Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

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1 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it PROBLEMA Sia f ( ) ln ( ) ln e sia g ( ) ln ( ) ln. Si determinino i domini di f e di g.. Si disegnino, nel medesimo sistema di assi cartesiani ortogonali Oy, i grafici di f e di g.. Si determinino, se esistono, le coordinate degli eventuali punti di discontinuità o di non derivabilità di f e di g rispettivamente. 4. Si calcoli l area compresa tra g() e l asse per e e. RISOLUZIONE Punto Consideriamo la funzione f ( ) ln ( ) ln ; innanzitutto osserviamo che per l esistenza di ln ( ) deve essere, condizione che assicura anche l esistenza di ln, in quanto l addendo ln esiste. Posto quindi, l addendo ln può essere ln ln ln, per cui per assicurare l esistenza scritto come del radicando bisogna imporre ln ( ) ln ln ( ) ln ; poiché ) ln ln, la disequazione ln ln ( nel rispetto della condizione è sempre soddisfatta. In conclusione f è :, il dominio di ( ) ln ( ) ln D f. Stessi ragionamenti vanno fatti per la funzione g ( ) ln ( ) ln il cui dominio sarà D g :,.

2 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Punto Notiamo subito che il grafico della funzione f ( ) ln ( ) ln può essere ricavato da quello di g ( ) ln ( ) ln a seguito di simmetria rispetto all asse delle ordinate in quanto f ) g (. Studiamo quindi il grafico di g ( ) ln ( ) ln. Innanzitutto, poiché ln riscrivere ln ( ) ln ln ( ) ln g ( ) ln ( ) ln come ln ln se e g( ) ln. se e Notiamo innanzitutto che la funzione è continua in lim ln lim ln. e e Studiamo un ramo alla volta, partendo da g ln, possiamo e in quanto nell intervallo e,. Tale funzione interseca l asse delle ascisse in e,, è positiva nel dominio e,, non presenta asintoti né verticali né orizzontali né obliqui, ed è strettamente crescente in tutto il dominio e,. Studiamo il ramo g ln nell intervallo,e. Tale funzione non interseca l asse delle ascisse in quanto e non appartiene al dominio, è positiva nel dominio,e, presenta come asintoto verticale in quanto lim ln, non presenta asintoti orizzontali né obliqui visto il dominio limitato, ed è strettamente decrescente in tutto il dominio,e. Notiamo che in e la funzione presenta un punto angoloso in quanto lim g' lim lim g' lim. e e e e e e

3 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Di seguito il grafico di g ( ) ln ( ) ln. Il grafico di ln se e f ( ) ln ( ) ln si ricava ln se e da quello soprastante per simmetria intorno all asse delle ordinate:

4 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Punto La funzione g ( ) ln ( ) ln è continua in tutto il dominio D g :, e non è derivabile in e in cui presenta un punto angoloso in quanto lim g' lim e e e lim g' lim e e e Analogo ragionamento per la funzione f ( ) ln ( ) ln continua in tutto il dominio :, D f e non è derivabile in e in cui presenta un punto angoloso in quanto lim f ' lim lim f ' lim. e e e e e e 4

5 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Punto 4 L area richiesta è pari a S per parti si ha: S e e ln d. Applicando l integrazione e ln d ln eln e eln e eln ln e eln e eln e e e e 4 e ln eln 4 eln e 5

6 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it PROBLEMA Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli reali, da f ( ) 8 e g( ) sen( ). Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oy, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G f e G g.. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a G f e G g nel punto di ascissa. Quale è la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell angolo acuto individuato da r e da s?. Si calcoli l area della regione R racchiusa, tra G f e G g. 4. Si scrivano, spiegandone il perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi dei solidi K e W ottenuti dalle rotazioni di R, attorno alle rette y e y, rispettivamente. RISOLUZIONE Punto Studiamo la funzione f 8. Il grafico della funzione f 8 possiamo ricavarlo da quello della funzione h 8 ribaltando verso le ordinate positive la parte di grafico al di sotto dell asse delle ascisse. Pertanto studiamo la funzione h 8 Dominio: R; Intersezione ascisse: h 8 Intersezioni ordinate: h ; Simmetrie: la funzione è dispari in quanto h 8 8 h ; Positività: la cubica h 8 è positiva se ; 6

7 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R; Asintoti orizzontali: h lim per cui non ve ne sono; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto lim h ; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è h' 4 per cui all interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla solo in Concavità e convessità: h' ' 48 per cui la funzione ha concavità verso l alto in, e verso il basso in,; poiché h ', h'', h''' 48 quindi F, è un flesso a tangente orizzontale di equazione y. h'' h'' h'' - flesso 7

8 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Il grafico G è di seguito presentato: h Il grafico G f, ricavato da quello di G h, è di seguito presentato: 8

9 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it 9 Studiamo la a funzione g sin Dominio: R; Intersezione ascisse: Z g, sin Intersezioni ordinate: g ; Simmetrie: la funzione è dispari in quanto g g sin sin ; Positività: la funzione è positiva se Z, ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata; Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è g cos ' per cui la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui cos e strettamente decrescente negli intervalli in cui cos. Poiché Z, cos e Z, cos, deduciamo che la funzione è strettamente crescente negli intervalli,, con Z e strettamente decrescente in, con Z ; in conclusione la funzione presenta

10 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it massimi relativi in con Z. M, e minimi relativi in m, Concavità e convessità: la derivata seconda è g'' sin annulla in, Z per cui i punti, sono flessi. Il grafico G g è di seguito presentato: e si Punto. La tangente in alla funzione f 8 ha equazione y f ' f dove f, f ' 4 6 per cui l equazione della tangente è y 6 6. Per, f 8 8

11 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it La tangente in alla funzione g sin ha equazione y g' g dove g, g' cos per cui l equazione della tangente è y. D altronde l ascissa è ascissa di massimo per cui la tangente in è orizzontale e pari al valore massimo che può assumere una funzione sinusoidale, cioè. Date due rette di coefficienti angolari m,m', l angolo acuto formato tra m m' le due può essere ricavato dalla formula tan da cui, mm' m m' sapendo che m6, m', ricaviamo tan 6 per cui mm' arctan 6,46 rad 8' Punto Le due funzioni f 8 e g sin nei punti di ascisse g f si intersecano solamente, sin sta al di sopra di 8 8 raffigurata in grigio:. Nell intervallo, la funzione f 8 e in questo intervallo. La regione R di cui calcolare l area è di seguito

12 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it L area richiesta vale 4 sin 8 cos S R g f d d Punto 4 Il volume del solido K ottenuto dalla rotazione della regione R attorno all asse delle può essere ottenuto come differenza tra il volume V del solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla curva g sin, dalla retta e dall asse attorno all asse, e il volume V del solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla curva f 8, dalla retta e dall asse attorno all asse. Pertanto si ha: V 8 K V V sin d d

13 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a risolvere l integrale definito soprastante: V cos d 8 d K sin 64 sin Il volume W del solido generato dalla rotazione della regione R attorno alla retta y può essere ottenuto applicando il Principio di Cavalieri, cioè immaginando il solido di rotazione come insieme delle sue sezioni con piani perpendicolari all'asse ; tali sezioni sono corone circolari di raggio interno pari a R 8, e raggio esterno pari a sin R est. Pertanto il volume richiesto è pari a int d sin 8 W R R V est int 6 d d Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a risolvere l integrale definito soprastante: sin 8 V W d sin 8 d sin 6 d cos

14 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it QUESTIONARIO Quesito Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore? tan h tan 6 6 lim h h tan h tan Calcoliamo il limite 6 6 lim. h h f h f Esso rappresenta il limite del rapporto incrementale h calcolato nel punto ; si tratta quindi della derivata prima della 6 funzione f tan calcolata in. Poiché f ', il 6 cos 4 limite richiesto è pari a f ' 6. cos 6 Alternativamente si può calcolare il limite sfruttando l identità tan h tan tanh tan h tan, pertanto si ha: 4

15 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it tan h tan tanh tan h tan lim lim h h h h tan h tan tan 6 6 h lim lim h h h h 4 in cui si è sfruttato il limite notevole tan lim h h h Quesito Si calcoli la derivata diciassettesima di f cos. La derivata prima della funzione f cos è f ' sin, la derivata seconda è f '' cos, la derivata terza f '' sin 4 derivata quarta f cos ' e la ; di conseguenza dopo 4 derivazioni la derivata quarta coincide con la funzione di partenza. E facile constatare che sin n,5,9, cos n,6,, f n sin n,7,, cos n 4,8,, cioè l operatore di derivazione ha periodo 4. In conclusione, tenendo conto dello schema soprastante, la derivata diciassettesima coincide con 7 la derivata prima, f f ' sin. 5

16 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Quesito Si lancino due dadi. Qual è la probabilità che uno e soltanto uno dei due numeri sia 5? Lanciando due dadi, si possono avere 6 combinazioni, e quelle che contengono un solo 5 sono di seguito elencate:,5,,5,,5, 4,5, 6,5, 5,, 5,, 5,, 5,4, 5,6. In sostanza combinazioni su 6 contengono un solo 5, per cui la probabilità richiesta, calcolata come rapporto tra casi favorevoli su quelli totali, è 5 pari a p. 6 8 Quesito 4 Si scriva l equazione della retta normale al grafico di y sin nel punto di ascissa. 4 La retta normale è la retta perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza. La retta tangente al grafico di f sin in, è 4 y f ' dove f ' sin per cui 4 l equazione è y 4. Di conseguenza la retta normale ha equazione 4 y. 6

17 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Quesito 5 Si mostri che, nello sviluppo di ( a b), il coefficiente del termine a b n n! è uguale a.!( n )! n Il teorema binomiale o anche formula di Newton, esprime la potenza n- esima di un binomio qualsiasi attraverso la formula n n n n a b a b da cui deduciamo che il coefficiente di b n a n n! è.! n! Alternativamente, nello sviluppo a b n il monomio a b n si può ottenere in molti modi, scegliendo volte il termine a e n- volte il termine b; ciò equivale a scrivere una parola di n lettere di cui sono a e n- sono b. I possibili anagrammi di una siffatta parola sono n n! esattamente.! n! Quesito 6 noto che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio. Si utilizzi il risultato per calcolare sin. Consideriamo la figuraa lato. Sia OM l altezza del triangolo isoscele AOB. L angolo ˆ A OB in 5 quanto dell angolo giro. Il lato AB è la sezione aurea del raggio per cui 7

18 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it 5 AB 5 AB r da cui MA r. 4 Ma per il teorema dei seni MA AO sin r sin da cui per confronto si ricava sin 5. 4 Quesito 7 E dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l ampiezza dell angolo formato da l e da h. Consideriamo la figura a lato. Per ipotesi il tetraedro è regolare, per cui è una piramide retta; il piede H dell altezza coincide con l incentro del triangolo equilatero ABC di base ed è anche ortocentro e baricentro. Da ciò deduciamo che il piede H divide l altezza BK in due parti, di cui una doppia dell altra. Poiché BK l, BH BK l ; il triangolo BHD è rettangolo in H e applicando il teorema dei sin triangoli rettangoli, deduciamo che arcsin 5, 6. da cui 8

19 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it Quesito 8 Fra le piramidi rette a base quadrata di assegnata superficie laterale S, si determini quella di volume massimo. Consideriamo la figura a lato. Indichiamo con a l apotema e con il lato di base. L altezza della piramide per il teorema di Pitagora è pari a h a a ; l apotema, è 4 data dal rapporto della superficie laterale, nota per ipotesi, con il semiperimetro, 4 Sl Sl Sl a per cui h. 4 4 Poichè l apotema a è certamente maggiore della metà del lato di base in quanto il triangolo EOH è rettangolo in O, una ulteriore condizione Sl da imporre sul lato di base è a Sl pertanto i limiti geometrici impongono S. Il volume della piramide è pari a l 4 Sl 6 V Sb h S l. 4 6 Per massimizzare il volume calcoliamo la derivata prima della funzione 5 6 Sl V Sl, si ha V ' che si annulla in S S, 4 l. Considerando la limitazione geometrica l, la 9

20 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it funzione volume è strettamente crescente in, 4 S l e strettamente decrescente in S l S 4, Sl per cui assume massimo in 4 l cui corrisponde il valore massimo S S S S S l l l l l V Sl Sl Sl Sl 4S l Quesito 9 Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.c.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, ne determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce. Consideriamo la figura a lato. Sia A il simmetrico di A rispetto ad B r; il segmento A B interseca la retta r in P in quanto A e B si trovano in semipiani diversi rispetto alla retta r. Dimostriamo che il punto P è quello che realizza il cammino minimo tra r A e B. Consideriamo un ulteriore P punto P differente da P ed appartenente alla retta r; in un triangolo la somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza del terzo, per cui P A A

21 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it A' P' P' B A' B A' P PB da cui deduciamo che il punto P è quello che minimizza il cammino tra A e B. Quesito Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni reale? A) cos sin B) sin cos C) sin ln D) cos ln Si giustifichi la risposta. Ragioniamo per esclusione. g sin cos non può essere positiva per ogni La funzione reale in quanto se valutata in vale g sin cos sin cos sin cos sin La funzione sinln h non può essere positiva per ogni reale in quanto se valutata in e vale h e sin ln e sin ln e sin ln e sin i cos ln non può essere positiva per ogni La funzione reale in quanto se valutata in e vale

22 Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria, matematicamente.it cos ln cos ln cos ln i e e e e cos Di conseguenza la funzione che è sempre positiva per ogni reale è la A) f cossin Alternativamente, poiché la funzione coseno è pari ed assume valori, positivi per, poiché la funzione sin assume tutti i valori compresi nell intervallo, e poiché,,, f cos sin è positiva per ogni reale. deduciamo che