Esercitazione VIII - Lavoro ed energia II

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1 Esercitazione VIII - Lavoro ed energia II Forze conservative Esercizio Una pallina di massa m = 00g viene lanciata tramite una molla di costante elastica = 0N/m come in figura. Ammesso che ogni attrito sia trascurabile, calcolare Di quanto deve essere compressa la molla perchè la pallina raggiunga la quota massima h = 2m. La velocità della pallina lungo il piano (dopo che si è staccata dalla molla) Le forze in gioco sono la forza elastica della molla, la forza peso e la reazione vincolare del piano. La reazione vincolare non è una forza conservativa ma non compie lavoro durante lo spostamento della pallina in quanto è sempre ortogonale allo spostamento. Perciò l energia totale del sistema si conserva, E = 0. Scegliamo il livello del piano come riferimento per l energia potenziale della forza peso. L energia iniziale E 0 della pallina coincide con l energia potenziale della molla compressa di un tratto x, E 0 = 2 ( x)2. Quando la molla si è decompressa e la pallina si stacca da essa e corre lungo il piano, l energia della pallina E è puramente cinetica E = 2 mv2. Quando la pallina arriva all apice della sua traiettoria la sua energia E 3 è puramente potenziale della forza peso

2 E 3 = mgh. Poiché l energia si conserva deve valere E 0 = E = E 3. Imponendo che E 0 = E 3 si ha 2mgh 2 ( x)2 = mgh x = = 0.63m. Si ricordi che la massa m va convertita in g, 00g = 0.g. Imponendo che E 0 = E e sfruttando la conoscenza di x si ha 2 ( x)2 = 2 mv2 v = x m = 6.3m/s. Forze non conservative Esercizio 2 Una pallina di massa m = 0.2g viene lanciata verticalmente verso il suolo da un altezza iniziale h 0 =.4m e con una velocità iniziale il cui modulo è v 0 = 5m/s. Calcolare a quale altezza h arriva la pallina dopo aver rimbalzato se nell urto col suolo perde 2J. L energia iniziale della pallina è E 0 = 2 mv2 0 + mgh 0 = 5.244J. L energia finale della pallina, quando arriva all apice della sua traiettoria dopo aver rimbalzato, è E = mgh. A causa dell urto col suolo l energia della pallina non si conserva e la variazione dell energia è E = 2J (si osservi il segno meno) E = E E 0 = mgh 2 mv2 0 mgh 0 h = h 0 + v2 0 2g + E mg =.7m. Si osservi che se l energia si fosse conservata (urto elastico, E = 0) si avrebbe avuto h = h 0 + v2 0 2g = 2.7m. Si osservi infine che se la pallina fosse stata fatta cadere da ferma (v 0 = 0) e l urto fosse stato elastico si avrebbe avuto h = h 0. 2

3 Esercizio 3 Un corpo di massa m = 4g è sottoposto ad una forza costante di modulo F = 35N la quale forma con l orizzontale un angolo ϑ = 25. Ammesso che il corpo parta da fermo e che percorra inizialmente un tratto orizzontale liscio di lunghezza l = 5m e poi un tratto orizzontale scabro di lunghezza s = 3m e µ = 0.2, si calcoli la velocità finale del corpo. La variazione di energia cinetica del corpo è data dal lavoro di tutte le forze in gioco, K = W. In quanto v 0 = 0 si ha 2 v f = m W. Nel tratto liscio le forze in gioco sono: la forza peso P, la reazione vincolare del piano N e la forza F. Nel tratto scabro le forze in gioco sono: la forza peso P, la reazione vincolare del piano N, la forza F e la forza d attrito F a. La forza d attrito è una forza costante, diretta in maniera opposta al moto e di modulo F a = µ(mg F sin ϑ). Dato che sia la forza peso che la reazione vincolare del piano non compiono lavoro, il lavoro delle forze è da cui Esercizio 4 v f = W = F (l + s) cos ϑ µ(mg F sin ϑ)s = 239J, 2 [F (l + s) cos ϑ µ(mg F sin ϑ)s] = 0.9m/s. m Una pallina di massa m = 00g viene lanciata tramite una molla di costante elastica = 0N/m compressa di x = 0.65m, come in figura. Per un tratto di piano lungo s = 0.7m fra la pallina e il piano c è attrito con µ = 0.2. Calcolare La velocità v con cui la pallina giunge nella zona in cui c è attrito. La velocità v 2 con cui la pallina esce dalla zona in cui c è attrito. La quota massima h raggiunta dalla pallina. L energia si conserva nel tratto che va dalla molla alla zona in cui c è attrito (tratto 0-) e nel tratto successivo alla zona in cui c è attrito (tratto 2-3). Nella zona in cui c è attrito (tratto -2) l energia non si conserva. 3

4 Introduciamo un sistema di coordinate come in figura. L energia all istante iniziale in cui la molla è compressa è E 0 = 2 ( x)2, in quanto la pallina è ferma, v 0 = 0, e per il livello di riferimento scelto anche y 0 = 0. Prima che la pallina entri nella zona in cui c è attrito la sua energia è E = 2 mv2. Poiché l energia si conserva nel tratto 0- la velocità v si trova imponendo E 0 = E, 2 ( x)2 = 2 mv2 v = x m = 6.5m/s. Si ricordi di convertire la massa in g! All inizio del tratto in cui c è attrito l energia cinetica della pallina è K = 2 mv2 = 2 ( x)2. Al termine del tratto in cui c è attrito l energia cinetica della pallina è K 2 = 2 mv2 2. La variazione di energia cinetica K = K 2 K coincide con il lavoro di tutte le forze in gioco nel tratto in cui c è attrito. Dato che l unica forza che compie lavoro in questo tratto è la forza d attrito, F a = µmg, si ha 2 mv2 2 2 ( x)2 = µmgs v 2 = m ( x)2 2µgs = 6.2m/s. L energia della pallina uscita dalla zona in cui c è attrito è E 2 = 2 mv2 2 = 2 ( x)2 µmgs. 4

5 Quando la pallina arriva alla quota massima y 3 = h la sua energia è E 3 = mgh, in quanto all apice della sua traiettoria la pallina è ferma. Nel tratto 2-3 l energia si conserva, imponendo E 2 = E 3 si ha Esercizio 5 2 ( x)2 µmgs = mgh h = ( x)2 µs = 2m. 2mg Una pallina di massa m = 0.2g viene lanciata da una molla di costante elastica = 5N/m compressa di x = 0.m. La pallina viaggia su un piano orizzontale passando su di una zona lunga s = 0.05m con cui ha un attrito µ = 0.3 e comprime infine una seconda molla con costante elastica 2 = 20N/m. Calcolare di quanto si comprime la seconda molla. Scegliamo come livello di riferimento del potenziale quello del piano su cui si muove la pallina: in questo modo l energia potenziale della forza peso della pallina è costantemente zero. L energia iniziale della pallina coincide con l energia della prima molla compressa, E 0 = 2 ( x ) 2 = 0.075J. L energia finale della pallina coincide con l energia della seconda molla compressa, E = 2 2( x 2 ) 2. A causa del passaggio sulla zona con attrito l energia della pallina non si conserva ma varia di una quantità pari al lavoro compiuto dalla forza d attrito lungo lo spostamento s, da cui E = 2 2( x 2 ) 2 2 ( x ) 2 = F a s = µmgs = J, x 2 = 2 ( x ) 2 2µmgs 2 = 0.07m. 5

6 Si osservi che se si elimina la zona in cui c è attrito (s = 0) si ottiene x 2 = x 2 = 0.09m. Si osservi infine che in assenza di attrito e nell ipotesi in cui le due molle siano uguali ( = 2 ) si ottiene x 2 = x. 6

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