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1 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale log x x x + ) è l insieme a) ], + [ b) ], + [ \ } c) [, + [ \ } d) [, [ ], + [. ) Il derivato D E dell insieme E = a), 5} b) 5} c), 5} d) 0, 5 }. ) n n +n n + ) n n+ : n N+ } ], + [ è l insieme ) Sia f : R R una funzione derivabile due volte. La derivata seconda della funzione f f x) ) è uguale a [f a) f x) ) f x) + f f x) )] [f x)] + f f x) ) } fx)f x) b) f f x) ) f x) + f f x) ) f x) } [f c) f x) ) fx) + f f x) )] fx) [f x)] + f f x) ) } fx)f x) d) f f x) ) fx) [f x)] + f f x) ) [ [f x)] + f f x) ) ]} f x). 4) Il massimo assoluto della funzione ) x x+ 5x nell intervallo ], ] a) non esiste b) è un numero maggiore di c) è uguale a ) 5 d) viene preso in un punto dell intervallo [, 0]. 5) Il limite lim x + a) è uguale a b) è uguale a + c) è uguale a 5 d) è uguale a 5. + sen sen x)) 5 arctg x x +

2 6) Data la serie ) x n + n x+, x R, è vero che a) la *) diverge a + per ogni x 0 b) la *) diverge a + solo se x > c) la *) converge se x ]0, ] d) la *) diverge a per ogni x < 0. 7) Sia f : R R una funzione limitata. L affermazione: sup x ],0[ fx) < sup x ]0,+ [ fx) equivale all affermazione [ ] a) β R : x ], 0[ : fx) < β e x ]0, + [ : fx) > β [ ] b) β R : fx) < β x ], 0[ e x ]0, + [ : fx) > β c) β R : [ fx) < β x ], 0[ e fx) > β x ]0, + [ ] d) β, γ R : [ β < γ, fx) < β x ], 0[ e fx) > γ x ]0, + [ ]. 8) Sia f : R R definita come segue: fx) = Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) f è convessa nell intervallo ], π [ b) f ha minimo assoluto e x x se x 0 cos x se x > 0. c) nel punto x 0 = 0 esiste la derivata terza f 0) d) il grafico di f ha un asintoto obliquo. 9) L integrale [ a) 0 x x dx è uguale a 5x + 6 ) ] 4 log x 5x log x x [ + b) [ log x 5x log x log x ] log x 5x + 6 log x x c) F ) F ) + F 0), essendo F x) = log x 5x log d) F ) F 0), essendo F x) = log x 5x log x x ) 4. ) 4 ] 0 [ log x 5x log x log x ] 0 4 x x ) 0) Sia a n } una successione limitata inferiormente. La condizione La successione a n } è crescente a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la successione a n } sia convergente. ) L integrale indefinito x sen 7x dx è uguale a a) x4 x 4 sen 7x 7 cos 7x + c b) 7x [x cos 7x sen 7x] + 4 x cos 7x dx + c [ x cos 7x 7 sen 7x] 6 49 c) x 7 x sen 7x dx + c d) 7 4 x4 cos 7x x sen 7x x cos 7x dx + c.

3 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 05 Prima prova scritta compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale a) ], 5] b) ]5, + [ c) [5, + [ d) ] +, + [ \ 5}. ) Il derivato D E dell insieme E = a), 5} b) 5} c), 5} d),, 5}. log x 5 x 6x + 6) è l insieme ) n n +n n + ) n n+ : n N+ } ], + [ è l insieme ) Sia f : R R una funzione derivabile due volte. La derivata seconda della funzione f fx)) è uguale a [ ]} a) [f fx))] f x) + f fx)) f fx)) [f x)] + f fx)) f x) } b) [f fx))] [f x)] + f fx)) [f fx)) f x) + f fx)) f x)] [ ] } c) [f fx))] + f fx)) f fx)) [f x)] + f fx)) f fx)) f x) } d) f fx)) [f x)] + f fx)) f x). 4) Il massimo assoluto della funzione ) x x+ 5x nell intervallo [ 6, ] a) viene preso nel punto 5 b) viene preso nel punto c) è un numero minore di d) è uguale a. + sen sen )) 5 x 5) Il limite lim x + arctg x x + a) è uguale a 0 b) è uguale a + c) è uguale a 5 d) è uguale a 5.

4 6) Data la serie ) x n + n x+ a) la *) converge se x ], [ b) la *) non è regolare per x =, x [, ], è vero che c) la *) diverge se e solo se x ], 0] d) la *) diverge se e solo se x [, 0]. 7) Sia f : R R una funzione limitata. L affermazione: inf x ],0[ fx) > inf x ]0,+ [ fx) equivale all affermazione [ ] a) β R : fx) β x ], 0[ e x ]0, + [ : fx) < β [ ] b) β R : x ], 0[ : fx) > β e x ]0, + [ : fx) < β [ ] c) β R : fx) > β x ], 0[ e x ]0, + [ : fx) = β d) β, γ R : [ β > γ, fx) β x ], 0[ e fx) γ x ]0, + [ ]. 8) Sia f : R R definita come segue: fx) = Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) f è convessa solo nell intervallo ], π [ b) f ha un unico zero nell intervallo], 0[ c) f è uniformemente continua in ]0, π] e x x se x 0 cos x se x > 0. d) esiste la retta tangente al grafico di f nel punto 0, ). 9) L integrale [ a) 0 x x dx è uguale a 5x + 6 ) ] log x 5x log x x [ ) ] b) log x 5x log x x [ + [ log x 5x + 6 log x x log x 5x log x x c) F ) + F ) F 0), essendo F x) = log x 5x log d) F ) F 0), essendo F x) = log x 5x log x x ). ) ] 0 ) ] 0 x x ) 0) Sia a n } una successione limitata superiormente. La condizione La successione a n } è crescente a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la successione a n } sia convergente. ) L integrale indefinito x sen 9x dx è uguale a a) x4 x 4 sen 9x 9 b) x 9 c) x 9 cos 9x + 7 cos 9x + 7 d) x4 4 sen 9x x 4 6 cos 9x dx + c. cos 9x + c [ x sen 9x ] 9 x sen 9x dx + c [ x sen 9x x sen 9x dx ] + c

5 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 05 Prima prova scritta compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale a) [, + [ b) ], + [ \ } c) [, + [ \ } d) ], ] [, + [. ) Il derivato D E dell insieme E = a), } b) } c), 5} d),, 5}. log x+ x x + ) è l insieme ) n n +n n + ) n n+ : n N+ } ], [ è l insieme ) Sia f : R R una funzione derivabile due volte. La derivata seconda della funzione f fx ) ) è uguale a a) x [f fx )) [ f x ) ] + f fx ) ) ] f x ) + f fx ) ) } f x ) b) x f fx )) [ f x ) ] + f fx ) ) [ xf x ) + f x ) ]} [ c) x f fx )) [ f x ) ] + f fx ) ) ] f x ) + f fx ) ) } f x ) [ d) x f fx )) [ f x ) ] + f fx ) ) ] f x ) + f fx ) ) } f x ). 4) Il massimo assoluto della funzione ) x x+ 5x nell intervallo ] 6, ] a) viene preso nel punto 5 b) viene preso nel punto c) è uguale a d) non esiste. 5) Il limite lim x + a) è uguale a b) è uguale a + c) è uguale a 5 d) è uguale a 5. + sen sen x)) 5 arctg x x +

6 6) Data la serie ) x n + n x+ a) la *) diverge se x, x 0, è vero che b) la *) diverge se x 0} ], + [ c) la *) converge solo se x ]0, [ d) la *) converge solo se x [0, [. 7) Siano f, g : R R due funzioni limitate. L affermazione: sup x R fx) < sup x R gx) equivale all affermazione a) β R : x R : fx) < β < gx) ] [ ] b) β R : x R : fx) < β e x R : gx) > β [ ] c) β R : fx) β x R e x R : gx) > β d) β, γ R : [ β < γ, x R : fx) < β e gx) > γ x R ]. 8) Sia f : R R definita come segue: fx) = Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) f è integrabile secondo Riemann in [, π] e x x se x 0 cos x se x > 0. b) f ha massimo assoluto nell intervallo ], + [ c) esiste la derivata seconda f 0) d) esiste a < 0 tale che f [a,π] è iniettiva. 9) L integrale [ a) 0 x x dx è uguale a 9x + 0 ) ] 8 log x 9x log x 5 x 4 [ b) [ log x 9x log x 5 7 log x 4 ] log x 9x log x 5 x 4 c) F ) F ) + F 0), essendo F x) = log x 9x + 0 log d) F ) F 0), essendo F x) = log x 9x log x 5 x 4) 8. ) 8 ] 0 [ log x 9x log x 5 7 log x 4 ] 0 8 x 5 x 4) 0) Sia a n } una successione limitata inferiormente. La condizione La successione a n } è strettamente crescente a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la successione a n } sia convergente. ) L integrale indefinito x sen 9x dx è uguale a a) x sen 9x x4 cos 9x x 7 sen 9x dx + c [ ] b) x 9 x cos 9x + sen 9x + 7 x sen 9x dx + c [ c) x 9 cos 9x + 7 x sen 9x x sen 9x dx ] + c d) x4 cos 9x 4 sen 9x x 9.

7 Tutti i quesiti dei compiti D, E e F del 6 febbraio 05 si trovano in uno dei compiti A, B e C

8 Anno Accademico Corsi di Analisi Matematica I A.Villani, R. Cirmi e F.Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 05 Seconda prova scritta - COMPITO A Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato. Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato. Rispondere ai seguenti quesiti. Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T. Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di quattro punti. Tempo disponibile: 90 minuti. Quesiti di tipo D definizioni ) ) Sia f : A R A R, A ). Un punto x 0 A si dice di punto di minimo relativo o locale per la funzione f se... completare la definizione). ) Sia a n } una successione di numeri reali. Si dice che la serie + diverge negativamente se... completare la definizione). ) Sia f : A R A R, A ) Si dice che f è dotata di primitive in A se... completare la definizione). a n Quesiti di tipo T teoremi ) ) Dimostrare che ogni successione convergente é limitata. É vero il viceversa? Giustificare la risposta. ) Enunciare e dimostrare il teorema di derivazione della funzione composta. ) Dimostrare la formula fondamentale del calcolo degli integrali definiti. Quesiti di tipo E esercizi ) ) Studiare la funzione e tracciarne il grafico. fx) = x + ) log x ) Calcolare e x + e x + e x dx. + 8 ) Studiare, al variare del parametro reale x > 0, il carattere della serie + x n n n.

9 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 0 febbraio 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale x +9x 4 + log 4 x x + 9x 4) è l insieme a) ], ] [5, + [ b) ], 5[ ], + [ ] [ c) ], 5] 9+ 4, d) ], 5] [, [. ) Il derivato D E dell insieme E = a) } b), } c),, } d), }. } ) n n n +n+ : n N+ ], [ è l insieme ) Sia f : R R una funzione derivabile due volte. La derivata seconda della funzione f e fx)) è uguale a a) f e fx)) [ e fx) f x) ] + f e fx)) ] e [[f fx) x)] + f x) b) e fx) [f x)] [ f e fx)) + f e fx))] + f e fx)) e fx) f x) c) f e fx)) e fx) f x) [ d) e fx) f x) f e fx)) + [f x)] ] + f e fx)) e f x) f x). 4) In quali dei seguenti intervalli la funzione )x 4 6x +8x+ ha massimo assoluto: a) ) e ) b) ), ) e ) c) ), ) e 4) d) ), ) e 4). 5) Il limite lim x + a) è uguale a b) è uguale a + c) è uguale a 5 d) è uguale a 5. ) ], 0] ) ], 0] ) [, 0[ 4) ], 0]? + sen sen x)) 5 log x+ x

10 6) Data la serie ) x n + n x+, x R, è vero che a) la *) diverge a + per ogni x < 0 b) la *) converge se x [, ] c) la *) converge se x ], ] d) la *) non è regolare se x <. A 7) Sia f : R R una funzione limitata. L affermazione: sup x ],0] fx) < sup x [0,+ [ fx) equivale all affermazione a) fx) < f0) x ], 0[ e x ]0, + [ : fx) > f0) [ ] b) β R : fx) < β x ], 0] e x [0, + [ : fx) β c) β R : [ fx) < β x ], 0] e fx) > β x [0, + [ ] [ ] d) β, γ R : β < γ, fx) < β x ], 0] e x [0, + [ : fx) γ. 8) Sia f : R R definita come segue: fx) = Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) f è convessa nell intervallo ] π, +, [ b) f ha minimo assoluto cos x se x 0 e x x se x > 0. c) nel punto x 0 = 0 esiste la derivata terza f 0) d) il grafico di f non ha asintoti. 9) L integrale a) 0 x x dx è uguale a x + 6 [ ] logx x + 6) + arctg x [ logx 5x + 6) + arctg x b) log 4 c) F ) + F ) F 0), essendo F x) = logx x + 6) d) F ) F 0), essendo F x) = logx x + 6). ] 0 0) Sia f : R R una funzione derivabile in R. La condizione f x) > 0 x R a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia strettamente crescente in R. ) L integrale indefinito e 4x [ a) tt 5) t +t 5 ]t= dt e x +5 [ ] z b) 4 z + dz z +5 z=e [ x c) t t 5) t +t 5 ]t= dt e x +5 [ ] d) z 4 z+ z+5 dz e x + e x +5 z=e x. dx è uguale a

11 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 0 febbraio 05 Prima prova scritta compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale a) ], 5 ] ] [ + 7 4, 5 b) ], 5 ] [, 5 [ c) ], 5 [ ], 5 [ d) ], ] ] 5, + [. ) Il derivato D E dell insieme E = a), } b),, } c), } d) }. 5 x + x 9 + log 6 x x + x 9) } ) n n n +n+ : n N+ ], + [ è l insieme è l insieme ) Sia f : R R una funzione derivabile due volte. La derivata seconda della funzione e ffx)) è uguale a a) e ffx)) f fx))f x) b) e [f [ ] } ffx)) x)] [f fx)] + f fx)) + f fx))f x) [ ] } c) e f ffx)) x) [f fx)] + f x)f fx)) + f fx))f x) } d) e [f ffx)) x)] [f fx) + f fx))] + f fx))f fx)). 4) In quali dei seguenti intervalli la funzione )x 4 6x +8x+ ha minimo assoluto: a) ) e 4) b) solo 4) c) ) e 4) d) ), ) e 4). 5) Il limite lim x + a) è uguale a 0 b) è uguale a c) è uguale a 5 d) è uguale a +. ) ], 0] ) ], 0] ) [, 0[ 4) [, 0]? )) 5 + sen sen log x x log x x+log x

12 6) Data la serie ) x n + n x+, x ], ], è vero che a) esistono valori di x per cui la *) non è regolare b) la *) converge se e solo se x [0, ] c) la *) converge se e solo se x ], ] d) la *) converge se e solo se x [, ]. B 7) Sia f : R R una funzione limitata. L affermazione: inf x ],0] fx) > inf x [0,+ [ fx) equivale all affermazione [ ] a) β R : fx) > β x ], 0] e x [0, + [ : fx) β [ ] b) β R : fx) β x ], 0] e x [0, + [ : fx) < f0) c) β, γ R : β > γ, fx) β x ], 0] e fx) γ x [0, + [ ] [ ] d) β, γ R : β > γ, fx) β x ], 0] e x [0, + [ : fx) γ. 8) Sia f : R R definita come segue: fx) = Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) f è convessa solo nell intervallo ] π, +, [ b) f ha un unico zero nell intervallo [0, + [ cos x se x 0 e x x se x > 0. c) esiste la retta tangente al grafico di f nel punto 0, ) d) f è uniformemente continua nell intervallo ] π, π[. 9) L integrale a) log 48 b) log 7 log ) c) F ) F 5 0 x 5 x dx è uguale a 5x ) + F 0), essendo F x) = logx 5x + 9) + arctg x 5 d) F ) F 0), essendo F x) = logx 5x + 9). 0) Sia f : R R una funzione derivabile in R. La condizione f x) 0 x R a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia crescente in R. ) L integrale indefinito e 4x [ a) t 5 t 5) +t ]t= dt e x +5 [ ] b) z z + z+5 dz z=e [ x c) t t 5) 4 t 5) +t ]t= dt e x +5 [ ] z d) z + z+5 dz z=e x. e 4x + e x +5 dx è uguale a

13 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 0 febbraio 05 Prima prova scritta compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale a) ], [ ]5, + [ b) ], 5] [, + [ c) ], ] [5, + [ ] d), 9 4 [ [5, + [. ) Il derivato D E dell insieme E = a) } b), } c),, } d), }. x 9x 4 + log x+5 x 9x 4) } ) n n n +n+ : n N+ ], + [ è l insieme è l insieme ) Sia f : R R una funzione derivabile due volte. La derivata seconda della funzione ffe x )) è uguale a } a) e f x fe x )) [f e x )] + f fe x ))f e x ) + f fe x ))f e x ) b) e x f e x ) f fe x ))f e x ) e x + f fe x ))} + f fe x ))f e x ) e x } c) e f x fe x )) [f e x )] + f fe x ))f e x ) e x + f fe x ))f e x ) d) f fe x ))f e x ) e x. 4) In quali dei seguenti intervalli la funzione )x 4 6x +8x+ ha massimo assoluto: a) ) e ) b) ), ) e ) c) ) e ) d) ), ) e 4). 5) Il limite lim x + a) è uguale a 0 b) è uguale a + c) è uguale a 5 d) è uguale a 5. ) ], 5[ ) ], 0[ ) [, 0[ 4) [, 0[? + sen sen x ) ) 5 arctg x x

14 6) Data la serie ) x n + n x+ a) la *) non è regolare per x = b) la *) diverge a + se x, x R, è vero che c) la *) diverge a + se x ], ] ], + [ d) la *) converge per ogni x [, ]. C 7) Siano f, g : R R due funzioni limitate. L affermazione: inf x R fx) > inf x R gx) equivale all affermazione [ ] a) β R : fx) > β x R e x [0, + [ : gx) < β [ ] b) β R : fx) β x R e x R : gx) β c) β, γ R : β > γ, fx) β x R e gx) γ x R ] [ ] d) β, γ R : β > γ, fx) β x R e x R : gx) γ. 8) Sia f : R R definita come segue: fx) = Quali delle seguenti affermazioni è falsa? cos x se x 0 e x x se x > 0. a) esiste a < 0 tale che la restrizione f [a,+ [ è iniettiva b) f ha un unico zero nell intervallo [0, + [ c) f è derivabile due volte in tutto R d) f è integrabile secondo Riemann in [ π, ]. 9) L integrale a) 0 x x dx è uguale a x + 5 [ logx x + 5) + arctg x ] [ logx x + 5) + arctg x b) log ) 4 c) log ) 4 + arctg 5 d) F ) F ) + F 0), essendo F x) = logx x + 5). ] 0 0) Sia f : R R una funzione continua in R. La condizione La funzione f è derivabile in R e risulta f x) 0 x R a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia crescente in R. ) L integrale indefinito e 5x [ a) tt 5) 4 t 5) +t ]t= dt e x +5 [ ] b) z 4 5 z + z+5 dz z=e [ x c) t 5) 5 t 5) +t ]t= dt e x +5 [ ] d) z dz z+ z+5 e x + e x +5 z=e x. dx è uguale a

15 Tutti i quesiti dei compiti D, E e F del 0 febbraio 05 si trovano in uno dei compiti A, B e C

16 Anno Accademico Corsi di Analisi Matematica I A.Villani, R. Cirmi e F.Faraci) Prova d Esame del giorno 0 febbraio 05 Seconda prova scritta - COMPITO A Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato. Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato. Rispondere ai seguenti quesiti. Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T. Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di quattro punti. Tempo disponibile: 90 minuti. Quesiti di tipo D definizioni ) ) Sia f : A R A R, A ). Si dice che f non è limitata inferiormente in A se... completare la definizione). ) Sia a n } una successione di numeri reali. Si dice che a n } converge a se... completare la definizione). ) Siano f : a, b) R e x 0 a, b) Si dice che f A R, A ) Si dice che f è derivabile in x 0 se... completare la definizione) e si chiama derivata di f in x 0... completare la definizione). Quesiti di tipo T teoremi ) ) Enunciare e dimostrare il criterio del confronto per le serie numeriche. ) Enunciare e dimostrare il corollario al Teorema di Lagrange sulle funzioni costanti in un intervallo. ) Enunciare e dimostrare il teorema sull integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue. Quesiti di tipo E esercizi ) ) Studiare la funzione e tracciarne il grafico. fx) = x + x e x ) Determinare F x) primitiva in ], + [ della funzione fx) = log x ) x + ) e tale che F ) = 0. ) Studiare, al variare del parametro reale x, il carattere della serie + n n + ) x n. n

17 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 marzo 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale 4 log 4 x x + 9x ) log 4 x ] [ a)], 5] 9+ 4, b) ], 5[ ], + [ c) ], ] [5, + [ d) ], 5] [, [. ) Il derivato D E dell insieme E = a) [, ] ) b) ], [ \ R \ Q) ], ] c) E, } d) ], [ ], ]. ) La derivata della funzione arcsen x è uguale a: x x a) x x + ) 4 x b) c) d) +x x 4 x x +x x 4 x +x x 4 x 4 x + x ) x x 4 x + x ) x +x x 4 x 4 x + x ). ) ], [ \ R \ Q) ], ] } è l insieme 4) La restrizione della funzione 4x 6x 9x + all insieme [0, ] Q a) ha minimo e massimo assoluti) b) ha minimo ma non ha massimo c) ha massimo ma non ha minimo d) non ha né massimo né minimo. 5) Il limite lim x a) è uguale a b) è uguale a 5 c) è uguale a 0 d) è uguale a +. + tg tg x x)) 5 5x è l insieme

18 6) La serie a) converge e la sua somma è un numero minore di zero b) converge e la sua somma è un numero maggiore di 9 c) non è regolare d) non verifica nessuna delle precedenti condizioni. A 7) Sia f : R R una funzione limitata. L affermazione: sup x ],0] fx) > sup x [0,+ [ fx) equivale all affermazione a) a n } n N, b n } n N : a n 0 n N, b n 0 n N e lim n fa n ) > lim n fb n ) b) a n } n N, b n } n N : a n 0 n N, b n 0 n N e lim n fa n ) > sup n N fb n ) c) β R, a n } n N : a n 0 n N e lim n fa n ) β > fb) b 0 d) β R, a n } n N : a n 0 n N e lim n fa n ) > β fb) b 0. 8) Sia f : R R definita come segue: Quali delle seguenti affermazioni è falsa? fx) = a) f è convessa nell intervallo ], +, [ b) f ha minimo assoluto x e se x < 0 x +x se x 0. c) nel punto x 0 = 0 esiste la derivata seconda f 0) d) il grafico di f ha un asintoto orizzontale. 9) L integrale π π 6 a) + 5 b) 5 c) + 5 d) 5. sen x +cos x) dx è uguale a 0) Sia f : R R. La condizione lim x 0 f x) f0) x = l R a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile nel punto x 0 = 0. ) Data la funzione f : R R definita ponendo fx) = è vera? a) l integrale π π fx) d x è uguale a zero cos x se x 0 sen x se x > 0 b) una primitiva di f in R è la funzione G così definita: Gx) = c) la funzione f non ha primitive in R d) una primitiva di f in R è la funzione H così definita: Hx) =, quali delle seguenti affermazioni sen x x se x 0 cos x x se x > 0 sen x x se x 0 cos x x se x > 0.

19 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 marzo 05 Prima prova scritta compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale 6 log 6 x x + x 7) log 6 x a) ], 5 ] [, 5 [ b) ], 5 [ ], 5 [ c) ], 5 ] ] + 7 4, 5 d) ], ] ] 5, + [. [ ) Il derivato D E dell insieme E = a) ], [ ], ] b) [, ] c) E, } d) ], ] \, }. ) La derivata della funzione arccos x è uguale a: x a) x x 4 x + ) x 4 x b) +x x 4 c) x +x x 4 d) x +x x 4 x x x + ) 4 x x x 4 x + ) x x x 4 x + ) x. ) ) ], [ \ R \ Q) ], ] \ Q è l insieme 4) La restrizione della funzione 4x 6x 9x + all insieme [, ] R \ Q) a) ha minimo e massimo assoluti) b) ha minimo ma non ha massimo c) ha massimo ma non ha minimo d) non ha né massimo né minimo. + arctg arctg 7 5) Il limite lim x ) x + tg x + a) è uguale a + b) è uguale a 0 c) è uguale a d) è uguale a 7. è l insieme

20 6) La serie a) converge assolutamente b) converge, ma non converge assolutamente c) non è regolare d) non verifica nessuna delle precedenti condizioni. B 7) Sia f : R R una funzione limitata. L affermazione: inf x ],0] fx) < inf x [0,+ [ fx) equivale all affermazione a) a n } n N, b n } n N : a n 0 n N, b n 0 n N e lim n fa n ) < inf n N fb n ) b) a n } n N, b n } n N : a n 0 n N, b n 0 n N e lim n fa n ) < lim n fb n ) c) β R, a n } n N : a n 0 n N e lim n fa n ) < β fb) b 0 d) β R, a n } n N : a n 0 n N e lim n fa n ) β < fb) b 0. 8) Sia f : R R definita come segue: Quali delle seguenti affermazioni è falsa? fx) = a) f è convessa solo nell intervallo [0, +, [ b) f ha un unico zero in R x e se x < 0 x +x se x 0. c) esiste la retta tangente al grafico di f nel punto 0, 0) d) f è uniformemente continua in ] e, e [. 9) L integrale π π 6 a) 6 b) 6 + c) 6 + d). sen x cos x) dx è uguale a fx ) f0) 0) Sia f : R R. La condizione lim x 0 x = l R a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile nel punto x 0 = 0. ) Data la funzione f : R R definita ponendo fx) = è vera? cos x se x 0 sen x se x > 0 a) l integrale π π fx) d x è uguale a un numero minore di 7 b) una primitiva di f in R è la funzione G così definita: Gx) = c) la funzione f non ha primitive in R d) una primitiva di f in R è la funzione H così definita: Hx) =, quali delle seguenti affermazioni sen x x + se x 0 cos x x se x > 0 sen x x se x 0 cos x x se x > 0.

21 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 marzo 05 Prima prova scritta compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale 8 log x+5 x 9x ) log x+5 a) ], 5] [, + [ b) ], [ ]5, + [ ] c), 9 4 [ [5, + [ d) ], ] [5, + [. ) Il derivato D E dell insieme E = ], [ ], ] \ Q) è l insieme a) ], [ b) [, ] c) E, } d) ], [ ], ]. ) La derivata della funzione arctg x + è uguale a: x a) x x +x + b) x x +x + c) x x +x + x x + x ) x ) x + x ) x x x + x d) x +x + x x + ) + x. 4) La restrizione della funzione 4x 6x 9x + all insieme [, ] Q a) ha minimo e massimo assoluti) b) ha minimo ma non ha massimo c) ha massimo ma non ha minimo d) non ha né massimo né minimo. + arcsen arcsen x x) 5) Il limite lim x + sen x a) è uguale a + b) è uguale a 0 c) è uguale a d) è uguale a. è l insieme

22 6) La serie a) converge assolutamente b) converge, ma non converge assolutamente c) non è regolare d) non verifica nessuna delle precedenti condizioni. C 7) Siano f, g : R R due funzioni limitate. L affermazione: sup x R fx) > sup x R gx) equivale all affermazione a) a n } n N, b n } n N : lim n fa n ) > lim n gb n ) b) a n } n N, b n } n N : lim n fa n ) > sup n N gb n ) c) β R, a n } n N : lim n fa n ) β > gb) b R d) β R, a n } n N : lim n fa n ) > β gb) b R. 8) Sia f : R R definita come segue: Quali delle seguenti affermazioni è falsa? fx) = x e se x < 0 x +x se x 0. a) esiste a < 0 tale che la restrizione f ],a] è iniettiva b) il grafico di f non ha asintoti obliqui c) f è derivabile in tutto R d) f è integrabile secondo Riemann in [ e, ]. 9) L integrale π π 4 a) + b) c) d) 4 6. cos x sen x) dx è uguale a fx ) f0) 0) Sia f : R R. La condizione lim x 0 x = l R a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile nel punto x 0 = 0. ) Data la funzione f : R R definita ponendo fx) = è vera? cos x se x 0 sen x + x se x > 0 a) l integrale π π π fx) d x è uguale a un numero maggiore di b) una primitiva di f in R è la funzione G così definita: Gx) = c) la funzione f non ha primitive in R d) una primitiva di f in R è la funzione H così definita: Hx) =, quali delle seguenti affermazioni sen x x + se x 0 cos x + x + se x > 0 sen x x se x 0 cos x + x se x > 0.

23 Tutti i quesiti dei compiti D, E e F del 6 marzo 05 si trovano in uno dei compiti A, B e C

24 Anno Accademico Corsi di Analisi Matematica I A.Villani, R. Cirmi e F.Faraci) Prova d Esame del giorno 6 marzo 05 Seconda prova scritta Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato. Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato. Rispondere ai seguenti quesiti. Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T. Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di quattro punti. Tempo disponibile: 90 minuti. Quesiti di tipo D definizioni ) ) Sia f : A R A R, A ). Si dice che f è limitata in A se... completare la definizione). ) Sia a n } una successione di numeri reali. Si dice che a n } diverge positivamente se... completare la definizione). ) Sia f : A R A R, A ). Si dice che f è invertibile o iniettiva) in A se... completare la definizione). Quesiti di tipo T teoremi ) ) Dimostrare che ogni successione monotona è regolare. ) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle. ) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Quesiti di tipo E esercizi ) ) Studiare la funzione e tracciarne il grafico. fx) = x x x logx + ) ) Determinare F x) primitiva in ]0, + [ della funzione e tale che F ) = 0. fx) = arctanx + ) x ) Studiare, al variare del parametro reale x, il carattere della serie + n + ) x n + n.

25 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 7 aprile 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale [ ] a) 7, + 7 [ ] b) 0, + 7 [, ] [ ] c) 7, + 7 [, ] [ ] d) 7,. ) Il derivato D E dell insieme E = a) e } [, + [ b), e } c) e } d) e, e }. ) La derivata della funzione arcsen x x è uguale a: x a) x x x + ) 4 x b) c) d) x 4 +x x x 4 +x x x 4 +x x x 4 +x x 4 x + x ) x x 4 x + x ) x 4 x + x ). x x x + x + è l insieme ) n } + n) n : n N + [, + [ è l insieme 4) La restrizione della funzione x + x 6x + all insieme [0, ] Q a) ha minimo e massimo assoluti) b) ha minimo ma non ha massimo c) ha massimo ma non ha minimo d) non ha né massimo né minimo. 5 arcsen x x 5) Il limite lim x + sen x a) è uguale a log 5 b) è uguale a log 5 c) è uguale a 0 d) è uguale a +.

26 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: n + 5 ) n n +, ) ) e + n+, ) a) ) e ) b) ), ) e 4) c) ) e 4) d) ) e 4). n 7) La successione n + n} a) è crescente n N + b) è decrescente, ma non è strettamente decrescente c) è decrescente e divergente d) è decrescente e convergente. n + log 5 n, 4) ) n + log 5 n? A 8) Sia f : R R definita come segue: Quali delle seguenti affermazioni è falsa? fx) = a) f è convessa nell intervallo [, 0] b) f non ha massimo assoluto c) f è derivabile in R d) il grafico di f ha asintoti orizzontali. 9) L integrale a) b) + 8 c) 0 d) x x dx è uguale a x + 6) x e se x < 0 x se x 0. +x 0) Sia a n } una successione limitata inferiormente. La condizione La successione a n } è convergente a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la successione a n } sia limitata superiormente. ) Data la funzione f : R R definita ponendo fx) = è vera? a) l integrale definito π π fx) d x è uguale a zero cos x se x 0 sen x se x > 0 b) l integrale indefinito fx) d x è uguale a Gx) + c, essendo Gx) = c) l integrale definito π π fx) d x è uguale a π d) l integrale indefinito fx) d x è uguale a Hx) + c, essendo Hx) =, quali delle seguenti affermazioni sen x x se x 0 cos x x se x > 0 sen x x se x 0 cos x x se x > 0.

27 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 7 aprile 05 Prima prova scritta compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale [ ] a), + 7 [ ] 7, + 7 b) ], ] [ ] c) 0, + 7 d) [, ] [ ] 7, + 7. ) Il derivato D E dell insieme E = a) e, } b) e, e } c) e } d) ], ] e }. ) La derivata della funzione arccos x x è uguale a: a) x x + x ) x 4 x b) x x 4 +x x + x ) 4 x x c) x x + x ) 4 +x x 4 x d) x x 4 +x x x 4 x + x ). + x x x + x + è l insieme ) n } + n) n : n N + ], [ è l insieme 4) La restrizione della funzione x + x 6x + all insieme [0, ] R \ Q) a) ha minimo e massimo assoluti) b) ha minimo ma non ha massimo c) ha massimo ma non ha minimo d) non ha né massimo né minimo. arctg 7 x 5) Il limite lim x + tg x + a) è uguale a log b) è uguale a 7 log c) è uguale a + d) è uguale a 0.

28 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: n n + π n+ ) n, ) + 4 n, ) a) ) e ) b) ), ) e ) c) ), ) e 4) d) ) e 4). n 7) La successione n + n} n N + a) è crescente ed il suo minimo è uguale a n + logn + ), 4) arctg n +? b) è decrescente ed il suo estremo superiore è uguale a 0 c) è decrescente ed il suo estremo inferiore è uguale a d) non è monotòna. B 8) Sia f : R R definita come segue: Quali delle seguenti affermazioni è falsa? fx) = a) f è convessa solo nell intervallo [, 0] b) f ha un unico zero in R c) il grafico di f ha punti angolosi d) f è uniformemente continua in ], [. 9) L integrale a) b) 9 c) d) x 5 x dx è uguale a 5x + 9) x e se x < 0 x se x 0. +x 0) Sia a n } una successione crescente. La condizione Esiste una sottosuccessione a kn } convergente a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la successione a n } sia convergente. ) Data la funzione f : R R definita ponendo fx) = è vera? a) l integrale definito π π fx) d x è un numero positivo cos x se x 0 sen x se x > 0 b) l integrale indefinito fx) d x è uguale a Gx) + c, essendo Gx) = c) l integrale definito π π fx) d x è uguale a π d) l integrale indefinito fx) d x è uguale a Hx) + c, essendo Hx) =, quali delle seguenti affermazioni sen x x + se x 0 cos x x se x > 0 sen x x se x 0 cos x x se x > 0.

29 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 7 aprile 05 Prima prova scritta compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale a) ], [ [ 7, + 7 ] b) [, + 7 ] c) [, ] [ 7, + 7 ] d) [ 0, + 7 ]. ) Il derivato D E dell insieme E = a) e, e } b) 0, e, e } c) 0, e } d) [ 0, + [. ) La derivata della funzione arcsen x x) è uguale a: x x+ a) x x x +x x ) x b) x x +x x x + x c) d) x x x +x x x x+ x x x 4 +x x x x + x ) + 4x x x+ + è l insieme ) n } + n) n : n N + ] 0, + [ è l insieme. 4) La restrizione della funzione x + x 6x + all insieme [, 0] Q a) ha minimo e massimo assoluti) b) ha minimo ma non ha massimo c) ha massimo ma non ha minimo d) non ha né massimo né minimo. tg x x 5) Il limite lim x 5 5x a) è uguale a + b) è uguale a 0 c) è uguale a log log 5 d) è uguale a log log 5.

30 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: n + 5 ) n n +, ) ) π n+, ) a) ) e ) b) ), ) e 4) c) ) e 4) d) ) e 4). n 7) La successione n + n} a) è divergente a + n N b) è decrescente e convergente a c) è limitata inferiormente d) non è regolare. n n 0, 4) ) n arctg? n C 8) Sia f : R R definita come segue: Quali delle seguenti affermazioni è falsa? fx) = x e se x < 0 x se x 0. +x a) esiste a > 0 tale che la restrizione f [a,+ [ è iniettiva b) il grafico di f non ha asintoti obliqui c) f non ha punti di massimo locale d) f è integrabile secondo Riemann in [, ]. 9) L integrale a) 0 b) 5 c) d) x x dx è uguale a x + 5) 0) Sia a n } una successione crescente. La condizione Esiste una sottosuccessione a kn } convergente a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la successione a n } sia limitata. ) Data la funzione f : R R definita ponendo fx) = è vera? a) l integrale definito π π fx) d x è uguale a zero cos x se x 0 sen x + x se x > 0 b) l integrale indefinito fx) d x è uguale a Gx) + c, essendo Gx) = c) l integrale definito 0 π fx) d x è un numero positivo d) l integrale indefinito fx) d x è uguale a Hx) + c, essendo Hx) =, quali delle seguenti affermazioni sen x x + se x 0 cos x + x + se x > 0 sen x x se x 0 cos x + x + se x > 0.

31 Tutti i quesiti dei compiti D, E e F del 7 aprile 05 si trovano in uno dei compiti A, B e C

32 Anno Accademico Corsi di Analisi Matematica I A.Villani, R. Cirmi e F.Faraci) Prova d Esame del giorno 7 aprile 05 Seconda prova scritta - COMPITO A Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato. Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato. Rispondere ai seguenti quesiti. Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T. Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di quattro punti. Tempo disponibile: 90 minuti. Quesiti di tipo D definizioni ) ) Sia f : A R A R, A ). Si dice che la la funzione f ha un minimo assoluto in A se... completare la definizione). ) Sia a n } una successione di numeri reali. Si dice che la successione a n } é convergente se... completare la definizione). Si dice che la serie + é convergente se... completare la definizione). ) Sia f : A R A R, A ) Si dice che f è decrescente in A se... completare la definizione). a n Quesiti di tipo T teoremi ) ) Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. ) Siano f, g : a, b) R due funzioni derivabili in un punto x 0 a, b). Allora la funzione prodotto fg... completare l enunciato del teorema e svolgerne la dimostrazione). ) Svolgere lo studio completo della serie geometrica. Quesiti di tipo E esercizi ) ) Studiare la funzione e tracciarne il grafico. fx) = xe x ) Calcolare logx + ) x + ) dx. ) Studiare, al variare del parametro reale x, il carattere della serie + nx n + + ) n+.

33 Anno Accademico Corsi di Analisi Matematica I A.Villani, R. Cirmi e F.Faraci) Prova d Esame del giorno 7 aprile 05 Seconda prova scritta - COMPITO B Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato. Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato. Rispondere ai seguenti quesiti. Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T. Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di quattro punti. Tempo disponibile: 90 minuti. Quesiti di tipo D definizioni ) ) Sia f : A R A R, A ). Si dice che la la funzione f ha un massimo assoluto in A se... completare la definizione). ) Sia a n } una successione di numeri reali. Si dice che la successione a n } diverge positivamente se... completare la definizione). Si dice che la serie + diverge positivamente a n se... completare la definizione). ) Sia f : A R A R, A ) Si dice che f è crescente in A se... completare la definizione). Quesiti di tipo T teoremi ) ) Dimostrare il Teorema di Bolzano-Weirstrass sui punti di accumulazione di un insieme.. ) Siano a n } e b n } due successioni convergenti. Allora la successione prodotto a n b n }... completare l enunciato del teorema e svolgerne la dimostrazione). ) Dimostrare che la serie armonica é divergente. Quesiti di tipo E esercizi ) ) Studiare la funzione e tracciarne il grafico. fx) = xe x ) Calcolare logx + ) x + ) dx. ) Studiare, al variare del parametro reale x, il carattere della serie + nx n 4 + ) n+.

34 Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 giugno 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto spento. Verrà escluso dalla prova lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un documento di riconoscimento. Durante la prova non è possibile uscire dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito. Rispondere ai seguenti quesiti. Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 0 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data. Tempo disponibile: 90 minuti. ) Il dominio della funzione reale di variabile reale log a)], [ ], + [ b) ], [ [, [ [, + [ c) ], [ ], [ ], + [ d) ], [. x x + x è l insieme ) Dati gli insiemi A = x R : x 4x + > 0}, B = x R : x + > 0} e C = x R : x + < 4}, quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) C \ B A b) B C) \ A è un intervallo chiuso c) B C non ha il minimo d) A C = R. ) La derivata seconda della funzione arctg x è uguale a: a) x 4 x 6 x ) x b) x 4 +6x ) x ) x ) c) x 4 x 6 x ) x ) x d) 5x 4 9x +6 x ) x ) 4) La funzione. ) x x 6x+5 è strettamente crescente a) nell intervallo [, ] b) in ciascuno degli intervalli ], ] e [, + [ c) nell intervallo [, ] d) nell intervallo ], [ ma non nell intervallo [, ]. arcsen x x 5) Il limite lim x + sen x a) è uguale a log b) è uguale a log log c) è uguale a 0 d) è uguale a +.