Teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni. reali di una variabile reale.

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1 Capitolo 2 Toria dll intgrazion scondo Rimann pr funzioni rali di una variabil ral Esistono vari tori dll intgrazion; tutt hanno com comun antnato il mtodo di saustion utilizzato dai Grci pr calcolar l ara di figur gomtrich a contorno curvilino: crchio, lliss, sgmnto di parabola, cc,... Tal mtodo è noto allo Studnt fin dal lico pr cui non vogliamo qui parlarn di nuovo. In qusto Capitolo vogliamo invc: Esporr la toria dll intgrazion scondo Rimann pr funzioni rali di una variabil ral. Prima di iniziar l sposizion, diciamo qual è l ida ch sta alla bas di ogni toria dll intgrazion. 2.1 L ida di fondo Ogni toria dll intgrazion consist nl far du cos: I. Nl fissar un insim di funzioni ch chiamiamo famiglia di funzioni. 43

2 44 Capitolo 2. Intgrazion scondo Rimann II. Nl dar un procdimnto mdiant il qual si tnta di associar ad ogni funzion dlla famiglia considrata un numro. L funzioni (dlla famiglia considrata), all quali si risc ad associar tal numro, sono dtt funzioni intgrabili d il numro è chiamato intgral dlla funzion. L funzioni (dlla famiglia considrata), all quali non si risc invc ad associar alcun numro, sono dtt funzioni non intgrabili. S una funzion non appartin alla famiglia considrata, pr ssa non ha snso dir nè ch è intgrabil nè ch non lo è. Da quanto prmsso sgu ch una toria dll intgrazion diffrisc da un altra: o pr la famiglia di funzioni fissata, o pr il procdimnto usato. Vogliamo ora sporr la toria dll intgrazion scondo Rimann pr l funzioni rali di una variabil ral. 2.2 Toria dll intgrazion scondo Rimann Rimann fissa la famiglia di funzioni rali di una variabil ral l quali vrificano l sgunti ipotsi: 1. hanno pr dominio un intrvallo chiuso limitato [a, b] 2. sono limitat cioè è limitato il loro codominio 1. 1 Nlla famiglia di funzioni fissata da Rimann vi sono sia funzioni continu, sia funzioni con un numro finito di punti di discontinuità, sia funzioni con infiniti punti di discontinuità.

3 2.2 Toria dll intgrazion scondo Rimann 45 Il procdimnto dato da Rimann è qusto: Assgnata una funzion f : y = f(x), x [a, b] dlla famiglia fissata,si ffttua una dcomposizion D dl suo dominio [a, b] in n intrvalli parziali: I 1 = [x 0, x 1 ] I 2 = [x 1, x 2 ] I n = [x n 1, x n ] si considrano l n rstrizioni di f avnti pr domini i suddtti intrvalli. Siccom f è limitata, anch l su n rstrizioni considrat lo sono; siano rispttivamnt λ 1, λ 2,..., λ n i loro strmi infriori Λ 1, Λ 2,..., Λ n i loro strmi supriori 2. Una volta calcolati tali strmi, si costruiscano i du numri: s = λ 1 mis I 1 + λ 2 mis I λ n mis I n = = λ 1 (x 1 x 0 ) + λ 2 (x 2 x 1 ) + + λ n (x n x n 1 ) S = Λ 1 mis I 1 + Λ 2 mis I Λ n mis I n = = Λ 1 (x 1 x 0 ) + Λ 2 (x 2 x 1 ) + + Λ n (x n x n 1 ) ch prndono rispttivamnt il nom di somma infrior somma suprior di Rimann rlativ alla dcomposizion D. Pr ricordar la dipndnza di tali somm dalla funzion f dalla dcomposizion D, nl sguito l dnotrmo rispttivamnt con i simboli 2 Sicuramnt gli strmi λ 1, λ 2,..., λ n Λ 1, Λ 2,..., Λ n appartngono ai codomini dll rstrizioni di f s qust ultim sono funzioni continu.

4 46 Capitolo 2. Intgrazion scondo Rimann s(f, D) S(f, D) anziché con s S; scrivrmo quindi: s(f, D) = λ 1 (x 1 x 0 ) + λ 2 (x 2 x 1 ) + + λ n (x n x n 1 ) S(f, D) = Λ 1 (x 1 x 0 ) + Λ 2 (x 2 x 1 ) + + Λ n (x n x n 1 ) La rlazion ch sussist tra l somm s(f, D) S(f, D), rlativ alla stssa dcomposizion D, è ovviamnt qusta: s(f, D) S(f, D) ; (2.1) si ha il sgno = s la funzion f è costant in ogni intrvallo dlla dcomposizion D, cioè s l n rstrizioni di ssa avnti pr dominio gli intrvalli dlla dcomposizion sono costanti. Effttuat du dcomposizioni D D di [a, b] non è in gnral dtto ch risulti s(f, D) s(f, D ) S(f, D) S(f, D ). A mostrarclo è il sgunt smpio. Esmpio 2.1 Sia f : y = f(x) = { 0, s x [0, 1] d è razional 1, s x [0, 1] d è irrazional Tal funzion f appartin alla famiglia di funzioni fissata da Rimann in quanto: il dominio è l intrvallo [0, 1]. il codominio è l insim {0, 1} quindi ssndo un insim finito è anch limitato. Qualunqu sia la dcomposizion D di [0, 1] ch si ffttui, si ha: s(f, D) = 0 (x 1 x 0 ) + 0 (x 2 x 1 ) (x n x n 1 ) = 0 S(f, D) = 1 (x 1 x 0 ) + 1 (x 2 x 1 ) (x n x n 1 ) = x n x 0 = 1 0 = 1

5 2.2 Toria dll intgrazion scondo Rimann 47 Diamo intanto un primo torma circa la rlazion ch sussist tra l somm di Rimann rlativ a du dcomposizioni D D di [a, b] s è D più fina di D. Torma 2.1 Data una funzion f : y = f(x), x [a, b] dlla famiglia fissata da Rimann du dcomposizioni D D di [a, b], s: D è più fina di D allora: s(f, D) s(f, D ) S(f, D ) S(f, D) (2.2) Dimostrazion S ad smpio D è stata attnuata da D{x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n } con l insrimnto di un punto x tra i punti x 0 x 1, l somm s(f, D ) S(f, D ) si ottngono dall somm s(f, D) S(f, D) sostitundo rispttivamnt λ 1 (x 1 x 0 ) con λ 1 (x x 0) + λ 1 (x 1 x) Λ 1 (x 1 x 0 ) con Λ 1 (x x 0 ) + Λ 1 (x 1 x) Poiché di du strmi λ 1 λ 1 l uno è ugual a λ 1 l altro è maggior o ugual, si ha: da cui sgu: λ 1 (x 1 x 0 ) λ 1 (x x 0) + λ 1 (x 1 x) s(f, D) s(f, D ) In modo analogo si ragiona pr provar ch: S(f, D ) S(f, D) c.v.d. Poiché infinit sono l dcomposizioni D ch si possono ffttuar sul dominio [a, b] dlla funzion f d a ciascuna di ss rstano associat una somma infrior s(f, D) d una somma suprior S(f, D), siano rispttivamnt {s(f, D)} {S(f, D)} gli insimi da ss costituiti 3. Vogliamo indagar di quali proprità godono tali insimi. La chiav di tal indagin c la fornisc il sgunt torma. 3 Com ci ha mostrato l smpio 2.1, tali insimi possono ssr costituiti anch da un solo lmnto.

6 48 Capitolo 2. Intgrazion scondo Rimann Torma 2.2 Ogni somma infrior di Rimann è minor o ugual di ogni somma suprior. Dimostrazion Prs una somma infrior d una somma suprior, s provngono dalla stssa dcomposizion D di [a, b], pr la (2.1), la proprità è dimostrata. S provngono da du dcomposizioni distint ma confrontabili, pr la (2.2), anch in qusto caso la proprità è dimostrata. S provngono infin da du dcomposizioni distint ma non confrontabili, prsa una dcomposizion D più fina sia di D ch di D, smpr pr la (2.2), possiamo scrivr: s(f, D) s(f, D ) S(f, D ) S(f, D) s(f, D ) s(f, D ) S(f, D ) S(f, D ) da cui sgu immdiatamnt ch s(f, D) S(f, D ). Tal torma ci prmtt di concludr: c.v.d. 1. Ogni somma suprior di Rimann è un maggiorant pr l insim {s(f, D)} prtanto qust ultimo è limitato supriormnt. Il suo strmo suprior è quindi un numro ch chiamiamo intgral infrior di Rimann dlla funzion f dnotiamo con il simbolo f(x) dx ch si lgg intgral infrior stso ad [a, b] di ff di x in di x. 2. Ogni somma infrior di Rimann è un minorant pr l insim {S(f, D)} prtanto qust ultimo è limitato infriormnt. Il suo strmo infrior è quindi un numro ch chiamiamo intgral suprior di Rimann dlla funzion f dnotiamo con il simbolo f(x) dx ch si lgg intgral suprior stso ad [a, b] di ff di x in di x.

7 2.2 Toria dll intgrazion scondo Rimann 49 Tra gli intgrali infrior suprior di Rimann di una data funzion f sussist la rlazion vidnt: f(x) dx f(x) dx. (2.3) S nlla (2.3) val il sgno =, si dic ch la funzion f è intgrabil scondo Rimann; il comun valor dgli intgrali infrior suprior si chiama intgral di Rimann dlla funzion f si dnota con il simbolo: f(x) dx ch si lgg intgral stso ad [a, b] di ff di x in di x. Com nl caso dll intgral indfinito, anch qui la funzion f si chiama funzion intgranda; la lttra x, variabil di intgrazion; il simbolo dx nanch qui dnota un diffrnzial ma com vdrmo nl Capitolo 4, a volt è util pr la mmoria considrarlo com tal. Il simbolo dx non dnota un diffrnzial, ma, com vdrmo, in crti casi è util pr la mmoria, considrarlo com tal. Non bisogna crdr ch tutt l funzioni dlla famiglia fissata da Rimann siano intgrabili. Pr toglirsi tal illusion basta pnsar alla funzion dll smpio 2.1. Tal funzion appartin appunto alla famiglia fissata da Rimann poiché, qualunqu sia la dcomposizion D dl suo dominio [0, 1] ch si ffttua, si ha: s(f, D) = 0 S(f, D) = 1 gli insimi {s(f, D)} {S(f, D)} sono costituiti da un solo lmnto: Si ha allora: {s(f, D)} = {0} {S(f, D)} = {1}. sup{s(f, D)} = [0,1] f(x) dx = 0

8 50 Intgrazion scondo Rimann Essndo: inf{s(f, D)} = f(x) dx = 1. [0,1] [0,1] f(x) dx < [0,1] f(x) dx concludiamo ch tal funzion non è intgrabil. Poiché non tutt l funzioni dlla famiglia considrata da Rimann sono intgrabili, vin natural chidrsi quali di ss lo siano. I critri ch nuncrmo ci daranno la risposta! 2.3 Un critrio di intgrabilità Un primo critrio di intgrabilità, lgato alla dfinizion stssa di intgral, è sprsso dal sgunt torma: Torma Primo critrio di intgrabilità di Rimann Data una funzion f dlla famiglia considrata da Rimann, condizion ncssaria sufficint affinché ssa sia intgrabil è ch pr ogni ε > 0 sista una dcomposizion D ε di [a, b] tal ch risulti S(f, D ε ) s(f, D ε ) < ε. In simboli: ε > 0 D ε di [a, b] : S(f, D ε ) s(f, D ε ) < ε (2.4) Dimostrazion Ncssità - Poiché f è intgrabil si ha: sup{s(f, D)} = inf{s(f, D)} = dal fatto ch sia f(x) dx = sup{s(f, D)} f(x) dx ; pr la dfinizion di sup di un insim, si ha f(x) dx è il più piccolo di maggioranti l insim {s(f, D)} quindi

9 2.3 Un critrio di intgrabilità 51 comunqu si fissi un numro ε > 0 sist una dcomposizion D 1 di [a, b] ch gnra una somma infrior s(f, D 1 ) tal ch s(f, D 1 ) > f(x) dx ε (2.5) 2 cioè il numro f(x) dx ε 2 {s(f, D)}. non è un maggiorant dll insim Analogamnt dal fatto ch sia inf{s(f, D)} = f(x) dx pr la dfinizion di inf di un insim, si ha f(x) dx è il più grand di maggioranti l insim {S(f, D)} quindi comunqu si fissi un numro ε > 0 sist una dcomposizion D 2 di [a, b] ch gnra una somma suprior s(f, D 2 ) tal ch s(f, D 2 ) < f(x) dx + ε (2.6) 2 cioè il numro f(x) dx + ε 2 {S(f, D)}. non è un minorant dll insim Dall (2.5) (2.6) sgu ch: ( S(f, D 2 ) s(f, D 1 ) < f(x) dx + ε ) ( f(x) dx ε ) 2 2 cioè S(f, D 2 ) s(f, D 1 ) < ε (2.7) S dnotiamo con D ε una dcomposizion di [a, b] più fina sia di D 1 ch di D 2, poiché pr la (2.2) si ha: S(f, D 2 ) S(f, D ε )

10 52 Intgrazion scondo Rimann s(f, D 1 ) s(f, D ε ) il primo mmbro dlla (2.7) è maggior o ugual di S(f, D ε ) s(f, D ε ) quindi smpr dalla (2.7), sgu ch: cioè la (2.4). S(f, D ε ) s(f, D ε ) < ε Sufficinza - Dobbiamo provar ch s f vrifica la (2.4) allora è intgrabil cioè nlla (2.3) val il sgno di =. Poiché qualunqu sia la dcomposizion D di [a, b] ch si considri risulta S(f, D) f(x) dx s(f, D) f(x) dx si ha: f(x) dx f(x) dx S(f, D) s(f, D). (2.8) Siccom pr ipotsi fissato un numro ε > 0 sist una dcomposizion D ε di [a, b] tal ch S(f, D ε ) s(f, D ε ) < ε, dalla (2.8) sgu ch: f(x) dx Data l arbitrarità di ε, concludiamo ch quindi f è intgrabil. f(x) dx = f(x) dx < ε. f(x) dx c.v.d.

11 2.3 Un critrio di intgrabilità 53 Utilizzando tal torma com condizion sufficint di intgrabilità, possiamo provar i du tormi ch sguono. Torma 2.4 Tutt l funzioni continu dlla famiglia fissata da Rimann sono intgrabili. Dimostrazion Sia f : y = f(x), x [a, b] una di tali funzioni; pr dimostrar la sua intgrabilità basta far vdr ch è vrificata la (2.4). Poiché f è continua d il suo dominio è un intrvallo [a, b] (insim chiuso limitato), pr il torma di Hin-Cantor, è uniformmnt continua quindi: - Comunqu si fissi un numro positivo ε sist in corrispondnza un numro positivo δ ε tal ch in ogni intrvallo contnuto in [a, b] di ampizza minor di δ ε l oscillazion dlla rstrizion di f avnt pr dominio tal intrvallo è minor di ε. Fissato allora un numro ε > 0, sia D una dcomposizion di [a, b] di norma δ < δ ε ; si ha: S(f, D) s(f, D) = (Λ 1 λ 1 ) δ 1 + (Λ 2 λ 2 ) δ (Λ n λ n ) δ n ε δ 1 + ε δ ε δ n = = ε (δ 1 + δ δ n ) = ε (b a). Poichè ε è arbitrario, anch ε (b a) lo è quindi la (2.4) è vrificata. c.v.d. Ora ch abbiamo dimostrato l intgrabilità dll funzioni continu, la nostra indagin è rivolta sclusivamnt a scoprir quali dll funzioni dlla famiglia fissata da Rimann, avnti punti di discontinuità, sono intgrabili. Un primo risultato c lo fornisc qust altro torma.

12 54 Intgrazion scondo Rimann Torma 2.5 Tutt l funzioni monotòn dlla famiglia fissata da Rimann sono intgrabili. Dimostrazion Sia f : y = f(x), x [a, b] una di tali funzioni. Sappiamo ch pr ssa si possono prsntar tr casi: è una funzion continua è una funzion con un numro finito di punti di discontinuità è una funzion con una infinità numrabil di punti di discontinuità. Nl primo caso la funzion è intgrabil pr il torma 2.4, ngli altri du casi rsta da provar la sua intgrabilità. Limitiamoci a dimostrar il torma nll ipotsi ch f sia monotòna crscnt 4. Anch qui, com nlla dimostrazion dl torma prcdnt, farmo vdr ch è vrificata la (2.4). S fissiamo una qualunqu dcomposizion D{x 0, x 1,..., x n 1, x n } di [a, b], pr la crscnza dlla funzion f si ha: λ 1 = f(x 0 ), Λ 1 = f(x 1 ); λ 2 = f(x 1 ), Λ 2 = f(x 2 );... ; λ n = f(x n 1 ), Λ n = f(x n ) prtanto: S(f, D) s(f, D) = = (Λ 1 λ 1 ) (x 1 x 0 ) + + (Λ n λ n ) (x n x n 1 ) = = [f(x 1 ) f(x 0 )] (x 1 x 0 ) + + [f(x n ) f(x n 1 )] (x n x n 1 ) S δ è la norma dlla composizion D, poiché ogni intrvallo dlla dcomposizion ha ampizza δ, si ha: S(f, D) s(f, D) [f(x 1 ) f(x 0 )] δ + [f(x 2 ) f(x 1 )] δ + + [f(x n ) f(x n 1 )]δ = = {[f(x 1 ) f(x 0 )] + [f(x 2 ) f(x 1 )] + + [f(x n ) f(x n 1 )]} δ = = [f(x n ) f(x 0 )] δ = [f(b) f(a)] δ. 4 S f è monotòna non crscnt, dcrscnt o non dcrscnt la dimostrazion è analoga vin lasciata com srcizio allo Studnt.

13 2.4 Altri critri di intgrabilità 55 Ciò prmsso, s fissiamo un qualunqu numro ε > 0, sicuramnt ε risulta S(f, D) s(f, D) < ε s scgliamo δ <. f(b) f(a) La (2.4) è prtanto vrificata; ssndo ssa una condizion sufficint (oltr ch ncssaria) di intgrabilità, la funzion f è intgrabil. c.v.d. Rsta ora da indagar quali altr funzioni, dlla famiglia fissata da Rimann, avnti un numro finito o infinito di punti di discontinuità oltr a qull monotòn, sono intgrabili. Poichè nl critrio di intgrabilità sprsso dal torma 2.3 non si vd il ruolo ch giocano i punti di discontinuità nlla intgrabilità o mno di una funzion, si pon il problma di costruir altri critri di intgrabilità ov tal ruolo sia vidnziato. 2.4 Altri critri di intgrabilità Partiamo da una ossrvazion! Data una funzion f : y = f(x), x [a, b] dlla famiglia fissata da Rimann, sia ω f = Λ f λ f la sua oscillazion. Effttuata una qualunqu dcomposizion D dll intrvallo [a, b] in n intrvalli parziali ch dnotiamo con I 1, I 2,..., I n, siano rispttivamnt ω 1, ω 2,..., ω n l oscillazioni dll n rstrizioni di f avnti pr dominio gli n intrvalli dlla dcomposizion. Pr quanto abbiamo ricordato nl paragrafo 1.16 circa la rlazion ch sussist tra l oscillazion ω f di una funzion f qulla di una qualunqu rstrizion di ssa, si ha ω 1 ω f ; ω 2 ω f ;... ; ω n ω f. Considriamo ora la diffrnza S(f, D) s(f, D). Si ha: S(f, D) s(f, D) = = (Λ 1 λ 1 ) (x 1 x 0 ) + + (Λ n λ n ) (x n x n 1 ) = = ω 1 mis I 1 + ω 2 mis I ω n mis I n = n = ω i mis I i (2.9) i=1

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