UNIVERSITA' DEGLI STUDI ROMA TRE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI. Facoltà di Ingegneria. Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale e dell'automazione

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1 UNIVERSITA' DEGLI STUDI ROMA TRE ROMA TRE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale e dell'automazione Tesina per il corso di Strumentazione e Misure per l'automazione Misura su un sistema reale ed elaborazione dati per stimare la risposta armonica di un ltro passa-basso Gruppo Luigi Carletti Attilio Priolo Anna Santostefano Docente Prof. Giovanni Ulivi Anno Accademico

2 Indice 1 Strumenti utilizzati Il generatore PM Filtro passa-basso DAC Collegamenti Analisi del Sistema Acquisizioni delle misure Fast Fourier Tasform (FFT) Spettri di densità di potenza Stima della risposta armonica Risultati Ottenuti Finestramento Conclusioni 16 Appendice 17 1

3 Introduzione L'obiettivo del progetto, svolto presso il laboratorio di Automatica del Dipartimento di Informatica e Automazione, è stato quello di stimare la risposta armonica di un ltro passa-basso di cui è nota la banda passante (1000 Hz). E' stato quindi implementato in Matlab un algoritmo per la stima della risposta armonica, che utilizza il metodo dei periodogrammi mediati. Per testare appieno questo algoritmo è stato scelto come segnale di ingresso un sine sweep: una sinusoide in grado di cambiare linearmente nel tempo la propria frequenza di oscillazione. Il segnale di ingresso è stato ottenuto attraverso un generatore di segnale Philips PM L'uscita dal ltro e l'ingresso sono stati acquisiti attraverso una Data Acquisition Card (DAC) della National Instruments e memorizzati su di un calcolatore attraverso la Data Acquisition toolbox (DAQ) di MATLAB. 1

4 Capitolo 1 Strumenti utilizzati Il materiale utilizzato in laboratorio consiste nei seguenti elementi: Generatore di segnale Philips PM 5132; Sistema di acquisizione dati (DAQPad1200); Filtro passa-basso (frequenza di taglio 1 KHz); Connettori BNC (Bayonet-Neil-Concelman); Cavi schermati; Software Matlab 6.5; Un personal computer; Sul calcolatore erano stati in precedenza installati i driver della National Instrument per l'interfacciamento con la DAQPad Il generatore PM 5132 Il generatore Pm 5132 è uno strumento progettato per applicazioni che si estendono dal settore scolastico a quello generale. Produce in output segnali sinusoidali, onde quadre e triangolari, oltre ad impulsi positivi e negativi, le cui frequenze sono regolabili in 7 sotto-range da 0.1 Hz a 2 MHz. Il generatore è conforme al regolamento di sicurezza sulle misure e sulle attrezzature di controllo. Nel corso del suo utilizzo sono stati seguiti gli 2

5 1.Strumenti utilizzati avvertimenti e le informazioni contenute nel suo manuale di istruzioni per mantenere lo strumento in condizioni di sicurezza. L'ingresso Per la misura della risposta armonica si è deciso di utilizzare un segnale in grado di evidenziare le prestazioni del ltro a nostra disposizione. E' stato usato un sine sweep, poiché consente di constatare il comportamento del ltro sia a frequenze più basse che a frequenze più alte della sua banda passante. Questa forma d'onda ha la caratteristica di non avere una frequenza costante durante la sua evoluzione, ma essa varia uniformemente da una di partenza (start frequency) ad una di arrivo (stop frequency). La frequenza La frequenza del segnale in output viene settata attraverso un selettore di range, con 7 tasti (da 0.1 Hz a 100 KHz). Il valore selezionato denisce l'ordine di grandezza della frequenza, e può essere amplicato, attraverso l'apposita manopola, di un coeciente da 1 a 20. La frequenza di partenza del segnale da noi scelto è stata impostata a 200Hz e la frequenza d'arrivo a 4KHz. La forma d'onda La forma d'onda richiesta può essere selezionata premendo il pulsante corrispondente, dal selettore delle forme d'onda che include: onda quadra, triangolare, sinusoide, impulsi positivi e negativi, DC senza porzione ac. Come precedentemente detto, è stata scelta la forma d'onda sinusoidale. Lo sweep interno L'azione interna dello sweep può essere eseguita all'interno di un sottorange. Il valore del quadrante rappresenza la stop frequency, quella iniziale è invece settata attraverso alcuni passi: il pulsante STD BY/CONT deve essere posto a STD BY; il selettore di range SWEEP PERIOD deve essere settato al range richiesto; attraverso la manopola PERIOD va imposto il periodo di sweep; 3

6 1.Strumenti utilizzati la frequenza iniziale va imposta attraverso la manopola START FREQ. La frequenza iniziale può essere più grande o più piccola di quella nale. Lo sweep period del nostro esperimento è stato settato ad 1s. 1.2 Filtro passa-basso Un ltro passa basso è costituito da un circuito elettronico che permette solo il passaggio di frequenze al di sotto di una data frequenza detta di taglio. Può essere di tipo attivo o passivo a seconda del fatto che necessiti di energia elettrica per funzionare o meno. Inoltre, in base alla pendenza del taglio in frequenza, si può distinguere in ltro passa-basso di primo ordine (20 db per decade), di secondo ordine (40 db per decade), di terzo ordine (60 db per decade). Attraverso un ltro particolare è possibile eliminare le componenti di rumore dal segnale, dunque possiamo denire il ltro come un dispositivo in grado di tagliare le componenti di frequenza indesiderate ed attenuare il rumore. In base alle esigenze si possono realizzare varie tipologie di ltri. Il ltro passa basso passivo teorico è uno tra i più semplici ltri da realizzare; esso ha la caratteristica di far passare tutte le componenti di frequenza comprese tra 0 Hz e ft Hz, dove ft è detta frequenza di taglio. Al di là di tale frequenza il ltro elimina le componenti del segnale. Questo ltro è detto passivo in quanto ha come guadagno 0 db, cioè amplica di 1 il segnale. Nella realtà, però, il ltro passa basso non riesce propriamente ad eliminare tutte le frequenze prossime a destra di ft, ma le attenua all'aumentare della frequenza. La caratteristica di questo ltro del primo ordine è quella di avere una funzione di trasferimento del tipo: 1/(s + 1) cioè si ha la presenza di un polo a denominatore, il quale riduce il modulo della fdt (funzione di trasferimento) di 20 decibel per decade (nei diagrammi di Bode). Ovviamente il segnale di uscita dal ltro sarà sfasato rispetto all'ingresso, in particolare sarà sfasato di π/2 radianti. Il ltro da noi utilizzato in laboratorio aveva una frequenza di taglio di 1 KHz e funzionava a batteria. 4

7 1.3 DAC 1.Strumenti utilizzati Per l'acquisizione delle misure dal ltro è stato utilizzato un dispositivo della National Instruments: il DAQPad1200. Tale dispositivo comunica attraverso porta parallela IBM PC/XT/AT con il personal computer. Possiede 8 canali analogici di input che possono essere congurati come single ended oppure come dierenziali. La mappatura dei canali della DAC sulla morsettiera è rappresentata nella seguente gura: Figura 1.1: Schema morsettiera DAC I canali scelti per le nostre acquisizioni sono il canale 0 ed il canale 1. Si è ovviamente sfruttato anche il collegamento a massa sia per ciò che riguarda il segnale in ingresso, sia per quanto riguarda l'uscita. La risoluzione del convertitore analogico digitale è di 12 bit. Il range di tensioni in che è in grado di sopportare è compreso tra -5 volt e +5 volt (si può selezionare via software se tale range debba essere compreso tra 0 e 10 volt). 5

8 1.Strumenti utilizzati Per l'interfacciamento con il computer è stato usato il Matlab DAQ Toolbox, che consente di acquisire dei dati a partire da un oggetto che modella il sistema di acquisizione reale. E' possibile impostare parametri come il numero di canali per il trasferimento dei dati, il tempo di campionamento, il tempo di registrazione del segnale per l'elaborazione etc. I dati vengono successivamente memorizzati nel calcolatore per la successiva elaborazione. 1.4 Collegamenti I collegamenti tra i vari dispositivi sono fonti di rumore nel campo delle misurazioni. Durante quest'esperienza sono stati impiegati dei connettori BNC o anche detti connettori a baionetta. Tali connessioni dispongono di un ssaggio che ne impedisce l'allentamento nel tempo e che garantisce poca perdita di segnale. Inoltre i cavi utilizzati sono schermati, ovvero attenuano fortemente le interferenze dovute a sorgenti esterne. 6

9 Capitolo 2 Analisi del Sistema 2.1 Acquisizioni delle misure Per stabilire il segnale di ingresso più adatto al nostro obiettivo, sono state eettuate diverse acquisizioni di vari ingressi e di varie uscite. Per mostrare in maniera più ecace il funzionamento del ltro si é deciso di utilizzare un seno con sweep di 1 secondo e frequenza di partenza di 200 Hz. La frequenza di arrivo è stata scelta in relazione alla banda passante del ltro, ovvero per avere una risposta armonica rappresentativa del comportamento del sistema passa-basso abbiamo scelto una frequenza massima di 4KHz. Per misurare il segnale in uscita è obbligatorio impostare a priori dei parametri, come: Tempo di registrazione; Frequenza di campionamento Poichè l'algoritmo per il calcolo della risposta armonica prevede l'utilizzo della FFT(Fast Fourier Transform), il valore di campioni da elaborare deve essere una potenza di 2. Inoltre il numero di campioni nel tempo deve essere uguale al numero di campioni in frequenza. Di conseguenza si può denire il tempo di registrazione come: T r = N T s dove N = 2 q, e T s è il tempo di campionamento. 7

10 2.Analisi del Sistema Il tempo di registrazione è ulteriormente legato al valore della risoluzione che si vuole ottenere nel dominio della frequenza; più precisamente risulta esserne inversamente proporzionale. Un tempo di registrazione maggiore permette di avere una risposta armonica più descrittiva. Il valore di questo parametro non può però essere aumentato arbitrariamente; infatti bisogna tenere in considerazione il problema della velocità di trasferimento sul canale di comunicazione dei dati. Il software installato sul personal computer non è in grado di leggere i dati dal dispositivo tanto velocemente quanto questi vengono inviati: perciò la DAC è equipaggiata con un buer di 2048 campioni. Ma qualora venissero utilizzate frequenze di campionamento molto elevate, si rischierebbe di saturare il buer ed incorrere in un errore del tipo: Error event occurred at 10:21:56 for the object: nidaq1-ai.ni- DAQ: Because of system limitations, the driver could not read data from the device fast enough to keep up with the device throughput; the onboard device memory reported an overow error. Ad esempio con un tempo di registrazione di 1 sec il valore limite della frequenza di campionamento si aggira intorno a 9707 KHz. Come citato precedentemente, la frequenza massima che assume la sinusoide in ingresso al termine dello sweep è di 4KHz. Si rende necessario, per evitare il sopraggiungere del fenomeno dell'aliasing, avere una frequenza di campionamento di almeno il doppio (Nyquist); per cui il valore della frequenza di campionamento è stato impostato a 8192 KHz. Come si può notare tale valore è una potenza di 2; la scelta è stata fatta rispettando le limitazioni imposte dalla FFT Fast Fourier Tasform (FFT) Per il passaggio dal dominio temporale al dominio delle frequenze si è scelto di utilizzare la Fast Fourier Transform, poiché tale algoritmo risulta essere piuttosto veloce quando i segnali presi in esame sono limitati e campionati (come in questo caso). Infatti l'onere computazionale per il calcolo della serie di Fourier è dell'ordine O(N 3 ) operazioni; utilizzando l'algoritmo Fast Fourier Transform (FFT) l'ordine scende no a O(Nlog 2 N). 8

11 2.Analisi del Sistema L'algoritmo FFT richiede che il numero di campioni in un periodo del segnale sia pari al numero di campioni del segnale nel tempo (per esempio M = N = 512). In Matlab la FFT può essere utilizzata attraverso il comando t(.) Avendo eettuato delle misure di segnali, dobbiamo confrontarci con problematiche relative ai rumori introdotti dagli strumenti di misura. Come già citato, per attenuare le componenti del rumore si possono eseguire delle medie, in quanto esse eliminerebbero la parte casuale del segnale, cioè il rumore. 2.2 Spettri di densità di potenza Una volta svolte le acquisizioni, ne risultano diversi segmenti di segnale campionato aetto da rumore. Il tipico approccio utilizzato per ridurre l'eetto di tale disturbo sulle misure è quello di mediare le acquisizioni; in questo caso, tale operazione non può essere svolta nel dominio del tempo, poichè i segmenti acquisiti non sono sincronizzati. Per cui è ovvio che le operazioni di media dovranno essere svolte nel dominio della frequenza. La seguente gura mostra un esempio di ciò che si dovrebbe ottenere nel dominio della frequenza: Si può notare come la componente continua (intorno alle basse frequenze) è molto attenuata mentre la componente alle alte frequenze è consistente. Con il semplice metodo illustrato precedentemente, in realtà il risultato sperato non viene raggiunto. 9

12 2.Analisi del Sistema La componente alle basse frequenze risulta fortemente disturbata e le alte frequenze non sono così pronunciate quanto si attendeva. Una possibile spiegazione a questo fenomeno risiede nella posizione casuale di T r (Tempo di registrazione), ovvero tale posizione produce una fase casuale nel dominio della frequenza (calcolato tramite FFT), che causa il malfunzionamento della media. Per risolvere il problema, invece di considerare lo spettro di densità di ampiezza, viene utilizzato lo Spettro di Densità di Potenza del segnale. Tale operazione permette di eliminare le informazioni associate alla fase delle acquisizioni Stima della risposta armonica Sia quello in gura uno schema del sistema reale analizzato. Si può notare come il rumore inuisca sull'uscita misurata dal ltro. Ŵ (jω) = W (jω) + R(jω) U(jω) Il rapporto tra uscita ed ingresso non fornisce quindi una stima accurata della funzione di trasferimento W (jω) a causa del rumore r. È possibile, 10

13 2.Analisi del Sistema però, minimizzare l'errore indotto dal disturbo sull'uscita; tale risultato è ottenibile tramite le seguenti espressioni: e 2 (ω) = Li=1 R i (jω) 2 L e 2 M = 0 Da tali espressioni è possibile ricavare che la migliore stima della risposta armonica è data da Dove assumendo che Ŵ (jω) = Yi U i Ui Ui Φ uu (ω) = U(ω)U (ω) = U(ω) 2 Φ uy (ω) = U(ω)Y (ω) isulta che la stima della risposta armonica è calcolabile come rapporto tra il cross-spettro di potenza tra uscita ed ingresso e l'auto-spettro di potenza dell'ingresso Ŵ (jω) = Φ uy Φ uu. Concludendo si può riassumere il procedimento da svolgere nei seguenti passi: Step.1 Acquisire le misure Step.2 Applicare eventuali nestre Step.3 Operare la FFT Step.4 Calcolare Φ uy (ω) e Φ uu (ω) Step.5 Operare una media sui valori ottenuti allo Step.4 Step.6 Stimare Ŵ (jω) tramite il rapporto degli spettri di potenza. 11

14 2.3 Risultati Ottenuti 2.Analisi del Sistema L'obiettivo di questa tesina è la stima della risposta armonica di un ltro ad 1 KHz. La gura che segue mostra i diagrammi di bode rappresentanti il modulo e la fase di tale risposta: Si può notare facilmente che i diagrammi di bode ottenuti risultano affetti da pochissimo rumore; tale risultato è stato raggiunto tramite la scelta 12

15 2.Analisi del Sistema oculata delle nestre utilizzate per eliminare l'eetto bordo delle registrazioni (cfr. paragrafo sul Finestramento) ed al valore dei numeri di campioni presenti nei blocchi su cui sono state operate le medie. Dal diagramma del modulo è possibile vericare che l'eettiva banda passante del ltro è di 1KHz ed inoltre è visibile che il valore della risposta armonica per frequenze minori a quella di taglio è pari a 0. Per cui, essendo i valori dell'ordinata in db, qualsiasi segnale in ingresso con una frequenza più bassa di 1Khz viene riprodotto fedelmente in uscita. Non ci sono, o almeno non sono signicativi picchi di risonanza attorno a particolari frequenze. Un analisi molto importante sulla fedeltà delle misure acquisite, consiste nel calcolare il valore dell funzione di coerenza. I valori elaborati per le nostre acquisizioni sono riportati di seguito: Le frequenze comprese nel range che varia da [10 1 e ] (che racchiude anche la maggior parte delle frequenze di sweep della sinusoide di ingresso) risultano fortemente attendibili, poichè la funzione di coerenza per la maggior parte dell'intervallo è uguale a 1. Questi risultati mostrano come le scelte messe in atto si siano rivelate ecaci. 13

16 2.3.1 Finestramento 2.Analisi del Sistema Un punto critico nel calcolo delle medie è l'accostamento dei diversi segmenti. Quando il periodo di campionamento non è un multiplo del periodo del segnale campionato, è possibile che gli estremi dei segmenti non siano coerenti tra di loro. Per cercare di eliminare questo eetto bordo è possibile applicare una nestra temporale (Hanning, Hamming, Boxcar, etc.) per ogni segmento, al ne di rendere prominente la parte centrale rispetto agli altri elementi del segmento. Il confronto tra i diversi metodi di nestramento è stato eettuato in base alle principali caratteristiche delle tre nestre in esame: il Sidelobe rappresenta il valore dell'attenuazione tra il lobo principale ed il primo lobo secondario in db, il Decay è la velocità di decadimento dei lobi secondari (entrambe migliori se massime), la Bandwidth è la larghezza di banda del ltro a -3dB (idealmente minore possibile). Come visibile da tabella, si cerca un compromesso tra velocità di decadimento massima e larghezza di banda minima, in quanto esse sono direttamente proporzionali. Per via sperimentale, si è optato per la scelta sulla nestra di Hanning, con la quale si ottiene un maggior valore della funzione di coerenza, indice della bontà della stima della risposta armonica. 14

17 2.Analisi del Sistema La gura mostra i valori della funzione di coerenza applicando diversi metodi di nestramento. Il metodo che ha fornito il miglior risultato, è stato l'applicazione della nestra di hanning (curva 1), la quale pone il valore della funzione di coerenza pari ad 1 per un intervallo di frequenze maggiore rispetto alle altre curve. Un risultato peggiore è stato ottenuto dalla nestra di hamming (curva 2) mentre una funzione di coerenza bassa è stata fornita dalla nestra boxcar (curva 3). Tale confronto giustica la scelta eettuata. 15

18 Conclusioni L'algoritmo presentato in queste pagine per identicare la risposta armonica di un sistema appare notevolmente resistente a problematiche come la sincronizzazione di dierenti acquisizioni, la scelta di un tempo di registrazione non multiplo del periodo del segnale e gli eetti dei rumori sulle misure. Grazie al metodo utilizzato è stato possibile ottenere un risposta armonica precisa sia per quanto concerne la fase, sia per quanto riguarda il modulo. Tuttavia questa metodologia possiede dei limiti, come l'impossibilità di stimare i parametri che rappresentano il sistema reale. 16

19 Appendice In questa appendice viene riportato il codice in Matlab, commentato, che implementa sia l'algoritmo di acquisizione attraverso il DaqPad1200, sia l'algoritmo di elaborazione delle acquisizioni Algoritmo di acquisizione %Codice Matlab per l'implementazione di un software per l'acquisizione %di misure da un dispositivo della National Instrument %Creo l'oggetto Analog Input ai=analoginput('nidaq',1); %tempo di acquisizione (registrazione) duration=5; %numero di campioni al secondo samples=8192; %Deve essere compatibile con la %frequenza della %sinusoide in ingresso %Numero di campioni per Trigger samplestrigger=duration*samples; 17

20 Appendice %settaggio della proprietà InputType set(ai, 'InputType', 'SingleEnded'); %aggiunta dei canale di acquisizione addchannel(ai, 0:1) %settaggio della proprietà SampleRate set(ai,'samplerate',samples); %Variabile che contiene il valore della frequenza di campionamento %reale, ovvero quella estratta dall'oggetto analog input Fs=get(ai,'SampleRate'); %settaggio della proprietà Trigger set(ai,'triggertype','immediate'); %settaggio della proprietà SamplesPerTrigger set(ai,'samplespertrigger',samplestrigger); %settaggio del nome del file di log dei dati set(ai,'logfilename','file00.daq'); %settaggio della modalità di logging dei dati set(ai,'loggingmode','disk&memory'); %inizializzazione dell'acquisizione start(ai) %acquisizione dei dati data=getdata(ai); %Attesa della fine dell'acquisizione 18

21 Appendice waittilstop(ai,2); %eliminazione dell'oggetto Input delete(ai); %cancellazione degli oggetti e delle variabili dal workspace clear ai; %visualizzazione dei dati acquisiti su schermo figure('name','dati acquisiti dal primo canale del dispositivo','numbertitle','off'); plot(data(:,1)); figure('name','dati acquisiti dal secondo canale del dispositivo','numbertitle','off'); plot(data(:,2)); Algoritmo di elaborazione %Funzione per l'elaborazione dei campioni daq %chiamata alla funzione di acquisizione dei campioni %Dimensione del blocco su cui svolgere le medie 19

22 Appendice blocksize=512; %Indice utilizzato per il while i=0; %Ciclo while che divide ed effettua la traformata di Fourier sui blocchi %Fintanto che non ho diviso in blocchi tutti i campioni while ((i+1)*blocksize<samplestrigger) blocku(:,i+1)=data((i*blocksize)+1:(i+1)*blocksize,2); blocky(:,i+1)=data((i*blocksize)+1:(i+1)*blocksize,1); %Ogni blocco viene moltiplicato per la finestra di Hanning U(:,i+1)=fft(detrend(blockU(:,i+1)).*hanning(blockSize)); Y(:,i+1)=fft(detrend(blockY(:,i+1)).*hanning(blockSize)); %Aggiornamento dell'indice del ciclo i=i+1; end % % %Calcolo degli Psi per il metodo dei periodogrammi mediati Psi_UU=U.*conj(U); Psi_UY=U.*conj(Y); Psi_YY=Y.*conj(Y); Psi_UU_avg=mean(Psi_UU,2); Psi_UY_avg=mean(Psi_UY,2); Psi_YY_avg=mean(Psi_YY,2); % % %Calcolo della risposta armonica con il metodo dei periodogrammi mediati ArmonicResponse=Psi_UY_avg./Psi_UU_avg; 20

23 Appendice %Calcolo del "passo" in frequenza DeltaF=Fs/samplesTrigger; %Creazione dell'asse delle frequenze asse=linspace(0,(fs/2)-(deltaf/2),blocksize/2); figure('name','risposta armonica','numbertitle','off'); %Disegno della risposta armonica semilogx(asse,20*log10(abs(armonicresponse(1:blocksize/2)))); grid on; figure('name','fase','numbertitle','off'); %semilogx(asse,unwrap(angle(armonicresponse(1:blocksize)))) semilogx(asse,-180*angle(armonicresponse(1:blocksize/2))/pi); grid on; %Calcolo della funzione di coerenza CoherenceFunction=(abs(Psi_UY_avg.*Psi_UY_avg)./(Psi_UU_avg.*Psi_YY_avg)); figure('name','funzione di coerenza','numbertitle','off'); %Disegno della funzione di coerenza semilogx(asse,(abs(coherencefunction(1:blocksize/2)))); 21

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