2.1 Isometrie 16 Traslazione 16 Simmetria centrale 16 Simmetria assiale 16 Glissosimmetrie 17 Esercizi Similitudini 18 Omotetie 18

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2 INDICE CAPITOLO 1 LA TRIGONOMETRIA 1.1 I teoremi classici 1 Il teorema di Carot 1 U applicazioe: la formula di addizioe del coseo 1 Il teorema dei sei Il teorema della corda 1. I problemi di trigoometria Alcui risultati famosi 8 Il teorema di Tolomeo 8 Il teorema di Nepero 10 Esercizi Approfodimeto: geometria e astroomia 13 Misura del raggio terrestre (Eratostee a. C.) 13 Misura della distaza Terra-Lua 13 La distaza Terra-Sole 14 La distaza Veere-Sole (piaeta itero) 14 La distaza Giove-Sole (piaeta estero) 15 CAPITOLO TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E MATRICI.1 Isometrie 16 Traslazioe 16 Simmetria cetrale 16 Simmetria assiale 16 Glissosimmetrie 17 Esercizi 18. Similitudii 18 Omotetie 18 Esercizi 18.3 Affiità 19 Proprietà fodametali dell affiità 0 Esercizi 1.4 Matrici 1 Determiate di ua matrice x Iversa di ua matrice x Matrici e trasformazioi geometriche 3 CAPITOLO 3 I NUMERI COMPLESSI 3.1 Defiizioe e operazioi algebriche co i umeri complessi 6 3. Rappresetazioe geometrica dei umeri complessi 7 Sigificato geometrico della moltiplicazioe di umeri complessi: rotazioi 8 Il pricipio di iduzioe 8 Dimostrazioe della formula di de Moivre Radici -esime dell uità e trasformazioi geometriche 9

3 Esercizi svolti I umeri complessi e le formule goiometriche 33 Esercizi e quesiti 33 A-LEVEL MATHEMATICS 34 CAPITOLO 4 GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO 4.1 Il modello del cubo come strumeto d idagie dello spazio Volumi: il pricipio di Cavalieri 35 Il volume della piramide a base quadrata Rette e piai dello spazio 36 Perpedicolarità retta-piao Assiomi fodametali della geometria euclidea dello spazio Relazioi metriche L ottaedro regolare Il diedro e la sua sezioe ormale 39 Problema (calcolo della sezioe ormale di u diedro) Rette orietate, semirette, triedri Isometrie: simmetria rispetto ad u piao. Perpedicolarità 40 Problema (calcolo del volume e della superficie di u tetraedro) Rette sghembe, tetraedri e teorema delle tre perpedicolari 4 Il tetraedro di area miima 43 Il teorema delle tre perpedicolari Simmetria e perpedicolarità 44 Problema (diedro e distaza tra rette sghembe) U modello per la costruzioe dell ottaedro Dall icosaedro al dodecaedro La formula di Eulero per i poliedri I poliedri regolari soo tutti, e soli, i 5 solidi platoici Corpi rotodi Sviluppi 50 Sviluppo della superficie del cilidro e di quella del coo 51 Problema (giochi di Archimede 013) 51 La sfera o è sviluppabile 5 Carte geografiche Volume dei corpi rotodi 5 Il volume del coo circolare retto 5 Il volume della sfera 53 Quesiti 53 Esercizi Glossario geerale 54 CAPITOLO 5 VETTORI DEL PIANO E DELLO SPAZIO 5.1 Defiizioe ed operazioi co i vettori 59 Somma di vettori 59 L opposto di u vettore 59 Il prodotto tra umeri e vettori Combiazioi lieari 60

4 Sistemi lieari Spazi vettoriali 61 Dipedeza lieare e basi Equazioi di rette e piai 63 Equazioe vettoriale, parametrica e cartesiaa della retta del piao e dello spazio 63 Equazioe vettoriale, parametrica e cartesiaa di u piao dello spazio 65 Esercizi 66 Soluzioi 66 CAPITOLO 6 GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 6.1 Vettori ello spazio 69 Itesità e direzioe di u vettore Il prodotto scalare Mutua posizioe di rette e piai ello spazio 7 Distaza tra due piai paralleli distiti Il prodotto vettoriale 73 U applicazioe: determiazioe dei coefficieti del piao formato da due rette icideti Sistemi lieari i tre icogite e loro iterpretazioe geometrica 75 Il metodo di Gauss Il fascio di piai 79 Rette sghembe 79 Esercizi 80 Soluzioi La sfera ed il coo 83 Itersezioe della superficie coica co u piao o passate per l origie (vertice) 84 L equazioe della superficie coica co vertice ell origie 85 Problemi 86 Soluzioi 87 CAPITOLO 7 SUCCESSIONI 7.1 L isieme dei umeri aturali 89 Il pricipio di iduzioe 89 Disuguagliaza (Beroulli) Le successioi 89 Le progressioi aritmetiche 90 Le progressioi geometriche 90 Il fattoriale 90 Successioi mootoe Successioi e modelli 90 L accrescimeto geometrico 90 L accrescimeto co risorse limitate 91 La capitalizzazioe dell iteresse composto 91 La ricerca del termie geerale della successioe di Fiboacci 91 Metodo per la ricerca del termie geerico di ua successioe defiita per ricorreza Le sommatorie 93 La soma dei primi termii di ua progressioe aritmetica 93

5 La somma dei quadrati dei primi iteri 93 La somma dei primi termii di ua progressioe geometrica 94 Esercizi 94 Soluzioi 97 CAPITOLO 8 LIMITI DI SUCCESSIONI 8.1 L adameto di ua successioe 100 Successioi limitate 100 Esercizi Limiti di successioi 101 Defiizioe di limite ifiito 101 Defiizioe di limite fiito Teoremi fodametali sui limiti di successioi 10 Teorema dell uicità del limite 10 Teorema della permaeza del sego 10 Teorema dei due carabiieri 10 Operazioi algebriche co i limiti 10 U cofroto tra poteze ed espoeziali Calcolo per esteso di alcui limiti di successioi 103 Esercizi 104 Soluzioi Approfodimeto: alcui limiti utili Approfodimeto: determiazioe grafica del limite di particolari successioi defiite per ricorreza Approfodimeto: il umero di Nepero e 115 CAPITOLO 9 ESPONENZIALI E LOGARITMI 9.1 La legge espoeziale 117 La crescita di ua popolazioe: l caso dei batteri 117 La capitalizzazioe dell iteresse composto 117 Verso le equazioi espoeziali: calcolo del tempo ecessario per raddoppiare il capitale iiziale118 La capitalizzazioe cotiua ed il umero di Nepero Le poteze ad espoete reale La fuzioe espoeziale Le equazioi espoeziali 1 Esercizi 1 La legge del decadimeto radioattivo Verso il cocetto di logaritmo 13 Il logaritmo aturale 14 Il logaritmo e la crescita della popolazioe degli Stati Uiti d America 15 U applicazioe del cocetto di logaritmo alla dimesioe dei frattali I logaritmi: proprietà e regole 16 Cambiameto di base di u logaritmo Le equazioi logaritmiche 17 Espoeziali e logaritmi: esercizi vari 17 Esercizi 18

6 9.8 Alcue applicazioi della legge espoeziale i Fisica 131 U modello per esprimere la pressioe i fuzioe della quota 131 La datazioe co il metodo del 14 C 131 Il livello d itesità soora 13 Magitudie e lumiosità apparete di ua stella Approfodimeto: lim 1+ 1 & ( = e e questioi collegate ' 133 La disuguagliaza delle medie Approfodimeto: La fuzioe composta y = e f (x) : u metodo grafico per la sua rappresetazioe 136 CAPITOLO 10 IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 10.1 Itroduzioe 139 Il caso Defiizioi di probabilità 139 Defiizioe soggettivista di probabilità 139 Defiizioe classica di probabilità 140 Defiizioe frequetista di probabilità 140 Defiizioe assiomatica di probabilità I pricipali risultati sul calcolo delle probabilità 140 Il teorema dell eveto complemetare 140 Il teorema della somma per eveti icompatibili 140 Il teorema del prodotto per la probabilità codizioata. Formula di Bayes Elemeti di combiatoria 141 Il pricipio fodametale del cotare 141 Le figure fodametali della combiatoria 14 Il biomio di Newto 143 Il modello dell ura coteete pallie umerate ed il problema dei compleai 144 Esercizi Lo schema delle prove ripetute e i umeri di Pascal 144 I umeri di Pascal e gli isiemi 145 Esempi Variabili aleatorie discrete 146 Esempi 148 Esercizi 149 BIBLIOGRAFIA 16

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8 1 CAPITOLO 1 LA TRIGONOMETRIA 1.1 I teoremi classici La trigoometria, che vide tra i suoi padri fodatori Ipparco, Meelao e Tolomeo, fu cocepita come strumeto ecessario per la costruzioe di u astroomia quatitativa, co il preciso scopo di poter prevedere il moto dei corpi celesti oché la determiazioe dell ora e la compilazioe di caledari. La trigoometria si è rivelata uo strumeto molto utile alla avigazioe ed alla geografia. Gli storici cocordao ell attribuire ad Ipparco, che visse a Rodi e ad Alessadria e morì attoro al 15 a.c., il ruolo di fodatore della trigoometria, e all egiziao Claudio Tolomeo, che visse ad Alessadria lavorado al museo e morì el 168 d.c., il proseguimeto e la sitesi del lavoro precedetemete iiziato da Ipparco e Meelao, riguardate la trigoometria e l astroomia. L opera più importate di Tolomeo è l Almagesto, dove i realtà si parla più di trigoometria sferica piuttosto che di trigoometria piaa, oggetto dei ostri studi. Presetiamo ua selezioe di risultati e teoremi tipici della trigoometria. Il teorema di CARNOT I u triagolo qualsiasi valgoo le segueti relazioi: B Dimostrazioe. Proviamo, ad esempio, la prima delle tre relazioi. Sul prolugameto del lato AC co origie i C sia K il piede della perpedicolare al prolugameto codotta dal vertice B. Applichiamo al triagolo rettagolo ABK il teorema di Pitagora e le relazioi sugli agoli associati, otteiamo così: ( ) + BK, da cui segue c = b + acos( π γ) AB = AC + CK β a c ( ) + ( asi( π γ) ) = b abcosγ + a. Le altre due relazioi si dimostrao co cosiderazioi del tutto aaloghe. γ h K H C b α A c = a + b abcosγ b = a + c ac cosβ a = b + c bc cosα U applicazioe: a formula di addizioe del coseo E possibile sfruttare il teorema di Carot per dedurre la formula di addizioe del coseo cosγ 1 cosγ siγ 1 siγ ( ) = cos( γ 1 +γ ). Per questo scopo scriviamo l agolo BC ˆ A come somma degli agoli BC ˆ H e AC ˆ H, i simboli γ = γ 1 + γ. Di cosegueza c = AB = (BH + AH) = BH + AH + AH BH = a h + b h + bsiγ asiγ 1. Ora, posiamo sostituire h = acosγ 1 = bcosγ, ell espressioe precedete ed otteere: c = a + b h h + bsiγ asiγ 1 = a + b acosγ 1 bcosγ + bsiγ asiγ 1. D altra parte, per il teorema di Carot risulta c = a + b abcosγ = a + b abcos( γ 1 +γ ) e, cofrotado questa espressioe co quella precedetemete trovata, risultaab( cosγ 1 cosγ siγ 1 siγ ) = abcos( γ 1 + γ ) = abcosγ e di cosegueza, cosγ 1 cosγ siγ 1 siγ ( ) = cos( γ 1 +γ ).

9 Il teorema dei SENI I u triagolo qualsiasi, dette e a,b,c, le misure dei lati e α,β,γ le ampiezze degli agoli, sussiste la seguete relazioe: a siα = b siβ = c siγ = r, dove r è il raggio della circofereza circoscritta al triagolo. C γ a b h c α β H B A Dimostrazioe. Cosideriamo la seguete figura. Sia B il simmetrico del vertice B rispetto al cetro della circofereza circoscritta al triagolo di parteza ABC. Poiché l agolo i B è uguale all agolo i A, e il triagolo BCB è rettagolo i C, si ha BC = BB'siα, da cui segue ua delle tre relazioi trovate: a = rsiα. B a C α α A B Co costruzioi aaloghe si dimostra che b = rsiβ e c = rsiγ, da cui segue la relazioe cercata a siα = b siβ = c siγ = r. Il teorema della corda I ua circofereza di raggio r, siao A e B gli estremi di ua corda. Allora si ha: AB = rsi β, dove β è l agolo al cetro riferito alla corda.

10 3 1. I problemi di trigoometria Le coosceze di goiometria e trigoometria fi qui acquisite permettoo di risolvere i problemi geometrici riguardati la cosiddetta risoluzioe dei triagoli, ovvero l espressioe delle relazioi che legao tra loro i lati e gli agoli. Problema E data la semicircofereza di diametro AB =, r la semiretta di origie i A, e P il puto i cui r iterseca la circofereza. Idicato co x l agolo PA ˆ B e co P il simmetrico del puto P rispetto all asse del diametro AB, si determiio: 1. La lughezza della corda PP al variare di x;. L area del triagolo POP, dove O è il cetro della semicircofereza. Per quali valori di x tale area assume il valore massimo? 3. L area del triagolo OEP. P P E r A O B Soluzioe P P E 1. P ˆ A B = x = A ˆ P O P' ˆ P O = x PP'= cosx A O B A P P E O B. Area(POP') = 1 si4x cosx six =. Tale valore è massimo quado 4x = π x = π 8.

11 4 P E P. Area(OEP) = 1 PP' OE = 1 cosx ta x cosx OAta x = A O B. Sia T u puto apparteete all arco AB cogruete a u quarto della circofereza di cetro O e raggio OA. Posto OA ˆ AT + TB T = x, si costruisca la fuzioe f (x) = OA. O B x T A Posto il raggio OA = r si ha che AT = rcos x. L agolo BO ˆ T = π (π x) = x π, co la π limitazioe 4 x < π. Dal teorema del coseo applicato al triagolo (isoscele) BOT otteiamo BT = OB + OT OB OT cos x π ( ' & ) * BT = r (1 cos x π ( ' & * = r (1 six). La ) fuzioe cercata è duque rcos x + r (1 six) 1+ cosx f (x) = = + (1 six) = (1+ cosx) + (1 six) r = cos x + (cos x + si x si x cos x) = cos x + cos x si x = ( π 4 x < π ) = ( )cos x + si x ' rsiα = ' rcosα = r ' ) ) = 8 4 ) ( ( ( r = 8 4 *) *) taα = ( 1) θ = π f (x) = 8 4 si(x + π * ) 8 ) 8 1. Nel triagolo equilatero ABC sia P u puto sul lato BC. Detto a) Si determii la fuzioe f (x) = 1 AP. b) Verificato che la fuzioe richiesta può essere scritta ella forma ell itervallo [ 0,π ]. c) Si tracci il grafico della fuzioe g(x) = 1 f (x). d) Si stabilisca per quali valori di k l equazioe x = B ˆ A P f (x) = 3 si(x + π ), si tracci il grafico 3 f (x) = k ammette due soluzioi, ell itervallo [ 0,π ].

12 5. Soo date le rette del piao cartesiao r : y = mx, s : y 1= m (x 1), dove m = taθ, m > 0 e m " = ta π + θ ( ' *, m " < 0, ed i puti del piao & ) O(0;0), C(1;1), A(1;0), B = r x =1, D = r s. Dopo aver idividuato i limiti geometrici imposti all agolo θ, si determii la fuzioe f (θ) = Area(BCD) Area(OAB). x =1 H C D r O B A s I limiti geometrici imposti all agolo θ soo determiati dal sego del coefficiete agolare delle rette: m " < 0 π < π + θ < π 0 < θ < π 4. B = y = mx x =1 x =1 B = ( 1;m ). Da questo segue, essedo m>0, che AB = m e y = m BC =1 m Il puto D ha coordiate y = mx y 1 = m (x 1) y = mx ( y = m(1 m ) & & m m ) & ' '(m m )x =1 m x = 1 m D = 1 m ( m m ; m(1 m ), +. di * m m - ' m m cosegueza DH = 1 m 1 m 1 = m m m m. 1 m (1 m) m m f (θ) = (1 m) = 1 m m(m m ) = ( 1 taθ) taθ(taθ ta π = ' ) ( + θ *, + La fuzioe cercata è ( 1 taθ) ( 1 taθ) = ' 1 * taθ) taθ +, taθ taθ + 1 = ' ta θ * ( taθ + ), ( taθ + ( 1 taθ ) 1+ ta θ f (θ) = (cosθ siθ) a. Il metodo dell agolo aggiuto permette di scrivere la fuzioe trovata ella forma f (θ) = si θ π + ((. - ' ' ** 0., & & 4 ))/

13 6 3. Nella semicircofereza uitaria di diametro AC sia B il puto tale che semicircofereza co P ˆ A C := x. P BA ˆ C = π, e sia P u puto sulla 6 B A C π a) Si determii la fuzioe f (x) = AP + PB, el caso i cui 6 x < π PB a. AP = AC cos x = cos x; si x π = r = PB = si x π ' & ). Di cosegueza, ' 6 ( & ) 6 ( f (x) = AP + PB = cos x + si x π ' & ). Di cosegueza 6 ( 3 f (x) = cos x + si x 1 cos x & ( = cos x + 3 si x. ' b) Verificato che la fuzioe richiesta può essere scritta ella forma, f (x) = si x + π & ( si tracci 6 ' il grafico ell itervallo [ 0,π ]. b. Co il metodo dell agolo aggiuto è possibile scrivere la fuzioe ella forma f (x) = Asi( x α) Acosα = 3 ) & α = π & 6. Si determia il valore ' Asiα =1 ') A = ± " dell ampiezza sostituedo u valore di riferimeto: f (0) =1= ± 1 ' A =. La & fuzioe può essere scritta quidi ella forma f (x) = si x + π & (. 6 '

14 7 c) Si idividui il valore di x per cui è massimo il perimetro del triagolo APB. c. Il perimetro del triagolo APB è dato dalla fuzioe dell agolo p(x) = AP + PB + AB = si x + π & ( + cos π.questa espressioe è massima quado 6 ' 6 π l argometo della fuzioe seo è uguale a : x + π 6 = π x = π 3. e) Si esprima i fuzioe di x il rapporto tra l area del triagolo APB e l area del triagolo AOP, dove O è il cetro della semicircofereza. P B A O C cos x si x L area del triagolo AOP è S(AOP) =, metre quella del triagolo APB AB AP si x π ( ' * cos π & 6 ) 6 cos x si x π ( ' * & 6 ) è S(APB) = = = 3 cos x si x π ( ' *. & 6 ) Il rapporto tra le aree è dato dalla fuzioe 3 c/ o s x si x π ( 3 ' & r(x) = 6 * ) = 3 si x 1 cos x = 3 c/ o s x si x si x 3 ta x. 4. U triagolo ABC è iscritto i ua circofereza di raggio r e cos AC ˆ B = 3. Determia l ampiezza 5 dell agolo A ˆ B C = x i modo tale che l area del triagolo ABC valga A 8 5 r. x r x B C

15 8 1.3 Alcui risultati famosi Il Teorema di TOLOMEO I quadrilatero iscritto i ua circofereza, il prodotto delle diagoali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti. B C A D Dimostrazioe. Sia E il puto sulla diagoale AC tale che l agolo AEB sia uguale all agolo BCD; per costruzioe i triagoli AEB e BCD soo simili, dal mometo che ache gli agoli BAE e BDC soo uguali. Dall uguagliaza degli agoli ABE (somma degli agoli ABD e DBE) e DBC (somma degli agoli DBE e EBC) segue l uguagliaza degli agoli ABD e EBC; poiché risultao uguali ache gli agoli ADB e BCE, segue la similitudie dei triagoli EBC e ABD. Quidi, dalla similitudie dei triagoli AEB e BCD segue: AB AE = BD AB CD = BD AE, CD metre dalla similitudie dei triagoli EBC e ABD segue: BC EC = BD AD BC = BD EC. AD Sommado queste relazioi otteiamo la tesi: AB CD + AD BC = BD (AE + EC) = BD AC B C E A D Vediamo adesso due applicazioi particolari del teorema di Tolomeo.

16 9 1. Il lato AD coicide co u diametro. A B β E Si hao le segueti relazioi: AC = rcosβ; DB = rcosα; AB = rsiα; DC = rsiβ. Resta da valutare BC. Per questo BC scopo si applica il teorema dei sei al triagolo BCD: si π = DC, da cui segue & ( ' β α ) siβ + * & rsiβ si π α β ) ( + ' * BC = = rcos(α + β). Applicado il teorema di Tolomeo co questi dati siβ otteiamo: DB AC = AD BC + AB CD rcosα rcosβ = r rcos(α + β) + rsiα rsiβ da cui segue la ota formula di addizioe del coseo: cos(α + β) = cosα cosβ siα siβ. α C D EC ˆ D = π CE ˆ D = α + β E ˆ D C = π α β. Il lato AD coicide co u diametro ed il quadrilatero è u trapezio isoscele. B C A c P a b γ D Evideziato el quadrilatero ABCD il triagolo ABD, possiamo sfruttare le relazioi di cui sopra co α = β = γ e la similitudie tra i triagoli PBC e APD ed otteere: BC PB = AD PD BC b PD = a PD, dove PDcosγ = a PD = a BC = bcosγ a. Applicado il cosγ teorema di Tolomeo otteiamo: DB AC = AD BC + AB CD b b = a (bcosγ a) + c c da cui segue il teorema di CARNOT c = a + b abcosγ. Come caso particolare è opportuo citare quello i cui il quadrilatero è u rettagolo. I questo caso γ = π e l applicazioe del teorema di Tolomeo coduce al oto teorema di PITAGORA c = a + b.

17 10 Il teorema di Nepero: ta α β ( ' * a b a + b = & ) ta α + β ( ' * & ) a γ C b B β a Dimostrazioe. Dal teorema dei sei si ha siα = aggiugoo e tolgoo le quatità: asiβ + asiα = bsiα + asiα a(siα + siβ) = siα(a + b) (1), e bsiα + bsiβ = asiβ + bsiβ b(siα + siβ) = (a + b)siβ (). Sottraedo la () dalla (1) si ottiee (a b)(siα + siβ) = (a + b)(siα siβ), e quidi applicazioe delle formule di prostaferesi. c H α b asiβ = bsiα. All ultima uguagliaza si siβ a b a + b A siα siβ =. La tesi segue per siα + siβ Esercizi 1. I u geerico rettagolo, si idichi co x l agolo che ua diagoale forma co u lato. Si esprima i fuzioe di x il rapporto tra i raggi delle due circofereze iscritte ei triagoli isosceli idividuati dalle due diagoali. Sempre i fuzioe di x, si esprima la lughezza del segmeto d cogiugete i cetri delle due circofereze. r 1 = b ta " π 4 x ' & " b r a " ta x, d = r ' + a " & r 1' & ' &. Sulla semiretta s di origie O si segi il puto H a distaza b da O, e si coduca per esso la perpedicolare p a s. Sia t la semiretta co origie el medesimo puto O, che icotra p el puto P, e sia x := PÔH. Idicata co la perpedicolare al segmeto PO codotta da H, sia C il puto i cui iterseca la bisettrice dell agolo delimitato dalle semirette t e p, co origie i P, estero al triagolo OPH. Si esprima i fuzioe di x il rapporto tra la misura del raggio della circofereza di cetro C e tagete alle semirette p e t, e quella dell altezza del triagolo CPH riferita alla base CH. r h = ta π 4 + x & " 3. Idicato co O u vertice di u cubo, sia P u puto su uo spigolo opposto ad O, di vertici A e B. Cogiugiamo P co u vertice Q di ua faccia avete i comue co quella a cui appartegoo O e P lo spigolo di estremi A e B. Si determii la fuzioe f (x) = OP + PQ i

18 11 fuzioe dell agolo x = AÔP. Per quale valore dell agolo la fuzioe assume il valore miimo? P B f (x) = l ( 1+ ( 1 ta x) + 1+ ta x ) ta x mi = l l x mi = ta 1 1 & ( f (x mi ) = l 5 ' Q O A 4. I ua circofereza uitaria si traccio due corde aveti u estremo i comue, ed aveti lughezza AB = 3 e BC =. Preso u puto D sull arco AC che o cotiee B, si poga DÂC := x e se e idividuio i limiti geometrici. Tracciate le diagoali AC e DB del quadrilatero ABCD: a. Si trovio le ampiezze degli otto agoli che vegoo a formarsi; b. Si determii la posizioe di D che rede massima la lughezza della diagoale DB; c. Si dica per quali valori di x risulta DB = DC. a) vedi figura. D x C A x 45 x x B I limiti geometrici possoo essere idividuati ragioado sulla somma degli agoli iteri al triagolo DAC: 180 =105 + x + DĈA, da cui segue che x = 0 se D C, e x = 75 se D A. Di cosegueza 0 < x < 75. b) La lughezza della diagoale DB si trova co il teorema della corda: DB = si( 45 + x). Tale lughezza è massima se 45 + x = 90 x = 45.

19 1 c) Si ha DB = DC si(45 + x) = si x x = x + 45 impossibile 180 x = 45 + x x = 135 = 67, 5. π 5. Nel triagolo ABC il lato BC misura 1 e l ampiezza dell agolo i A è. Codotte le 3 bisettrici BM e CN, si determii per quale triagolo ABC risulta miima la somma dei raggi delle circofereze circoscritte ai triagoli BNC e BMC. [Si poga C ˆBA := x BĈA = π 3 x. Si applichi il teorema della corda ai triagoli BCM, dove r 1 si x + π " 3 &, e BCN, dove r si " x + π 1 3 '. Allora r & 1 + r := f (x) = si π 3 + x è & " miima quado il deomiatore assume il valore massimo, ovvero 1, x = π 3 ] 6. U triagolo A B C, isoscele sulla base BC, ha area costate. Si determii, i fuzioe dell ampiezza dell agolo al vertice, il prodotto R r del raggio R della circofereza circoscritta e del raggio r della circofereza iscritta. A C B " [Per il teorema della corda risulta AB = AC = Rsi π x ' = Rcos x, dove R è il & raggio della circofereza circoscritta. Scriviamo l area come somma delle aree dei triagoli AOB, AOC, e BOC, dove O è il cetro della circofereza iscritta: s = Rr cos x + Rrsi x Rr := f (x) = s cos x + si x ].

20 Approfodimeto: geometria e astroomia Misura del raggio terrestre (Eratostee a.c.) Le prove della sfericità della Terra, secodo alcui pesatori dell atichità, erao rappresetate dalla graduale visibilità degli oggetti che si avviciavao dall orizzote, e l ombra della Terra proiettata sulla Lua durate u eclissi di Lua. Rappresetiamo schematicamete il procedimeto di misura del raggio terrestre seguito da Eratostee. Scelte due località sullo stesso meridiao (Alessadria e Siee), distati AS = 785km, Eratostee misura l ombra prodotta da u asta verticale a mezzogioro i corrispodeza delle due località. L agolo formato dai raggi solari co la direzioe dell asta (quella del filo a piombo) è 7 1 per la misura eseguita ad Alessadria, e circa 0 per quella eseguita a Siee. La lotaaza del Sole è tale da poter cosiderare i raggi solari, i corrispodeza della superficie terrestre, approssimativamete paralleli. α L l A α B La lughezza dell arco AS = 785km, e la misura dell agolo formato dai raggi solari co la direzioe del filo a piombo l l & = taα α = ta 1 ( = 7 1 ), forisce per similitudie ua misura L L ' del raggio terrestre, d impressioate precisioe se cosideriamo i tempi i cui è stata eseguita: 785km = 7 1' π R T 360 R T 6.50km. Misura della distaza Terra-Lua Si può sfruttare uo schema simile al precedete, i cui i puti A e B soo lotai tra loro, ed il puto L, idicate la Lua, situato sulla verticale alla superficie terrestre i B. L agolo α si può misurare, così come l agolo β (quest ultimo co u procedimeto del tutto aalogo a quello seguito da Eratostee), metre l agolo O ˆLA := γ = α β. La distaza OL si determia quidi applicado il teorema dei sei al triagolo OAL : OL = R T siα si( α β) = 3, km.

21 14 R T A α π α O β B L La distaza Terra-Sole Per il calcolo di questa distaza, i greci partiroo dal presupposto che la Lua, illumiata dal Sole, e rifletteva la luce. Ioltre, il Sole illumia ua metà della Lua (faccia), o sempre visibile dalla Terra. I particolare, idichiamo co O u osservatore sulla superficie terrestre che, i u certo istate, vede ua metà illumiata. L α S I virtù della grade distaza, i raggi solari arrivao approssimativamete paralleli sulla superficie luare. I particolare OL OS OL = OS cosα. Sapedo che OL = 3, km, e che α = , si ottiee per la distaza Terra-Sole il valore OS =1, km. O La distaza Veere-Sole (piaeta itero) Si assume che Terra e Veere si muovoo su orbite circolari, complaari e cocetriche rispetto al Sole. Da svariate misure eseguite è oto che l agolo massimo tra le semirette cogiugeti la Terra e il Sole, e la Terra e veere, è α := V ˆTS = 46. I corrispodeza di quest agolo quidi, la semiretta TV è approssimativamete tagete all orbita di Veere. Defiita l uità astroomica come la distaza Terra-Sole (TS =1, km ), si ha per la distaza Veere-Sole il valore VS = 0, 7TS. S T V

22 15 La distaza Giove Sole (piaeta estero) Ache i questo caso si assume che il moto di Giove sia circolare uiforme, complaare co l orbita terrestre, cocetrica co questa rispetto al Sole. Scegliamo come riferimeto il sistema delle stelle fisse, ed idichiamo co α l arco di orbita percorsa da Giove i u certo tempo rispetto alle stelle fisse, co β l arco percorso, sempre da Giove el medesimo tempo, rispetto al Sole, e co γ l arco percorso dalla Terra, rispetto al Sole, sempre ello stesso itervallo di tempo. Misurata l altezza di Giove sull orizzote, δ, si applica il teorema dei sei al triagolo SG 1 T 1 : G 1 S T si π = 1 S cosδ " +δ & si π G 1 S = + β (γ +δ) & cos πt T 1 S. (πt +δ) & " " T T è il periodo di Giove, t è la durata del trasito G 1 G e T 1 T. t :1a = γ : π γ = πt t :T = β : π β = πt T T G S γ β δ G 1 Stelle fisse T 1

23 16 CAPITOLO TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO E MATRICI.1 Isometrie Ua trasformazioe geometrica è u applicazioe del piao cartesiao i sé rappresetata dalle segueti equazioi: T : R R (x, y) ( x ", y ") = (T 1 (x, y),t (x, y)) Le isometrie soo quelle trasformazioi geometriche che coservao le distaze tra i puti; si dicoo dirette se o cambiao l orietameto del piao, opposte altrimeti. Soo isometrie le traslazioi, le simmetrie, le glissosimmetrie, e le rotazioi. Traslazioe La traslazioe di vettore v (a,b) è ua trasformazioe geometrica che mette i relazioe i puti del piao mediate le equazioi: x = x + a τ ( a,b) :. & y = y + b Simmetria cetrale Sia C = (x 0,y 0 ) il cetro della simmetria. Vogliamo scrivere le equazioi del simmetrico di u puto del piao rispetto a tale cetro. C P x = x (x x 0 ) = x 0 x σ C : & ' y = y (y y 0 ) = y 0 y P Simmetria assiale Iiziamo col descrivere le simmetrie rispetto agli assi coordiati: x = x x = x σ y=0 :, σ & y = y x=0 : & y = y Simmetria rispetto ad u asse parallelo all asse y PP σ x=k : & x = k x y = y x""""x"="k""""""x " Simmetria rispetto ad u asse parallelo all asse x P P x = x σ y= k : & ' y = k y

24 17 Simmetria rispetto ad ua retta passate per l origie Le equazioi della simmetria rispetto ad ua retta passate per l origie (o coicidete co l asse y) si ricavao osservado la seguete figura. P ( x, y ) r:" y = mx " P(x, y) Il puto medio del segmeto PP appartiee alla retta r, quidi y + y dei puti P e P dall origie deve coicidere: x + y = x + trovate otteiamo: = m x + x. Ioltre, la distaza y. Mettedo a sistema le equazioi " y + y = m x + x " y + y = m(x + x ) " y + y = m(x + x ) (y y )(y + y ) = ( x x)( x + x) x + y = x + y (y y )m = x x L ultimo è u sistema di due equazioi i due icogite di primo grado, che risolto co uo dei qualsiasi metodi oti 1 porta alle equazioi geerali della simmetria rispetto ad ua retta passate per l origie: R y=mx : & 1 m x = m +1 x " + m m +1 y" y = m x m +1 " 1 m m +1 y" 1, R y=mx : & m m +1 y y " = m 1 m x m +1 m +1 y 1 m x " = m +1 x + E possibile dedurre le equazioi della simmetria di cui sopra rifacedoci direttamete alla costruzioe del simmetrico di u puto P(x, y) : si tracci la parallela all asse y passate per P, e sia C(x, mx) il puto i cui questa icotra l asse y = mx. Tracciata la circofereza C di cetro C e raggio PC, il simmetrico del puto P sarà il puto P itersezioe della circofereza C co la retta per P perpedicolare all asse y = mx. Glissosimmetrie Le glissosimmetrie soo particolari isometrie otteute mediate la composizioe di ua simmetria co ua traslazioe i ua direzioe parallela all asse di simmetria. Ad esempio, compoedo ua simmetria rispetto ad u asse parallelo all asse y co ua traslazioe ella direzioe dell asse x = k x x = x otteiamo: σ x=k : ;τ & y = y (0,b) : y = y + b σ x = k x x=k τ (0,b) :. & & y = y + b 1 Le codizioi di esisteza algebrica delle soluzioi hao ua immediata iterpretazioe geometrica.

25 18 Esercizi 1. Comporre tra loro le isometrie esamiate.. Trovare i puti fissi per le trasformazioi esamiate. 3. Trovare le rette fisse per le trasformazioi esamiate. 4. Stabilire se l isieme delle traslazioi forma u gruppo. 5. Stabilire se l isieme delle simmetrie cetrali forma u gruppo. 6. Comporre due simmetrie cetrali. Cosa otteiamo? E compoedoe tre? Il coefficiete agolare di ua retta i geerale o si coserva per simmetria. I quali casi si coserva?. Similitudii Le similitudii soo applicazioi biuivoche del piao i sé tali che, per ogi coppia di puti P, Q, i corrispodeti puti P, Q, sussiste la relazioe P'Q' = lpq, dove la costate l > 0 è detta scala. Osserviamo che se il valore della scala è uguale a 1, la similitudie è ua isometria; di cosegueza le isometrie si possoo cosiderare come particolari similitudii. Tra le similitudii rivestoo u ruolo di fodametale importaza le omotetie. Omotetie Sia l 0. Si dice omotetia di cetro C e rapporto l, l applicazioe biuivoca del piao i sé rappresetata dalle segueti equazioi: x = l(x x C )+ x C. & y = l(y y C )+ y C Due omotetie possoo essere composte i base alla seguete regola: x = x C + l(x D + m(x x D ) x C ) O C,l O D,m =. & y = y C + l(x D + m(y y D ) y C ) Esercizi 7. Dimostrare che il rapporto tra le aree di due triagoli simili è uguale al quadrato del loro rapporto di similitudie. 8. Trovare i puti fissi rispetto ad u omotetia. 9. Trovare le rette fisse rispetto ad u omotetia. 10. Stabilire se l isieme delle omotetie di cetro fissato forma u gruppo rispetto all operazioe di composizioe. 11. Stabilire se l isieme di tutte le omotetie forma u gruppo rispetto all operazioe di composizioe. 1. Dimostrare che il parallelismo tra rette è ua proprietà ivariate per omotetie Esamiiamo adesso el dettaglio alcue proprietà delle omotetie. Teorema. Ogi omotetia di rapporto l trasforma le distaze secodo u rapporto l. Dimostrazioe. Siao P e Q due puti del piao, e P e Q i loro trasformati secodo u omotetia di cetro C e rapporto l. Applicado le equazioi dell omotetia risulta P'Q' = l PQ, c.v.d. Teorema. U omotetia trasforma ua retta i ua retta ad essa parallela. Dimostrazioe. Sia ax + by + c = 0 l equazioe di ua retta. L equazioe della sua trasformata per omotetia è

26 19 a x x C l & + x C (+ b ' parallelismo segue y y C l *, &, + y C (+ c = 0 + ',, -, c = ax C a = a l b = b l (l 1) + by C l a a = b b = l; c c = lc (ax C + by C )(l 1)+ lc (l 1) + c l. Dalla codizioe di ; dal rapporto tra i termii oti osserviamo che le rette uite soo quelle relative all omotetia di rapporto l =1 (l omotetia è l idetità, le rette soo costituite di puti fissi), oppure quelle coteeti il cetro dell omotetia ( ax C + by C = c c c = lc lc + c + lc = l )..3 Affiità Occupiamoci adesso di trasformazioi geometriche più geerali. Per questo scopo cosideriamo le ombre di due piloi posti a bordo strada, illumiati dal sole: tali ombre soo liee rette (come i piloi) e soo tra loro parallele (come i piloi). Suppoiamo adesso di appoggiare, i vario modo, u reticolato quadrettato, i posizioe verticale, sopra u tavolo illumiato dal sole. Se osserviamo l ombra proiettata sul tavolo dal reticolato, possiamo osservare che i quadrati vegoo trasformati i parallelogrammi, a secoda della disposizioe del reticolato; ache i questo caso, però, segmeti paralleli vegoo trasformati i segmeti paralleli. Abbiamo visto che le isometrie possoo essere cosiderate particolari similitudii. A loro volta le similitudii soo casi particolari di trasformazioi geometriche più geerali: le affiità, applicazioi biuivoche del piao i sé che trasformao rette i rette. Cosegueza della biuivocità di queste applicazioi è la trasformazioe di rette parallele i rette parallele: se così o fosse, il puto di icideza avrebbe ua duplice proveieza, cotro il fatto che le affiità soo applicazioi biuivoche. Cosideriamo ua trasformazioe che stira o cotrae il piao, o ecessariamete ello stesso modo lugo le due direzioi: " x = ax T :. y = dy U reticolato a maglie quadrate viee quidi trasformato i u reticolato le cui maglie soo dei parallelogrammi; i particolare, se i coefficieti soo uguali la trasformazioe è u omotetia. Ioltre, o è difficile osservare che gli assi coordiati soo rette uite, ma o rette di puti fissi. AFFINITA ' SIMILITUDINI' ISOMETRIE' Traslazioi' Simmetrie' Id' Rotazioi' glissosimmetrie' OMOTETIE' Cotrazioi' dilatazioi'

27 0 La forma geerale co cui si rappreseta u affiità è data dalle equazioi " x = ax + by + p T : y = cx + dy + q co la codizioe ad bc 0, a garazia della biuivocità della trasformazioe. Proprietà fodametali dell affiità 1. Date due tere di puti o allieati A,B,C e A,B,C, esiste u uica affiità che mada A i A, B i B e C i C.. U affiità coserva i rapporti tra segmeti apparteeti a rette parallele. Dimostriamo questa proprietà. Siao R, S e P, Q due coppie di estremi di segmeti apparteeti a due rette parallele di coefficiete agolare m = y y P Q = y R y S. La tesi segue applicado le x P x Q x R x S trasformazioi dell affiità alle coppie di puti e cosiderado il rapporto tra i segmeti: P Q R S = ( x P x Q ) + ( y P y Q ) ( x R x S ) + ( y R y S ) = a(x P x Q )+ b(y P y Q ) & + c(x P x Q )+ d(y P y Q ) & [ a(x R x S )+ b(y R y S )] + [ c(x R x S )+ d(y R y S )] = = (x. Tuttavia, P x Q ) (a + c )+ (ab + cd)m + (b + d )m & = (x x P Q ) (x R x S ) (a + c )+ (ab + cd)m + (b + d )m & (x R x S ) ache PQ = (x P x Q ) " 1+ m = (x P x Q ) RS (x R x S ) " 1+ m (x R x S ),da cui segue la tesi P Q R S = PQ RS. E importate osservare la trasformazioe 1+ m (b + d )m + (ab + cd)m + (a + c ) : da ciò a + c =1 segue che l affiità è u isometria se P Q = PQ, ovvero se " b + d =1, metre è ua ab + cd = 0 similitudie se P Q = l PQ. Le equazioi geerali di ua similitudie soo quidi " x = ax + by + p. y = bx ± ay + q Dimostriamolo:

28 1 " a + c = l b + d = l ab + cd = 0 a 0 b = cd a d = a a = 0 d = 0 b = c = l x d = a b = c ( = ax + by + p " y ( = bx + ay + q x d = a b = c ( = ax + by + p " y ( = bx ay + q " " x ( = by + p y ( = bx + q x ( = by + p y ( = +bx + q c = 0 impossibile(l 0) " " x ( = by + p y ( = bx + q x ( = by + p y ( = bx + q come volevasi dimostrare. 3. U affiità coserva il puto medio dei segmeti. 4. Il rapporto tra l area di ua figura F, trasformata della figura F, e l area della figura F stessa, è costate, e vale ad bc. Dall ultima proprietà segue che l area dell ellisse, otteuta trasformado la circofereza uitaria " x = ax secodo le equazioi T : è A(ellisse) = ab A(circofereza) = πab. y = by Esempio. I u sistema di riferimeto cartesiao Oxy si determii l area racchiusa dalla curva di equazioe 13x +13y 10xy = 7. X = x cosθ y siθ La preseza del termie misto porta a cosiderare ua rotazioe di equazioi & Y = x siθ + y cosθ x = X cosθ + Y siθ che, ivertita e sostituita ell espressioe 13x +13y 10xy = 7 porta ad & y = X siθ + Y cosθ ua trasformata co coefficiete del termie misto uguale a cos θ si θ. Uguagliado a zero π questo coefficiete si ricoosce ua rotazioe di u agolo pari a + kπ;k Z. Sostituedo θ = π 4 4, per esempio, si ottiee per la curva l equazioe 36x +16y =144 x 4 + y =1. Ricordado la 9 formula dell area dell ellisse ricaviamo A = 6π. Esercizi 13. Dimostrare che questa trasformazioe trasforma rette i rette, coserva il parallelismo, e trasforma circofereze i ellissi. 14. Dimostrare che l isieme delle affiità è u gruppo..4 Matrici Ua matrice è defiita come ua tabella rettagolare di umeri, oguo dei quali è idetificato da u idice di riga e da uo di coloa, ell ordie. Rimadiamo ad uo studio successivo l esame delle proprietà delle matrici, e delle operazioi tra di esse. U loro utilizzo fializzato alla rappresetazioe delle affiità, ci porta a cosiderare le matrici quadrate x o di ordie. Caratterizziamole i termii di determiate e di matrice iversa.

29 Determiate di ua matrice x Se il umero di righe di ua matrice è uguale a quello delle coloe, è possibile defiire il " a b determiate della matrice. Nel caso di matrici x A = ', il determiate si calcola co la c d& seguete regola: ad bc. Si dice sigolare ua matrice che ha il determiate uguale a zero. Iversa di ua matrice x La matrice iversa A 1 della matrice A, dove " a b " x y A = ', è ua matrice del tipo ' tale che c d& z w& " a b " x y " 1 0 ' ' = ' ovvero la matrice che, moltiplicata per la matrice A, restituisce come c d& z w& 0 1& " 1 0 prodotto la matrice cosiddetta idetica: '. Troviamo i termii della matrice iversa eseguedo 0 1& l ordiario prodotto righe per coloe: " " c acx + cbz = c " ax + bz =1 acx + adz = 0 z = ad bc d x = cx + dz = 0 ad bc ay + bw = 0 " " a acy + bcw = 0 w = cy + dw =1 acy + adw = a ad bc b y = ad bc " a b 1 d b& I defiitiva, se A = ', allora la matrice iversa è A 1 = (. c d& ad bc c a ' Matrici e trasformazioi geometriche Notiamo che, pur essedo il prodotto di matrici u operazioe i geerale o-commutativa, el caso del prodotto di ua matrice per la sua iversa, questo prodotto è commutativo: A 1 A = A A 1. E dato il quadrato di vertici O(0;0) A(1;0) B(1;1) C(0;1). Se lo stiriamo ella direzioe positiva dell asse delle ascisse i modo da raddoppiare la lughezza dei lati OA e BC, diveta u rettagolo di vertici O'(0;0) A'(;0) B'(;1) C'(0;1). C=C BB Come è facile otare, la trasformazioe o agisce i verticale, ma solo i orizzotale. Ua trasformazioe del geere è rappresetata dalle equazioi x " = ax, y " = y OAA

30 3 che trasformao il puto P(x;y) el puto P "( x "; y "). Ua trasformazioe rappresetata da equazioi di primo grado è detta trasformazioe lieare. Le trasformazioi lieari occupao u posto di assoluto rilievo ella teoria delle trasformazioi geometriche geerali perché soddisfao le richieste di cui ai puti 1.,.,3.,4 visti i precedeza. Il cocetto di matrice, isieme a quello di determiate, si rivela essere uo strumeto di lavoro molto versatile per semplificare (ed automatizzare, per esempio utilizzado il foglio elettroico) i calcoli relativi alle trasformazioi geometriche. Nel caso della trasformazioe precedete, le equazioi i forma matriciale si scrivoo: x "& ( = a 0 & y "' 0 1' ( x & y (. ' Osserviamo che l area del rettagolo otteuto trasformado il quadrato uitario è a, valore che " a 0 coicide co il determiate della matrice '. E u caso? Vediamo cosa succede se decidiamo 0 1& cambiare scala ache ella direzioe verticale: " x = ax " x, ovvero y = dy y ' = " a 0 " x ' & 0 d & y '. & I questo caso la figura affie al quadrato uitario è il rettagolo di area ab, valore che uovamete a 0 coicide co il determiate della matrice associata &. Proviamo a dimostrare questa " 0 d cogettura che associa al cocetto di determiate della matrice della affiità, quello di area della figura trasformata. Co ua cosiderazioe: il determiate può essere egativo. Come si iterpreta il sego del determiate? Affrotiamo u problema per volta, comiciado da quello di determiate come area della figura affie al quadrato uitario. Per questo scopo cosideriamo l affiità rappresetata dalla seguete equazioe matriciale: " x y ' = " a b " x ' & c d & y '. & Lavoriamo co i umeri: x "& ( = 3 & y "' 1 ' ( x& y (. ' Il quadrato uitario di vertici O(0;0) A(1;0) B(1;1) C(0;1), viee trasformato el parallelogramma di vertici O'(0;0) A'(3;1) B'(5;3) C'(;), e area 4: di uovo il determiate della matrice dell affiità. Vogliamo adesso regolare la questioe del sego del determiate. Cosideriamo la trasformazioe x "& ( = 3 & y "' 1 ' ( x & y (. ' I questo caso il solito quadrato di vertici O(0;0) A(1;0) B(1;1) C(0;1) viee trasformato el parallelogramma di vertici O'(0;0) A'(3; 1) B'(5; 3) C'(; ), simmetrico del precedete rispetto all asse x. L area di questo parallelogramma è sempre 4, metre il determiate della matrice è -4. Se osserviamo che il quadrato uitario OABC ed il parallelogramma O A B C ad esso " 3 affie ella trasformazioe di matrice ' si corrispodoo el seso che la lettura dei vertici 1 & ell ordie i cui soo stati scritti avviee i seso atiorario, metre la lettura dei vertici del

31 4 3 & parallelogramma affie ella trasformazioe di matrice ( avviee i seso orario, possiamo 1 ' attribuire al sego del determiate della matrice dell affiità la fuzioe di stabilire se si coserva o meo il verso di lettura dei vertici dei poligoi del piao. I particolare defiiamo diretta l affiità co determiate della matrice associata positivo, e iversa quella co determiate egativo. Possiamo dire che il determiate rappreseta l area co sego del parallelogramma affie al quadrato uitario e, più i geerale il rapporto tra l area di u poligoo e l area del suo corrispodete affie. Il determiate come fattore di scala per l area di ua figura trasformata, suggerisce u iteressate giustificazioe della richiesta che, affiché la trasformazioe geometrica sia buoa, sussista la relazioe ad bc 0 : u quadrato o può essere trasformato i u segmeto. U operazioe di questo tipo priverebbe la trasformazioe geometrica del carattere di biuivocità, facedo di fatto collassare u quadrato i u segmeto. Assumedo il quadrato come uità di misura di superficie si ottiee la proprietà 4 delle affiità precedetemete euciata. Verifichiamo la proprietà el caso " x di ua geerica affiità che lascia fissa l origie: y ' = " a b " x ' & c d & y ' & Retta per A C r: x(d c)+ y(a b) (ad bc) B Distaza di O dalla retta r: d(o, r) = Lughezza base A C : ad bc ( d c) + ( a b) C C B A ( d c) + ( a b) Area = 1 ( d c) + ( a b) ( d c) + ( a b) ad bc O A Osservazioe. Abbiamo visto che le isometrie lasciao ivariate le distaze tra i puti, quidi ci aspettiamo che le matrici ad esse associate abbiao determiate uguale a +1 o a -1. Viceversa, è vero che se ua matrice ha determiate uguale a +1 o a -1 allora possiamo pesarla come associata ad ua isometria? La risposta è, i geerale, egativa: basti pesare alla trasformazioe x " = 1 3 x ( ( 1 * - & * - det * - * - =1, y " = 3y ) 0 3, ) 0 3, che o è ua isometria, i quato il quadrato di vertici O(0;0) A(1;0) B(1;1) C(0;1) viee " 1 trasformato el rettagolo di vertici O'(0;0) A' 3 ;0 " 1 ' B' & 3 ;3 ' C'(0;3). & Fiora abbiamo cosiderato affiità che lasciao fissa l origie. I geerale questo o accade, e la forma più geerale co cui si rappreseta u affiità è la seguete: " x = ax + by + p " a b, co ad bc = det ' 0, oppure y = cx + dy + q c d &

32 5 " x y ' = " a b " x " ' & c d & y ' + p & q '. & Osservazioe. L espressioe delle vecchie coordiate i fuzioe di quelle uove coicide co la trasformazioe iversa, che può quidi essere rappresetata dalla matrice iversa di quella della trasformazioe. I geerale, se la trasformazioe geometrica è rappresetata da: " x y ' = " a b & c d allora la trasformazioe iversa è rappreseta da: " x y & = 1 ad bc " d c b & a " " ' & x( p y( q x y " ' + & p q ', & * d x( b y ( + qb pd x = &, ad bc +, y = c x ( + a y ( + pc aq -, ad bc Nel piao, le trasformazioi geometriche lieari be defiite (cioè dotate a loro volta di trasformazioe iversa che riporta le cose al loro posto ), possoo essere descritte mediate matrici x. Vediamo alcui esempi relativi ad alcue isometrie ote. 1 0 & La matrice ( rappreseta la simmetria rispetto all asse x. 0 1' 1 0& La matrice ( rappreseta la simmetria rispetto all asse y. 0 1' " 0 1 La matrice ' rappreseta la simmetria rispetto alla retta y = x. 1 0& 0 1& La matrice ( rappreseta la simmetria rispetto alla retta y = x. 1 0 ' 1 m m & La matrice m +1 m ( +1( rappreseta la simmetria rispetto alla retta y = mx. m 1 m ( m +1 m +1' x "& La matrice ( = k 0 & y "' 0 k' ( x& y ' ( + ( 1 k)x & C ( rappreseta l omotetia di cetro C e rapporto k. ( 1 k)y C '.

33 CAPITOLO 3 I NUMERI COMPLESSI Defiizioe e operazioi algebriche co i umeri complessi I liea co quato già successo per gli altri sistemi umerici, è stato u bisogo che ha portato all itroduzioe dell isieme dei umeri complessi. Fu il bisogo di ua maggiore libertà ei calcoli formali che portò all uso dei umeri iteri relativi (itroduzioe del simbolo - ), dei umeri razioali (itroduzioe del simbolo di frazioe), e dei umeri irrazioali (itroduzioe del simbolo di radice). Soltato alla fie del medioevo i matematici comiciaroo a perdere il loro seso di disagio ell usare questi cocetti, che o sembrava avessero lo stesso carattere ituitivo dei umeri aturali. E importate sottolieare il rapporto di iclusioe dei umeri aturali i quelli iteri, che a loro volta soo iclusi i quelli razioali che, ifie, costituiscoo u sottoisieme di quelli reali. Ogi volta che u isieme umerico è stato ampliato, le sue leggi e le sue proprietà si soo trasferite ell isieme esteso. L itroduzioe dei umeri complessi ha permesso, ad esempio, la risoluzioe di quelle equazioi di secodo grado che o soo risolubili ell isieme dei umeri reali. E oto che ua semplice equazioe come x +1= 0, o ammette soluzioi reali. Superiamo lo scoglio rappresetato dalla o egatività del quadrato di u umero reale itroducedo la cosiddetta uità immagiaria, i tale che i = 1. Voledo eseguire operazioi di addizioe e moltiplicazioe co il simbolo i come co u ordiario umero reale, dobbiamo porci ella codizioe di defiire simboli come, ad esempio, 3i, 5-i o, più i geerale, del tipo a + ib, dove a e b soo umeri reali qualsiasi. Questi simboli dovrao rispettare le proprietà tipiche dell addizioe e della moltiplicazioe quali la commutativa, la distributiva e l associativa: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) Co queste defiizioi, l isieme dei umeri complessi può essere così defiito: C = { z = x + iy x, y R}, dove x e y rappresetao, rispettivamete, la parte reale e la parte immagiaria del umero complesso z. Notiamo, dalla secoda proprietà, che (x + iy) (x iy) = x (iy) = x + y. Ioltre, ache la sottrazioe e la divisioe coducoo a umeri della forma a + ib : (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d) a + ib (a + ib)(c id) (ac + bd) (bc ad) = = + i. c + id (c + id)(c id) c + d c + d Co qualche calcolo i più è possibile scrivere ache u radicale co radicado complesso ella forma a + ib, ad esempio 5 +1i. Si procede formalmete poedo 5 +1i = x + iy. A questo puto eleviamo al quadrato ed otteiamo 5 +1i = x y + ixy. La determiazioe di x e y avverrà ua volta risolto il sistema x y = +5 xy = +1 otteuto uguagliado le parti reali del radicado e del umero x + iy, e le parti immagiarie, sempre del radicado e del umero complesso. Applicado il metodo di sostituzioe otteiamo l equazioe a coefficieti reali x 4 5x 36 = 0, le cui soluzioi soo

34 7 x = 9 x = ±3. Il umero, o meglio i umeri, rappresetativi del radicale 5 +1i ella forma x + iy soo z 1 = 3 i z = 3 + i. Per esercizio, provare a risolvere ell isieme dei umeri complessi l equazioe di secodo grado x x + = 0. E possibile defiire l isieme dei umeri reali come il sottoisieme dei complessi costituito dai umeri aveti parte immagiaria uguale a zero. I simboli: R = { z = x + iy C y = 0}. I realtà, ua proprietà comue a tutti gli isiemi umerici visti fiora o si trasferisce all isieme dei umeri complessi: l ordiameto. Per compredere il sigificato di quest ultima affermazioe occorre cosiderare la seguete rappresetazioe. 3. Rappresetazioe geometrica dei umeri complessi Dovuta essezialmete al lavoro di matematici come Wessel, Argad e Gauss, cosiste el riportare su u piao cartesiao la parte reale e la parte immagiaria di u umero complesso, rispettivamete sull asse delle ascisse e su quello delle ordiate. I questo modo è stabilita ua corrispodeza biuivoca tra l isieme dei umeri complessi e quello dei puti del piao. y ρ z = x + iy θ x z = x iy Si defiisce il coiugato di u umero complesso z = x + iy, il umero complesso z = x iy. Il modulo ρ di u umero complesso è defiito dalla distaza del puto che lo rappreseta dall origie: z = x + y =: ρ. U umero complesso ed il suo coiugato soo legati dalla relazioe z z = ρ ; sussistoo ioltre le segueti relazioi: x = z + z y = z z. i Si osserva che l isieme dei umeri complessi di modulo uitario è rappresetato sul piao d Argad da ua circofereza di raggio uo. Sussiste il seguete: Teorema: Dati due umeri complessi z 1,z risulta z 1 z = z 1 z Dimostrazioe. Risulta z 1 z = (x 1 + iy 1 ) (x + iy ) = (x 1 x y 1 y ) + i(x 1 y + x y 1 ). Di cosegueza z 1 z = (x 1 + y 1 )(x + y ) = z 1 z cvd. U umero complesso può essere espresso i forma trigoometrica: z = x + iy = ρ(cosθ + isiθ), dove θ è detto argometo del umero complesso.

35 Ragioado sui vettori associati ai umeri complessi è di immediata dimostrazioe la cosiddetta disuguagliaza triagolare: z 1 + z z 1 + z. 8 Sigificato geometrico della moltiplicazioe di umeri complessi: rotazioi Possiamo iterpretare l operazioe di moltiplicazioe di due umeri complessi i termii di rotazioi e di omotetie, i quato il risultato dell operazioe z 1 z = ρ 1 ρ (cos(θ 1 + θ ) + isi(θ 1 + θ )) può essere visto come l azioe sul puto z 1 dell omotetia di cetro l origie e rapporto ρ, e della rotazioe di ua agolo θ, i seso atiorario a partire dalla semiretta di cetro l origie a cui appartiee z 1. z 1 z = ρ 1 ρ (cos(θ 1 + θ ) + isi(θ 1 + θ )) z 1 z z 1 = ρ 1 (cosθ 1 + isiθ 1 ) z = ρ (cosθ + isiθ ) Il prodotto di complessi è quidi u umero complesso il cui modulo è il prodotto dei moduli dei due umeri dati, e l argometo è la somma degli argometi. I particolare risulta z = ρ (cosθ + isiθ). Nel caso particolare i cui ρ =1 si ha la formula di De Moivre: (cosθ + isiθ) = (cosθ + isiθ). La dimostrazioe di questa relazioe segue dall applicazioe di uo dei pricipi più importati della matematica: il pricipio di iduzioe. Vediamo di cosa si tratta. Il pricipio di iduzioe Esiste u modo preciso per idividuare i umeri aturali tra i umeri reali, basato sulla ozioe di isieme iduttivo: u sottoisieme di IR che gode delle due segueti proprietà: 1. Il umero 1 appartiee all isieme,. Per ogi x apparteete all isieme ache il umero x +1 appartiee all isieme. IR stesso è iduttivo, i reali positivi costituiscoo u isieme iduttivo. I umeri aturali si possoo quidi idetificare come quei reali che appartegoo ad ogi isieme iduttivo. IN è duque il più piccolo isieme iduttivo. Co questa defiizioe è possibile euciare il seguete procedimeto dimostrativo: pricipio di iduzioe: se A è u sottoisieme dei aturali co la proprietà che 1 appartiee ad A e che se a appartiee ad A allora ache a+1 appartiee ad A, allora A = IN. Questo pricipio è molto usato elle defiizioi cosiddette ricorsive e elle dimostrazioi chiamate iduttive, ella forma espressa dal seguete risultato. TEOREMA: se P 0,P 1,...,P,... è ua famiglia di proposizioi dipedete dall idice itero e se 1. La proposizioe P 0 è vera.