Geometria della programmazione lineare

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1 Geometria della programmazione lineare p. 1/39 Geometria della programmazione lineare Mariantonia Cotronei Facoltà di Ingegneria Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria

2 Geometria della programmazione lineare p. 2/39 Insiemi convessi Si consideri lo spazio vettoriale n-dimensionale R n DEFINIZIONE. Un insieme X R n si dice convesso se x 1,x 2 X e λ [0, 1] si ha λx 1 + (1 λ)x 2 X. Risulta che un insieme è convesso se il segmento che unisce una coppia arbitraria di punti nell insieme è tutto contenuto nell insieme.

3 Geometria della programmazione lineare p. 3/39 Sottospazi e sottospazi affini DEFINIZIONE. Un sottoinsieme S R n chiuso rispetto alla somma vettoriale ed al prodotto scalare si dice sottospazio di R n. Ogni sottospazio S di R n può essere rappresentato come l insieme dei punti dello spazio che soddisfano ad un sistema di equazioni lineari omogenee, cioè S = {x R n : Ax = 0} dove A è una matrice (m,n); senza perdere di generalità, si supporrà che m n.

4 Geometria della programmazione lineare p. 4/39 DEFINIZIONE. La dimensione di un sottospazio S è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti contenuti in S. ESEMPIO. In R 3 l insieme S = {(x,y,z) : x + y + z = 0} rappresenta un sottospazio (con m = 1, n = 3). E facile vedere che i vettori linearmente indipendenti v 1 = [1, 1, 0], v 2 = [1, 0, 1] appartengono ad S e che non è possibile trovare tre vettori indipendenti in S. Quindi la dimensione di questo sottospazio è 2.

5 Geometria della programmazione lineare p. 5/39 Vale una proprietà che rende più semplice il calcolo della dimensione di un sottospazio. TEOREMA. La dimensione di un sottospazio S = {x R n : Ax = 0} è pari a n rango(a). Nell esempio precedente, il rango della matrice dei coefficienti A = [1, 1, 1] è pari ad 1 e, pertanto, la dimensione di S è 2.

6 Geometria della programmazione lineare p. 6/39 DEFINIZIONE. Un sottospazio affine è un sottoinsieme di R n ottenuto traslando un sottospazio. Equivalentemente un sottospazio affine è rappresentabile come un sottoinsieme S di R n che soddisfa un sistema di equazioni lineari (non necessariamente omogenee): S = {x R n : Ax = b}. La dimensione di un sottospazio affine è quella del sottospazio corrispondente (cioè quella del sottospazio ottenuto ponendo b = 0).

7 Geometria della programmazione lineare p. 7/39 DEFINIZIONE. La dimensione di un qualunque insieme E R n è la minima dimensione di un sottospazio affine che contenga E. Ad esempio, un insieme costituito da due punti distinti in R n, con n 1, ha dimensione 1, come pure ha dimensione 1 un segmento; un cerchio con raggio strettamente positivo ha dimensione 2, e così via.

8 Geometria della programmazione lineare p. 8/39 L insieme ammissibile di un problema di PL Ax = b x 0 è un sottoinsieme dello spazio affine {x : Ax = b} e pertanto avrà dimensione non superiore a n rango(a).

9 Geometria della programmazione lineare p. 9/39 Poliedri e polítopi Sia α R n un vettore non nullo e β un numero reale. DEFINIZIONE. Si definisce iperpiano il sottospazio affine di dimensione n 1: H = {x R n : α T x = β} Il vettore α si dice normale ad H. Per es., se n = 2 retta, se n = 3 piano.

10 Geometria della programmazione lineare p. 10/39 Un iperpiano suddivide lo spazio in due regioni convesse dette semispazi affini la cui espressione analitica è: H = {x R n : α T x β} H = {x R n : α T x β} Si può vedere che l orientamento del vettore α è verso l interno del semispazio affine H.

11 Geometria della programmazione lineare p. 11/39 Un sistema di disequazioni lineari Ax b rappresenta l intersezione di un numero finito di semispazi affini. DEFINIZIONE. L intersezione di un numero finito di semispazi affini è una figura convessa detta poliedro.

12 Geometria della programmazione lineare p. 12/39 L insieme ammissibile F di un problema di PL (in forma canonica): è un poliedro. F = {x R n : α T i x b i, i = 1,...,m, x 0}

13 Geometria della programmazione lineare p. 13/39 L insieme ammissibile F di un problema di PL (in forma canonica): F = {x R n : α T i x b i, i = 1,...,m, x 0} è un insieme convesso. Infatti, siano x,y F, λ F. Si ha: α T i [λx + (1 λ)y] = λα T i x + (1 λ)α T i y λb i + (1 λ)b i = b i e λx + (1 λ)y F λx + (1 λ)y 0

14 Geometria della programmazione lineare p. 14/39 DEFINIZIONE. Un poliedro P limitato e non vuoto è detto polítopo. (Limitatezza: esiste M > 0 tale che x < M per ogni x P, cioè P è contenuto in una sfera di raggio M.)

15 Geometria della programmazione lineare p. 15/39 L insieme ammissibile F di un problema di PL può essere: 1. un polítopo min{x 1 + x 2 : 0 x 1,x 2 1} 2. un poliedro illimitato min{x 1 + x 2 : 2x 1 + x 2 = 1} 3. un poliedro vuoto min{x 1 +x 2 : x 1 0, 0 x 2 1, x 1 +x 2 4, x 1 +3x 2 7}

16 Geometria della programmazione lineare p. 16/39 Esempio Si consideri l insieme ammissibile del seguente problema di PL in R 2 : x + y 0 x + y 1 x + 2y 6 y 4 x 2 x 0 y 0. Questo insieme è un polítopo che può essere rappresentato graficamente.

17 Geometria della programmazione lineare p. 17/ C 2 D 1 B A 0 O Come si può vedere dal grafico alcuni vincoli possono risultare ridondanti: nell esempio la regione ammissibile non cambierebbe se si eliminassero i vincoli y 0, y 4, x 2.

18 Geometria della programmazione lineare p. 18/39 Vertici ed estremi Si consideri ora un poliedro P di dimensione d. DEFINIZIONE. Una disequazione α T x β si dice valida per P se P {x R n : α T x β}.

19 Geometria della programmazione lineare p. 19/39 DEFINIZIONE. Data una disequazione α T x β valida per P, l iperpiano H = {x R n : α T x = β} si dice iperpiano di supporto per P se e solo se P H L insieme P H si chiama faccia del poliedro.

20 Geometria della programmazione lineare p. 20/39 I vincoli che definiscono un generico poliedro sono ovviamente diseguaglianze valide. Se con a T i e b i si indicano rispettivamente i coefficienti dell i-simo vincolo ed il corrispondente termine noto, si ha che l intersezione di ogni iperpiano della forma a T i x = b i con il poliedro P, se non vuota, costituisce una faccia; inoltre l intersezione di più facce di P è una faccia. DEFINIZIONE. Una faccia di dimensione zero (cioè un punto) si dice vertice mentre una faccia di dimensione 1 si dice spigolo. Una faccia di dimensione n 1 è detta faccia massimale.

21 Geometria della programmazione lineare p. 21/39 ESEMPIO (continuazione). I segmenti AB,BC,CD,DA sono spigoli (e anche facce massimali) del poliedro i cui vertici sono A,B,C,D. In particolare, lo spigolo AB può essere generato dalla disequazione valida x + y 1. Infatti la retta x + y = 1 interseca il poliedro lungo lo spigolo AB. L intersezione fra la faccia AB e la faccia AD corrisponde al vertice A. Tale vertice è una faccia di dimensione 0; può ad esempio essere generato dalla disequazione valida 2y 1.

22 Geometria della programmazione lineare p. 22/39 La retta 2y = 1 è di supporto al poliedro, e la sua intersezione con il poliedro è il vertice A. Il vincolo y 4 è naturalmente una disequazione valida, ma la retta y = 4 non interseca il poliedro: non costituisce pertanto un supporto e non definisce una faccia.

23 Geometria della programmazione lineare p. 23/39 DEFINIZIONE. Un punto x di un insieme convesso C si dice estremo se non è rappresentabile come combinazione convessa di alcuna coppia di punti distinti di C, cioè se non esistono y,z C, y z, tali che x = λy + (1 λ)z, per λ (0, 1) (cioè non si trova sul segmento che li congiunge) TEOREMA. In un poliedro P vertici e punti estremi coincidono. Per i poliedri si possono quindi usare indifferentemente i termini di vertice e di punto estremo.

24 Geometria della programmazione lineare p. 24/39 TEOREMA. Ogni punto di un polítopo si può ottenere come combinazione convessa dei suoi vertici, cioè se x 1,...,x k sono i vertici di un polítopo P e y P allora esistono λ 1,...,λ k 0, n i=1 λ i = 1 tali che y = n λ i x i i=1

25 Geometria della programmazione lineare p. 25/39 Teoremi fondamentali della PL TEOREMA. Se l insieme P = {x R n : Ax = b,x 0} delle soluzioni ammissibili di un problema di PL è limitato allora esiste un vertice di P ottimo. Dim. Siano i vertici di P e x 1,...,x k z = min{c T x i : i = 1,...,k}. Dato un qualunque y P, occorre dimostrare che c T y z.

26 Geometria della programmazione lineare p. 26/39 y P implica l esistenza di λ 1,...,λ k 0, con k i=1 λ i = 1 tali che y = k λ i x i. i=1 Si ha allora: c T y = c T k λ i x i = k λ i (c T x i ) k λ i z = z i=1 i=1 i=1 }{{} =1

27 Geometria della programmazione lineare p. 27/39 TEOREMA. Un punto x P è vertice del poliedro non vuoto P = {x R n : Ax = b,x 0} se e solo se x è una soluzione base ammissibile del sistema Ax = b. Dim. 1) x soluzione di base ammissibile x è un vertice Sia x = [x 1,...,x }{{ k,,0...,0] } >0 una soluzione di base ammissibile associata a qualche base B di A (k è il numero delle componenti non nulle di x). Ne consegue che le colonne A 1,...,A k devono far parte di B, insieme eventualmente ad altre colonne (in caso di soluzione degenere).

28 Geometria della programmazione lineare p. 28/39 Supponiamo per assurdo che x non sia un vertice. Esistono dunque con y z tali che per qualche λ (0, 1). y = [y 1,...,y k, 0,...,0] T P z = [z 1,...,z k, 0,...,0] T P x = λy + (1 λ)z (Si noti che sia y che z devono avere le ultime componenti a zero, altrimenti la loro combinazione convessa non potrebbe dare x).

29 Geometria della programmazione lineare p. 29/39 Per le ipotesi si ha allora: y P Ay = b A 1 y A k y k = b z P Az = b A 1 z A k z k = b Sottraendo la seconda equazione dalla prima si ottiene: (y 1 z 1 ) A }{{} (y k z k ) A }{{} k = α 1 A α k A k = 0 α 1 α k Esistono allora scalari α 1,...,α k non tutti nulli (dato che y z) tali che k i=1 α ia i = 0, pertanto le colonne A 1,...,A k sono linearmente dipendenti e non possono far parte della base B ( assurdo).

30 Geometria della programmazione lineare p. 30/39 2) x è un vertice x è soluzione di base (l ammissibilità deriva ovviamente dall ipotesi x P ). Supponiamo per assurdo che x non sia soluzione base del sistema Ax = b. Scrivendo come prima si ha che x = [x 1,...,x }{{ k, 0...,0] } >0 x P Ax = b A 1 x A k x k = b

31 Geometria della programmazione lineare p. 31/39 Se le colonne A 1,...,A k fossero linearmente indipendenti, allora selezionandone in modo arbitrario altre m k linearmente indipendenti si potrebbe ottenere una base B a cui corrisponderebbe proprio la soluzione x (che soddisfa Ax = b ed ha componenti fuori base nulle). Ma stiamo supponendo che x non sia soluzione di base, quindi si ha necessariamente che A 1,...,A k sono linearmente dipendenti α 1 A α k A k = 0 dove α 1,...,α k sono opportuni coefficienti non tutti nulli.

32 Geometria della programmazione lineare p. 32/39 Moltiplichiamo la precedente equazione per ε > 0: εα 1 A εα k A k = 0 e sommiamo ad essa l equazione A 1 x A k x k = b. Si ottiene (x 1 + εα 1 )A (x k + εα k )A k = b Sottraendo le due equazioni si ottiene invece (x 1 εα 1 )A (x k εα k )A k = b

33 Geometria della programmazione lineare p. 33/39 Si definiscano ora i punti y = [x 1 εα 1,...,x k εα k, 0,...,0] T z = [x 1 + εα 1,...,x k + εα k, 0,...,0] T per i quali vale ancora Ay = b, Az = b Scegliendo ε sufficientemente piccolo si ha y,z 0, e quindi y,z P, con y z.

34 Geometria della programmazione lineare p. 34/39 Si ha pure: x 1 = y 1 + εα 1 x 1 = z 1 εα 1 x 1 = 1 2 y z 1. x k = y k + εα k x k = z k εα k x k = 1 2 y k z k cioè x = 1 2 y z Questo vuol dire che il vertice x si può esprimere come combinazione convessa di altri due punti di P ( assurdo).

35 Geometria della programmazione lineare p. 35/39 COROLLARIO. Ogni problema min{c T x : Ax = b,x 0} definito su un polítopo P = {x R n : Ax = b,x 0} ha almeno una soluzione ottima coincidente con una base ammissibile. Dim. In virtù dei teoremi dimostrati si ha: esiste sempre una soluzione ottima coincidente con un vertice di P i vertici di P corrispondono a soluzioni di base ammissibili e dunque la tesi è immediata.

36 Geometria della programmazione lineare p. 36/39 Soluzione grafica dei problemi di PL I problemi di PL in R 2 o in R 3 possono essere rappresentati e risolti per via grafica (anche se non vi è nessuna reale utilità pratica). Per poter risolvere per via grafica un problema di PL in R 2 si può iniziare dalla rappresentazione grafica dell insieme ammissibile; successivamente si possono aggiungere al grafico alcune curve di livello della funzione obiettivo. In generale, per i problemi di PL la funzione obiettivo ha curve di livello esprimibili come H l = {x R n : c T x = l}. Tali curve sono quindi iperpiani, tutti paralleli fra loro, aventi il vettore dei costi c come normale.

37 Geometria della programmazione lineare p. 37/39 Il vettore normale c è orientato nella direzione del semispazio c T x l, cioè in direzione crescente della funzione obiettivo. Per risolvere graficamente un problema di PL si può quindi rappresentare il vettore dei costi c e disegnare una retta che abbia c come normale. Facendo scivolare tale retta parallelamente a se stessa fino ad incontrare l ultimo punto di P in direzione opposta a quella indicata da c si ottiene l ottimo del problema di PL.

38 Geometria della programmazione lineare p. 38/39 Esempio min x 1 2 y x + y 0 x + y 1 x + 2y 6 y 4 x 2 x 0,y 0. Le curve di livello sono quelle di equazione y = 2x 2l

39 Geometria della programmazione lineare p. 39/39 5 l= 2 l= 3 4 l= 1 3 C 2 D l=0 1 B A 0 c O Sono rappresentate le curve di livello a livello l = 0, 1, 2, 3. La curva a livello 3 è quella di livello minimo tra quelle che intersecano P. Si deduce quindi che il punto D è la soluzione ottimale del problema di PL dato.