Codici bifissi ed insiemi Sturmiani

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1 Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di Lure Specilistic in Mtemtic Codici ifissi ed insiemi Sturmini Studente Frncesco Dolce Reltore Prof. Antonio Restivo Anno Accdemico 2010/2011

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3 Für die Entwicklung der logischen Wissenschften wird es, ohne Rücksicht uf etwige Anwendungen, von Bedeutung sein, usgedehnte Felder für Spekultion üer schwierige Proleme zu finden. Per lo sviluppo delle scienze logiche è importnte trovre, senz lcun rigurdo sulle possiili ppliczioni, mpî cmpi di speculzione su prolemi difficili. Alex Thue Wir müssen wissen, wir werden wissen. Dvid Hilert

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5 Indice Introduzione viii 1 Nozioni preliminri Richimi lgerici Semigruppi, monoidi, gruppi, seminelli Morfismi Sottostrutture, quozienti, ideli Relzioni e congruenze Trsformzioni, zioni Genertori, grfo di Cyley Residuli, fttori Serie formli Prole, Linguggi, Codici Prole Ordine delle prole Prole infinite Plindrome Fttorizzzioni Linguggi Codici Prse ed interpretzioni Automi Automi, cmmini, linguggi riconosciuti Automi deterministici ed utomi completi Automi trim ed utomi semplici Automi minimli, monoide sintttico Automi invertiili, utomi di gruppo Insiemi fttorili Insiemi ricorrenti e prole ricorrenti Insiemi ricorrenti ed uniformemente ricorrenti Prole ricorrenti ed uniformemente ricorrenti Insiemi Sturmini v

6 vi INDICE Prole episturmine Insiemi Sturmini Codici prefissi in insiemi fttorili Codici ifissi in insiemi ricorrenti Prse Codici F-thin Nucleo, codice derivto Codici F-mssimli ifissi finiti Immgine e rngo di un prol Codici ifissi in insiemi Sturmini Crdinlità Periodicità Prole di ritorno Bsi di sottogruppi Gruppi Sintttici Gruppi di olonomi Rppresentzione di Schützenerger Gruppo fondmentle Relzioni di Green Gruppo di un codice ifisso Grdo di un gruppo sintttico Codici con nucleo vuoto Biliogrfi 99

7 Introduzione Tle tesi prende spunto dl lvoro di J. Berstel, C. De Felice, D. Perrin, C. Reutenur e G. Rindone rigurdnte lo studio dei codici ifissi in insiemi Sturmini in [1] e di risulti proposti d lcuni degli stessi utori nello studio dei gruppi sintttici in [12] e in [3] (nonché in [2] per un pnormic d insieme). L elorto è così suddiviso. Nel Cpitolo 1 sono contenute le nozioni preliminri. I tre mcrorgomenti che vengono ffrontti sono l Alger (Sezione 1.1), l Comintori delle Prole (Sezione 1.2) e l Teori degli Automi (Sezione 1.3). Sono qui presentti (ovvimente in mnier non esustiv) tutti gli rgomenti, e soprttutto tutte le notzioni, utili per sviluppre le nozioni dei Cpitoli successivi. Nel Cpitolo 2 si introducono i concetti di prole Sturmine, prole su un lfeto inrio non periodiche di complessità minim, e le prole episturmine, estensione l cso di lfeti finiti di crdinlità ritrri. Si riprendono nche i concetti di insiemi chiusi per prefissi e fttorili e si introducono quelli di insiemi ricorrenti, uniformemente ricorrenti e Sturmini. Questi formno un gerrchi discendente. Si ffront, quindi, lo studio insiemi prefissi contenuti dentro un insieme fttorile (Sezione 2.3) ed infine ci si concentr l cso di insiemi ifissi contenuti dentro insiemi ricorrenti (Sezione 2.4). Il Cpitolo 3 specilizz ncor di più i risultti del Cpitolo precedente studindo i codici ifissi dentro insiemi Sturmini. Qui sono presenti i principli risultti dell elorto, ovvero il Teorem dell Crdinlità (Teorem 3.1.3) ed il Teorem dell Bse Sturmin (Teorem 3.4.4) che crtterizz in termini di codici ifissi in insiemi Sturmini le si dei sottogruppi del gruppo liero. Infine il Cpitolo 4 è dedicto i gruppi sintttici. Alcuni dei risultti presenti rigurdno il grdo di un gruppo sintttico e sono ricvti d qunto dimostrto nel Cpitolo precedente. Vi è poi un ltro gruppo di risultti, rigurdnte i codici sintttici di codici con nucleo vuoto, che sfrutt le interpretzioni viste nel primo Cpitolo. vii

8 viii INDICE Un Congettur propost in form privt d C. Reutenur nel 2010, e postmi indipendentemente dl Prof. A. Restivo, ffermv che il Teorem dell Crdinlità (Teorem 3.1.3) fosse in un qulche senso invertiile, ovvero che fosse possiile dre un crtterizzzione delle prole Sturmine più generle di quell not. Il contro-esempio qui presentto (originle, con un semplificzione suggerit d D. Perrin) confut tle Congettur, lscindo però il prolem perto rispetto formulzioni più restrittive. Ringrzimenti. Mi è d oligo un ringrzimento l Prof. Antonio Restivo, reltore dell tesi, non solo per vermi indirizzto verso gli rgomenti dell tesi, m soprttutto per gli spunti di riflessione e i compiti per cs su congetture d dimostrre o confutre. Un ringrzimento v nche M. Dominique Perrin per i suoi suggerimenti semplifictori e per vermi ricordto che un mtemtico non serve costruire esplicitmente qulcos, st dimostrrne l esistenz. Grzie M. Jen-ÉricPinperlsudisponilitàecelerità nelrispondere lle mie richieste di iuto virtule. L stesur di un tesi prevede un lvoro sporco di scrittur e correzione. Per tle rgione ringrzio Lur Gimruno per i suggerimenti in GsTeXese ed Astrid Denro per i consigli estetici sull formttzione del documento. Infine un ringrzimento cloroso v Roerto Signorello che mi h iutto scovre errori/orrori tipogrfici in giro per queste pgine. V d sé che qulsisi eventule errore, si di contenuto che di form, è d imputre esclusivmente me. Frncesco Dolce Plermo, Mrzo 2012

9 Cpitolo 1 Nozioni preliminri Questo Cpitolo è dedicto lle nozioni silri di Alger (Sezione 1.1), Comintori delle Prole (Sezione 1.2) e Teori degli Automi (Sezione 1.3). L mggior prte degli rgomenti sono di livello elementre e sono qui riportti, oltre che per un utile ripsso, soprttutto per fissre l notzione. Per uno studio più pprofondito degli rgomenti si rimnd [10], [4] e [14]. 1.1 Richimi lgerici In quest Sezione si introducono le strutture lgeriche uste nell tesi semigruppi, monoidi, gruppi, seminelli ed ltre definizioni silri d esse legte. Di fondmentle importnz risulternno le nozioni di permutzione introdotte nell Sottosezione e quell di monoide e gruppo liero, nell Sottosezione Semigruppi, monoidi, gruppi, seminelli Si S un insieme. Un operzione inri su S è un funzione d S S in S. L immgine dell coppi (x, y) trmite quest funzione si dirà prodotto di x ed y e si denoterà come x y o, più spesso, come xy. Seguendo tle notzione l operzione inri srà dett moltipliczione. In lcuni csi si userà l notzione dditiv chimndo somm l immgine dell coppi (x,y) e denotndol x+y. Un operzione su S si dirà ssocitiv se per ogni x,y,z S si h (xy)z = x(yz). Srà dett invece commuttiv se per ogni x,y S si h xy = yx. Un coppi (S, ) è dett semigruppo se S è un insieme e è un operzione inri su S. Qundo non sussistono miguità sull operzione si dirà semplicemente che S è un semigruppo. Esempio

10 2 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI (N +, +) è il semigruppo degli interi positivi con operzione l usule somm di interi. (N + \{1}, ) è il semigruppo degli interi mggiori di 1 con operzione l usule prodotto di interi. All interno di un semigruppo vi sono degli elementi che godono di proprietà prticolri. Un elmento 1 di S è detto elemento neutro, o identità, dell operzione se per ogni x S risult x 1 = 1 x = x. È fcile dimostrre che se tle elemento neutro esiste esso srà unico. Chimeremo monoide un tripl (M,,1) dove (M, ) è un semigruppo ed 1èl elemento neutroperlsuoperzione. Anchein questocso, qundo non ci srnno miguità sull operzione e sull identità, diremo che M è un monoide. Esempio (N, +) è il monoide degli interi non negtivi con operzione l usule somm di interi ed elemento neutro 0. (N +, ) è il monoide degli interi non negtivi con operzione l usule prodotto di interi ed elemento neutro 1. Esempio PresounmonoideM,l insiemep(m)dituttiisottoinsiemi di M può essere dotto esso stesso dell struttur di monoide definendo come prodotto di due elementi X,Y M XY = {xy x X,y Y}. In tl cso l elemento neutro srà il singleton {1}. Se S è un semigruppo, si indicherà con S 1 il monoide dto d: S, nel cso S si già un monoide; S {1}, con 1 / S, se S non è un monoide, ed in tl cso l operzione di S si estenderà d S 1 definendo 1 s = s 1 = s s S 1. Esempio Il monoide dditivo N 1 +, h come supporto N + {0}. Esempio Considerimo B 2 il semigruppo dto delle mtrici 2 2 con elementi in {0,1} ed l più un 1. Il monoide B2 1 ottenuto considerndo nche l identità srà: {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} B =,,,,,

11 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 3 Ponendo 1 l mtrice identic, 0 l mtrice null, = ( ) ( ) ( , si ottiene = e = dunque essere riscritto come B 1 2 = {1,,,,,0}. ( ) e = ). Il monoide può Moltiplicndo gli elementi tr loro si ottengono le relzioni = = 0, = e =. Un elemento e di S è detto identità destr (risp. identità sinistr) di S se per ogni s S risult se = s (risp. es = s). Un elemento e di S è detto idempotente se e 2 = e. L insieme degli idempotenti di S di denot E(S). Osservzione Un elemento è un identità se e solo se è contempornemente identità destr e sinistr. Inoltre un identità destr(risp. sinistr) è necessrimente un idempotente. Un elemento 0 S è detto zero se per ogni s S si h 0 s = s 0 = 0. Anche in questo cso è fcile dimostrre che se un semigruppo possiede uno zero questo è unico. Inoltre è possiile dre l nozione di zero destro (risp. zero sinistro) per un elemento e S tle che se = e (risp. es = e). Se S è un semigruppo, si indicherà con S 0 il semigruppo dto d: S, nel cso S possegg già uno zero; S {0}, con 0 / S, se S non h zeri, ed in tl cso l operzione di S si estenderà d S 0 definendo 0 s = s 0 = 0 s S 0. Esempio Il monoide moltiplictivo N 0 +, h come supporto N + {0}. Un semigruppo srà detto nullo se possiede uno zero ed il prodotto di due qulsisi suoi elementi è zero. Per definire gli inversi isognerà porre prticolre ttenzione. Vi sono inftti due diverse definizioni di inverso: un clssic ed un ltr deole ust in teori dei Semigruppi. Si M un monoide. Dto un elemento x M, un elemento x di M si dirà inverso destro (risp. inverso sinistro) di x se xx = 1 (risp. x x = 1). Un inverso di x è un elemento x che è contempornemente inverso destro ed inverso sinistro. Dto un elemento x di un semigruppo S, un elemento x S si dirà inverso deole di x se xx x = x e x xx = x.

12 4 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Chirmente ogni inverso è un inverso deole, mentre il vicevers non sempre è verificto. Ad esempio, nel cso di un monoide finito si può dimostrre che ogni elemento h l più un solo inverso m può vere diversi inversi deoli. Un monoide (G,,1), o semplicemente G qundo srnno chiri operzione ed elemento neutro, tle che ogni suo elemento possiede un inverso è detto gruppo. In effetti è possiile dre un definizione equivlente più deole, in qunto è fcile vedere che un monoide è un gruppo se e solo se ogni suo elemento h un inverso destro ed un inverso sinistro. Nel cso di monoidi finiti l condizione si riduce ll esistenz del solo inverso destro (o del solo inverso sinistro). Si dimostr fcilmente che in un gruppo ogni elemento x h un unico inverso, che srà denotto come x 1. Esempio (Z, +) è il gruppo degli interi con operzione l usule somm di interi ed elemento neutro 0. (Q +, ) è il gruppo dei rzionli positivi con operzione l usule prodotto di interi ed elemento neutro 1. (Z/nZ, +) è il gruppo degli interi modulo n. Il numero di elementi in un semigruppo (risp. monoide, gruppo) è detto ordine del semigruppo (risp. del monoide, del gruppo). Esempio L ordine del gruppo Z/nZ è n. Un semigruppo (risp. monoide, gruppo) è detto commuttivo o Aelino se l su operzione è commuttiv. Esempio I semigruppi N + e N + \{1}, i monoidi N e N +, e i gruppi Z e Q + sopr definiti sono tutti Aelini. Il monoide P(M), con M monoide, invece, non è commuttivo. Un semigruppo S (risp. monoide) dotto di un relzione d ordine su S comptiile col prodotto, ovvero tle che per ogni x,y S e per ogni u,v S 1 si h l impliczione x y uxv uyv è detto semigruppo (risp. monoide) ordinto. Per enftizzre il ruolo di un relzione d ordine in un struttur lgeric S si userà l notzione (S, ). Esempio L ordine nturle degli interi non negtivi è comptiile con l ddizione, quindi N è un monoide ordinto.

13 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 5 Fin or imo studito strutture lgeriche con un sol operzione. Considerimo desso il cso in cui le operzioni presenti sino due. Un seminello è un qudrupl (T, +,, 0) tle che: (T, +,0) è un monoide commuttivo; (T, ) è un semigruppo; l moltipliczione è distriutiv rispetto ll ddizione, ossi per ogni s,t 1,t 2 T si h s(t 1 +t 2 ) = st 1 +st 2 e (t 1 +t 2 )s = t 1 s+t 2 s; per ogni s T si h 0s = s0 = 0. Anche in questo cso, qundo non vi srnno miguità sulle operzioni, diremo che T è un seminello. Nel cso in cui (T, +,0) si un gruppo Aelino, T srà detto nello. Nel cso nche l moltipliczione mmett un elemento neutro 1, e dunque (T, 1) si un monoide, il seminello (risp. nello) srà detto unitrio o con unità. Un seminello (risp. nello) è detto commuttivo se nche l moltipliczione è commuttiv. Esempio Preso un insieme X considerimo l insieme dei suoi sottoinsiemi P(X). Chirmente (P(X),, ) h un struttur di monoide commuttivo. Inoltre, seguendo qunto visto nell Esempio 1.1.3, P(X) può essere dotto dell struttur di monoide con operzione il prodotto di insiemi. Tle prodotto è distriutivo rispetto ll unione, ossi presi tre elementi L,L 1,L 2 P(X) si h: L(L 1 L 2 ) = LL 1 LL 2 e (L 1 L 2 )L = L 1 L L 2 L Dunque P(X) è un seminello unitrio Morfismi Un funzione tr due strutture lgeriche dello stesso tipo che preserv le operzioni è dett omomorfismo o, più semplicemente, morfismo. In prticolre un morfismo di semigruppi è un mpp ϕ d un semigruppo S d un semigruppo T tle che, per ogni s 1,s 2 S si i ϕ(s 1 s 2 ) = ϕ(s 1 )ϕ(s 2 ). Similmente un morfismo di monoidi è un morfismo di semigruppi ϕ d un monoide M d un monoide N tle che ϕ(1 M ) = 1 N.

14 6 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Anlogmente un morfismo di monoidi ordinti è un morfismo di monoidi ϕ che, in più, preserv l ordine, ovvero per cui si i l impliczione s 1 s 2 ϕ(s 1 ) ϕ(s 2 ). Infine un morfismo di gruppi è un morfismo di monoidi ϕ d un gruppo G d un gruppo H tle che per ogni s G si i ϕ(s 1 ) = ϕ(s) 1. Si dimostr fcilmente che ogni morfismo di semigruppi d un gruppo G d un gruppo H è nche un morfismo di gruppi. Un morfismo ϕ : S T è detto isomorfismo se esiste un morfismo ψ : T S tle che ϕ ψ = id T e ψ ϕ = id S. È noto che gli isomorfismo di sottogruppi (risp. monoidi, gruppi) sono tutti e soli i morfismi iettivi. Osservzione Qunto ppen detto non vle per i morfismi di monoidi ordinti. Considerrimo inftti due relzioni d ordine distinte e su uno stesso monoide M. L identità id M è un morfismo iettivo d (M, ) (M, ) pur non essendo un isomorfismo. In effetti, un morfismo di monoidi ordinti ϕ : M N è un isomorfismo se e solo se è un morfismo iettivo e per ogni x,y M si h l equivlenz tr x y e ϕ(x) ϕ(y). Due semigruppi (risp. monoidi, gruppi, monoidi ordinti) sono detti isomorfi se esistono due isomorfismi dll uno ll ltro. Un morfismo che v d un semigruppo (risp. monoide, gruppo, monoide ordinto) in se stesso srà detto endomorfismo. Un endomorfismo che è nche isomorfismo srà detto utomorfismo Sottostrutture, quozienti, ideli Alcuni sottoinsiemi di un struttur possono essere essi stessi dotti di struttr lgeric. Un sottoinsieme T di S è detto sottosemigruppo se è chiuso rispetto ll operzione, ovvero se per ogni s 1,s 2 T si h s 1 s 2 T. Tle ftto è esprimiile nche dll espressione TT T. Un sottoinsieme N M di un monoide M srà detto sottomonoide se è un suo sottosemigruppo e in più contiene l identità. Anlogmente un sottogruppo di un gruppo è un sottomonoide che contiene gli inversi di tutti i suoi elementi. Nel cso di sottogruppi useremo l notzione H G per indicre che H è un sottogruppo del gruppo G.

15 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 7 Esempio L insieme degli interi pri 2Z è un sottogruppo del gruppo dditivo Z, ovvero 2Z Z Osservzione Esistono monoidi contenuti in M che non sono suoi sottomonoidi, ovvero può cpitre che N M verifichi NN N m che si i 1 M 1 N. Esempio Considerimo il monoide M 2 (N) delle mtrici 2 2 d elementi in N, dotto dell usule moltipliczione rig per colonne, ed il suo sottoinsieme ) N = {( N è un monoide con identità ( ) N = 0 0 } N. ( ) = 1 M. Dunque N è un monoide pur non essendo un sottomonoide di M. Per ogni idempotente e di un monoide M, l insieme eme è un monoide contenuto in M. Esso è detto monoide loclizzto in e ed è il più grnde monoide contenuto in M d vere e come elemento neutro. Alcuni sottoinsiemi di un struttur possono vere un struttur più ricc. DtounmonoideM, l insiemedeglielementiinvertiili dim èungruppo detto gruppo delle unità di M. In generle un sottosemigruppo G di un semigruppo (risp. monoide) S è detto un gruppo in S se vi è un idempotente e G tle che G dotto dell operzione di S risulti un gruppo con identità e. Esempio Il singleton {1} formto dll sol identità è nlmente un gruppo in S per ogni semigruppo (risp. monoide) S. Il seguente risultto è un proprietà clssic dei gruppi in un monoide. Proposizione Sino M un monoide, G un gruppo in M ed m,n M due elementi tli che mn G. Allor ngm è isomorfo G. Dimostrzione. D mn G ricvimo l inclusione ngmngm ngm. L elemento e = n(mn) 1 m ngm è chirmente un idempotente e ngm è un monoide con e come elemento neutro. Inoltre, per ogni g G, l elemento h = n((mn) 1 g 1 (mn) 1 )m è l inverso di ngm. DunquenGm è un gruppo. Si verific fcilmente che l mpp f : G ngm dt d f(g) = n(mn) 1 gm è un isomorfismo tr i due gruppi. Riprenderemo nel Cpitolo 4 lo studio dei gruppi ll interno di un monoide.

16 8 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Osservzione Nel cso di gruppi finiti le strutture di sottosemigruppi e sottogruppi coincidono, ovvero ogni sottosemigruppo di un gruppo finito è un sottogruppo. È noto che i morfismi e gli inversi dei morfismi preservno le sottostrutture dei sottogruppi (risp. sottomonoidi, sottogruppi), ovvero se ϕ : S T è un morfismo di semigruppi (risp. monoidi, gruppi) ed S e T sono sottosemigruppi (risp. sottomonoidi, sottogruppi) rispettivmente di S e T, llor ϕ(s ) e ϕ 1 (T ) sono rispettivmente sottosemigruppi (risp. sottomonoidi, sottogruppi) di T e di S. Un sottomonoide N di un monoide M srà detto unitrio destr se è tle che u,uv M v M. Anlogmente si definisce l nozione di unitrio sinistr se u,uv M u M. Un sottomonoide N di un monoide M srà, invece, detto stile se, per ogni u,v,w M si h u,v,uw,wv N w N. Dto un grupppo G ed un suo sottogruppo H G chimeremo clssi lterli destre (risp. clssi lterli sinistre) di H gli insiemi dell form Hg = {hg h H} (risp. gh = {gh h H}) l vrire di g G. Si mostr fcilmente che due clssi lterli o sono disgiunte o coincidono. L indice [G : H] di un sottogruppo H G di un gruppo G è il numero delle clssi lterli destre disgiunte. Se K H G vle l formul [G : K] = [G : H][H : K]. (1.1) Dunque se H,K G sono due sottogruppi di indice d dello stesso gruppo e H K llor H = K. Sino S e T due semigruppi (risp. monoidi, gruppi, monoidi ordinti). T è detto essere un quoziente di S se esiste un morfismo suriettivo d S in T. Altri sottoinsiemi notevoli di un struttur sono gli ideli. Si S un semigruppo (risp. monoide). Un sottoinsieme R di S è detto idele destro se RS R, ovvero se per ogni r R e per ogni s S risult rs R. Simmetricmente, un idele sinistro è un sottoinsieme L di S tle che SL L. Un idele I è un sottoinsieme di S che è contempornemente idele destro e sinistro. Osservzione Equivlentemente si può definire idele di un semigruppo (risp. monoide) S un sottoinsieme I tle che per ogni s I e per ogni x,y S 1 si i xsy I, ovvero se SIS I. Osservzione Ogni intersezione di ideli (risp. ideli destri, ideli sinistri) è ncor un idele. L idele (risp. idele destro, idele sinistro) generto d un sottoinsieme R di un semigruppo (risp. monoide) S è il più piccolo idele (risp. idele

17 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 9 destro, idele sinistro) di S contenente R; questo è dto d S 1 RS 1 (risp. RS 1, S 1 R). Un idele è detto principle se è generto d un solo elemento. Osservzione L idele(risp. idele destro, idele sinistro) generto d un idempotente e è ugule SeS (risp. es, Se) nche se S non è un monoide. Inftti d e = eee si ottiene S 1 es 1 = SeS. È noto che i morfismi suriettivi e gli inversi dei morfismi preservno l struttur di idele (risp. idele destro, idele sinistro). Un idele I di un semigruppo S è detto minimle se per ogni idele non vuoto J di S si h l impliczione J I J = I. Un semigruppo h l più un idele minimle. Inftti sino I 1 ed I 2 due ideli minimli di un semigruppo S. Per l Osservzione I 1 I 2 è nch esso un idele e nlmente I 1 I 2 I 1. Dll minimlità di I 1 si ricv I 1 I 2 = I 1. Anlogmente si ottiene I 1 I 2 = I 2 e dunque I 1 = I 2. Vi sono due csi notevoli in cui sicurmente esiste un idele minimle: qundo S è finito e qundo S possiede uno zero. In quest ultimo cso un idele non vuoto I 0 tle che per ogni idele J I di S si i J = 0 o J = I è detto idele 0-minimle. Osservzione Mentre l idele minimle se esiste è unico, un semigruppo (risp. monoide) può vere più ideli 0-minimli. Esempio Si S = {0,,} il semigruppo con operzione xy = 0 per ogni x,y S. L idele minimle di S è {0}, mentre si {0,} che {0,} sono due ideli 0-minimli. Un gruppo in un monoide è contenuto in un unico idele, ovvero dti un monoide M, un suo idele I ed un gruppo G contenuto in M si h G I = o G I. Inftti, se x G I, llor per ogni g G si h g = x 1 xg I Relzioni e congruenze Si S un semigruppo (risp. monoide, gruppo). Un congruenz su S è un relzione di equivlenz stile su S, ovvero per ogni s,t S e per ogni u,v S 1, si h l impliczione s t = usv utv. Si può dotre l insieme delle clssi di equivlenz S/ di un struttur nturle di semigruppo (risp. monoide, gruppo) e l funzione che mnd ogni elemento s S nell su clsse di equivlenz [s] è dett proiezione cnonic ed è un morfismo d S in S/. Dimo di seguito due importnti esempi di congruenze.

18 10 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Esempio Si C S un sottoinsieme di un semigruppo (risp. monoide) S. L relzione di equivlenz C su S per cui s C t se e solo se per ogni x,y S 1 si i è un congruenz. xsy C xty C L congruenz definit nell Esempio è dett congruenz sintttic di C ed il semigruppo (risp. monoide) quoziente S/ C è detto semigruppo sintttico di C. Nel cso in cui C = S si ometterà l dizione di C. Esempio Siϕ : S T unmorfismodisemigruppi(risp. monoidi). L equivlenz ϕ su S definit d è un congruenz. s ϕ t ϕ(s) = ϕ(t) L congruenz definit nell Esempio è dett congruenz nuclere di ϕ e gode dell seguente en noto proprietà. Proposizione (Primo Teorem d Isomorfismo). Si ϕ : S T un morfismo di semigruppi (risp. monoidi, gruppi) e si π : S S/ ϕ l proiezione cnonic. Esiste un unico morfismo di semigruppi (risp. monoidi, gruppi) ϕ : S/ ϕ T tle che ϕ = ϕ π. Inoltre ϕ è un isomorfismo tr S/ ϕ e ϕ(s) Trsformzioni, zioni Un trsformzione (risp. trsformzione przile) su un insieme Q è un funzione (risp. funzione przile) d Q in se stesso. Un trsformzione iettiv è dett permutzione. Per indicre un trsformzione s su un insieme Q di crdinlità n si userà un mtrice 2 n in cui in ogni colonn compiono nelle due righe rispettivmente gli elementi di Q e le immgini ttrverso s. Nel cso di trsformzioni przili useremo il simolo nell second rig nel cso l immgine dell elemento corrispondente si l insieme vuoto. Esempio Si Q = {,,c,d,e}. L funzione ( c d e e d è un trsformzione totle su Q. )

19 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 11 L funzione ( c d e e d d è un trsformzione przile su Q. L funzione è un permutzione su Q. ( c d e c e d Se l insieme Q è ordinto e qulor non sussist miguità si scriverà soltnto l second rig. Esempio Ordinndo l insieme Q dell Esempio ponendo < < c < d < e possimo riscrivere le tre trsformzioni rispettivmente come (ed), (e dd) e (ced). Si Q un insieme e si S un semigruppo (risp. monoide, gruppo). Un zione destr di S suqèunfunzioneq S Q, denott (q,s) q s, tle che per ogni s,t S e per ogni q Q si i (q s) t = q (st). Un zione srà dett fedele se q s = q t q Q = s = t. Un semigruppo di trsformzioni (risp. monoide di trsformzioni, gruppo di trsformzioni) su Q è un semigruppo S dotto di un zione fedele di S su Q. Un monoide (risp. gruppo) di trsformzioni S su Q si dirà trnsitivo se per ogni p,q Q esiste un g S tle che p g = S. Dto S un semigruppo (risp. monoide) di trsformzione su Q, l relzione di equivlenz ) ) s t = q s = q t q Q è un congruenz su S. Tle zione induce un zione fedele sul semigruppo (risp. monoide) quoziente S/. Il risultnte semigruppo (risp. monoide) di trsformzione (Q, S/ ) è detto semigruppo (risp. monoide) di trsformzione indotto dll zione di S su Q. Esempio Ogni semigruppo S definisce nlmente un semigruppo di trsformzioni (S 1,S) dto dll zione fedele q s = qs. Il semigruppo di tutte le trsformzioni su un insieme Q si denot con T(Q), quello di tutte le trsformzioni przili con F(Q) e quello delle permutzioni su Q con S(Q). Quest ultimo è, in effetti, un gruppo ed è chimto gruppo simmetrico dell insieme Q.

20 12 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Nel cso prticolre Q = {1,2,...n} vengono uste nche le notzioni T n,f n ed S n. Tli semigruppi di trsformzioni sono di fondmentle importnz nello studio dei semigruppi. Vle inftti il seguente risultto. Proposizione Ogni semigruppo S è isomorfo d un sottosemigruppo di T (S 1 ). In prticolre, ogni semigruppo finito è isomorfo d un sottosemigruppo di T n per qulche n. Cyley h dimostrto un simile risultto per i gruppi. Teorem (Teorem di Cyley). Ogni gruppo G è isomorfo d un sottogruppo di S(G). In prticolre ogni gruppo finito è isomorfo d un sottogruppo di S n per qulche n. Dto G un gruppo di permutzioni su un insieme Q si definisce grdo di G l crdinlità di Q. Proposizione Sino G un gruppo di permutzioni trnsitivo su un insieme Q e p Q. Il sottogruppo H G di permutzioni che fissno p h indice Crd(Q). Dimostrzione. Per ogni q Q esisterà, essendo G trnsitivo, un elemento g q G tle che p g q = q. Per ogni ltro g G tle che p g = q si vrà p ggq 1 = p il che implic ggq 1 H d cui g H gq. Dunque ogni g G è in un clsse lterle H gq con q Q. Essendo tli clssi lterli due due disgiunte il loro numero è esttmente Crd(Q). Due gruppi di permutzioni G su un insieme R ed H su un insieme S srnno detti equivlenti se esiste un iezione β : R S ed un isomorfismo σ : G H tle che β(rg) = β(r)σ(g) g G,r R, (1.2) ovvero se il digrmm in Figur 1.1 è commuttivo per ogni g G. R g R β β S σ(g) Figur 1.1: G ed H, gruppi di permutzioni rispettivmente su R e su S, sono equivlenti. S

21 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 13 Un gruppo di permutzioni G srà detto regolre se tutti gli elementi g G\{1 G } sono privi di punto fisso, ovvero se q g = q per qulche q Q = g = 1 G. Proposizione Un gruppo di permutzioni trnsitivo e Aelino è regolre. Dimostrzione. Si g G un elemento vente un punto fisso p Q, ovvero tle che pg = p. Mostrimo che g = 1 G, ovvero che per ogni q Q si h qg = q. Poiché G trnsitivo esisterà un h G tle che p = qh. Dll Aelinità di G ricvimo q(hg) = q(gh) = (qg)h = qh ed essendo h è un permutzione ciò implic qg = q Genertori, grfo di Cyley Dto un sottoinsieme A di un semigruppo S, il sottosemigruppo di S generto d A è il più piccolo semigruppo di S contenente A. Esso si denot con A ed è ottenuto intersecndo tutti i sottogruppi di S contenenti A, ovvero considerndo tutti i possiili prodotti 1 2 n di elementi di A. In mnier simile, dto un monoide M ed un suo sottoinsieme A si definisce sottomonoide generto d X il sottosemigruppo generto d A con l ggiunt dell identità 1 S. Nel cso di un gruppo G, il sottogruppo generto d A G è definito nlgomente ed è formto d tutti i prodotti 1 2 n dove gli i sono o elementi di A o inversi di elementi di A. Un semigruppo (risp. monoide, gruppo) generto d un insieme A srà detto A-generto. Dto un monoide (risp. gruppo) A-generto M, si definisce grfo di Cyley destro di M il grfo che h per vertici gli elementi di M e per lti le triple (m,,m) con m M e A. In mnier nlog si definisce grfo di Cyley sinistro di M il grfo che h per vertici gli elementi di M e per lti le triple (m,,m) con m M e A. In Figur 1.2 è rppresentto il grfo di Cyley destro del monoide B 1 2 visto nell Esempio Un semigruppo (risp. monoide, gruppo) generto d un solo elemento è detto semigruppo ciclico (risp. monoide ciclico, gruppo ciclico). Ovvero S è ciclico se è dell form S = { n n N} con, nel cso S possegg un identità, 0 = 1. Se S è un semigruppo ciclico infinito (risp. monoide ciclico infinito, gruppo ciclico infinito) llor esso è isomorfo l semigruppo dditivo N + (risp. l monoide dditivo N, l gruppo dditivo Z).

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