Introduzione ai segnali (causali, regolari, di ordine esponenziale)... 2 Il segnale di Heavyside... 3 Definizione di trasformata di Laplace...

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1 Appunti di Controlli Automatici Capitolo - part I Traformata di aplac Introduzion ai gnali (cauali, rgolari, di ordin ponnzial)... Il gnal di Havyid... 3 Dfinizion di traformata di aplac... 3 PROPRIETÀ GENERAI DEA TRASFORMATA DI APACE... 5 inarità... 5 Proprità... 5 Olomorfia dlla traformata di aplac... 6 Smorzamnto nl tmpo... 7 Spotamnto nl tmpo... 7 Drivazion (dl ordin) nl tmpo... 8 Cao particolar: prnza di una dicontinuità... 8 Intgrazion nl tmpo... 8 gam tra l traformat di Fourir aplac... 9 Drivazion nl tmpo di ordin n... 9 Proprità di cala... Traformat di aplac di alcuni gnali notvoli... Drivazion nl dominio di aplac... Torma dl valor inizial... Torma dl valor final... Troncamnto di un gnal... 3 Il gnal rampa... 3 Empio... 5 Traformata di aplac di gnali priodici... 5 Orvazion... 6 Empio... 7 Empio... 7 Empio... 8 Empio... 9 Prodotto di convoluzion tra gnali... Prodotto di convoluzion tra gnali cauali... Succioni di gnali... 3 a funzion Sno Intgral... 3

2 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) Introduzion ai gnali (cauali, rgolari, di ordin ponnzial) Conidrrmo olo funzioni dl tipo f : R t C f(t) oia funzioni di variabil ral a valori compli. A qut funzioni i dà il nom di gnali. In particolar, conidrrmo olo i coiddtti gnali cauali: i dic ch un gnal è caual è nullo pr qualiai t<, oia quindi t < : f(t). E facil vrificar ch omm prodotti di gnali ono ancora di gnali. Tra i gnali cauali, ditinguiamo catgori molto importanti: una gnal caual i dic rgolar, pro un qualiai intrvallo limitato dlla rtta ral, in o il gnal prnta un numro finito di dicontinuità di pci, oia un numro finito di punti in ciacuno di quali itono finiti il limit initro il limit dtro di f(t), ma ono divri; un gnal caual i dic invc di ordin ponnzial itono un valor M> un valor ral α tali ch, pr t ufficintmnt grand, ia vrificata la rlazion f( t) M α t. In trmini analitici, ciò quival a dir ch it un numro ral γ tal ch lim t f(t) t γ Ovviamnt, tutt l funzioni limitat oddifano quta condizion pr γ. Pr i gnali cauali di ordin ponnzial, i può dfinir un ordin: i tratta dll trmo infrior di valori rali α ch oddifano la condizion f( t) M α t. Si è oliti indicar tal ordin con il imbolo α f. N.B. Quando conidriamo una qualiai funzion ral f(t) diciamo ch i tratta di un gnal, in dfinitiva intndiamo dir ch conidriamo qulla funzion ch è nulla prima di ch coincid con f(t) pr t>. Quto comporta una congunza important: conidriamo ad mpio la funzion co(t), ch in t val ; quta funzion, conidrata nl campo ral, oia pr t ch va da - a, è continua in t; al contrario, il corripondnt gnal, in t - val mntr in t val, pr cui prnta in t una dicontinuità. Divro è il cao, pr mpio, dl gnal in(t), il qual, invc, val comunqu in t pr cui è continuo in tal punto.

3 Traformata di aplac Il gnal di Havyid Un particolar gnal, molto util nlla pratica, è il coiddtto gnal di Havyid, ch i indica gnralmnt con H(t) d è dfinito nl modo gunt: H (t) t t < In primo luogo, i tratta di un gnal particolar, nl no ch ha part immaginaria nulla, oia è un gnal a valori rali; in condo luogo, è vidntmnt un gnal caual in quanto aum valor idnticamnt nullo prima di t; è anch un gnal rgolar, in quanto prnta un numro finito () di dicontinuità di prima pci; infin, è di ordin ponnzial in quanto è αt poibil trovar M> d α ral tali ch H(t) M : pr mpio, bata prndr M α, il ch ci dic, tra l altro, ch è l ordin dl gnal. Dfinizion di traformata di aplac Supponiamo di avr un gnal f(t) upponiamo in particolar ch ia rgolar di ordin ponnzial. Pr quto tipo di gnal ha no parlar dll oprator traformata di aplac, ch è dfinito nl modo gunt: F () [ ]() f (t) f (t) t dt a traformata di aplac è dunqu un oprator ch fa corripondr al gnal f(t) (oia una funzion compla di variabil REAE), una funzion compla nlla variabil compla. Non è dtto ch qull intgral convrga mpr, oia non è dtto ch, dato il gnal f(t), n poa in ogni cao trovar la traformata di aplac. Suit infatti il gunt critrio di itnza: Torma - Indicato con α f l ordin dl gnal f, la traformata di aplac di f it olo R()>α f. Quto torma dic in pratica ch l intgral di aplac ha no olo aumndo pr ipoti ch la variabil compla abbia part ral maggior dll ordin dl gnal in qution. Da un punto di vita grafico, quindi, il dominio di itnza (mglio dtto dominio di convrgnza) dlla funzion F(), nl piano di Gau (il piano di numri compli), è rapprntato dal mipiano a dtra di αf: 3

4 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) Piano di Gau Im() α f R() Dimotriamo quanto appna dtto. S è un numro complo, lo poiamo crivr nlla forma µjσ. Dato ch il gnal f(t) è pr ipoti di ordin ponnzial, itrà (in ba alla αt dfinizion) almno un numro ral α tal f (t) M. Smpr in ba alla dfinizion, appiamo ch l ordin α f dl gnal è l trmo infrior dll inim di tutti gli α ch oddifano qulla rlazion, pr cui α >α f. Pr ipoti, noi appiamo anch ch R()µ>α f: tra tutti i poibili α, nulla ci vita di cglir qullo tal ch α f < α < µ. Prmo tutto quto, pr dimotrar l itnza dll intgral di aplac dl gnal f(t), dobbiamo far vdr ch la funzion f(t) -t ammtt intgral improprio. Poiamo allora cominciar a crivr ch f (t) f (t) α t t ( ) t ( )t ( ) µ α µ M M M µ α t µ t Abbiamo dunqu trovato ch la funzion f(t) -t è maggiorata, in modulo, da una funzion ch ammtt intgral improprio, quto ci garantic ch lo ammtt anch a. N.B. Ritornando un attimo ulla dfinizion di traformata di aplac, gnaliamo ch, a volr r prcii, l itnza dlla traformata di aplac di un gnal f pr un fiato C ignifica prciamnt ch it finita la quantità lim T T f (t) Facciamo anch orvar un altra coa: in qull intgral, è vidnt ch non intrvngono in alcun modo i valori aunti dalla f prima di t, pr cui, in lina di maima, quti valori potrbbro r qualiai; la clta di conidrar invc olo gnali, cioè funzioni null prim di t, è dttata da altr ignz, non ultima qulla (ch aminrmo in guito) di riucir a dtrminar l prion di un gnal a partir da qulla dlla ua traformata. t dt 4

5 Traformata di aplac N.B. Tra l ipoti ulla f(t) prché n poa calcolar la traformata di aplac c è qulla pr cui f dv r rgolar, oia dv prntar un numro finito di dicontinuità di prima pci. Allora, dato ch il valor di un intgral non cambia il valor dlla funzion intgranda vin altrato in un numro finito di punti, poiamo fiar a notro arbitrio i valori di f ni punti di dicontinuità: in altr parol, talvolta potrmo prndr il limit dtro dlla f in qul punto, talaltra prndrmo il limit initro, talaltra ancora la mdia di du limiti. Concludiamo quta introduzion orvando ch l condizioni otto l quali una funzion f(t) è traformabil condo aplac ono abbatanza t, pr cui, in pratica, riultano oddifatt da qualunqu funzion dl tmpo ch rivta intr nll ambito dll analii di itmi. a condizion più important è ch f(t) ia nulla pr t< può r in gnr oddifatta mdiant una clta opportuna dll origin di tmpi. In raltà, la condizion f(t) pr t< non è trttamnt ncaria pr la traformabilità dlla funzion (i cui valori pr t< vngono comunqu ignorati nll oprazion di intgrazion), quanto pr la biunivocità dlla traformazion, in quanto, quando i gu l antitraformazion, i ottin comunqu una funzion nulla pr t<. Propriità gnrallii dlllla traformata dii apllac inarità a traformata di aplac di un gnal (rgolar di ordin ponnzial) è un oprator linar, oia vrifica mpr l gunti rlazioni: f (t) g(t) () f (t) () g(t) () [ ] [ ] [ ] [ f (t)]() a [ f (t)]( ) a dov f g ono gnali rgolari di ordin ponnzial a una qualiai cotant ral o compla. a dimotrazion di quta proprità i ffttua applicando mplicmnt la dfinizion di traformata di aplac ricordando la proprità di linarità dgli intgrali riptto alla omma d al prodotto pr cotanti. Proprità Data una funzion F(), condizion ncaria affinché a ia la traformata di aplac di un gnal f(t) è ch ia vrificata la rlazion lim F() R( ) 5

6 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) Nl cao la funzion F() non oddifi quta condizion, è poibil affrmar ch non i tratta dlla traformata di aplac di alcun gnal. Al contrario, qulla condizion è vrificata, quta poibilità it. a dimotrazion di quta proprità è abbatanza mplic. Pr dfinizion di traformata di aplac, poiamo crivr ch F () [ ]() f (t) f (t) t dt Dobbiamo allora far vdr ch la funzion compla F() coì dfinita è infinitima pr R(). Abbiamo intanto, in ba ad una nota proprità dgli intgrali, ch f (t) t dt f (t) t dt Prché n poa calcolar la traformata di aplac, il gnal f(t) arà crtamnt di ordin ponnzial: itrà allora almno un α ral tal ch α f( t) M t : poto allora µjω, poiamo crivr ch f (t) f (t) α t t ( ) t ( )t ( ) µ α µ M M M µ α t µ t, andando a otituir nlla rlazion di prima con gli intgrali, abbiamo ch t f (t) dt ( µ α )t M Qull intgral val M/(µ-α ), pr cui dduciamo ch dt lim F() µ M lim µ α µ Olomorfia dlla traformata di aplac Dtta F() la traformata di aplac di un gnal f(t), a è una funzion ch riulta olomorfa nlla rgion di itnza dll intgral di aplac, oia in A { C R() > α } Anch in quto cao la dimotrazion è abbatanza mplic. Applicando infatti l not quazioni di Cauchy-Rimann alla traformata di aplac dl gnal (di ordin ponnzial) f(t), ottniamo ch f 6

7 Traformata di aplac d d F() dµ dµ d d F() dω dω f (t) f (t) t t dt dt d f (t) dµ d f (t) dω t t ( ) dt f (t) ( t) ( ) t t ( ) dt f (t) ( jt) ( ) d d Da qui i dduc vidntmnt ch l quazion F() F(), è oddifatta dµ j dω pr qualiai nl piano complo; dato, prò, ch varia nll inim di dfinizion dlla traformata di aplac, dduciamo ch, pr qut ultima, il dominio di itnza qullo di olomorfia coincidono. dt dt Smorzamnto nl tmpo Sia dato il gnal f(t); i dfinic gnal morzato di f nl punto a il gnal g(t)f(t) at. Nll ipoti ch f ia di ordin ponnzial, anch g(t) lo è, pr cui è poibil calcolar anch pr qut ultimo la traformata di aplac: i ottin allora ch at (a )t ( a)t at [ ]() f (t) dt f (t) dt [ f (t) ]( a) f (t) Quindi, la traformata di aplac dl gnal morzato ( ) di f è pari alla traformata di f calcolata prò nl punto -a anziché nl punto. E vidnt ch tal traformata it olo pr R(-a)>α f. Spotamnto nl tmpo Dato mpr il gnal f(t), i dfinic gnal hiftato di f nl punto a il gnal g(t) H(t a)f (t a) Si tratta in pratica dl gnal f(t) tralato vro dtra di un tratto pari ad a. Nl cao ch f(t) ia di ordin ponnzial, lo è anch g(t) poiamo quindi calcolarn la traformata di aplac: [ a)f (t a) ] H(t a [ ]() f (t) () H(t a)f (t a) dov abbiamo vidntmnt poto Tt-a. t dt a f (t a) t dt f (T) (T a) dt Il trmin "morzamnto" è appropriato pr a numro ral ngativo, mntr, nlla proprità nunciata, a può r una qualiai cotant compla 7

8 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) Quta proprità motra dunqu com la traformata di aplac dl gnal hiftato di f ia il prodotto dl trmin -a (ch dipnd proprio dallo hift conidrato) pr la traformata dlla f. Drivazion (dl ordin) nl tmpo Sia dato il gnal f(t). Dirmo ch o è drivabil con continuità a tratti la ua drivata f (t) it pr t> trann un numro finito o numrabil di punti è una funzion continua a tratti. Supponiamo allora ch il gnal f goda di quta proprità ia inoltr rgolar di ordin ponnzial: otto qut ultima ipoti, i dimotra ch f (t) è a ua volta un gnal di ordin ponnzial prnd il nom di gnal drivato dlla f. Vdiamo allora quanto val la ua traformata di aplac: i ha ch t t t [ ]() f '(t) dt [ f (t) ] f (t) ( ) dt f (t ) [f (t)]() f '(t) Quindi, la traformata di aplac dl gnal drivato è pari alla omma di trmini: il primo è il prodotto di pr la traformata di f; il condo è il valor aunto da f nl punto t, cambiato prò di gno. Facciamo orvar una coa molto important: nl cao la funzion f non ia continua in tutto [,[, potrmmo comunqu calcolar la ua drivata d affrmar ch a è valida ni punti in cui è amma la drivazion; tuttavia, in quto cao non potrmo parlar di gnal drivato non potrmo applicar il riultato appna trovato. Cao partiicollar:: prnza dii una diicontiinuiità Nll t ipoti dlla proprità prcdnt, upponiamo ch il punto tα ia un punto di dicontinuità pr la funzion f(t). Dtta allora f (t) la drivata di f(t) (drivata ch è valida olo nll rgioni in cui è poibil calcolarla), i dimotra ch [f '(t)]() [f (t)]() [ f ( α ) f ( α )] E vidnt ch i trmini tra parnti tonda al condo mmbro ono qulli ch tngono conto dlla dicontinuità dlla f nl punto zα Intgrazion nl tmpo t Conidriamo un gnrico gnal f(t). Conidriamo inoltr la funzion f( x) dx, ch cioè aocia al notro gnal il uo intgral tra t. Quta funzion cotituic a ua volta un gnal, ch pr di più riulta di ordin ponnzial. Poiamo allora calcolarn la traformata di aplac. Pr farlo 8

9 Traformata di aplac conidriamo una funzion g(t) ch goda di du proprità: a dv r continua tal ch g (t)f(t). Calcolando la ua traformata di aplac, abbiamo ch [g'(t)]() [g(t)]() g(t ) [g(t)]() quindi ricaviamo ch [g(t)]() [g'(t)]() f [ (t)]() In altr parol, abbiamo concluo ch la traformata di aplac dll intgral di un gnal è pari al prodotto di / pr la traformata dl gnal to. Quindi, all oprazion di intgrazion la traformata di aplac fa corripondr la moltiplicazion pr /. gam tra l traformat di Fourir aplac Eit un intrant lgam tra la traformata di aplac di un gnrico gnal f(t) l intgral di Fourir di una funzion in qualch modo lgata a qullo to gnal. Infatti, i ha quanto gu: t H(t)f (t) dt t t [ ]() f (t) dt H(t)f (t) dt f (t) Poto ado µjω (nll ipoti ch µ>α f), abbiamo ch ( µ jω) t µ t jωt µ t [ ]() H(t)f (t) dt ( H(t)f (t) ) dt F[ H(t)f (t) ](j ω) f (t) Quindi la traformata di aplac dl gnal f(t) è pari all intgral di Fourir dlla funzion H(t)f(t) -µt Drivazion nl tmpo di ordin n Abbiamo in prcdnza vito a ch coa quival l oprazion di drivata prima riptto all oprator traformata di aplac. Ado vogliamo qui tndr il dicoro alla drivata n-ima. Cominciamo dalla drivata conda pr poi arrivar al cao gnral: i ha ch [f ' '(t)]() [f [f (t)]() '(t)]() f ' ( [ f ( ) f '( )] ) Si dduc allora la gunt rgola gnral: [ [f (t)]() f ( )] f ' ( ) 9

10 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) [f (t)]() [f (t)]() n n (n ) (n ) [ f ( ) f '( )... f ( ) f ( )] ( n ) n Quta proprità è di notvol utilità pratica quanto di tudiano l quazioni diffrnziali: infatti, è vidnt ch, applicando l'oprator traformata di aplac ad una quazion diffrnzial, di qualiai grado, nlla incognita f(t), l'quazion vin traformata in una quazion algbrica nlla incognita F(); una volta ricavata F(), mdiant una oprazion di "antitraformazion condo aplac" arà poibil trovar f(t). Proprità di cala Dato il gnal f(t), rgolar di ordin α, la ua traformata F(), è immdiato calcolari la traformata dl gnal f(t/a), dov a è una qualiai cotant ral: riulta infatti t f () [ f ()](a) a F(a) a dov la traformata ottnuta val olo pr R( ) > α / a. Traformat di aplac di alcuni gnali notvoli [ H (t)] () [ H (t a )] n [ H (t)t ] at [ H (t) ] n at [ H (t)t ] [ H (t) in( t) ] [ H (t) in( at )] [ H (t) co( t) ] a () n! () n () a n! () ( a ) n () a () a () a [ H (t) co( t) ]() R() > R() > R( a ) R() >

11 Traformata di aplac Facciamo orvar ch la quai totalità dll traformat di aplac di uo più corrnt nll analii di itmi linari i può ddurr dalla rlazion fondamntal n at n! [ t ]() n ( a) In quta rlazion, n è un gnrico numro intro poitivo, mntr a è una qualiai cotant ral o compla. Drivazion nl dominio di aplac Dato il gnal f(t), rgolar di ordin α, la ua traformata F(), vogliamo calcolar la drivata, di ordin k, di F(): applicando la dfinizion di traformata di aplac i ha ch, i ha ch d d k k k d F() d k k t k k ( ) ( f (t)t ) dt ( ) [ f (t)t ] k f (t) t dt d f (t) d k k t ( ) dt f (t)( ) k t k t dt Torma dl valor inizial Supponiamo di avr un gnal f rgolar di ordin ponnzial. Supponiamo ch i tratti anch di un gnal continuo, pr cui ha no parlar dl gnal drivato f (t). Supponiamo ch tal gnal ia anch o di ordin ponnzial, pr cui n poiamo valutar la traformata di aplac. Il torma dl valor inizial dic allora quanto gu: lim ) [f (t)]() f ( R( a dimotrazion è facil. a traformata di aplac dl gnal drivato f è la funzion G( ) F( ) f( ). Di quta funzion poiamo calcolar il limit pr R() in quanto it, in ba alla ipoti di continuità, il limit dlla f(). Tuttavia, G() è la traformata di un gnal di ordin ponnzial, pr cui è infinitima all infinito (proprità numro ()), oia i ha ch lim R() G() lim R() ) [ [f (t)]() f ( )] da qui vin fuori la ti.

12 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) Torma dl valor final Sia dato mpr il gnal f rgolar di ordin ponnzial. Supponiamo ch f(t) ia un gnal continuo con drivata prima continua a tratti (o gnralmnt continua). Nll ipoti ch itano ntrambi finiti i gunti limiti lim f (t) t lim F() quto torma affrma ch i dvono ncariamnt coincidr ( ). Prima ancora di aminar la dimotrazion, facciamo orvar ch l ipoti pr cui ita lim f( t) quival a upporr ch i poli dlla funzion F(), oia i t poli di F(), i trovino nl mipiano initro dl piano complo, il ch ignifica ch il itma dv r tabil (tutt al più i può avr un polo mplicmnt nll origin, vito ch F() vin moltiplicata pr ). Ad mpio quto torma i può applicar alla funzion F( ), mntr non può r applicato alla 4 funzion G( ) 4. Paiamo ado alla dimotrazion dl torma. itnza dl primo di qui du limiti ci dic ch la funzion f(t) è limitata pr t, oia ha ordin α f. Allora, pro un qualiai C tal ch R()>, poiamo calcolar la traformata di aplac dl gnal drivato f (t), oia [ ]() [ f (t)]() f ( ) f '(t) itnza dl condo limit, invc, ci dic ch il condo mmbro di qut ultima rlazion tnd ad un valor finito quando, pr cui lo to noi poiamo affrmar pr il primo mmbro: oia it finito D altra part, poiamo crivr ch lim [ f '(t)]() t [ ]( ) f '(t) dt f '(t)dt [ f (t)] [ lim f (t)] f () f '(t) quindi, uguagliando, abbiamo ch t [ ]( ) [ lim f (t)] f () [ lim F() ] f () f '(t) da cui caturic la notra ti. t Il trmin valor final indica vidntmnt il valor di f all. Quto torma fornic un critrio pr il calcolo di quto valor final, ma olo otto qull opportun ipoti, l quali garanticono l itnza di quto valor

13 Traformata di aplac Troncamnto di un gnal Prndiamo un qualiai punto α ral poitivo divro da zro conidriamo il gnal dfinito nl modo gunt: g( t) H( t) H( t a) Quto non è altro ch il gnal di Havyid troncato nl punto α, cioè il gnal ch coincid con qullo di Havyid fino al punto α poi riulta nullo. E molto facil trovari la traformata di aplac di quto gnal: i ha infatti, in ba all not proprità, ch α α [ H(t) H(t α) ]() Quto conctto di gnal troncato ci prmtt di far il gunt dicoro: upponiamo di avr un gnrico gnal f(t) upponiamo di r intrati olo al tratto di gnal compro nll intrvallo [α,β], con α β numri rali poitivi non nulli. Pr rapprntar analiticamnt quto tratto di gnal noi lo criviamo com f ( t) H( t α) H( t β ) [ ] Anch qui riulta facil il calcolo dlla traformata di aplac: [ [ H(t α) H(t β) ]() [ H(t α)f (t) H(t β)f (t)] f (t) α β α β [ α)f (t)]() [ H(t β)f (t)]() [ f (t)]() [ f (t)]() ( ) [ f (t)]() H(t () Il gnal rampa Si dfinic rampa il gnal r(t) t H(t) Mo otto quta forma, quto gnal ha rapprntazion grafica coincidnt con qulla dlla bittric dl 3 quadrant, oia la rtta paant pr l origin di cofficint angolar. utilità di quto gnal ta nl fatto ch connt di rapprntar analiticamnt, in modo fficac ai fini dl calcolo dlla traformata di aplac, gnali comunqu compli. Ad mpio, upponiamo di volr calcolar la traformata di aplac dl gunt gnal: f (t) t t t [,[ t [,[ t Dobbiamo trovar una comoda rapprntazion analitica pr quto gnal, ch graficamnt ha l aptto gunt: 3

14 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) Il tratto compro nll intrvallo [,[ coincid proprio con la funzion rampa; il condo tratto è invc il gmnto ch congiung (,) con (,), pr cui è un gmnto ch, riptto al prcdnt, part da (,) d ha cofficint angolar - ; l ultimo tratto è una mirtta ch coincid con l a dll aci. a rapprntazion analitica dl gnal arà allora f (t) r(t) r(t ) r(t ) Di quto gnal è immdiato trovar la traformata di aplac: [f (t)]() Facciamo comunqu notar ch allo to riultato è poibil arrivar fruttando il gnal drivato, ch it in quto cao in quanto la funzion f è continua a tratti. Tal gnal è prciamnt f '(t) t [,[ t [,[ t la ua rapprntazion analitica è f '(t) a ua traformata di aplac è H(t) H(t ) H(t ) [f '(t)]() quindi qulla di f(t) arà [f(t)]() (/)[f (t)]() dicontinuità 4

15 Traformata di aplac Empio Calcoliamo la traformata di aplac dl gnal il cui andamnto è riportato nlla figura gunt: Tutto ta a trovar una comoda rapprntazion analitica di quto gnal: poiamo ad mpio crivr ch f (t) a H(t) r(t) r(t a) a a da cui dduciamo ch F () a a a ( ) a a Traformata di aplac di gnali priodici Un gnal f(t) i dic ch è priodico di priodo T oltanto god dlla proprità pr cui f(tt)f(t) pr t, ch poi quival anch a f(t-t)f(t) t T. Quando i vuol ffttuar la traformata di aplac di un gnal priodico, è ovvio ch orgono di problmi con gli trumnti fino ad ora poti, pr il mplic fatto ch non è poibil trovar una comoda rapprntazion analitica dl gnal. E prciò util introdurr il conctto di gnal troncato di un gnal priodico. S T è il priodo dl notro gnal f(t), dirmo ch il gnal troncato di f in T è qul gnal f T (t) ch è idntico a f(t) nll intrvallo [,T] ch è nullo altrov: poiamo crivr prciò ch (t) f T f (t) t [,T] altrimnti Proviamo allora a calcolar la traformata di aplac di tal gnal: è ovvio ch quta rapprntazion non ci è affatto di aiuto; tuttavia, fruttando quanto dtto nl paragrafo prcdnt, poiamo crivr ch (t) f T f (t) [ H(t) H(t T) ] 5

16 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) quindi abbiamo ch [ (t)]() [ f (t) [ H(t) H(t T) ]() [ f (t) H(t) f (t) H(t T) ] f T T T [ H(t) ]() [ f (t) H(t T) ]() [ f (t)]() [ f (t)]() ( ) [ f (t)]() f (t) () da cui concludiamo ch [ f (t)] [ (t)] f T () T () In tal modo, la ricrca dlla traformata di aplac di un gnal priodico i riconduc alla ricrca di qulla dl uo gnal troncato. Orvaziion Soffrmiamoci ull ultima rlazion ottnuta: indicat con F() F T() l traformat di aplac ripttivamnt dlla f dlla f T, poiamo crivrla nlla forma F() F() a funzion F(), in quanto traformata di aplac, è una funzion olomorfa nlla rgion in cui it l intgral di aplac dlla f(t). vntuali ingolarità di quta funzion ono l t dlla funzion a condo mmbro l andiamo a ricrcar. ingolarità dlla funzion a condo mmbro ono da ricrcari tra catgori di punti: l ingolarità dlla funzion al numrator, oia F T(), gli zri dl dnominator. Pr quanto riguarda la F T(), a è dfinita olomorfa nlla rgion in cui it l intgral di aplac dlla funzion f T(t): tal intgral it pr ogni complo tal ch R()>α ft. Ci rv dunqu l ordin dlla f T: è vidnt ch l ordin è pari a -, pr cui F T() è olomorfa in tutto C. Quindi, l vntuali ingolarità dlla F() corripondono all radici dlla quazion - -T. Quti zri ono i punti C tali ch -T og() log j(arg()kπ) Ricordando ch log ch anch arg(), qut ultima rlazion divnta T kjπ,pr cui l ingolarità dlla F() ono mplicmnt i punti kjπ con k Z T Trattandoi di zri dl primo ordin pr il dnominator di punti rgolari pr il numrator, qut ingolarità ono poli dl ordin pr la funzion F(). Si nota anch ch i trovano tutti ull a immaginario, oia mancano dlla part ral. a concluion è dunqu ch la traformata di aplac di un gnal priodico è una funzion olomorfa in tutto C privato di un numro infinito di punti ch ono poli dl ordin i trovano tutti ull a immaginario. T 6

17 Traformata di aplac Il riultato invro non è mpr vro, ma lo è po: in altr parol, troviamo una funzion olomorfa l cui ingolarità i trovano tutt ull a immaginario, è molto probabil ch i tratti dlla traformata di aplac di un gnal priodico. Empiio Conidriamo la coiddtta onda quadra, oia il gnal f (t) n t < n, n altrimnti Si tratta di un gnal ch potrmmo dfinir cotant a tratti, nl no ch val u intrvalli altrnati di ampizza. Il priodo di quto gnal è T. Pr calcolarci la ua traformata di aplac, conidriamo il uo gnal troncato, ch arà (t) f t < altrimnti o poiamo rapprntar analiticamnt com f ( t) H( t) H( t ), pr cui abbiamo ch [ ] [ f (t)]() [ H(t) ]() [ H(t ) ]() f (t) () ( ) quta traformata è valida pr R()> in quanto quta è la condizion di itnza dlla traformata dl gnal di Havyid. Empiio Conidriamo il gunt gnal priodico: Si tratta di un gnal di priodo T. Pr applicar la formula rv la rapprntazion analitica dl uo gnal troncato: F() FT () T, ci 7

18 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) Dalla figura dduciamo ch tal gnal troncato è (t) f T mntr la ua traformata di aplac è r(t) r(t ) H(t ) FT () Poiamo prciò concludr ch la traformata di f(t) ha prion F() Empiio Conidriamo il gunt gnal priodico: priodo T Si tratta di un gnal di priodo T gnrico. Il uo gnal troncato è fatto nl modo gunt: 8

19 Traformata di aplac lo poiamo prciò crivr nlla forma (t) f T a ua traformata di aplac è dunqu FT () in ω ω T ( ω t) H(t) H t in ( ω t) H(t) H t [ H(t)in( ω t) ] H t in( ωt) ω ω T T ω ω T poiamo infin calcolar la traformata di f(t): T F() ω ω T T Empiio Conidriamo il gunt gnal priodico: 3 4 Si tratta di un gnal di priodo T4, il cui gnal troncato è fatto nl modo gunt: 9

20 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) 3 4 a rapprntazion analitica di quto gnal troncato è (t) f T quindi la ua traformata di aplac è r(t) r(t ) r(t 3) r(t 4) FT () ( ) Poiamo prciò concludr ch la traformata di f(t) ha prion F() 3 4 ( ) 4

21 Traformata di aplac Prodotto di convoluzion tra gnali Conidriamo l gunti funzioni rali gnrich: f : R R g : R R Si dfinic prodotto di convoluzion di qut du funzioni la gunt funzion: ( f *g)(t) f (t T)g(T) dt Anch non cndiamo ni dttagli, accnniamo al fatto ch quto tipo di intgral it olo l du funzioni conidrat oddifano dtrminat ipoti. Il prodotto di convoluzion è in dfinitiva un altro oprator, ch agic u du funzioni aociando ad la funzion, nlla variabil ral t, ch vin fuori dalla rioluzion di qull intgral. Sgnaliamo ch quto oprator god dll proprità commutativa, aociativa ditributiva, mntr invc non it l lmnto nutro: quto ignifica ch, data la gnrica f * h ( t) f( t). funzion f, non it alcuna funzion h:r R tal ch ( ) Prodotto dii convolluziion tra gnallii cauallii Il prodotto di convoluzion aum importanza particolar lo i collga all oprator traformata di aplac. Pr individuar quto lgam, cominciamo a vdr quanto val il prodotto di convoluzion tra du gnali cauali: la diffrnza con il cao dll du funzioni gnrich conidrat prima ta nl fatto ch i gnali cauali ono mpr nulli prima di zro. Vdiamo coa quto poa implicar. Siano f g du gnali cauali, oprattutto, rgolari. Calcoliamon il prodotto di convoluzion uando la dfinizion data prima: ( f *g)(t) f (t T)g(T) dt a variabil di intgrazion è la T: dato ch g è un gnal caual, prima di t è nulla, pr cui l trmo infrior di intgrazion può r cambiato in. Smpr dfinizion di gnal caual, la funzion f(t-t) è nulla pr t-t<, oia è nulla quando T>t: poiamo allora otituir anch l trmo uprior di intgrazion con t. Concludiamo quindi ch il prodotto di convoluzion tra du gnali cauali è dato da ( f *g)(t) f (t t T)g(T)dT Snza cndr nmmno qui in ultriori dttagli, accnniamo al fatto ch anch quto intgral it olo otto crt ipoti ull funzioni g f:

22 Appunti di Controlli Automatici - Capitolo (part I) tuttavia, i tratta di ipoti mno rigid gnrali riptto a qull ul prodotto di convoluzion di du funzioni gnrich. A quto punto, upponiamo ch i du gnali f g iano anch di ordin ponnzial: è poibil dimotrar ch anch il loro prodotto di convoluzion, ch abbiamo dtto r una funzion ral di variabil ral, è a ua volta un gnal di ordin ponnzial. E poibil allora calcolarn la traformata di aplac. A quto propoito, vogliamo dimotrar è il gunt torma: Torma - a traformata di aplac dl prodotto di convoluzion di du gnali (rgolari di ordin ponnzial) è pari al prodotto dll traformat di du gnali ti. Cominciamo ad applicar l dfinizioni di traformata di aplac di un gnal di prodotto di convoluzion di du gnali: [ ( ) ] t f *g (t) () f (t T)g(T)dT () f (t T)g(T)dT dt t Pr riolvr quto intgral, conidriamo il gunt dominio: E vidnt allora ch D [( f *g)(t)]() t < t < ( t,t) C D < T < t f (t T)g(T) t dtdt t f (t T)g(T) Quto dominio D ha la proprità di r normal ia riptto all a t (aci) ia riptto all a T (ordinat): infatti, i tratta dl dominio dlimitato dalla bittric dl primo quadrant (rtta Tt) dall a dll t. Poiamo allora applicar a qull intgral doppio l not formul di riduzion: [ ( ) ] t f *g (t) () dt f (t T)g(T) dt g(t)dt T Ponndo ado xt-t abbiamo ch T f (t T) (x T) T x [( f *g)(t)]() g(t)dt f (x) dx g(t) dt f (x) dx [ f (t)]() [ g(t) ]() Poiamo dunqu crivr, analiticamnt, ch [( f *g)(t)]() F()G() t dt t dtdt

23 Traformata di aplac Succioni di gnali Sia (f n(t)) n N una uccion di gnali coì fatti: (t) f n n H(t) H t n Calcoliamoci la traformata di aplac dl gnrico di quti gnali: [ (t)] f n () n H(t) H t () n H(t) H t () n n n Vdiamo coa uccd a quta traformata quando facciamo tndr n all infinito: vogliamo cioè vdr it quanto val lim f n [ (t)] n () lim n n n n Dato ch lim n n C, poiamo porr y/n crivr ch lim f n [ (t)] n () lim n y y quto è un limit notvol ch val attamnt. a funzion Sno Intgral Si chiama no intgral di t la funzion coì dfinita: i (t) t in T T dov T è una variabil ral. Si può dimotrar ch i tratta di un gnal di ordin ponnzial, pr il qual la traformata di aplac val [ ]() dt () () arctan() i(t) dt t π in T in t T t Autor: SANDRO PETRIZZEI -mail: andry@iol.it ito pronal: 3