5 LAVORO ED ENERGIA. 5.1 Lavoro di una forza

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "5 LAVORO ED ENERGIA. 5.1 Lavoro di una forza"

Transcript

1 5 LAVR ED ENERGIA La valutazione dell equazione del moto di una articella a artire dalla forza agente su di essa risulta articolarmente semlice qualora la forza è costante; in tal caso è ossibile stabilire banalmente l accelerazione del coro e tale determinazione corrisonde di fatto ad un roblema di cinematica Lo studio del moto della articella diviene iù comlicato nella circostanza in cui la forza agente non è costante ma diende dal temo o dalla osizione Come già visto nei recedenti esemi tale studio uò essere ortato avanti attraverso l integrazione delle equazioni del moto Con l introduzione dei concetti di lavoro e di energia è ossibile effettuare una descrizione del moto alternativa a quanto visto fino ad ora giungendo ai medesimi risultati che si ottengono tramite l alicazione diretta delle leggi di Newton In iù circostanze l analisi del roblema condotta seguendo questo aroccio risulta generalmente iù semlice risetto all alicazione della seconda legge di Newton 5 Lavoro di una forza Consideriamo un unto materiale P in moto lungo una curva er effetto di una forza F ; sia r il vettore osizione del unto in un sistema di riferimento inerziale In un intervallo di temo dt il unto comie uno sostamento dr Si definisce lavoro elementare della forza F agente sul unto materiale P che si sosta di dr la quantità scalare: dw F dr Fdr cos (5) Siccome l accelerazione a della articella uò esrimersi attraverso la relazione () tramite la comonente tangenziale a t e quella normale a n alla traiettoria di conseguenza dalla (4) la forza F uò esrimersi come: F ma m tˆ a na ˆ F F t n t n dove F t e F n sono risettivamente le comonenti della forza F tangenziale e normale alla traiettoria; sostituendo questa esressione nella (5) si ottiene: dw Fdr F F dr F F t ds ˆ t n t n dove dr è stato esresso tramite la (4) attraverso lo sostamento infinitesimo ds lungo l ascissa curvilinea; siccome il vettore F n è erendicolare a ˆt segue: z r P y r dr F r F r cosj J L dw F ds t

2 5- Lavoro ed energia cioè il lavoro elementare è uguale al rodotto dello sostamento infinitesimo er la comonente della forza lungo tale sostamento Dalla relazione (5) segue che se 9 allora dw e il lavoro è detto motore; se 9 8 allora dw e il lavoro è detto resistente; infine se 9 risulta dw essendo in questo caso la forza F ortogonale a dr Esemio: Consideriamo il moto di un coro lungo una traiettoria circolare con velocità angolare costante In tal caso l accelerazione del coro sarà solo centrieta e ertanto sul coro deve agire una forza che dalla (5) è ari a: v F ma ˆ n m n R C F r v r P dalla relazione (5) il lavoro elementare fatto dal tale forza in corrisondenza di uno sostamento infinitesimo lungo la traiettoria vale: v dw F dr m nˆ t ˆ ds R cioè la forza F non comie lavoro Esemio: Consideriamo un coro in moto su di un iano orizzontale il lavoro elementare svolto dalla forza di gravità in corrisondenza di uno sostamento dr sul iano è: v r dw F dr mg dr mg r essendo mg ortogonale a dr Esrimendo lo sostamento dr attraverso la (3) come somma degli sostamenti elementari lungo gli assi coordinati la (5) uò scriversi come: dove dw F dr F ˆd yˆdy zˆ dz Fd Fydy Fzdz F F y e F z raresentano le comonenti della forza lungo i tre assi coordinati Il lavoro comiuto dalla forza F quando il unto materiale si sosta lungo la curva tra un unto P ed un unto P si ottiene sommando i lavori elementari relativi agli infiniti sostamenti dr in cui è diviso il ercorso da P a P ; tale somma rende il nome di integrale di linea lungo : P P W F dr F d F dy F dz (5) P P y z Pertanto in generale il lavoro eseguito dalla forza F nello sostamento del unto materiale dalla osizione P a quella P lungo un ercorso è l integrale di linea di F da P a P lungo Nel sistema SI il lavoro viene misurato in joule (J) e J è il lavoro fatto da una forza di N in corrisondenza di uno sostamento di m del suo unto di alicazione nella direzione della forza

3 Lavoro ed energia 5-3 Esemio: Consideriamo un coro soggetto ad una forza F in moto rettilineo su un iano Risulta: dw F dr F d F cos d così in corrisondenza di uno sostamento s lungo una retta si ha: J F r s s s s W F dr F cos d F cos d Fs cos ; in articolare se si ha cos così l esressione recedente diventa: W Fs Esemio: Consideriamo un coro di massa m in moto verticale a velocità costante dalla suerficie terrestre fino ad una quota h Affinché il moto avvenga a velocità costante la risultante delle forze agenti sul coro lungo la direzione del moto deve essere nulla cioè su di esso deve agire una forza F tale che: y h F mg cioè la forza deve avere intensità: F r F mg In corrisondenza dello sostamento del coro sino alla quota h il lavoro eseguito da tale forza vale: mg r h W Fdy Fhmgh (53) Esemio: Consideriamo un coro di massa m che sale con velocità costante lungo un iano inclinato rivo di attrito a artire dal suolo fino ad una quota h Siccome il moto avviene a velocità costante la risultante delle forze agenti sul coro lungo la direzione del moto deve essere nulla cioè: F mgsin N r F r mg r h dove F è il modulo della forza con cui viene sinto il blocco: J F mgsin In corrisondenza dello sostamento del coro sino alla quota h il coro avrà comiuto uno sostamento s lungo il iano inclinato ari a : h s sin così il lavoro eseguito dalla forza F vale: s h W Fd Fs mgsin mgh sin quindi il lavoro è lo stesso che si otterrebbe qualora il coro fosse sollevato verticalmente con velocità costante sino alla quota h senza adoerare il iano inclinato

4 5-4 Lavoro ed energia Esemio: Consideriamo una molla elastica di costante k e stabiliamo il lavoro fatto dalla molla er ortare un coro ad essa collegato da una osizione ad una osizione i f Siccome il roblema è unidimensionale dalla (44) risulta: i f W k d k k i f i (54) Si osservi che se i f cioè se la deformazione iniziale è maggiore di quella finale W mentre se i f allora W ; quindi la molla comie un lavoro ositivo solo quando tende a riortare il coro nella osizione di equilibrio In articolare il lavoro eseguito dalla molla er ortare il coro dalla osizione di equilibrio i ad una generica osizione è: f W kd k f Siccome W il lavoro della molla è lo stesso sia in comressione che in estensione Stabiliamo il lavoro fatto da una forza esterna F et er ortare il coro connesso alla molla da una osizione iniziale i ad una finale ; in questo caso affinché il f F r F r et coro sia in equilibrio in ogni unto del ercorso da i a la forza f deve risultare uguale in modulo ma oosta alla forza elastica di F et richiamo (43) così: W F dkd k et Ciò segue er altro dal fatto che F et è semre diretta come lo sostamento dr ˆ d er cui risulta semre W ; infatti con riferimento allo schema di figura se F è nel verso delle ositive lo sostamento avviene in tale verso e et viceversa Esemio: Consideriamo una sonda saziale in moto dalla Terra a Marte Indicando con M la massa solare e con m quella della sonda quando questa si trova a distanza r dal Sole questo esercita sulla sonda una forza detta forza gravitazionale ari a: Mm F G rˆ r dove G è la costante di gravitazione ari a circa 667 Nm kg Il lavoro eseguito da tale forza sulla sonda nel moto dalla Terra a Marte è: W F dr G rˆ dr GMm r r Mm r r r r r Sole r r Terra Marte dove r e r sono risettivamente le distanze del Sole dalla Terra e da Marte Così siccome r vale circa 5 m e 3 r vale circa 3 m la massa del Sole è di circa 99 kg e assumendo che la massa della sonda sia di kg si ha: W 3 J Si noti che il risultato conseguito è indiendente dal ercorso tra la Terra e Marte ma diende unicamente dai unti estremi di tale ercorso Pertanto se la sonda si sostasse lungo un ercorso differente da quello rettilineo il lavoro

5 Lavoro ed energia 5-5 eseguito dalla forza F su di essa sarebbe lo stesso sserviamo inoltre che se r r allora W altrimenti er r r si ha W cioè in articolare il lavoro fatto da F è ositivo se il satellite si avvicina al Sole; ciò è conseguenza del fatto che tale forza è attrattiva ossia il corrisondente vettore unta semre verso il Sole Esemio: Una forza ari a kt agisce su di una articella di massa m Suonendo che la articella arta da ferma stabiliamo il lavoro della forza nei rimi t secondi Per valutare lo sostamento infinitesimo rodotto dall azione della forza sulla articella er un temo dt ne stabiliamo la velocità dalla (4) risulta: ma t kt da cui segue che l accelerazione del coro vale kt m ; ertanto integrando la relazione dv a t dt si ha: vt t t k d a d d m v siccome er iotesi v si ha: v t t k kt d m m così esrimendo lo sostamento infinitesimo come vdt ovvero come kt t t 4 k kt W Fd Fvd k d m 8m m dt il lavoro vale: Esemio: Un unto materiale si sosta da una osizione P di coordinate esresse in metri ad una osizione P di coordinate 3 in un iano e lungo una y 3 sotto l azione di una forza F : retta di equazione F y y yˆ 3 ˆ 5 y P dove F è esressa in newton e le coordinate e y in metri Per calcolare il corrisondente lavoro utilizziamo l esressione generale (5): P 3 P P P W F dr F d F dy 3y d y 5dy y P P P d 5 d d 4 J Qualora lo sostamento abbia luogo lungo un ercorso differente il valore del lavoro cambia Consideriamo infatti lo sostamento lungo la traiettoria arabolica di equazione y 9 il lavoro vale: P P P W F dr F d F dy 3y d y 5dy y P P P d 5 d d J y P P 3 3

6 5-6 Lavoro ed energia Esemio: Un unto materiale si muove sotto l azione di una forza ari a F b ˆ in cui b è una costante ositiva e il corrisondente moto è descritto dalle equazioni orarie y y P F r ( y ) P t y t kt ht y F r ( y ) dove k e h sono entrambi ositivi Eliminando il arametro t da tali equazioni si trova l equazione della traiettoria: k h y così Il lavoro fatto dalla forza F quando il unto materiale assa da una osizione P ad una osizione P vale: P b W Fdr F d b d P Si uò ervenire al medesimo risultato attraverso le equazioni orarie infatti il lavoro uò essere esresso come: t P W Fdr F d F v d P t dove la velocità del unto materiale nella direzione della forza vale: y d t v kt dt e inoltre t k recedente si ha: e t k er cui sostituendo nell esressione r J C t k 4 k t bk b 4 k k t k k W F v d b kt kt dt k b Esemio: Consideriamo un unto materiale in moto lungo una circonferenza di raggio R situata nel iano y con centro nell origine; il unto materiale è soggetto ad una forza: F yz ˆ yz yˆ 3y4 z zˆ Nel iano y la coordinata z è nulla er cui in tale iano la forza agente sul unto materiale è: F y ˆ y yˆ 3 y zˆ ; il lavoro elementare fatto da questa forza dalla (5) vale: dw F dr y d y dy (55) D altra arte la traiettoria del unto è tale che:

7 Lavoro ed energia 5-7 Rcos y Rsin e di conseguenza: d Rsin d dy R cos d; così sostituendo tali differenziali nella (55) si ha: cos sin sin cos sin cos dw R R R d R R R d R cos sindr sin dr cos dr cossind R dr cossin d Infine in corrisondenza di una rotazione lungo la circonferenza l angolo varia tra e così integrando si ha: W R dr cossind R R cossind R R d R Tale risultato raresenta il lavoro svolto dalla forza F in corrisondenza di una rotazione del unto materiale lungo la circonferenza Un ulteriore rorietà del lavoro derivante dalla sua formulazione matematica è raresentata dall additività Consideriamo un insieme di forze F F FN agenti su di uno stesso unto materiale; il lavoro comiuto dalla forza risultante F ari a F F F F N in corrisondenza di uno sostamento del unto da una osizione P ad una osizione P vale: P P P P P W F dr F F F dr F dr F dr F dr N P P P P P W W WN cioè il lavoro della risultante F in corrisondenza di un certo sostamento è uguale alla somma dei lavori eseguiti da ciascuna comonente relativamente allo stesso sostamento N 5 Potenza Per caratterizzare un sistema dal unto di vista energetico oltre alla caacità di comiere un certo lavoro è oortuno stabilire la raidità con cui tale lavoro uò essere eseguito; a tale scoo si introduce il concetto di otenza La otenza istantanea sviluata da un agente è data da: dw P dt

8 5-8 Lavoro ed energia e la otenza media sviluata in un certo temo t è: P W t L unita di misura della otenza è il J s e nel sistema SI a tale unità viene attribuito il nome di watt: P W Imiegando questa unità è ossibile anche esrimere il lavoro in unità di otenza er intervallo di temo; da ciò deriva l unità kilowattora (kwh) generalmente adoerata er la misura del lavoro elettrico seso resso le utenze: il kilowattora è il lavoro fatto in un ora da un disositivo in grado di sviluare una otenza di kw Esemio: Una lamadina da W resta accesa er mese stimando un costo dell energia di 4 er kwh ciò corrisonde ad una sesa di kwh34 h4 kwh 3 A tale costo vanno aggiunte le tasse che stimiamo al % così il costo comlessivo è di 44 La otenza meccanica sviluata da un coro uò anche esrimersi mediante la velocità v del coro e la forza F agente su di esso Dalla (5) si ha: dw F dr dr P F Fv dt dt dt Nell iotesi in cui F e v sono aralleli se hanno lo stesso verso risulta P altrimenti si ha P cioè il lavoro fatto sul coro è negativo ovvero la forza esercitata sul coro ha direzione oosta allo sostamento dr e quindi anche alla velocità v 53 Energia cinetica Consideriamo un unto materiale di massa m indiendente dalla velocità soggetto ad una forza F ; dalla relazione (5) esrimendo la forza attraverso la (43) si ha: dv dw F dr m dr (56) dt esrimendo inoltre la velocità v come la derivata dello sostamento il rodotto dv dt scrivere come : dr si uò Tale rorietà segue dalla definizione di differenziale di una funzione infatti se f e g sono due funzioni derivabili allora df df dtdt e dg dg dt dt così risulta: df df dg df dg dg dg dt dt df dt dt dt dt dt dt

9 Lavoro ed energia 5-9 dv dr dr dv dv v dt dt così sostituendo nella (56) si ha: dw mdvv mdvv mdv d mv dove l ultimo assaggio è ossibile solo nell iotesi in cui la massa del unto materiale è indiendente dalla velocità In relazione ad uno sostamento finito da una osizione P ad una P il lavoro eseguito dalla forza F vale: P P W d mv mv mv (57) dove v e v raresentano i moduli della velocità del unto materiale risettivamente nelle osizioni P e P Per un unto materiale di massa m e velocità v la quantità Ek mv (58) rende il nome di energia cinetica del coro ertanto la (57) uò esrimersi come: W E E ; (59) k k cioè il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti su un coro è uguale alla variazione della sua energia cinetica Questa conseguenza della seconda legge di Newton rende il nome di teorema dell energia cinetica Dalla relazione recedente segue che l unità di misura dell energia cinetica è la stessa di quella del lavoro Sebbene il modulo e la direzione della forza agente su un coro non diendano dal sistema di riferimento inerziale considerato lo stesso non vale er lo sostamento Ciò fa sì che il lavoro esercitato da una forza su un coro diende dal articolare sistema di riferimento utilizzato Questo si verifica ad esemio se consideriamo l azione di una forza su un coro in moto a velocità costante; se il moto è riferito ad un sistema di riferimento solidale al coro il lavoro svolto dalla forza è ovviamente nullo essendo tale la velocità relativa Così come il lavoro diende dal sistema di riferimento anche l energia cinetica del coro diende dal sistema di riferimento e ciò è una banale conseguenza del fatto che relativamente a sistemi di riferimento inerziali in moto relativo a differenti velocità si misurano velocità diverse er uno stesso coro in moto Tuttavia ur non concordando sui valori del lavoro e dell energia cinetica differenti osservatori sono semre in grado di verificare la validità del teorema dell energia cinetica Esemio: Consideriamo il moto di un coro su una traiettoria circolare In questo caso sul coro agisce la forza centrieta che come già visto essendo semre erendicolare alla direzione del moto non comie lavoro Dalla relazione (57) segue quindi che la velocità è costante in modulo; ciò significa che il vettore velocità ur variando in direzione e verso istante er istante non cambia in modulo Esemio: Consideriamo un coro di massa m lasciato cadere da un altezza h dalla suerficie terrestre Il lavoro W eseguito dalla forza di gravità in corrisondenza dello sostamento comlessivo del coro dalla (53) vale mgh Dal teorema dell energia cinetica considerando che la velocità iniziale del coro è nulla segue:

10 5- Lavoro ed energia W mv mv mv f i f -k ˆ F r et così sostituendo a W la sua esressione si ha: mgh mv f da cui segue: vf gh che è lo stesso risultato che si otterrebbe dalla diretta alicazione delle leggi di Newton Esemio: Consideriamo un unto materiale di massa m in quiete connesso ad una molla di costante elastica k Suoniamo di alicare al unto una forza F et costante in modulo direzione e verso Il lavoro eseguito dalla risultante delle forze agenti sul coro in corrisondenza di uno sostamento sarà: dove: W FT d T F F k et er cui W Fet kd Fet k Dal teorema dell energia cinetica siccome la velocità iniziale è nulla risulta: Fet k mv F et lavoro motore lavoro resistente F et k k A così l esressione della velocità in relazione alla osizione del coro è: F T (5) v Fet k m Da tale relazione ricaviamo la osizione A in corrisondenza della quale si arresta il coro; ciò accade quando si annulla la velocità ossia quando vale: F et F et k A A F k et Dall esame della (5) deduciamo che il modulo della velocità e quindi l energia cinetica crescono fino ad un massimo che si ottiene quando i moduli della forza F et e della forza elastica della molla sono uguali doo di che l energia cinetica rende a diminuire er annullarsi in A Il lavoro comlessivo di sarà nullo come consegue sia dal fatto che l area FT sottesa da tale funzione tra e è nulla sia dal teorema dell energia cinetica A essendo nulle le velocità iniziali e finali del coro v F et k A

11 Lavoro ed energia 5- Esemio: (Lavoro di una forza di attrito dinamico) In corrisondenza del moto di un coro da un unto P ad un unto P lungo un ercorso su un iano scabro il lavoro della forza di attrito dinamico f vale: d W f dr N dr N dr N NL P P P v d d d d d v P P P dove dalla (4) la forza di attrito dinamico è stata esressa vettorialmente tenendo conto che è semre oosta alla direzione del moto stabilita dal versore vve si è indicato con la lunghezza L del ercorso misurata lungo la traiettoria del coro nel suo moto Ne segue che fissato il rodotto N cioè il modulo di d f si ha un diverso lavoro d in corrisondenza di differenti ercorsi che ortano dal unto P al unto P e ertanto a differenza ad esemio del lavoro della forza eso o di quello della forza gravitazionale il lavoro della forza di attrito dinamico non uò esrimersi come la differenza dei valori di una funzione delle coordinate nei unti P e P Si noti inoltre che il lavoro della forza di attrito dinamico è semre resistente (cioè fd dr ) e qualora cambia il verso del moto si inverte anche quello di f d essendo tale vettore roorzionale all oosto del versore vv È ossibile includere l attrito dinamico nella caratterizzazione energetica del moto su un iano scabro osservando che nel caso in cui il moto è soggetto solo a tale forza si ha: dv dv d dv fd ma m m m v dt d dt d e moltilicando ambo i membri er d segue: f d mv dv d così integrando ambo i membri lungo un ercorso dal unto P al unto P si ha: f Lf f dr mvdv mv mv E E P v d d d k k P v cioè: E E f L k k d Quindi nel moto su una suerficie scabra lungo una traiettoria di lunghezza L l energia cinetica di un coro diminuisce semre di una quantità fd L Serimentalmente si osserva che a tale diminuzione corrisonde un riscaldamento sia del coro che della suerficie scabra Qualora sul coro agiscano altre forze oltre all attrito il teorema dell energia cinetica assume la forma: W f L E E d k k in cui W raresenta il lavoro eseguito dalla risultante delle forze agenti sul coro esclusa la forza di attrito dinamico 54 Forze conservative energia otenziale Negli esemi recedenti si è visto che er talune forze come la forza elastica o la forza eso il lavoro calcolato tra due unti diende dalle sole coordinate di tali unti e risulta indiendente dal articolare ercorso che congiunge i unti stessi; al contrario er altre forze come la forza di attrito il lavoro diende dalla traiettoria tra i unti Le forze er le quali il lavoro non diende dal cammino ercorso sono dette conservative mentre quelle er le quali non vale tale rorietà sono dette non conservative

12 5- Lavoro ed energia Per una forza conservativa F il calcolo del lavoro tra due unti P e P non richiede la conoscenza del articolare ercorso seguito così tale determinazione uò essere eseguita considerando la traiettoria tra P e P che comorta il calcolo iù semlice; considerando le traiettorie I e II in tale caso si ha: Fdr Fdr Fdr P P P P I P II P dove nell ultimo integrale si rescinde dal ercorso da P a P essendo er iotesi ininfluente Siccome il lavoro di una forza conservativa diende dai soli unti estremi P e P del ercorso se si inverte il senso di ercorrenza tra tali unti ossia ci si sosta da P a P il lavoro cambia di segno: Fdr Fdr P P P P Un generico ercorso chiuso uò essere rivisto come l unione di due ercorsi aerti il rimo AB da un unto generico A di ad un altro unto B semre di e il secondo BA da B a d A: B A Fdr Fdr Fdr AB A BA B in cui si è fatto uso del simbolo er indicare l integrazione lungo una curva chiusa Se la forza F è conservativa i due integrali al secondo membro sono uno l oosto dell altro er cui: Fdr ; siccome tale caratteristica rescinde dal articolare ercorso chiuso concludiamo che il lavoro di una forza conservativa fatto lungo un generico ercorso chiuso è semre nullo La funzione delle coordinate che esrime il lavoro di una forza conservativa rende il nome di energia otenziale E così er una forza conservativa F il lavoro di tale forza nel ercorso dal unto P al unto P vale: P W F dr E E E E E (5) P in cui E e E raresentano risettivamente il valore della funzione energia otenziale calcolato nei unti P e P cioè E E P yp zp e E E P yp zp Si osservi che l energia otenziale è definita a meno di una costante additiva il cui ruolo è inessenziale nel calcolo del lavoro infatti se all esressione dell energia otenziale si somma una costante k osto:

13 Lavoro ed energia 5-3 E E k dalla (5) risulta: E E E k E k E E W Tale caratteristica consente di definire il livello di riferimento dell energia otenziale nella maniera iù oortuna in relazione all oggetto di studio Ad esemio in un roblema di caduta di gravi il livello di riferimento iù utile è in corrisondenza della suerficie terrestre mentre er la descrizione del moto di un satellite generalmente risulta iù conveniente assumere lo zero dell energia otenziale a distanza infinita Consideriamo un moto unidimensionale; il lavoro di una forza conservativa er sostare un unto materiale da una osizione ad una osizione vale: da cui segue: Fd E E ; E Fd E derivando ambo i membri di questa relazione si trova: F de (5) d Questa identità che costituisce un esemio articolare di una relazione di carattere generale consente di ricavare la forza agente su di un coro quando è nota l esressione della sua energia otenziale; inoltre dalla (5) segue che è ossibile attribuire all oosto della forza il significato di tasso di variazione dell energia otenziale nella direzione Per generalizzare questa identità osserviamo che essa ermette di esrimere il differenziale della funzione energia otenziale de come il rodotto Fd; se la forza F è una funzione delle tre variabili saziali di un sistema di riferimento cartesiano il differenziale de F dr F d F dy F dz y z de si scrive come: (53) Mentre in una dimensione il differenziale di E vale de d d qualora la funzione E dienda da iù variabili la legge di variazione di E va esressa attraverso le corrisondenti derivate arziali Suonendo che l energia otenziale sia funzione delle tre variabili saziali y e z di un sistema di riferimento cartesiano la derivata arziale di E risetto ad una certa variabile ad esemio è valutata stabilendo la derivata della la funzione E risetto a calcolata mantenendo costanti y e z cioè:

14 5-4 Lavoro ed energia E de E y z E y z lim d yz cost Così in generale il differenziale de si esrime come: E E E de d dy dz y z ertanto sostituendo nella (53) si ottiene: E E E d dy dz Fd Fydy Fzdz y z Poiché le variabili y e z sono tra loro indiendenti lo sono anche i corrisondenti differenziali d dy e dz così da questa identità segue: F F F y z E E y E z ; (54) si osservi che tali relazioni conducono alla (5) nel caso di moto unidimensionale Quindi come l esressione Fd Fdy y Fdz z viene riguardata come il rodotto scalare tra il vettore F e il vettore dr F dr anche l esressione E d E y dy E z dz uò essere considerata quale il rodotto scalare di due vettori ossia: E E E E E E d dy dz ˆ yˆ zˆ ˆd yˆdy zˆdz y z y z E E E ˆ yˆ zˆ dr y z Il vettore ˆ E ˆ y E y zˆ E z indica rende il nome di gradiente della funzione E e si E ertanto: E E E E ˆ ˆ ˆ y z y z Attraverso il concetto di gradiente il legame tra la forza F e l energia otenziale dalle relazioni (54) uò esrimersi in sintesi come: E raresentato

15 Lavoro ed energia 5-5 F E che corrisonde all identità: E E E F ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yfy zfz y z y z ne segue che ad esemio la comonente lungo la direzione della forza F è ari a E Esemio: Consideriamo un unto materiale in moto lungo una traiettoria da una r P r g F r dr J r dl osizione P ad un altra P sotto l azione di una forza centrale F ari a: F f r r ˆ ˆr r P cioè costantemente diretta verso il centro di forza (ossia F è una forza attrattiva) Il lavoro elementare di tale forza in corrisondenza di uno sostamento dl vale: dw F dl F dl cos f r dl cos f r dr dove è l angolo comreso tra i vettori F e dl e siccome dr vale dl cos Pertanto osto r P e r P il lavoro corrisondente al ercorso da P a P lungo la traiettoria vale: Se W F dl f r dr P r P r Ur è la rimitiva della funzione f r cioè r r r du dr r r r W f r dr dr du U r U r f r du r dr sostituendo nell esressione recedente si trova: Dal fatto che il lavoro W non diende dalla traiettoria da P a P concludiamo che una forza centrale è conservativa Nel caso esaminato in questo esemio la funzione energia otenziale associata a F coincide con Ur Esemio: La forza gravitazionale esercitata su un unto materiale di massa m da un unto materiale di massa m osto a distanza r è: mm ˆ r F G r tale forza è evidentemente di tio centrale e il lavoro da essa comiuto nello sostamento del unto di massa m da una osizione a distanza r da m ad una a distanza r semre da m vale: r mm mm mm r r r r W G dr G G Dal fatto che la forza gravitazionale è una forza centrale e quindi è conservativa e dalla relazione (5) segue:

16 5-6 Lavoro ed energia mm mm E r E r W G G r r così indicando con k una costante arbitraria l energia otenziale associata alla forza gravitazionale vale: mm E r G k r Come già anticiato l arbitrarietà della costante additiva consente di fissare il livello zero dell energia otenziale Nel caso della forza gravitazionale tale livello viene solitamente osto all infinito cioè si one: E lim E r r da cui segue k Si noti infine come attraverso la (5) è ossibile ricavare l esressione della forza a artire da quella dell energia otenziale infatti: d de r mm mm dr dr r r F G k G Esemio: Il lavoro svolto dalla forza eso in corrisondenza di uno sostamento dalla quota y alla quota y con y y è P y W mgyˆ dr mg dy mgy mgy P y ertanto dalla (5) ossiamo identificare l energia otenziale associata a tale forza con la funzione: E y mgy k La costante k consente di fissare lo zero dell energia otenziale ad una certa quota y cioè imonendo ad esemio E y segue k mgy così l energia otenziale associata alla forza eso si esrime come: E y mg y y 55 Conservazione dell energia meccanica Per una forza conservativa la (59) e la (5) valgono simultaneamente così confrontando tali relazioni si ha E E E E k k ovvero: E E E E k k cioè la somma dell energia cinetica e dell energia otenziale di un unto materiale in moto sotto l azione di una forza conservativa si mantiene costante durante il moto ossia si conserva La somma dell energia cinetica E k e dell energia otenziale E di un coro soggetto ad una forza conservativa è detta energia meccanica E del coro:

17 Lavoro ed energia 5-7 E E E (55) k Qualora sul coro agiscano iù forze conservative l energia otenziale sarà data dalla somma N E E E delle energie otenziali corrisondenti a ciascuna delle forze conservative In generale su un unto materiale ossono agire contemoraneamente forze conservative e forze non conservative così il lavoro della risultante di queste forze agenti sul unto uò esrimersi come somma: W F dr F dr W W P P c nc ( c) ( nc) P P c dove F nc e F raresentano risettivamente la risultante delle forze conservative e non conservative agenti sul coro Dalla (59) segue: W W W E E ( c) ( nc) k k inoltre siccome le forze c F sono conservative dalla (5) segue: W E E ( c) così sostituendo nella relazione recedente si ha: E E W E E ( nc) k k ovvero dalla (55): k k W E E E E E E (56) ( nc) cioè in generale in resenza sia di forze conservative che di forze non conservative l energia meccanica non rimane costante durante il moto e in articolare la sua variazione risulta ari al lavoro delle forze non conservative Serimentalmente si osserva che in ogni rocesso meccanico sono resenti delle forze di attrito che si oongono al movimento di conseguenza l energia meccanica tende a diminuire durante il moto Per contrastare tale azione è ossibile alicare sul coro in moto delle forze non conservative tali da comensare la diminuzione dell energia e eventualmente anche di accrescere tale energia In ogni caso se nella descrizione del sistema si include anche l agente esterno che fornisce il lavoro non conservativo si osserva ancora che l energia meccanica comlessiva non si conserva ma diminuisce a causa di effetti dissiativi Nei fenomeni macroscoici la conservazione dell energia meccanica è un caso limite in quanto è imossibile da realizzare a causa degli attriti semre resenti; ne segue che nella (56) risulta ( nc) semre W Tuttavia le interazioni fondamentali sono conservative come è evidenziato dai rocessi microscoici cioè la conservazione dell energia è un rinciio fondamentale correlato ad una rorietà di simmetria di carattere generale ovvero all assenza di un origine rivilegiata er la misura del temo Le forze di attrito che si osservano a livello macroscoico determinano una trasformazione dell energia in altre forme così se nel comuto dell energia del rocesso si include anche l energia esressa in tali forme si trova che l energia comlessiva si conserva

18 5-8 Lavoro ed energia 56 Dinamica di un coro soggetto a forze conservative Consideriamo un unto materiale di massa m soggetto a sole forze conservative e suoniamo che l energia otenziale vari nella direzione secondo il diagramma mostrato in figura Dalle relazioni (58) e (55) segue che l energia del coro vale: E mv E er cui il modulo della velocità del unto materiale è dato da: v E E m (57) Affinché tale relazione risulti valida deve risultare semre E E Consideriamo una ossibile curva di energia otenziale er un moto unidimensionale e valutiamo le caratteristiche del moto del unto materiale relativamente a differenti valori dell energia Con riferimento alla figura seguente consideriamo il caso in cui l energia del coro vale E ; in tale circostanza l energia del coro è semre inferiore all energia otenziale tranne in E ( ) E 4 E 3 E E E F( )

19 Lavoro ed energia 5-9 corrisondenza dell ascissa 5 in cui E è uguale all energia otenziale Dalla (57) segue che il coro si mantiene in quiete in corrisondenza del unto 5 Se il unto materiale viene sostato a destra da tale osizione oiché la funzione E in tale direzione è crescente dalla relazione (5) segue che su di esso agisce una forza diretta verso sinistra; se al contrario il unto è sostato a sinistra risetto alla osizione 5 su di esso agisce una forza diretta verso destra oiché E in questa direzione è decrescente Se ne conclude che qualora il unto materiale venga sostato dalla osizione di minimo dell energia otenziale sul tale unto agisce semre una forza attrattiva che tende a riortarlo nella osizione originaria che ertanto raresenta una osizione di equilibrio stabile er il unto materiale Suoniamo ora che l energia del unto materiale valga E ; in questo caso se il unto materiale si muove da 5 verso 6 la sua velocità diminuisce con l avvicinarsi a tale osizione e in articolare in questa osizione la velocità si annulla La forza agente sul unto che è nulla in 5 aumenta di intensità con l arossimarsi a 6 ed è semre diretta nel verso negativo delle ; in 6 tale forza è massima e determina un inversione della direzione del moto ertanto il unto materiale rende a muoversi verso 4 Tale forza inverte la sua direzione doo che il unto ha suerato la osizione di equilibrio 5 ; in 4 la velocità si annulla nuovamente e il moto inverte la sua direzione Le osizioni 4 e 6 sono dette unti di inversione del moto In questo caso il unto materiale è vincolato a muoversi tra i due unti di inversione e la regione all interno della quale è confinato tale moto rende il nome di buca di otenziale Sviluando in serie la funzione E intorno alla osizione di equilibrio si ottiene: 5 E E de d E d d 5 5 d E 5 5 E d 5 siccome è un unto di minimo e di conseguenza la derivata rima è nulla in tale unto Nell iotesi che la differenza 5 5 sia sufficientemente iccola è ossibile trascurare i termini sueriori al secondo nel recedente sviluo inoltre la derivata d E d è una costante ositiva nel unto ; indicando con k tale costante risulta: 5 E E k 5 5 dalla relazione (54) segue quindi che tale esressione raresenta l energia otenziale di un oscillatore armonico al quale è attribuito E 5 quale valore di riferimento er l energia otenziale In tale arossimazione detta delle iccole oscillazioni il moto del unto materiale all interno della buca di otenziale è di tio oscillatorio con frequenza ari a km Consideriamo la circostanza in cui l energia del unto sia ari a E allora il moto si eslica tra gli intervalli e come nel caso recedente Il unto materiale non uò assare da un intervallo all altro e la regione comresa tra tali intervalli e interdetta al moto è detta barriera di otenziale Si osservi che la osizione di massimo relativo 8 raresenta una osizione di equilibrio er un unto materiale con energia ari all energia otenziale in corrisondenza del massimo; a differenza della osizione 5 tuttavia qualora il unto materiale venga sostato da 8

20 5- Lavoro ed energia su di esso agisce una forza reulsiva che tende ad allontanarlo da tale osizione Ne segue che il massimo relativo dell energia otenziale raresenta una osizione di equilibrio instabile er il unto materiale Suoniamo che il unto materiale sia caratterizzato dall energia E 3 e assumiamo inoltre che si muova nella direzione negativa delle Allora durante tale moto la sua velocità varierà in relazione alla (57) e in articolare aumenterà dove E decresce e viceversa Giunta nel unto la velocità del unto sarà nulla e il moto invertirà la sua direzione Infine qualora il unto materiale sia in una regione in cui E si mantiene costante come nell intorno del unto all energia E 4 oiché la endenza della funzione energia otenziale è nulla la forza agente sul unto materiale è nulla Tale regione è detta di equilibrio indifferente oiché il unto materiale uò essere sostato al suo interno senza risentire di forze attrattive o reulsive Attraverso l alicazione della legge di conservazione dell energia è ossibile dedurre l equazione del moto Esrimendo la relazione (57) come: d E E dt m e searando le variabili si ottiene: d E E m dt dalla quale nota l esressione dell energia otenziale E e la condizione iniziale si uò ricavare l equazione del moto t In questo caso si ha il vantaggio di risolvere un equazione differenziale del rimo ordine anziché una del secondo come imosto dalla seconda legge della dinamica Esemio: Consideriamo un unto materiale di massa m vincolato all estremità di una molla di costante elastica k osta su un iano orizzontale rivo di attrito e fissata all altro estremo ad un vincolo fisso L energia otenziale associata alla forza elastica (44) vale: m E k ; assumere che la costante additiva arbitraria sia nulla corrisonde a fissare l origine dell energia otenziale nel unto di equilibrio In una osizione generica l energia del unto materiale vale: E E E mv k k (58) Se in un grafico si raresentano contemoraneamente la funzione energia otenziale E e il livello corrisondente all energia meccanica E il rinciio di conservazione dell energia viene esresso dal fatto che si mantiene costante la somma delle distanze tra i unti del grafico dell energia otenziale e risettivamente il livello di riferimento E e il livello dell energia meccanica Con riferimento alla figura er ogni valore di risulta quindi costante la somma KP PH e ari a KH dove KP raresenta l energia cinetica PH raresenta l energia otenziale e KH l energia meccanica In articolare se il sistema ha un energia E dalla (58) segue che la velocità del unto materiale varia con secondo la legge: E k v m m

NUMERI RAZIONALI E REALI

NUMERI RAZIONALI E REALI NUMERI RAZIONALI E REALI CARLANGELO LIVERANI. Numeri Razionali Tutti sanno che i numeri razionali sono numeri del tio q con N e q N. Purtuttavia molte frazioni ossono corrisondere allo stesso numero, er

Dettagli

2. L ENERGIA MECCANICA

2. L ENERGIA MECCANICA . L ENERGIA MECCANICA.1 Il concetto di forza La forza può essere definita come «azione reciproca tra corpi che ne altera lo stato di moto o li deforma: essa é caratterizzata da intensità direzione e verso».

Dettagli

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE.

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE. 6 CAMPO MAGNETICO ROTANTE Il camo magnetico monofase Il funzionamento delle macchine elettriche rotanti alimentate in corrente alternata si basa sul rinciio del camo magnetico rotante: il suo studio viene

Dettagli

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO CM a.s. /3 PROLEMA DELL TILE DEL CONSMATORE CON IL VINCOLO DEL ILANCIO Il consumatore è colui che acquista beni er destinarli al rorio consumo. Linsieme dei beni che il consumatore acquista rende il nome

Dettagli

Elementi di meccanica dei fluidi

Elementi di meccanica dei fluidi IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3. IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 3. Introduzione In molti imianti il collegamento

Dettagli

ENERGIA. Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica

ENERGIA. Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica 1 ENERGIA Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica 2 Energia L energia è ciò che ci permette all uomo di compiere uno sforzo o meglio

Dettagli

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao)

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Trigonometria (tratto dal sito Comito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Teoria in sintesi Radiante: angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza rettificata uguale al

Dettagli

4. Reti correttrici e regolatori industriali. 4.1 Regolatori industriali. 4.1.1 Regolatore ad azione proporzionale P

4. Reti correttrici e regolatori industriali. 4.1 Regolatori industriali. 4.1.1 Regolatore ad azione proporzionale P 4. Reti correttrici e regolatori industriali Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare le secifiche assegnate nel dominio della frequenza e quelle assegnate nel dominio del temo. Queste

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Consideriamo un gas ideale in equilibrio termodinamico alla pressione p 1. , contenuto in un volume V

Consideriamo un gas ideale in equilibrio termodinamico alla pressione p 1. , contenuto in un volume V LEGGI DEI GS Per gas si intende un fluido rivo di forma o volume rorio e facilmente comrimibile in modo da conseguire notevoli variazioni di ressione e densità. Le variabili termodinamiche iù aroriate

Dettagli

Complementi ed esercizi di Idrodinamica I parte. 1. Proprietà fisiche dei fluidi

Complementi ed esercizi di Idrodinamica I parte. 1. Proprietà fisiche dei fluidi Comlementi ed esercizi di Idrodinamica I arte.. Prorietà fisiche dei fluidi. Densità e modulo di elasticità a comressione cubica. Come è noto la densità di massa ρ misura la massa contenuta nell unità

Dettagli

STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI

STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI Quando un sistema fisico inizialmente in quiete viene sottoosto ad un ingresso di durata finita o di amiezza limitata, l uscita del sistema dovrebbe stabilizzarsi a un certo

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Legge del gas perfetto e termodinamica

Legge del gas perfetto e termodinamica Scheda riassuntia 5 caitoli 9-0 Legge del gas erfetto e termodinamica Gas erfetto Lo stato gassoso è quello di una sostanza che si troa oltre la sua temeratura critica. La temeratura critica è quella oltre

Dettagli

Portata Q - è il volume di liquido mosso dalla pompa nell'unità di tempo; l'unità di misura della portata è m 3 /sec (l/s; m 3 /h).

Portata Q - è il volume di liquido mosso dalla pompa nell'unità di tempo; l'unità di misura della portata è m 3 /sec (l/s; m 3 /h). OME ER FLUIDI ALIMENARI Definizione Sono macchine oeratrici oeranti su fluidi incomrimibili in grado di trasformare l energia meccanica disonibile all albero di un motore in energia meccanica del fluido

Dettagli

CAP.3 LA LEGGE COSTITUTIVA ELASTO-PLASTICA

CAP.3 LA LEGGE COSTITUTIVA ELASTO-PLASTICA ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA CAPOLO LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA. ntroduzione Le microstruttura dei materiali olicristallini è all origine del comortamento elasto-lastico

Dettagli

L Q = 1. e nel ciclo di Carnot questo rendimento assume valore massimo pari a : η =

L Q = 1. e nel ciclo di Carnot questo rendimento assume valore massimo pari a : η = CICLI ERMODINAMICI DIREI: Maccine termice Le maccine ce anno come scoo uello di trasformare ciclicamente in lavoro il calore disonibile da una sorgente termica sono dette maccine termice o motrici e il

Dettagli

9. TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE E CICLI REALI

9. TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE E CICLI REALI 9. TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE E CICLI REALI 9. Introduzione I rocessi termodinamici che vengono realizzati nella ratica devono consentire la realizzazione di uno scambio di energia termica o di energia

Dettagli

Modulo di Meccanica e Termodinamica

Modulo di Meccanica e Termodinamica Modulo di Meccanica e Termodinamica 1) Misure e unita di misura 2) Cinematica: + Moto Rettilineo + Moto Uniformemente Accelerato [+ Vettori e Calcolo Vettoriale] + Moti Relativi 3) Dinamica: + Forza e

Dettagli

Nome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 2008. VERIFICA DI FISICA: lavoro ed energia

Nome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 2008. VERIFICA DI FISICA: lavoro ed energia Nome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 8 VERIFIC DI FISIC: lavoro ed energia Domande ) Energia cinetica: (punti:.5) a) fornisci la definizione più generale possibile di energia cinetica, specificando l equazione

Dettagli

Tonzig Fondamenti di Meccanica classica

Tonzig Fondamenti di Meccanica classica 224 Tonzig Fondamenti di Meccanica classica ). Quando il signor Rossi si sposta verso A, la tavola si sposta in direzione opposta in modo che il CM del sistema resti immobile (come richiesto dal fatto

Dettagli

5. Dati sperimentali e loro elaborazione 9. 5.1 Resistenza interna del triodo 9. 5.2 Conduttanza mutua del triodo 16

5. Dati sperimentali e loro elaborazione 9. 5.1 Resistenza interna del triodo 9. 5.2 Conduttanza mutua del triodo 16 Sommario Pa. 1. Scoo dell eserienza 2 2. Presuosti teorici 3 3. Aarato Strumentale 6 4. Descrizione dell eserimento 8 5. Dati serimentali e loro elaborazione 9 5.1 Resistenza interna del triodo 9 5.2 Conduttanza

Dettagli

La riflessione della luce: gli specchi

La riflessione della luce: gli specchi APITOLO 3 La riflessione della luce: gli secchi Immaginiamo un camo di 20 ettari ( ha 0 4 m 2 ) ieno di secchi arabolici: er l esattezza 360. Grazie a un articolare sistema di tubi, la radiazione solare

Dettagli

Anche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J.

Anche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J. Lavoro Un concetto molto importante è quello di lavoro (di una forza) La definizione di tale quantità scalare è L= F dl (unità di misura joule J) Il concetto di lavoro richiede che ci sia uno spostamento,

Dettagli

CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO Fluidodinamica UNITA' 07 - SOMMARIO 7. EQUAZIONI INTEGRALI DI BILANCIO PER FLUIDI IN MOTO (B)

CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO Fluidodinamica UNITA' 07 - SOMMARIO 7. EQUAZIONI INTEGRALI DI BILANCIO PER FLUIDI IN MOTO (B) U.07/0 UNITA' 07 - SOMMARIO 7. EQUAZIONI INTEGRALI DI BILANCIO PER FLUIDI IN MOTO (B) 7. BILANCIO DELL ENERGIA 7.. Bilancio dell energia stazionario er sistemi a due correnti 7... Bilancio dell energia

Dettagli

Forze Conservative. Il lavoro eseguito da una forza conservativa lungo un qualunque percorso chiuso e nullo.

Forze Conservative. Il lavoro eseguito da una forza conservativa lungo un qualunque percorso chiuso e nullo. Lavoro ed energia 1. Forze conservative 2. Energia potenziale 3. Conservazione dell energia meccanica 4. Conservazione dell energia nel moto del pendolo 5. Esempio: energia potenziale gravitazionale 6.

Dettagli

Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica 2010-11

Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica 2010-11 Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e lgoritmi della Logistica 00- Scheduling: Macchina Singola CRLO MNNINO Saienza Università di Roma Diartimento di Informatica e Sistemistica Il roblema /-/ w C

Dettagli

Dinamica II Lavoro di una forza costante

Dinamica II Lavoro di una forza costante Dinamica II Lavoro di una forza costante Se il punto di applicazione di una forza subisce uno spostamento ed esiste una componente della forza che sia parallela allo spostamento, la forza compie un lavoro.

Dettagli

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze Energia potenziale L. P. Maggio 2007 1. Campo di forze Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove in una certa regione dello spazio. Si dice che esso è soggetto a un campo di forze, se ad

Dettagli

LAVORO ED ENERGIA 4.1 LAVORO

LAVORO ED ENERGIA 4.1 LAVORO 4 LAVORO ED ENERGIA L energia è il concetto fisico più importante che si incontra in tutta la scienza. Una sua chiara comprensione e un esatta valutazione della sua importanza non fu raggiunta che nel

Dettagli

1 Il campo elettrico. 1.1 Azione a distanza

1 Il campo elettrico. 1.1 Azione a distanza 1 Il camo elettrico 1.1 Azione a distanza L idea di interazione fra cori è stata semre associata all idea di un contatto: la ossibilità che un oggetto otesse esercitare un azione in una regione di sazio

Dettagli

Esercizi SINTESI E RIEPILOGO. Parole chiave. Formule e proprietà importanti. Tema B. In più: esercizi interattivi

Esercizi SINTESI E RIEPILOGO. Parole chiave. Formule e proprietà importanti. Tema B. In più: esercizi interattivi Unità Esercizi In iù: esercizi interattivi Tema B SINTESI E RIEPILG Parole chiave Ascissa. 17 Asse delle ascisse. 17 Asse delle ordinate. 17 Asse. 17 Asse. 17 Coefficiente angolare. 10 Coordinata. 17 Distanza

Dettagli

I NUMERI INDICI. Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, dipendenza o interdipendenza, ecc.)

I NUMERI INDICI. Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, dipendenza o interdipendenza, ecc.) NUMER NDC Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, diendenza o interdiendenza, ecc.) si utilizzano er confrontare grandezze nel temo e nello sazio e sono dati dal raorto

Dettagli

Le Macchine a Fluido. Tutor Ing. Leonardo Vita

Le Macchine a Fluido. Tutor Ing. Leonardo Vita Le Macchine a Fluido Tutor Ing. Leonardo Vita Introduzione Si uò definire macchina, in senso lato, un qualsiasi convertitore di energia cioè, in generale, una scatola chiusa in cui entra e da cui esce

Dettagli

Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA. Lezione 5 - Meccanica del punto materiale

Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA. Lezione 5 - Meccanica del punto materiale Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA Esercizio 1 Lezione 5 - Meccanica del punto materiale Un volano è costituito da un cilindro rigido omogeneo,

Dettagli

AREA 1: FUNZIONI E LIMITI

AREA 1: FUNZIONI E LIMITI AREA : FUNZIONI E LIMITI INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI Per ricordare H Un insieme E si dice: itato sueriormente se esiste un numero k, non necessariamente aartenente a E, che eá maggiore o uguale di tutti

Dettagli

Logistica (mn) 6 CFU Appello del 22 Luglio 2010

Logistica (mn) 6 CFU Appello del 22 Luglio 2010 Logistica (mn) 6 CFU Aello del Luglio 010 NOME: COGNOME: MATR: Avvertenze ed istruzioni: Il comito dura ore e quindici. Non è ermesso lasciare l'aula senza consegnare il comito o ritirarsi. Se dovessero

Dettagli

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE RRISIH D SOIZIO bbiamo visto che la trave uò essere definita come un solido generato da una figura iana S (detta seione retta o seione ortogonale) che si muove nello saio mantenendosi semre ortogonale

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 Controlli Digitali Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLORI PID Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it Introduzione regolatore Proorzionale, Integrale, Derivativo PID regolatori

Dettagli

28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6

28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6 28360 - FISICA MATEMATICA A.A. 204/5 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6 Energia potenziale Problema 26 Una molla ha una costante elastica k uguale a 440 N/m. Di quanto

Dettagli

. Si determina quindi quale distanza viene percorsa lungo l asse y in questo intervallo di tempo: h = v 0y ( d

. Si determina quindi quale distanza viene percorsa lungo l asse y in questo intervallo di tempo: h = v 0y ( d Esercizio 1 Un automobile viaggia a velocità v 0 su una strada inclinata di un angolo θ rispetto alla superficie terrestre, e deve superare un burrone largo d (si veda la figura, in cui è indicato anche

Dettagli

FISICA. V [10 3 m 3 ]

FISICA. V [10 3 m 3 ] Serie 5: Soluzioni FISICA II liceo Esercizio 1 Primo rinciio Iotesi: Trattiamo il gas con il modello del gas ideale. 1. Dalla legge U = cnrt otteniamo U = 1,50 10 4 J. 2. Dal rimo rinciio U = Q+W abbiamo

Dettagli

Ripasso di microeconomia ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA. Teoria del consumatore. Lezione n. 1. Teoria del consumatore. Le preferenze.

Ripasso di microeconomia ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA. Teoria del consumatore. Lezione n. 1. Teoria del consumatore. Le preferenze. Università degli Studi di erugia Corso di Laurea Magistrale in Scienze della olitica e dell'mministrazione Lezione n. Riasso di microeconomia CONOMI FINNZ ULIC nza Caruso Le referenze Come i consumatori

Dettagli

Scambio termico 6.1. 6.1.1 Introduzione. 6.1.2 Conduzione

Scambio termico 6.1. 6.1.1 Introduzione. 6.1.2 Conduzione 6. Scambio termico 6.. Introduzione Lo studio dei fenomeni di scambio termico si uò ricondurre a due variabili: la temeratura e il flusso di calore. La temeratura indica l energia molecolare media di un

Dettagli

Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti

Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 0/0 - Docente: Prof. Carlo Isetti LAVORO D NRGIA 5. GNRALITÀ In questo capitolo si farà riferimento a concetto quali lavoro ed energia termini che hanno nella

Dettagli

LP. Lavoro e potenziale

LP. Lavoro e potenziale Lavoro e potenziale LP. Lavoro e potenziale Forza In questa sezione dobbiamo introdurre un nuovo concetto che assumiamo come primitivo dalla fisica: è il concetto di forza. Ci occuperemo anzitutto di una

Dettagli

Appunti di Termodinamica

Appunti di Termodinamica ullio Paa unti di ermodinamica Per arofondire consultare il testo: Paa; Lezioni di Fisica-ermodinamica, edizioni Kaa, Roma 1 Sistemi e variabili termodinamiche Equazioni di stato 1 Introduzione La termodinamica

Dettagli

La presa dei fotogrammi

La presa dei fotogrammi UNITÀ T2 La resa dei fotogrammi TEORI 1 Fotogrammetria aerea 2 Relazione tra scala dei fotogrammi e altezza di volo 3 Parametri del volo aereo fotogrammetrico 4 Gestione del volo fotogrammetrico 5 Fotogrammetria

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

Lunedì 20 dicembre 2010. Docente del corso: prof. V. Maiorino

Lunedì 20 dicembre 2010. Docente del corso: prof. V. Maiorino Lunedì 20 dicembre 2010 Docente del corso: prof. V. Maiorino Se la Terra si spostasse all improvviso su un orbita dieci volte più lontana dal Sole rispetto all attuale, di quanto dovrebbe variare la massa

Dettagli

Fisica Generale I (primo modulo) A.A. 2013-2014, 19 Novembre 2013

Fisica Generale I (primo modulo) A.A. 2013-2014, 19 Novembre 2013 Fisica Generale I (primo modulo) A.A. 203-204, 9 Novembre 203 Esercizio I. m m 2 α α Due corpi, di massa m = kg ed m 2 =.5 kg, sono poggiati su un cuneo di massa M m 2 e sono connessi mediante una carrucola

Dettagli

Ricordiamo ora che a è legata ad x (derivata seconda) ed otteniamo

Ricordiamo ora che a è legata ad x (derivata seconda) ed otteniamo Moto armonico semplice Consideriamo il sistema presentato in figura in cui un corpo di massa m si muove lungo l asse delle x sotto l azione della molla ideale di costante elastica k ed in assenza di forze

Dettagli

sorgente di lavoro meccanico operante in maniera ciclica internamente reversibile esternamente reversibile termostato T

sorgente di lavoro meccanico operante in maniera ciclica internamente reversibile esternamente reversibile termostato T CICLI MOORI Utilizzando un motore (sorgente di lavoro meccanico oerante in maniera ciclica) che evolve secondo il ciclo isotermo-adiabatico di Carnot in maniera internamente reversibile, scambiando calore

Dettagli

CdL Professioni Sanitarie A.A. 2012/2013. Unità 3 (4 ore)

CdL Professioni Sanitarie A.A. 2012/2013. Unità 3 (4 ore) L. Zampieri Fisica per CdL Professioni Sanitarie A.A. 12/13 CdL Professioni Sanitarie A.A. 2012/2013 Statica del Corpo Rigido Momento di una forza Unità 3 (4 ore) Condizione di equilibrio statico: leve

Dettagli

CALCOLO INERZIA TERMICA E CONSUMO LEGNA DEL TERMOCAMINO MERCURY

CALCOLO INERZIA TERMICA E CONSUMO LEGNA DEL TERMOCAMINO MERCURY Pag. 1 di 7 CALCOLO INERZIA TERMICA E CONSUMO LEGNA DEL TERMOCAMINO MERCURY Premessa La resente relazione ha l obiettivo di verificare quale sia il consumo di legna ed il temo necessario affinché il termocamino

Dettagli

CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA

CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA 1 CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA 1. La caratterizzazione dell'equilibrio di mercato Per caratterizzare un mercato di concorrenza erfetta consideriamo un certo numero di imrese che roducono e offrono tutte

Dettagli

SISTEMI E STATI TERMODINAMICI

SISTEMI E STATI TERMODINAMICI ittorio Mussino: vittorio.mussino@olito.it SISEMI E SI ERMODINMICI Nel corso di Fisica I (meccanica), si sono determinate le leggi che governano il moto dei sistemi di articelle (discreti e continui) e

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

SENSAZIONE SONORA. 18.1 L orecchio umano. 18.2 La sensazione sonora - Audiogramma normale

SENSAZIONE SONORA. 18.1 L orecchio umano. 18.2 La sensazione sonora - Audiogramma normale Corso di Imiati Tecnici a.a. 009/010 Docente: Prof. C. Isetti CAPITOLO 18 18.1 L orecchio umano La ercezione di suoni, come d altra arte già osservato al riguardo della luce, coinvolge sia asetti fisici

Dettagli

Seconda Legge DINAMICA: F = ma

Seconda Legge DINAMICA: F = ma Seconda Legge DINAMICA: F = ma (Le grandezze vettoriali sono indicate in grassetto e anche in arancione) Fisica con Elementi di Matematica 1 Unità di misura: Massa m si misura in kg, Accelerazione a si

Dettagli

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche. Cap. 10. Elementi di psicrometria, condizionamento dell aria e benessere ambientale

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche. Cap. 10. Elementi di psicrometria, condizionamento dell aria e benessere ambientale Aunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche Ca. 0. Elementi di sicrometria, condizionamento dell aria e benessere ambientale Nicola Forgione Paolo Di Marco Versione 0.0.04.0. La resente disensa

Dettagli

[ ] ] = [ MLT 2. [ 3αx 2ˆ i 3αz 2 ˆ j 6αyz k ˆ ] = MLT 2. [ ] -[ 3αz 2 ˆ j ] = [ MLT 2 [ ] [ ] [ F] = [ N] = kg m s 2 [ ] = ML 1 T 2. [ ][ x 2.

[ ] ] = [ MLT 2. [ 3αx 2ˆ i 3αz 2 ˆ j 6αyz k ˆ ] = MLT 2. [ ] -[ 3αz 2 ˆ j ] = [ MLT 2 [ ] [ ] [ F] = [ N] = kg m s 2 [ ] = ML 1 T 2. [ ][ x 2. LVORO E ENERGI EX 1 Dato il campo di forze F α(3x ˆ i + 3z ˆ j + 6yz ˆ ): a) determinare le dimensioni di α; b) verificare se il campo è conservativo e calcolarne eventualmente l energia potenziale; c)

Dettagli

La FREQUENZA del suono

La FREQUENZA del suono ACUSTICA PSICOFISICA La FREQUENZA del suono Infra Audio Ultra... K Hz Frequenza L orecchio è sensibile solo a variazioni della ressione, intorno a quella media atmosferica, caratterizzate da oscillazioni

Dettagli

Corso di Fisica Strumentale

Corso di Fisica Strumentale Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Fisica Strumentale er Tecnici di Laboratorio Biomedico e Tecnici di revenzione ambientale e sui luoghi di lavoro Prof. R. Rolandi Il microscoio ottico Lo scoo di

Dettagli

DINAMICA, LAVORO, ENERGIA. G. Roberti

DINAMICA, LAVORO, ENERGIA. G. Roberti DINAMICA, LAVORO, ENERGIA G. Roberti 124. Qual è il valore dell'angolo che la direzione di una forza applicata ad un corpo deve formare con lo spostamento affinché la sua azione sia frenante? A) 0 B) 90

Dettagli

Corso di orientamento e preparazione ai concorsi di ammissione ai Corsi di Laurea della Facoltà di Medicina e Chirurgia nell'aa 2012/2013.

Corso di orientamento e preparazione ai concorsi di ammissione ai Corsi di Laurea della Facoltà di Medicina e Chirurgia nell'aa 2012/2013. Corso di orientamento e preparazione ai concorsi di ammissione ai Corsi di Laurea della Facoltà di Medicina e Chirurgia nell'aa 2012/2013. FISICA NEVIO FORINI PROGRAMMA 11 LEZIONI DI 2 ORE + VERIFICA :

Dettagli

Esercitazione VIII - Lavoro ed energia II

Esercitazione VIII - Lavoro ed energia II Esercitazione VIII - Lavoro ed energia II Forze conservative Esercizio Una pallina di massa m = 00g viene lanciata tramite una molla di costante elastica = 0N/m come in figura. Ammesso che ogni attrito

Dettagli

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità Logica 1. Le roosizioni 1.1 Cosa studia la logica? La logica studia le forme del ragionamento. Si occua cioè di stabilire delle regole che ermettano di assare da un'affermazione vera ad un'altra affermazione

Dettagli

a t Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi)

a t Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi) 1 Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi) Una guida semicircolare liscia verticale di raggio = 40 cm è vincolata ad una piattaforma orizzontale che si muove con accelerazione costante a t = 2

Dettagli

CdS in Ingegneria Energetica, Università di Bologna Programma dettagliato del corso di Fisica Generale T-A prof. S. Pellegrini

CdS in Ingegneria Energetica, Università di Bologna Programma dettagliato del corso di Fisica Generale T-A prof. S. Pellegrini CdS in Ingegneria Energetica, Università di Bologna Programma dettagliato del corso di Fisica Generale T-A prof. S. Pellegrini Introduzione. Il metodo scientifico. Principi e leggi della Fisica. I modelli

Dettagli

Consideriamo una forza di tipo elastico che segue la legge di Hooke: F x = kx, (1)

Consideriamo una forza di tipo elastico che segue la legge di Hooke: F x = kx, (1) 1 L Oscillatore armonico L oscillatore armonico è un interessante modello fisico che permette lo studio di fondamentali grandezze meccaniche sia da un punto di vista teorico che sperimentale. Le condizioni

Dettagli

Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton

Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton Parte I Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton 3.1-3.2-3.3 forze e principio d inerzia Abbiamo finora studiato come un corpo cambia traiettoria

Dettagli

CALCOLO EFFICACIA ED EFFICIENZA DI TERMOCAMINETTI A GIRI DI FUMO

CALCOLO EFFICACIA ED EFFICIENZA DI TERMOCAMINETTI A GIRI DI FUMO Pag. 1 di 7 CALCOLO EFFICACIA ED EFFICIENZA DI TERMOCAMINETTI A GIRI DI FUMO Introduzione La resente relazione ha obiettivo di calcolare indicativamente funzionamento efficacia ed efficienza di termocaminetti

Dettagli

ELETTROMAGNETISMO CARICHE E LEGGE DI COULOMB

ELETTROMAGNETISMO CARICHE E LEGGE DI COULOMB ELETTROMAGNETISMO CARICHE E LEGGE DI COULOMB ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA 1. La Legge di Coulomb Esercizio 1. Durante la scarica a terra di un fulmine scorre una corrente di.5 10 4 A per

Dettagli

Problemi di dinamica del punto materiale (moto oscillatorio) A Sistemi di riferimento inerziali

Problemi di dinamica del punto materiale (moto oscillatorio) A Sistemi di riferimento inerziali Problemi di dinamica del punto materiale (moto oscillatorio) A Sistemi di riferimento inerziali Problema n. 1: Un corpo puntiforme di massa m = 2.5 kg pende verticalmente dal soffitto di una stanza essendo

Dettagli

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ES. 1 - Due treni partono da due stazioni distanti 20 km dirigendosi uno verso l altro rispettivamente alla velocità costante di v! = 50,00 km/h e v 2 = 100,00 km

Dettagli

Impianto idraulico. Capitolo 4 4.1

Impianto idraulico. Capitolo 4 4.1 Caitolo 4 Imianto idraulico 4.1 4.1 Introduzione L'imianto idraulico è un imianto che consente la distribuzione di energia meccanica ed il suo controllo attraverso un fluido incomrimibile. Nell'imianto

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Leggi di Newton ed esempi

Leggi di Newton ed esempi Leggi di Newton ed esempi 1 Leggi di Newton Lo spazio delle fasi. Il moto di un punto materiale nello spazio è descritto dalla dipendenza temporale delle sue grandezze cinematiche, posizione, velocità

Dettagli

6. I GAS IDEALI. 6.1 Il Gas perfetto

6. I GAS IDEALI. 6.1 Il Gas perfetto 6. I GAS IDEALI 6. Il Gas erfetto Il gas erfetto o ideale costituisce un modello astratto del comortamento dei gas cui tendono molti gas reali a ressioni rossime a quella atmosferica. Questo modello di

Dettagli

Università di Modena e Reggio Emilia TIROCINIO FORMATIVO ATTIVO - CLASSE A049 Matematica e fisica PROVA SCRITTA - 21 settembre 2012.

Università di Modena e Reggio Emilia TIROCINIO FORMATIVO ATTIVO - CLASSE A049 Matematica e fisica PROVA SCRITTA - 21 settembre 2012. busta 1 QUESITI DI MATEMATICA 1. Nel piano euclideo dotato di un riferimento cartesiano ortogonale monometrico, sia Γ il luogo dei punti che soddisfano l'equazione X 2-2X = - 4Y -Y 2. 1.1 Stabilire che

Dettagli

N.B. La parte rilevante ai fini del corso di Metodologie Ecologiche è quella riquadrata.

N.B. La parte rilevante ai fini del corso di Metodologie Ecologiche è quella riquadrata. N.B. La arte rilevante ai fini del corso di Metodologie Ecologiche è quella riquadrata. Telerilevamento e modelli matematici Michele Scardi La biomassa fitolanctonica, generalmente esressa come concentrazione

Dettagli

DINAMICA e LAVORO esercizi risolti Classi terze L.S.

DINAMICA e LAVORO esercizi risolti Classi terze L.S. DINAMICA e LAVORO esercizi risolti Classi terze L.S. In questa dispensa verrà riportato lo svolgimento di alcuni esercizi inerenti la dinamica dei sistemi materiali, nei quali vengono discusse le caratteristiche

Dettagli

Introduzione alla trigonometria

Introduzione alla trigonometria Introduzione alla trigonometria Angoli e loro misure In questa unità introdurremo e studieremo una classe di funzioni che non hai ancora incontrato, le funzioni goniometriche. Esse sono imortanti sorattutto

Dettagli

PRESSIONE, VOLUME, TEMPERATURA

PRESSIONE, VOLUME, TEMPERATURA ER M O D I N A M I CA È la branca della fisica che descrive le trasformazioni subite da un SISEMA MACROSCOPICO a seguito di uno scambio di energia con altri sistemi o con l'ambiente. IL sistema macroscoico

Dettagli

Per ripassare gli argomenti di fisica classe 3^ ( e preparare il test d ingresso di settembre)

Per ripassare gli argomenti di fisica classe 3^ ( e preparare il test d ingresso di settembre) Per ripassare gli argomenti di fisica classe 3^ ( e preparare il test d ingresso di settembre) Un corpo viene lasciato cadere da un altezza di 30 m. dal suolo. In che posizione e che velocità possiede

Dettagli

! L occhio come sistema ottico complesso. Corso di Principi e Modelli della Percezione. ! Prof. Giuseppe Boccignone!

! L occhio come sistema ottico complesso. Corso di Principi e Modelli della Percezione. ! Prof. Giuseppe Boccignone! L occhio come sistema ottico comlesso Corso di Princii e Modelli della Percezione Prof. Giusee Boccignone Diartimento di Scienze dell Informazione Università di Milano boccignone@dsi.unimi.it htt://homes.dsi.unimi.it/~boccignone/giuseeboccignone_webage/modelli_percezione.html

Dettagli

L ENERGIA. L energia. pag.1

L ENERGIA. L energia. pag.1 L ENERGIA Lavoro Energia Conservazione dell energia totale Energia cinetica e potenziale Conservazione dell energia meccanica Forze conservative e dissipative Potenza Rendimento di una macchina pag.1 Lavoro

Dettagli

Forze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie

Forze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie Forze, leggi della dinamica, diagramma del corpo libero 1 FORZE Grandezza fisica definibile come l' agente in grado di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo. Ci troviamo di fronte ad una

Dettagli

Suggerimenti per evitare errori frequenti nello scritto di fisica

Suggerimenti per evitare errori frequenti nello scritto di fisica Suggerimenti per evitare errori frequenti nello scritto di fisica Quelli che seguono sono osservazioni utili ad evitare alcuni degli errori piu frequenti registrati durante gli scritti di fisica. L elenco

Dettagli

n matr.145817 23. 01. 2003 ore 8:30-10:30

n matr.145817 23. 01. 2003 ore 8:30-10:30 Matteo Vecchi Lezione del n matr.145817 23. 01. 2003 ore 8:30-10:30 Il Moto Esterno Con il termine moto esterno intendiamo quella branca della fluidodinamica che studia il moto dei fluidi attorno ad un

Dettagli

LAVORO ED ENERGIA. 9.11 10 31 kg = 1.2 m 106 s. v 2 f = v 2 i + 2as risolvendo, sostituendo i valori dati, si ha

LAVORO ED ENERGIA. 9.11 10 31 kg = 1.2 m 106 s. v 2 f = v 2 i + 2as risolvendo, sostituendo i valori dati, si ha LAVORO ED ENERGIA Esercizi svolti e discussi dal prof. Gianluigi Trivia (scritto con Lyx - www.lyx.org) 1. ENERGIA CINETICA Exercise 1. Determinare l'energia cinetica posseduta da un razzo, completo del

Dettagli

IL TEOREMA DI PITAGORA

IL TEOREMA DI PITAGORA GEOMETRIA IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI PREREQUISITI l conoscere le rorietaá delle quattro oerazioni ed oerare con esse l conoscere il significato ed oerare con otenze ed estrazioni di radici

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Dinamica: Forze e Moto, Leggi di Newton

Dinamica: Forze e Moto, Leggi di Newton Dinamica: Forze e Moto, Leggi di Newton La Dinamica studia il moto dei corpi in relazione il moto con le sue cause: perché e come gli oggetti si muovono. La causa del moto è individuata nella presenza

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche Aunti ed Esercizi di Fisica ecnica e Macchine ermiche Ca. 2. ermodinamica degli stati Paolo Di Marco Versione 2009.03 30.10.09. La resente disensa è redatta ad esclusivo uso didattico er gli allievi dei

Dettagli

Economia dell'informazione

Economia dell'informazione Economia dell'informazione Disensa 3 Monoolio Martina Gambaro & Andrea Borghesan martina.gambaro@unive.it - borg@unive.it Sommario Monoolio... 1 Massimizzazione del rofitto in monoolio... Monoolio ed elasticità...

Dettagli

ANALISI DELLE VIBRAZIONI PER LA DIAGNOSTICA DELLE MACCHINE ROTANTI 2 parte

ANALISI DELLE VIBRAZIONI PER LA DIAGNOSTICA DELLE MACCHINE ROTANTI 2 parte Indice Vibrazioni di una macchina elettrica ANALISI DELLE VIRAZIONI PER LA DIAGNOSTICA DELLE MACCHINE ROTANTI arte Lucia FROSINI Diartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di

Dettagli

Unità didattica 3. Il moto. Competenze. 1 Il moto è relativo. 2 La velocità scalare e la velocità vettoriale

Unità didattica 3. Il moto. Competenze. 1 Il moto è relativo. 2 La velocità scalare e la velocità vettoriale Unità didattica 3 Il moto Competenze Riconoscere e descrivere i principali tipi di moto. Definire la velocità scalare e vettoriale e l accelerazione scalare e vettoriale. Descrivere il moto rettilineo

Dettagli