza dell altezza H può essere calcolata utilizzando il secondo teorema di uclide: H = H H =6m. H i conseguenza H =6mel arearisultaessere = 5 m. 6. La risposta è (). Il prezzo del televisore nei negozi Ipersfera è di 800 (1 0.15) euro = 680 euro. questa cifra va applicato lo sconto del 10% praticato da Ipersfera ai clienti di nome Francesco, per cui il costo effettivo del televisore per Francesco è di 680 (1 0.1) euro = 61 euro. Si osservi che le operazioni fatte non corrispondono a ridurre del 5% il prezzo del televisore praticato da Landscape perchè in questo caso la riduzione del 10% sarebbe calcolata su 800 euro e non sui 680 euro corrispondenti al prezzo non scontato di Ipersfera. H 7. La risposta è (). Itriangoli e sono simili. Sappiamo che il rapporto tra le aree di due figure simili è uguale al quadrato del rapporto tra lati corrispondenti. i conseguenza, ( ) = area () area () =, cioè = = m 8. La risposta è (). La scomposizione in fattori primi di 6! = 6 5 è: 5. Un suo divisore dovrà avere quindi una scomposizione in fattori primi del tipo a b 5 c dove a =0, 1,,,, b =0, 1,, c =0, 1. iascun divisore è individuato da una particolare scelta dellaterna(a, b, c). ontare i divisori equivale a contare quante terne distinte si possono formare. i sono 5 possibili scelte per il valore di a, treperilvaloredib edueperquellodic per cui complessivamente le terne (a, b, c) possibilisono5 =0. 9. La risposta è (). + = + = 7 =56m,cioè =me =m. Il lato del rombo è = 1 + = m=0m. i conseguenza il perimetro del rombo è di 80 m.

5 10. La risposta è (). Ricordiamo che se a>b>0en>0alloraa n >b n. Osserviamo che scegliendo n =6,cioè pari al minimo comune multiplo degli indici delle radici (6,, rispettivamente), il confronto fra le seste potenze dei numeri assegnati si riduce ad un confronto tra numeri interi. Si ha quindi: ( 6 ) 6 = 6 =18. ( 5) 6 =5 =15, ( 11) 6 =11 =11. Poiché 11 < 15 < 18 abbiamo che 11 < 5 < La risposta è (). onviene immaginare che la deposizione dei gettoni avvenga in due fasi. Prima depositiamo su tutte le caselle un numero di gettoni pari al numero della rigacuiappartengono,poidepositiamo su tutte un numero di gettoni pari al numero della colonna. In entrambi i casi depositiamo 8 volte 1 moneta, 8 volte monete, 8 volte monete fino a 8 volte 8 monete per l ultima riga o colonna. Quindi per ciascuna delle due fasi depositiamo 8 ( ) = 8 6 = 88 gettoni. Il numero totale di gettoni depositati è quindi 88 = La risposta è (). l passare di ogni ora, il valore P del patrimonio di Paperone aumenta del 50%. Il suo valore è allora quello precedente ( aumentato della sua metà tre. parole, In al ad ogni ora il valore del patrimonio aumenta da P a P 1+ 1 ) = P.lterminedelleorecheintercorronotrale 1 e le 16 il patrimonio varrà quindi fantastiliardi. ( ) volte il suo valore iniziale, cioè 6 ( ) = 1. La risposta è (). Indichiamo con N il numero di studenti che non hanno partecipato a nessuna competizione, con F e il numero di quelli che hanno partecipato soltanto alle gare di fisica e chimica rispettivamente, con il numero di quelli che hanno partecipato ad entrambe. Il testo del problema fornisce le informazioni seguenti: F + =10, + =150, F N =00. Si potrebbe subito osservare che si tratta di un sistema lineare di equazioni in incognite la cui soluzione, quando esiste, non può essere unica. Questo permette di scartare le risposte,,,, per cui la risposta esatta non può essere che (). Procedendo in maniera costruttiva osserviamo invece che: = (F + )+( + ) =(F + + )+ =(00 N)+, cioè =80+N. IlvaloremassimodiN è 5 0 e c o r r i s p o n d e a l c a s o i n c u i t u t t i i 1 0 p a r t e c i p a n t i alla gara di fisica abbiano anche partecipato alla gara di chimica. N dovrà necessariamente essere un numero non negativo per cui potrà assumere un qualunque valore intero compreso tra 0 e 50. ciascun valore lecito di N corrisponderà una diversa soluzione con che potrà assumere un qualunque valore intero tra 80 e 10 inclusi. Il problema ammette quindi 51 soluzioni distinte per cui i dati forniti non sono sufficienti ad individuare un particolare valore di.

6 1. La risposta è (). Indichiamo con r la lunghezza del raggio del gettone blu e con R quella del raggio dei gettoni rossi. Per simmetria il centro del gettone blu deve trovarsi nel centro dell esagono. Il triangolo è equilatero poiché i centri dei gettoni rossi sono disposti sui vertici di un esagono regolare. In particolare = =0cm. altraparte = r+r = r+10 cm, da cui r =10cm. lternativamente si può osservare che =10,che = =60 equindiche è u n p a r a l l e l o g r a m m a. Q u i n d i = epossiamoprocederecomeinprecedenza. 15. La risposta è (). a + =1significache a + puòessereugualea1oppureugualea 1, cioè a + vale oppure 1. Qualunque sia il valore di a, ilsuovaloreassolutoènonnegativo quindi a + inognicaso.iconseguenzal unicapossibilitàèchesia a + =,da cui a =0. L equazioneammetteunasolasoluzione. 16. La risposta è (). Indicato con x il numero dei compagni di ndrea, la cifra che prevede di spendere è 1x centesimi mentre quella che effettivamente spende è 10x centesimi. La differenza tra queste corrisponde esattamente al costo di 6 caramelle, cioè a 60 centesimi. i conseguenza x può essere determinato risolvendo l equazione 1x 10x =60,ovverox =60,dacuix =0. La risposta esatta è la. 17. La risposta è (). Q è u n q u a d r a t o i n s c r i t t o n e l l a c i r c o n f e r e n z a e p u ò isegnatoe s s e r e d indifferentemente con i lati paralleli a quelli di Q oconiverticinei punti di contatto tra Q elacirconferenza. Tracciando le diagonali di Q il quadrato Q risulta diviso in 8 triangoli rettangoli isosceli congruenti di cui quattro fanno parte anche di Q.Il rapporto fra le due aree risulta essere 8/ =. 18. La risposta è (). onviene calcolare il numero richiesto per differenza tra il numero totale di permutazioni (cioè 5! = 10) e quelle in cui troviamo due consonanti consecutive. i sono quattro modi distinti di avere due consonanti consecutive: ai posti 1 e, ai posti e, e, e 5. Per ciascuna di queste possibilità possiamo disporre le due consonanti in due modi diversi (SL ed LS) e le tre vocali in! = 6 modi. i conseguenza, il numero totale di ordinamenti delle lettere di ISOL in modo da avere due consonanti consecutive è 6=8. Il numero di ordinamenti richiesto è allora 10 8 = La risposta è (). Supponiamo che ndrea sia sincero. llora l affermazione che fa è vera e quindi è vero che arbara è sincera. i conseguenza è vero anche quello che dice arbara ovvero che sia ndrea che iro sono sinceri. In particolare afferma che è vera l affermazione di iro, ovvero che ndrea è bugiardo. Questo contraddice la nostra ipotesi di partenza. i conseguenza ndrea non può essere sincero, ovvero ndrea è bugiardo. ome conseguenza l affermazione di ndrea è falsa, cioè anche arbara è bugiarda. L affermazione di arbara d altra parte non può essere vera (ndrea è bugiardo quindi ndrea

7 eirononpossonoessereentrambisinceri). Fermandosiaquesto punto niente si può dire della situazione di iro. Resta però da esaminare l affermazione da lui fatta, cioè ndrea è bugiardo che sappiamo essere vera. i conseguenza iro è sincero. 0. La risposta è (). Sia H l altezza del triangolo relativa alla base esiax =. Osserviamo che i triangoli H e GK sono simili; vale quindi la proporzione: H : H = GK : K. altra parte,h =1m,H = / m,gk = x/ me K = H x = / x m. Segue allora: 1 : = x : x, cioè x = x. Ricavando la x, ( ) x = + m= m=( ) m. 1. La risposta è (). La cifra delle unità di un prodotto è determinata soltanto dal prodotto delle cifre delle unità dei fattori. Quindi: 17 ha la stessa cifra delle unità di 7 7cioè9; 17 ha la stessa cifra delle unità di 9 7cioè; 17 ha la stessa cifra delle unità di 7cioè1; 17 5 ha la stessa cifra delle unità di 1 7cioè7,ovverolastessacifradelleunitàdi17 1. La cifra delle unità delle potenze di 17 si ripete dunque ogni valoriconsecutividell esponente. Poiché 17 = +1lacifradelleunitàdi17 17 è l a s t e s s a d i 1,cioè La risposta è (). Indichiamo con x il numero delle motociclette e con y il numero delle auto danneggiate. I veicoli danneggiati sono x + y =mentreglipneumaticisonox +y =1. Quindi: x +y =(x + y)+y = + y =1dacuiy =8. Ilnumerodellemotociclette danneggiate è allora x = y =16. G K x/ H x F. La risposta è (). Il triangolo H è isoscele. HK Se è l a s u a a l t e z z a r e l a t i v a a si ha K = K. SiapoiG il punto di intersezione tra il prolungamento di eilprolungamentodif. Itriangoli K HK e G sono simili quindi HK = 1 G. nche i triangoli FG e G sono simili per cui vale la proporzione : F = G: G, dacuig = G. Inoltre G = + G equindi H G = =18meHK = 1 G =9m. Infine, F area (H) = HK = 1 9 m =5m G 5

8 . La risposta è (). Utilizzando i noti criteri di divisibilià per e per 11 si possono escludere subito le risposte ed. Ricordandopoilaformulaperilquadratodiunbinomio,abbiamo che ( ) = = ovvero il numero proposto è un quadrato perfetto (quindi anche la è f a l s a ). S e f o s s e v e r a a n c h e ila numero assegnato dovrebbe essere contemporaneamente un cubo e un quadrato di un intero, ovvero dovrebbeesistereunintero di cui è la sesta potenza. In altre parole dovrebbe essere in cubo di un intero ma così non è. L unica risposta possibile è la. 5. La risposta è (). Il cubo Q è individuato dagli spigoli O, O, O di lunghezza pari a quella del raggio della sfera. Il centro della sfera coincide dunque con il vertice O del cubo. Per simmetria, il piano contenente i punti, O, divide la sfera in due parti di uguale volume. La calotta così ottenuta è a sua volta divisa in due parti uguali dal piano passante per, O,. Il piano, O, infine divide ancora in due parti uguali lo spicchio sferico. iconseguenzailvolumedellapartedisfera contenuta in Q è un ottavo del volume della sfera da cui siamo partiti. O Q 6