Elementi di matematica finanziaria

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1 Valutazione Economica del Progetto Corso del prof. Stefano Stanghellini Elementi di matematica Contributo didattico: prof. Sergio Copiello

2 Spostamento di capitali nel tempo Non è possibile addizionare, sottrarre o confrontare tra loro valori differiti nel tempo, se prima non sono resi omogenei, ovvero riferiti allo stesso momento temporale Pertanto, è necessario individuare le formule che consentono di anticipare o di posticipare ciascuna prestazione Un capitale Spostato in avanti nel tempo si trasforma in montante Spostato indietro nel tempo si trasforma in valore scontato

3 Interesse L interesse è il prezzo d uso del capitale Il saggio o tasso d interesse (r) può essere espresso in termini percentuali (r = 5%) o in termini unitari (r = 0,05) L interesse unitario è l interesse maturato da un euro in un anno Il saggio di interesse è direttamente proporzionale Al rischio (a rischio maggiore corrisponde un maggiore tasso di interesse) Alla durata dell investimento (a durata maggiore corrisponde un maggiore tasso di interesse)

4 Montante Il montante è la somma del capitale e dei relativi interessi Il montante unitario (q) è la somma del capitale unitario (un euro) e degli interessi maturati in un anno I = C 0 * r M = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r ) (1 + r) = q (es. r = 0,05 q = 1,05)

5 Interesse e Quando gli interessi maturati non generano a loro volta altri interessi Si usa quando si considera un periodo di tempo uguale o inferiore ad 1 anno Quando gli interessi maturati generano a loro volta altri interessi Si usa quando si considera un periodo di tempo superiore ad 1 anno

6 Interesse Per un periodo pari ad un anno Montante M = C 0 + I = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r) Valore scontato C 0 = M / q Esempio La somma di euro viene depositata in banca all interesse del 5% Si vuol conoscere l ammontare a) degli interessi dopo un anno; b) del montante dopo un anno a) I = C 0 * r = * 0,05 = 50 euro b) M = C 0 + I = C 0 * (1 + r) = * 1.05 = euro

7 Interesse Per un periodo inferiore ad un anno La durata (n) viene indicata come frazione di anno n = periodo/365 (oppure periodo/360) Es. per un periodo di un mese (30 gg), n = 30/360 I = C 0 * r * n Montante M = C 0 * (1 + r n) Valore scontato C 0 = M / (1 + r n) Esempio La somma di euro viene depositata in banca all interesse del 5% Si vuol conoscere l ammontare a) degli interessi; b) del montante dopo 90 giorni a) I = C 0 * r * n = * 0,05 * (90/360) = 12,50 euro b) M = C 0 + C 0 * r * n = C 0 * (1 + r * n) = 1.012,50 euro

8 Anticipazione e Per periodi di durata pari o inferiore ad un anno Coefficiente di (1 + r * n) Coefficiente di anticipazione 1 / (1 + r * n) Posticipo C 0 (1 + r n) M 0 1 / (1 + r n) n Anticipo

9 Interesse Determinazione del montante dopo n anni Dopo 1 anno C 1 = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r) Dopo 2 anni C 2 = C 1 + C 1 * r = C 1 * (1 + r) C 2 = C 0 * (1 + r) * (1 + r) C 2 = C 0 * q 2 In generale C n = C 0 * q n Esempio A quanto ammonterà, tra 10 anni, il capitale di euro investito in titoli al saggio del 5%? M = C 0 * q n M = * 1,0510 = 1.629,00 euro (se l interesse non fosse, cioè se gli interessi non maturassero altri interessi, il montante sarebbe inferiore: 1.500,00 euro)

10 Anticipazione e Per periodi di durata superiore ad un anno Coefficiente di (1 + r) n = q n Coefficiente di anticipazione 1 / (1 + r) n = 1 / q n Posticipo C 0 q n M 0 1 / q n n Anticipo

11 Anticipazione: un esempio Mille euro, in valore attuale, al variare del tempo e del tasso di interesse All aumentare del tempo diminuisce il valore attuale Al crescere del saggio diminuisce il valore attuale Tasso di interesse 1 anno 2 anni 3 anni 10 anni 20 anni 1% % % % % % % % % %

12 Anticipazione e Coefficiente di Coefficiente di anticipazione Periodo di durata pari o inferiore all anno (1 + r * n) 1 / (1 + r * n) Periodo di durata superiore all anno (1 + r) n q n 1 / (1 + r) n 1 / q n

13 Per approfondimenti Realfonzo A. (1994), Teoria e metodo dell estimo urbano, Nis, Roma Forte F. e De Rossi B. (1974), Principi di economia ed estimo, Etas, Milano

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