Disequazioni di II grado

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1 Disequazioni di II grado Scomposizione di un trinomio di 2 grado La scomposizione del trinomio di 2 grado ax 2 + bx + c dipende dal discriminante. Se questo è positivo esistono radici reali e distinte x 1 e x 2 ed è noto che il trinomio si può scrivere come a(x x 1 )(x x 2 ) Se il discriminante è uguale a zero le radici sono reali e coincidenti x 1 = x 2 e la scomposizione del trinomio diventa a(x x 1 ) 2 Qualora il discriminante risulti minore di zero il trinomio si scompone nel seguente modo ax 2 + bx + c = a (x 2 + b a x + c a ) = a (x2 + b b2 x + a 4a 2 + c a b2 2 b 4a2) = a [(x + 2a ) = a [(x + b 2a ) 2 Δ 4a 2] 4ac b2 + 4a 2 ] Riepilogando Scomposizione del trinomio Δ > a(x x 1 )(x x 2 ) Δ = Δ < a(x x 1 ) 2 a [(x + b 2a ) 2 Δ 4a 2] ax 2 + bx + c

2 Segno del trinomio di 2 grado 1 caso Δ > La scomposizione del trinomio ax 2 + bx + c è a(x x 1 )(x x 2 ) x 1 x 2 L intervallo ]x 1; ; x 2 [ è detto intervallo interno alle radici. Mentre gli intervalli ] ; x 1 [ e ]x 2 ; + [ sono detti intervalli esterni all intervallo delle radici. Il trinomio assume il valore zero quando alla x attribuiamo il valore corrispondente alle radici dell equazione cioè x 1 e x 2. Infatti a(x 1 x 1 )(x x 2 ) = a(x x 1 )(x 2 x 2 ) = Per valori di x esterni all intervallo delle radici x 1 x 2 x x il prodotto (x x 1 )(x x 2 ) risulta sempre maggiore di zero in quanto entrambi i fattori o sono positivi o sono negativi. Pertanto il segno del trinomio è uguale al segno del coefficiente a Per valori di x interni all intervallo delle radici x 1 x 2 x il prodotto (x x 1 )(x x 2 )

3 risulta sempre minore di zero in quanto un fattore è positivo e l altro è negativo. Pertanto il segno del trinomio è l opposto del segno del coefficiente a Il segno del trinomio a(x x 1 )(x x 2 ), nel caso Δ > è determinato dal secondo il seguente schema x 1 x 2 segno opposto ad a 2 caso Δ = La scomposizione del trinomio è a(x x 1 ) 2 x 1 x 2 In questo caso non esiste l intervallo interno alle radici. Il trinomio assume il valore zero quando alla x attribuiamo il valore corrispondente alle radici dell equazione cioè x 1. Infatti a(x 1 x 1 ) 2 = Per valori di x x 1 il segno dipende dal essendo l altro fattore un quadrato. Pertanto avremo x 1 x 2

4 3 caso Δ < La scomposizione del trinomio è a [(x + b 2a ) 2 Δ 4a 2] I termini dentro le parentesi quadrate sono entrambi positivi essendo Δ < Il trinomio assume sempre il segno del coefficiente a e non si annulla mai Schema riassuntivo del segno del trinomio di 2 grado Segno del trinomio ax 2 + bx + c x 1 x 2 Δ > segno opposto ad a x 1 x 2 Δ = Δ <

5 Disequazioni di 2 grado Una disequazione di 2 grado in un incognita ha una delle seguenti forme ax 2 + bx + c (1) ax 2 + bx (2) ax 2 + c (3) ax 2 (4) Il delta della (2) è sempre maggiore di zero. Il delta della (3) è maggiore di zero se a e c sono discordi, minore di zero se sono concordi. Il delta della (4) è uguale a zero e le radici coincidono con lo zero. Il delta della (1) bisogna calcolarlo per stabilirne il segno. Schema riassuntivo del delta del trinomio di 2 grado ax 2 + bx + c Calcolare il delta per stabilirne il segno ax 2 + bx ax 2 + c ax 2 Delta sempre maggiore di zero Il delta è maggiore di zero se a e c sono discordi, minore di zero se sono concordi. Il delta è uguale a zero e le radici coincidono con lo zero Per risolvere una disequazione di 2 grado bisogna tenere presente quanto detto prima sulla scomposizione e sul segno del trinomio di 2 grado. Esempio 1 2x 2 5x 3 > Calcoliamo il delta = b 2 4ac = = 49 > Essendo il maggiore di zero associamo l equazione per determinare le radici 2x 2 5x 3 = x = 5 ± 7 4 x 1 = 1 2 e x 2 = 3

6 Poiché a è positivo abbiamo La disequazione è soddisfatta per x < 1 2 x > 3 S =] ; 1 [ ]3; + [ 2 Esempio 2 x 2 + 5x Poiché il delta è positivo associamo l equazione per determinare le radici x 2 + 5x = x( x + 5) = x 1 = e x 2 = 5 Poiché a è negativo abbiamo 5 + La disequazione è soddisfatta per Osservazione x 5 S = [; 5] L esercizio può anche essere svolto cambiando il segno e il verso della disequazione x 2 + 5x x 2 5x

7 Poiché a è positivo abbiamo La disequazione è soddisfatta per x 5 S = [; 5] Esempio 3 x 2 + x + 1 < Calcoliamo il delta = b 2 4ac = 1 4 = 3 < Essendo il minore di zero l equazione associata non ammette radici reali. Pertanto il trinomio assume sempre il cioè sempre positivo. + La disequazione è soddisfatta x R S =] ; + [ Esempio 4 4x 2 2x + 25 Il delta risulta uguale a zero per cui le radici sono reali e coincidenti Associamo l equazione per determinare le radici 4x 2 2x + 25 =

8 x = 1 ± 4 x 1 = x 2 = 5 2 Poiché a è positivo abbiamo La disequazione è soddisfatta per x = 5 2 S = { 5 2 } Esempio 5 x 2 16 Poiché i coefficienti sono discordi il delta è positivo. Associamo l equazione per determinare le radici x 2 16 = x 1 = 4 e x 2 = 4 Poiché a è positivo abbiamo La disequazione è soddisfatta per x 4 x 4 S =] ; 4[ ]4; + [

9 Esempio 6 x 2 16 Poiché i coefficienti sono concordi il delta è negativo. Il trinomio assume sempre il cioè negativo. La disequazione è non è mai soddisfatta S = Esempio 7 4x 2 Il delta è uguale a zero e le radici reali e coincidenti con lo zero Poiché a è negativo abbiamo La disequazione è soddisfatta per x = S = {} Risoluzione grafica di una disequazione numerica di 2 grado Una disequazione di 2 grado ax 2 + bx + c può essere risolta per via grafica risolvendo il sistema misto

10 { y = ax2 + bx + c y Che può essere interpretato graficamente. L equazione y = ax 2 + bx + c rappresenta, nel piano cartesiano, una parabola. La disequazione y rappresenta il semipiano delle ordinate positive o negative incluso o meno l asse delle x. I punti che soddisfano il sistema sono tutti quei punti che appartengono alla parabola e al semipiano relativo. I casi che si possono presentare sono:

11 Disequazioni frazionarie e disequazioni intere. Per risolvere tali tipi di disequazioni conviene seguire il seguente procedimento 1. Se il 2 membro della disequazioni non è zero, si trasportano tutti i termini al primo membro in modo che al 2 membro compaia solo lo zero 2. Si cerca di scrivere il 1 membro come prodotto di polinomi di 1 o di 2 grado oppure come frazione avente numeratore e denominatore polinomi di 1 o 2 grado oppure prodotti di tali polinomi. 3. I fattori sempre positivi si possono trascurare in quanto non incidono sul segno della disequazione. 4. Si studia il segno di ciascuno degli altri polinomi sempre con il verso > e con il verso solo per i polinomi del numeratore se nel verso della disequazione da studiare è presente l uguale. 5. Si disegna uno schema grafico che visualizza il variare dei segni dei singoli fattori al variare dell incognita 6. Si determina il segno ricordando che un prodotto o un rapporto è positivo se i fattori negativi sono in numero pari e negativo se sono in numero dispari. 7. Tenendo conto dei risultati ottenuti si determinerà l insieme delle soluzioni della disequazione.

12 Esempio 1 x 2 2x + 1 x + 3 Trasformiamo la disequazione in una forma equivalente Studiamo il segno del numeratore (x 1) 2 x + 3 (x 1) 2 (x 1)2 > x 1 x 1 = x = 1 Studiamo il segno del denominatore x + 3 > x > 3 Disegniamo lo schema grafico che riassume il variare dei segni 3 1 D N N D Si conclude che la disequazione è soddisfatta per x < 3 x = 1 S =] ; 3[ {1} Esempio 2 x 2 4 x 2 2x 3

13 Studiamo il segno del numeratore x 2 4 Poiché i coefficienti sono discordi il delta è positivo. Associamo l equazione per determinare le radici x 2 4 = x 1 = 2 e x 2 = 2 Poiché a è positivo abbiamo La disequazione è soddisfatta per x 2 x 2 Studiamo il segno dei fattori del denominatore x 2 2x 3 > Calcoliamo il delta = b 2 4ac = = 4 > Essendo il maggiore di zero associamo l equazione per determinare le radici x 2 2x 3 = x = 1 ± 2 x 1 = 1 e x 2 = 3 Poiché a è positivo abbiamo La disequazione è soddisfatta per x < 1 x > 3

14 Disegniamo lo schema grafico che riassume il variare dei segni N D N D Si conclude che la disequazione è soddisfatta per x 2 1 < x 2 x > 3 S =] ; 2] ] 1; 2] ]3: + [ Sistemi di disequazioni Definizione Si chiama sistema di disequazioni un insieme di due o più disequazioni, tutte nella stessa incognita, considerate contemporaneamente. Definizione Si dice che un numero è soluzione di un sistema di disequazioni se, sostituito all incognita, trasforma le disequazioni del sistema in diseguaglianze vere. Per risolvere un sistema di disequazioni è sufficiente risolvere singolarmente ciascuna disequazione del sistema. L insieme delle soluzioni del sistema sarà dato dall intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni. Per determinare tale insieme si farà la rappresentazione grafica dell insieme delle soluzioni di ciascuna disequazione. L insieme delle soluzioni del sistema sarà costituito da tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le disequazioni; tali intervalli sono quelli in cui tutte le linee sono continue. Qualora una disequazione risulta sempre falsa il sistema sarà impossibile e l insieme delle soluzione sarà l insieme vuoto. Se invece una disequazione risulta sempre vera si può trascurare.

15 Esempio 1 { x 2 4 > x 2 2x 3 < Risolviamo singolarmente le disequazioni del sistema 1 a disequazione x 2 4 > x < 2 x > 2 2 a disequazione x 2 2x 3 < 1 < x < 3 Il sistema È equivalente al sistema { x 2 4 > x 2 2x 3 < x < 2 x > 2 { 1 < x < 3 Per determinare l insieme delle soluzioni del sistema facciamo la rappresentazione grafica dell insieme delle soluzioni di ciascuna disequazione Dal grafico deduciamo che l intersezione delle soluzioni è per 2 x < 3 S = [ 2; 3[

16 Esempio 2 { x > x 2 2x 3 < Poiché la prima disequazione del sistema è sempre vera in quanto è sempre maggiore di zero, si può trascurare e il sistema è equivalente alla disequazione x 2 2x 3 < Che è soddisfatta per 1 < x < 3 S =] 1; 3[ Bibliografia: N. Dodero P. Baroncini R. Manfredi: Lineamenti di Matematica Ghisetti & Corvi Editori