CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi

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1 1 CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi di statistica descrittiva Esercizio 1.1 (Prof. Pieraccini, ) In un pronto soccorso di un ospedale sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su un arco di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X n(x) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione; calcolarne la media e la mediana con i rispettivi indici di variabilità. Commentare i risultati. [R: µ = 3.84; Me = 3; σ 2 = 4.47; S Me = 1.68] Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative di un collettivo rispetto al carattere X: X F(X) a) individuare la classe modale; b) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3X; c) calcolare la proporzione di unità che presentano un livello di X 12. [R: classe modale: (4-6); µ z = 33.2, σ 2 z = ; F (12) = 0.684] Esercizio 1.3 (Prof.ssa Mortera, ) Dare una spiegazione breve della/e scelta/e: se la devizione standard di un insieme di numeri è pari a zero ne segue che: a) i dati sono distribuiti normalmente; b) la media deve essere pari a zero; c) i numeri sono tutti uguali; d) metà dei numeri sono positivi, e metà negativi. Esercizio 1.4 (Prof.ssa Terzi, ) Una sessione è costituita da tre appelli di esame, a cui si presentano, rispettivamente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengono promossi. Il voto medio riportato al primo appello risulta pari a 26.4, con scostamento quadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appello il voto medio risulta pari

2 2 a Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l intera sessione il voto medio risulta pari a 27. a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello. b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al secondo appello. [R: µ 3 = 27.56; σ 2 = 6.36] Esercizio 1.5 (Prof.ssa Terzi, ) Una ditta che produce telefoni cellulari distribuisce mensilmente il suo prodotto in tre negozi che si trovano in uno stesso paese nell entroterra sardo. Il primo negozio vende in media 3.4 telefoni al mese, con s.q.m. pari a 0.6. Il secondo negozio vende in media 7 telefoni al mese, con s.q.m. pari a 1.2. Il terzo negozio vende in media 2.8 telefoni al mese con s.q.m. pari ad 1. Calcolare: a) il numero medio di vendite mensili per l intero paese; b) lo s.q.m. delle vendite mensili per l intero paese. [R: µ = 4.4; σ = 2.091] Esercizio 1.6 (Prof.ssa Mortera, ) Se la distanza interquartile di un insieme di dati è nulla allora A la media è uguale a 0 B i numeri sono tutti uguali C i dati sono distribuiti normalmente D tutti i quartili sono uguali. Esercizio 1.7 (Prof. Pieraccini, ) Al censimento del 1981 le famiglie italiane secondo il numero di componenti (X) sono risultate così distribuite: X e più n(x) Fare la rappresentazione grafica: a) della distribuzione di frequenza; b) della funzione di ripartizione. Calcolare mediana e quartili, e rappresentarli sul grafico della funzione di ripartizione. [R: Me = 3; Q 1 = 2; Q 3 = 4] Esercizio 1.8 (Prof. Pieraccini, ) Data la seguente tabella: X n(x) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e quella della sua funzione di ripartizione. Calcolare: a) la mediana; b) il primo e il terzo quartile; c) la differenza interquartile. Commentare i risultati ottenuti. [R: Me = 3.67; Q 1 = 1.64; Q 3 = 10.5; D = 8.86] Esercizio 1.9 (Prof.ssa Mortera, ) La media aritmetica è più grande della mediana quando A la moda è grande B ci sono valori anomali estremamente piccoli C la popolazione non è normale D ci sono valori anomali estremamente grandi.

3 3 Esercizio 1.10 (Prof. Pieraccini, ) Sia data la seguente distribuzione dei redditi: Classi di reddito (milioni) Frequenze relative fino a oltre Totale Calcolare media, s.q.m., ed un indice di asimmetria. Commentare i risultati. [R: µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41] Esercizio 1.11 (Prof. frequenza: Pieraccini, ) Data la seguente distribuzione di X n i a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) fare la rappresentazione grafica della funzione di ripartizione; c) calcolare la mediana e la media aritmetica; d) calcolare lo scarto semplice medio dalla mediana e quello quadratico dalla media aritmetica; e) calcolare un indice di asimmetria. Commentare i risultati ottenuti. [R: Me = 4.8; µ = 13.26; S Me = ; σ = 17.61; γ = 2.006] Esercizio 1.12 (Prof. Pieraccini, ) In una cittadina degli Stati Uniti è stata rilevata la concentrazione media giornaliera di ozono (X in parti di miliardi) fra l 1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X n(x) a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative e delle frequenze relative cumulate. b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilità ed uno di asimmetria a vostra scelta. [R: µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78] Esercizio 1.13 (Prof.ssa Mortera, ) Da un campione di 100 aziende della provincia di Milano è stata rilevata la classe di addetti, ottenendo i seguenti risultati: Classe di superficie Numero di aziende

4 4 a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene più opportuno. b) Si determinino la classe modale e la classe mediana. c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria. [R: classe modale: (0-10); Me=25.814; µ Me = 0.33] σ Esercizio 1.14 (Prof.ssa Mortera, ) Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri reddito mensile in milioni di lire (X) e numero di weekend dedicati a viaggiare (Y): Y X calcolare: a) la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y, la Cov(X,Y); b) la media di X quando Y è tra 2 e 3 weekend; c) la media e la varianza di Z=X+Y e di W=X-Y; d) Cov(Z,W) in funzione di var(x) e var(y). [R: µ x = 1.98; σ 2 x = 1.01; µ y = 1.83; σ 2 y = 1.67; σ xy = 0.11; µ x y (2 3) = 1.86; µ z = 3.81; σ 2 z = 2.9; µ w = 0.15; σ 2 w = 2.46; σ zw = σ 2 x σ 2 y] Esercizio 1.15 (Prof.ssa Mortera, ) Con riferimento alla tabella seguente Età Settore Abbigliamento Bigiotteria Profumi dire se (giustificando le risposte): a) la classe modale della distribuzione marginale dell età è A B C D la distribuzione è bimodale b) la moda della distribuzione marginale del settore merceologico è A abbigliamento B bigiotteria C non si può calcolare D profumi c) la mediana della distribuzione marginale del settore merceologico è A abbigliamento B bigiotteria C non si può calcolare

5 5 D 0.5. Esercizio 1.16 (Prof.ssa Terzi, ) Per la seguente serie di coppie di valori: X X 5 Y Y 4 67 si sa che il coefficiente di correlazione r xy =1. Si determinino i due valori mancanti X 5 e Y 4. [R: X 5 = 13; Y 4 = 52] Esercizio 1.17 (Prof.ssa Mortera, ) Date due variabili statistiche X e Y, se si trova che r xy =1.09 allora X e Y A sono indipendenti B sono dipendenti in modo quadratico C hanno una fortissima dipendenza lineare D chi ci ha dato il risultato ha sbagliato i conti. Esercizio 1.18 (Prof.ssa Terzi, ) Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987: Aziende di credito Amministrazioni postali Totale I due tipi di deposito sono così distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro-Nord e Mezzogiorno: Aziende di credito Amministrazioni postali Centro-Nord 79.9% 65.9% Mezzogiorno 20.1% 34.1% Totale 100% 100% a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito. b) Quale tipo di indipendenza si può valutare su una tabella come quella del punto a)? c) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. [R: χ 2 = ] Esercizio 1.19 (Prof.ssa Terzi, ) Data la seguente tabella a doppia entrata: Y tot X tot completarla nell ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. Calcolare poi la media aritmetica e la mediana di Y. [R: µ y = 4.4; Me y = 4]

6 6 Esercizio 1.20 (Prof.ssa Terzi, ) Data la seguente tabella: Y 1 6 tot X tot a) riempirla in modo che risulti η 2 Y X =1; b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ 2? [R: χ 2 = 150] Esercizio 1.21 (Prof.ssa Terzi, ) Data la seguente distribuzione Y 0 1 tot X tot a) calcolare l indice η 2 Y X ; b) tenendo costanti le frequenze marginali, riempire la tabella in modo che risulti η 2 X Y = 0. [R: η 2 Y X = 0.375] Esercizio 1.22 (Prof.ssa Terzi, ) Data la seguente tabella a doppia entrata X 2 6 tot Y Y Y Y tot a) Calcolare η 2 X Y. b) Posto Y 1 =2, Y 3 =6, determinare quale deve essere il valore di Y 2 affinchè risulti η 2 Y X =0. [R: η 2 X Y = 1; Y 2 = 5] Esercizio 1.23 Su una tabella a doppia entrata in cui la variabile X è articolata in 4 modalità e la variabile Y è articolata in 2 modalità, è stato calcolato il χ 2 relativo, che risulta pari a 1. Quali affermazioni si possono eventualmente fare sul valore che, su questa tabella, assumono gli indici η 2 Y X, η2 X Y, r2?

7 7 Esercizio 1.24 (Prof.ssa Terzi, ) Data la seguente tabella a doppia entrata: Y 1 3 tot X tot a) riempirla in modo che risulti η 2 Y X = 1; b) calcolare poi χ 2 e χ 2 relativo. [R: χ 2 = 200]

8 8 2 Esercizi di Calcolo delle Probabilità Esercizio 2.1 (Prof.ssa Terzi, ) Uno studente universitario ha programmato di sostenere nella sessione estiva gli esami X e Y. Sia A l evento supera l esame X e sia B l evento supera l esame Y, con P(A)=0.7, P(B)=0.5, P(A B)=0.4. Calcolare la probabilità che non superi nessuno dei due esami, ovvero P(A B). [R: P(A B)= 0.2] Esercizio 2.2 (Prof.ssa Mortera, ) Una fabbrica produce RAM che possono avere due tipi di difetti, il difetto A e il difetto B. Il responsabile per la qualità della fabbrica afferma che, dall esperienza passata, la probabilità che una RAM abbia almeno uno dei due difetti è pari a 0.3; la probabilità che abbia il difetto A ma non il B è pari a 0.1; la probabilità che abbia contemporaneamente i due difetti è pari a 0.2. Calcolare la probabilità che una RAM abbia: a) il difetto A; b) il difetto B; c) il difetto A, dato che si è riscontrato che non ha il difetto B. [R: P(A)=0.3; P(B)=0.2; P(A B)=0.125] Esercizio 2.3 (Prof.ssa Mortera, ) Nel cinema Bianchini ci sono due sale. Marco ha deciso di andare a vedere il film che viene proiettato nella sala B, ma è in ritardo. Sa che, arrivando all ultimo momento, la probabilità di trovare ancora un posto nella sala A è pari a 0.2, la probabilità di trovarlo in almeno una delle due sale è 0.4, e la probabilità che vi sia ancora un posto nella sala B sapendo che c è ancora un posto nella sala A è 0.3. a) Quale è la probabilità che Marco riesca a vedere il film che proiettano nella sala B? b) Come cambia tale probabilità se sappiamo che la sala A è già completa? [R: P(B)=0.26; P(B A)=0.25] Esercizio 2.4 (Prof.ssa Mortera, ) In ciascuna copia di una edizione economica dei Promessi Sposi, il 60% delle pagine contiene almeno un errore di stampa. Se ne produce una ristampa riveduta in cui errori di stampa sono contenuti solo nel 20% delle pagine. Da uno scaffale, che contiene 20 libri della prima edizione e 10 della seconda, si sceglie un libro a caso. Si esamina una pagina, scelta anch essa in modo casuale, e si trova un errore di stampa. a) Quale è la probabilità che il libro sia della prima edizione? b) E della ristampa? [R: P(I E)=0.86; P(II E)=0.14] Esercizio 2.5 (Prof. Pieraccini, ) Un urna contiene 4 palline bianche e 2 rosse, un altra ne contiene 2 bianche e 4 rosse. Da una delle due urne scelta a caso è stata estratta una pallina rossa. Quale è la probabilità che sia stata estratta dalla prima urna? [R: P(U 1 R)=1/3] Esercizio 2.6 (Prof. Pieraccini, ) Un urna contiene 6 palline rosse e 4 nere, un altra ne contiene 2 rosse e 8 nere. Se si estraggono con reimmissione 3 palline da una delle due urne scelta a caso, e si osservano 3 palline nere, quale è la probabilità che queste siano state estratte dalla prima urna? [R: P(U 1 N N N)=1/9]

9 9 Esercizio 2.7 (Prof.ssa Mortera, ) Dati due eventi A e B indipendenti, verificare se le seguenti affermazioni sono vere o false: a) P(A B)=P(A B); b) P(A B)=P(A)-P(A)P(B); c) P(A B)=P(A)P(B)+P(B). [R: le affermazioni sono tutte vere] Esercizio 2.8 (Prof.ssa Mortera, ) Due tifosi, Paolo e Carlo, vanno spesso allo stadio. Paolo ha assistito al 70% delle partite e Carlo ha assistito al 90% delle partite. a) Sapendo che la presenza di Paolo allo stadio è indipendente dalla presenza di Carlo (e viceversa), quale è la probabilità che almeno uno dei due tifosi abbia assistito ad una partita? b) Quale è la probabilità che Paolo abbia assistito alla quarta partita di campionato sapendo che Carlo ha assistito alla seconda partita di campionato? c) Dati due eventi A e B, definire la proprietà di incompatibilità e di indipendenza. [R: P(P C)=0.97; P(P C)=0.7] Esercizio 2.9 (Prof.ssa Mortera, ) Per arrivare ad una cena tra amici, Paolo e Giovanna scelgono, con uguale probabilità, fra i seguenti mezzi di trasporto: bus, auto e bicicletta. Le probabilità che ciascuno dei due amici giunga in ritardo, se prendono rispettivamente il bus, l auto e la bicicletta, sono pari a 0.6, 0.2 e 0.4. a) Determinare la probabilità che Paolo arrivi in ritardo. b) Se Paolo e Giovanna viaggiano indipendentemente, quale è la probabilità che almeno uno giunga in ritardo? c) Sapendo che Paolo è arrivato in ritardo, quale è la probabilità che abbia viaggiato in auto? [R: P(R P )=0.4; P(R P RG )=0.64; P(A R P )=0.17] Esercizio 2.10 (Prof.ssa Terzi, ) La probabilità che durante la produzione giornaliera di una piccola azienda di componenti elettronici, si verifichino X pezzi difettosi è data da: P(X=0)=K, P(X=1)=3K, P(X=2)=K, P(X=3)=P(X=4)=2K, P(X 5)=0. a) Determinare il valore della costante K. b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X. [R: K=1/9; E(X)=2.11; var(x)=1.88] Esercizio 2.11 (Prof.ssa Terzi, ) Una variabile casuale discreta X ha la seguente funzione di ripartizione: F(0)=0, F(1)=0.2, F(2)=0.4, F(3)=0.4, F(4)=0.8, F(5)=1. Calcolarne il valore atteso e la varianza. [R: E(X)=3.2; var(x)=2.16] Esercizio 2.12 (Prof.ssa Terzi, ) Un urna contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Dall urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la

10 10 variabile casuale numero di palline bianche su due estratte. Calcolare E(X) e var(x). [R: E(X)=1; var(x)=0.44] Esercizio 2.13 (Prof. Pieraccini, ) L altezza di 450 studenti immatricolati all Università di Roma Tre nel 1998 è risultata in media di 170 cm., con uno s.q.m. di 7.5 cm. Nell ipotesi che la statura si distribuisca come una Normale, quale è il numero atteso di studenti con altezza a) maggiore di 180 cm.; b) minore o uguale a 160 cm.; c) tra e [R: n(x>180) 41; n(x 160) 41; n(162.5<x<172.5) 212] Esercizio 2.14 (Prof.ssa Mortera, ) Se Z è una variabile casuale standardizzata, il valore di E (Z 2 ) è A 0 B 1 se Z è normale C non ho sufficienti dati per calcolarlo D 1. Esercizio 2.15 (Prof. Pieraccini, ) Sia X una v.c. N (5, 9). Trovare, facendo uso delle tavole: a) P (6.41 < X < 7.82); b) la probabilità che la v.c. X assuma un valore compreso fra -1 e 11; c) il valore di X corrispondente al 30 o percentile. [R: P (6.41 < X < 7.82) = ; P ( 1 < X < 11) = ; X 30 = 3.41] Esercizio 2.16 (Prof. Pieraccini, ) Un urna contiene una pallina nera e nove bianche; vengono estratte 10 palline con ripetizione. Si calcoli la probabilità di estrarre due palline nere facendo uso: a) della v.c. di Bernoulli; b) dell approssimazione con la v.c. di Poisson. Confrontare i risultati.[r: P(N=2)=0.194; P(N=2)=0.184] Esercizio 2.17 (Prof.ssa Mortera, ) E noto che il 35% dei dipendenti di una multinazionale è single. Considerando un campione casuale di 10 dipendenti: a) determinare la probabilità che almeno due dipendenti siano single; b) determinare la probabilità che il numero di single sia compreso tra 2 e 4; c) preso un campione dieci volte più grande, calcolare la probabilità che al più 35 dipendenti siano single. d) Data una variabile casuale X Bin(n, p), trovare media e varianza. [R: P(X 2)=0.914; P(2 X 4)=0.6655; P(X 35)=0.5398] Esercizio 2.18 (Prof. Pieraccini, ) Si supponga che il numero di orologi a pendolo venduti quotidianamente da un antiquario sia una variabile casuale di Poisson di parametro λ = 0.1. Si calcoli la probabilità: a) che siano state effettuate 4 vendite in un periodo di 3 giorni consecutivi; b) che trascorrano 3 giorni consecutivi senza che si abbiano vendite. [R: P(X=4)= ; P(X=0)=0.74] Esercizio 2.19 (Prof.ssa Mortera, ) Una ditta produttrice di fotocopiatrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si distribuisce come una

11 11 normale con µ = 1600 e σ 2 = Essa risarcisce un milione di lire all acquirente se la durata della macchina acquistata è inferiore a Calcolare la probabilità che: a) su 5 macchine la ditta debba risarcire al massimo un milione di lire; b) su 100 macchine la ditta debba risarcire più di un milione. [R: P(N 1)= ; P(N>1)=0.1285] Esercizio 2.20 (Prof.ssa Mortera, ) Il numero di viaggi venduti in una settimana da ciascun agente dell agenzia Kalimera, specializzata in viaggi verso la Grecia, si distribuisce come una Poisson con valore atteso λ=3. Il titolare dell agenzia decide di dare un premio ai dipendenti che in una settimana vendono almeno 4 viaggi. a) Quale è la probabilità che un dipendente vinca il premio? b) Supposto che non esista nessuna relazione tra il numero di viaggi venduti dai diversi dipendenti dell agenzia, calcolare la probabilità che non più di 3 dei 10 operatori complessivi ricevano il premio. c) Calcolare quanti viaggi vengono venduti mediamente in un mese. [R: P(X 4)=0.35; P(N 3)=0.513; E(Y)=130] Esercizio 2.21 (Prof.ssa Mortera, ) Il diametro interno delle guarnizioni prodotte dalla ditta Fido è di cm e la deviazione standard è di cm. Gli scopi per i quali queste guarnizioni sono prodotte permettono una tolleranza massima del diametro fra e cm, mentre nel caso contrario le guarnizioni sono considerate difettose. Assumendo la distribuzione dei diametri Normale: a) determinare la percentuale delle guarnizioni difettose prodotte dalla macchina; b) determinare quale è la probabilità di trovarne almeno 2 difettose in un campione casuale di 10 guarnizioni; c) determinare quale è la probabilità di trovarne più di 22 difettose in un campione casuale di 100 guarnizioni. [R: P(D)=0.23; P(N 2)=0.71; P(N>22)=0.5478] Esercizio 2.22 (Prof. Pieraccini, ) Un azienda che produce carta da parati decide di effettuare un controllo sulla qualità del prodotto; i difetti riscontrati possono essere distinti in due tipi: quelli dovuti allo spessore della carta e quelli dovuti alla colorazione. Sia X il numero di difetti del primo tipo (per ogni rotolo da 5 metri di carta) e sia Y il numero di difetti del secondo tipo. Si supponga che la distribuzione di probabilità congiunta di X e Y sia: X Y Si calcoli : a) il valore atteso e la deviazione standard di ognuna delle due distribuzioni; b) la covarianza ed il coefficiente di correlazione tra X e Y; c) la probabilità P (X < 2, Y 2).

12 12 [R: E(X)=0.36; var(x)=0.39; E(Y)=0.66; var(y)=0.96; cov(x,y)=0.0924; ρ(x,y)=0.15; P(X<2,Y 2)=0.17] Esercizio 2.23 (Prof. Pieraccini, ) Una coppia di dadi è lanciata 100 volte. Utilizzando l approssimazione della Binomiale con la Normale, calcolare la probabilità di ottenere non più di 15 volte un numero pari. [R: P(N 15) 0]. Esercizio 2.24 (Prof.ssa Mortera, ) Si considerino due variabili aleatorie normali X e Y. Si assuma che E(X)=E(Y)=µ e che var(x)=var(y)=1. Sia Z=X- 3Y-10. a) Determinare la distribuzione di Z nell ipotesi che X e Y sono indipendenti. b) Determinare il valore atteso e la varianza di Z supponendo che r xy =1. c) Sempre nell ipotesi che X e Y siano indipendenti, stabilire il valore atteso della v. a. W=(Z+µ+10) 2. [R: Z N(-2µ-10,10); E(Z)=-2µ-10, var(z)=4; E(W)=10+µ 2 ] Esercizio 2.25 (Prof.ssa Mortera, ) Siano X e Y due variabili casuali normali con E(X)=2λ, E(Y)=λ e var(x)=var(y)=2. Sia Z=Y-2X+2. a) Quale è la distribuzione di Z? Perchè? b) Supponendo che r xy = 1, calcolare E(Z) e var(z). 2 c) Se X e Y sono indipendenti, quale è il valore atteso di (2Z-4+6λ) 2. [R: Z ha distribuzione Normale; E(Z)=2-3λ, var(z)=14; E((2Z-4+6λ) 2 )=40] Esercizio 2.26 (Prof.ssa Mortera, esercitazioni) Nell ambito di un collettivo di famiglie omogenee, il consumo giornaliero di gas metano nel periodo Novembre- Marzo è una v.c. X in m 3, con E(X)=8, var(x)=7. Sapendo che il gas metano viene fatturato a L. 500 al m 3 e che il periodo è costituito da 150 giorni, calcolare la probabilità che: a) la spesa complessiva di una famiglia scelta a caso sia maggiore di L ; b) in un campione casuale di 5 famiglie, almeno 3 abbiano una spesa complessiva superiore a L ; c) in un campione casuale di 100 famiglie, almeno 2 abbiano una spesa complessiva superiore a L [R: P(S>606000)=0.35; P(N 3)=0.2352; P(M 2)=0.9987]

13 13 3 Esercizi di inferenza Esercizio 3.1 (Prof.ssa Mortera, ) Il tempo che l impiegato addetto allo sportello accettazione telegrammi di un certo ufficio postale dedica a ciascun utente segue una distribuzione normale di media 5 minuti. E anche noto che la probabilità che il tempo dedicato a ciascun utente sia inferiore a 3.2 minuti è pari a a) Ricavare il valore dello scarto quadratico medio di X. b) Determinare la probabilità che il tempo medio ricavato sulla base di un campione casuale di 25 utenti superi i 6 minuti. c) Determinare l intervallo in cui, con probabilità 0.9, cade la varianza campionaria corretta dello stesso campione. [R: σ = 2.22; P ( X > 6 ) = ; S 2 (2.85; 7.49)] Esercizio 3.2 (Prof. Pieraccini, ) Le cinque unità che compongono una popolazione presentano per la X i seguenti valori: 3, 4, 6, 12, 17. Si considerino tutti i possibili campioni di ampiezza due che possono essere estratti con ripetizione da questa popolazione. Calcolare: a) la media della popolazione; b) lo scarto quadratico medio della popolazione; c) la distribuzione della media campionaria; d) verificare che la media campionaria è una stima non distorta della media della popolazione; e) controllare che la varianza della distribuzione campionaria delle medie è in accordo con il risultato teorico. [R: µ = 8.4; σ = 5.31] Esercizio 3.3 (Prof.ssa Mortera, ) Sia X 1, X 2,...,X n un campione di ampiezza n (n 4) estratto da una popolazione X con E (X) = µ e varianza σ 2. Si considerino i seguenti stimatori alternativi per µ: S 1 = 2 X 1 n X 3 + X 4 + X 2 e S 2 = X 1 X 2 + X 3 X 4 n n a) Lo stimatore S 1 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per µ modificando S 1 ; b) lo stimatore S 2 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per µ modificando S 2 ; c) calcolare l errore quadratico medio di S 1 e di S 2 ; d) S 1 e di S 2 sono consistenti in media quadratica? [R: S 1 non distorto; S 2 distorto, ns 2 /(n-1) non distorto; MSE(S 1 )=σ 2 (6/n 2 + 1), MSE(S 2 )=σ 2 (3/n 2 + 1) + µ 2 /n 2 ; S 1 e S 2 non sono consistenti in media quadratica] Esercizio 3.4 (Prof.ssa Mortera, ) Sia X 1, X 2,X 3 un campione casuale estratto da una popolazione X con distribuzione di Poisson di parametro λ. Dati i due stimatori di λ: T 1 = 2X 1 + X 2 + 2X 3 5 e T 2 = X 1 + X 3 2

14 14 a) stabilire se sono non distorti; b) ricavare l errore quadratico medio di T 1 e di T 2 ; c) quale tra i due stimatori è preferibile, e perchè? [R: T 1 e T 2 non distorti; MSE(T 1 )=9λ/25, MSE(T 2 )=λ/2; è preferibile T 1 ] Esercizio 3.5 (Prof.ssa Mortera, ) Il numero di clienti che si presentano ad uno sportello bancario in un giorno è descritto da una variabile casuale X con distribuzione di Poisson di parametro λ, cioè λ λx f (x; λ) = e x! x > 0, λ > 0 Al fine di stimare λ, è stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sono presentati a questo sportello e si è osservato: 10, 13, 8, 14, 12. a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di λ. b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato. c) Lo stimatore di massima verosimiglianza trovato è consistente in media quadratica? Dimostrare. d) Definire la proprietà di consistenza di uno stimatore. Lo stimatore trovato è anche consistente? [R: λ ML = X; x = 11.4; lo stimatore è consistente in media quadratica e consistente] Esercizio 3.6 (Prof.ssa Mortera, ) Un impresa vuole valutare la durata media µ delle batterie prodotte nel proprio stabilimento. In un campione casuale di n=6 batterie si osservano le seguenti durate in ore: x 1 = 10, x 2 = 40, x 3 = 25, x 4 = 32, x 5 = 27, x 6 = 16. Nell ipotesi che il tempo di vita X di ogni singola batteria segua una distribuzione esponenziale di parametro 1/µ, cioè abbia funzione di densità: f (x; µ) = 1 µ e x/µ x > 0 a) determinare lo stimatore di massima verosimiglianza, L, per µ e ricavare il valore della stima sulla base del campione dato; b) dire se tale stimatore è corretto e consistente; c) considerare lo stimatore S= 3 X e verificare la sua correttezza; 4 d) confrontare i due stimatori L e S utilizzando l errore quadratico medio. [R: L=X; x = 25; L è non distorto e consistente; S è distorto; MSE(L)=µ 2 /n, MSE(S)=µ 2 (9 + n) /16n] Esercizio 3.7 (Prof. Pieraccini, ) In un campione di 100 piccole imprese si sono rilevate le seguenti spese annue per energia elettrica (in milioni): X tot n i a) Costruire un intervallo di confidenza per la spesa media annua µ al livello di confidenza 0.90, sapendo che la varianza della popolazione risulta essere σ 2 = 9.

15 15 b) Quale deve essere la numerosità n del campione affinché l intervallo calcolato al punto a) abbia lunghezza minore di 0.8? [R: (9.618; 10, 602) ; n 152] Esercizio 3.8 (Prof.ssa Terzi, ) Per un campione casuale di 14 ragazzi, sono stati osservati i seguenti pesi (in Kg): 48, 46, 45, 47, 53, 50, 38, 49, 40, 43, 46, 38, 50, 41. Nell ipotesi che tale campione provenga da una Normale, trovare l intervallo di confidenza per la media µ (incognita) dell intera popolazione, con α=0.05. [R: (42.6; 47.98)] Esercizio 3.9 (Prof.ssa Mortera, ) Supponiamo che X 1, X 2,...,X n sia un campione casuale estratto da una popolazione X con distribuzione Normale di media µ incognita e varianza σ 2 nota. Quale deve essere la numerosità n del campione affinché sia possibile individuare un intervallo di confidenza per µ, al livello di confidenza 0.95, di lunghezza minore di 0.01σ? [R: n ] Esercizio 3.10 (Prof.ssa Mortera, ) In un campione di 500 famiglie, l intervallo al 99% del reddito mensile medio (in milioni di lire) è dato da 2<µ<4. Se si fosse calcolato l intervallo di confidenza al 90%, questo sarebbe stato: a) più stretto ma con un rischio maggiore di non comprendere il valore vero di µ; b) più largo, ma con un rischio maggiore di non comprendere il valore vero di µ; c) piu stretto, ma con rischio minore di non comprendere il valore vero di µ; d) non si può dire nulla sull ampiezza dell intervallo. Esercizio 3.11 Su un campione casuale di n=300 individui è stato rilevato un carattere X, con distribuzione normale. Al livello di significatività del 5% si è costruito l intervallo di confidenza per la media di X, i cui estremi sono risultati pari a 54 e 56. Quanto valgono la media aritmetica campionaria e la varianza campionaria corretta? [R: X = 55; S 2 = 78.09] Esercizio 3.12 (Prof. Pieraccini, ) Si determini l intervallo di confidenza al 90% per la percentuale di voti che in una circoscrizione elettorale, otterrà un certo partito politico, sapendo che dopo lo spoglio delle prime 200 schede questo ha ottenuto 70 voti, e che i votanti nel loro complesso sono stati Come si modifica l intervallo se, a metà spoglio, quel partito ha ottenuto 175 voti? [R: (0.295; 0.405); (0.315; 0.385)] Esercizio 3.13 (Prof.ssa Mortera, ) Per 100 incidenti stradali nella provincia Gonzales, una compagnia di assicurazioni ha pagato un risarcimento medio di L , con uno s.q.m. di L Per la totalità dei sinistri ha invece pagato un risarcimento medio pari a L Verificare se il risarcimento nella provincia Gonzales è significativamente più alto rispetto a quello della media nazionale. Usare un livello di significatività del 5%. [R: rifiuto l ipotesi nulla secondo la quale il risarcimento nella provincia Gonzales è uguale a quello della media nazionale] Esercizio 3.14 (Prof.ssa Mortera, ) Sia X il ritardo con cui il treno Romolo arriva alla stazione di Roma Termini. Durante 5 controlli effettuati a caso

16 16 in giorni diversi, sono stati ottenuti i seguenti ritardi in minuti: 12, 37, 23, 27, 19. Assumendo che i ritardi si distribuiscono come una variabile casuale Normale: a) verificare l ipotesi che il ritardo medio sia superiore a 15 minuti, usando α=0.05; b) calcolare l intervallo di confidenza al livello del 95% per il ritardo medio. [R: non rifiuto H 0 ; (12.02; 35.18)] Esercizio 3.15 (Prof.ssa Terzi, ) Supponendo di voler verificare al livello α=0.10 l ipotesi nulla che il voto medio riportato dagli studenti di Economia nell esame di Statistica I sia pari a 27 contro l ipotesi alternativa che sia pari a 25.5, quale dovrà essere la numerosità campionaria affinché la potenza del test risulti almeno pari a 0.95? Ai fini della soluzione si assume che la popolazione studentesca abbia una distribuzione Normale con varianza pari a 9. [R: n 35] Esercizio 3.16 (Prof.ssa Mortera, ) Una società telefonica dichiara che nel 1990 l importo della bolletta bimensile pagata dagli abbonati privati ebbe una distribuzione con media Lire e s.q.m. di Lire. a) Se si estrae un campione di 50 bollette dagli elenchi degli abbonati del 1990, quale è approssimativamente la probabilità che la media campionaria degli importi sia maggiore di ? b) Estraendo un campione di ampiezza 100, la probabilità di cui al punto a) sarebbe maggiore o minore? Perchè? c) Una agenzia per la protezione del consumatore estrae un campione di ampiezza 100 ed osserva una media campionaria degli importi pari a Si può concludere che l importo medio bimensile pagato nel 1990 sia stato maggiore di ? Usare un livello di significatività del 5%. [R: P(X>100000) ; la probabilità al punto a) sarebbe minore; non rifiuto l ipotesi nulla di importo medio bimensile uguale a 95000] Esercizio 3.17 (Prof.ssa Terzi, ) Per una popolazione Normale(µ,1), si vuole sottoporre a test l ipotesi H 0 : µ=0 contro l ipotesi alternativa H 1 : µ<0 attraverso un campione casuale di 50 osservazioni. a) Individuare la regione critica del test per α= b) Calcolare la potenza del test per µ=-0.5. [R: R(α)= { X : X < 0.28 } ; 1 β = ] Esercizio 3.18 (Prof.ssa Terzi, ) I pesi degli alunni di una scuola si distribuiscono normalmente con varianza pari a 36 (Kg 2 ). a) Per α=0.07 e n=14, determinare la regione critica del test: H 0 : µ=50; H 1 : µ 50. b) Sia X=46. A favore di quale ipotesi si conclude? c) Calcolare la potenza del test per µ=45. [R: { X : ( X > ) ( X < 47.1 )} ; H 1 ; 1 β = ] Esercizio 3.19 (Prof.ssa Terzi, ) Per una popolazione Normale di varianza unitaria, si vuole fare un test d ipotesi per verificare: H 0 : µ = 12.7 H 1 : µ = 12

17 17 Si decide di procedere nel seguente modo: si estrae un campione casuale di numerosità n=16 e se ne calcola la media campionaria. Se la media campionaria risulta minore di 12.2 si rifiuta l ipotesi H 0. a) Calcolare α. b) Calcolare β. c) Supponendo di volere 1 β 0.9, quale dovrà essere la numerosità campionaria? [R: α = ; β = ; n 42] Esercizio 3.20 (Prof.ssa Terzi, ) Per una popolazione Normale di varianza =2 si vuole fare un test d ipotesi per verificare: H 0 : µ = 8 H 1 : µ = 8.5 a) Posto α=0.07, sulla base di una numerosità campionaria n=25, trovare la regione critica. b) Supponendo di aver osservato una media campionaria pari a 8.2, cosa si conclude? c) Calcolare la potenza del test. d) Trovare la numerosità campionaria tale che la potenza risulti almeno pari a [R: R: { X : X > } ; non rifiuto H 0 ; 1 β = ; n 1306]. Esercizio 3.21 (Prof.ssa Terzi, ) Data una popolazione Normale di varianza unitaria, si vuole sottoporre a verifica l ipotesi H 0 : µ=10 contro H 1 : µ 10, attraverso un campione casuale di n = 4 unità. Si adotta la seguente regola di decisione: A : si accetta H 0 se 8 X 11. a) calcolare α. b) Calcolare la potenza del test per µ=11. [R: α = ; 1 β = 0.5] Esercizio 3.22 (Prof.ssa Terzi, ) Si vuole sottoporre a verifica l ipotesi H 0 : p=0.5 contro H 1 : p>0.5 per una popolazione bernoulliana di parametro p, sulla base di un campione di n = 5 elementi. a) Fissato α 0.2, trovare la regione critica. b) Calcolare la potenza del test per p=0.8. [R: R(α) = { p : p 0.8} ; 1 β = 0.737] Esercizio 3.23 (Prof.ssa Terzi, ) In un campione di 1000 famiglie con 5 figli, la distribuzione del numero di figli maschi è la seguente: n. maschi tot n. famiglie a) Sul totale dei figli, quale è la percentuale di femmine? b) Sia p la percentuale di femmine nella popolazione. Si vuole sottoporre a verifica l ipotesi H 0 : p=0.5 contro l alternativa H 1 : p 0.5, con α=0.05. Individuare la regione di accettazione (A) del test, e indicare se si accetta o meno l ipotesi H 0.

18 18 [R: p = 0.506; A={ p : < p < 0.514} ; non si rifiuta H 0 ] Esercizio 3.24 (Prof.ssa Terzi, ) Si sospetta che una moneta possa essere sbilanciata in maniera tale che l uscita di Testa risulti più probabile dell uscita di Croce. In particolare, si pensa che la probabilità che esca Testa possa essere 0.8. Si decide quindi di sottoporre a verifica l ipotesi nulla che la moneta abbia due facce equi-probabili contro l alternativa che la probabilità che esca Testa sia 0.8. Si decide di procedere nel seguente modo: si lancia la moneta 5 volte, se si ottiene Testa almeno 4 volte si rifiuta l ipotesi nulla. Calcolare la probabilità dell errore di prima specie. Calcolare la potenza di questo test. [R: α = ; 1 β = ]. Esercizio 3.25 (Prof.ssa Terzi, ) Si sospetta che un dado possa essere sbilanciato in maniera tale che l uscita di un numero pari risulti più probabile dell uscita di un numero dispari. In particolare, si pensa che la probabilità che esca un numero pari sia Si decide quindi di sottoporre a verifica l ipotesi nulla che il dado sia ben bilanciato contro l alternativa che la probabilità che esca un numero pari sia 3/4. Si decide di procedere nel seguente modo: si lancia un dado 5 volte, e se si ottiene una faccia pari almeno 4 volte si rifiuta l ipotesi nulla. Calcolare la probabilità dell errore di prima specie. Calcolare la potenza di questo test. [R: α = ; 1 β = ] Esercizio 3.26 (Prof.ssa Mortera, ) La società Broglio decide di lanciare sul mercato un nuovo tipo di detersivo super-white. A questo scopo viene inviato gratuitamente un flacone del nuovo detersivo a 150 persone chiedendo loro di provarlo e di dichiarare se saranno favorevoli o meno all acquisto del suddetto prodotto. Di queste persone solo 30 dichiarano di essere interessate all acquisto. a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.7 per la proporzione di soggetti che acquisteranno il prodotto; b) verificare al livello α = 0.05 l ipotesi nulla che la proporzione di soggetti che acquisteranno il prodotto sia superiore al 30%. [R: (0.166; 0.234) ; si rifiuta l ipotesi nulla] Esercizio 3.27 (Prof. Pieraccini, ) Sia µ=5 la media di una popolazione Normale. Si vuole sottoporre a test l ipotesi H 0 : σ 2 =1.5 contro l alternativa bilaterale H 1 : σ a) Trovare la regione critica del test per α=0.05. b) Avendo estratto il seguente campione: (3.1; 3.7; 5.5; 6.6; 4.8; 5.3; 3.1; 2.9; 8.1), per quale ipotesi si conclude? c) Trovare l intervallo di confidenza per σ 2. [R: R(α) = { σ 2 : ( σ ) ( σ )}; non si rifiuta H 0 ; (0.359; 2.533)] Esercizio 3.28 (Prof.ssa Terzi, ) In 100 ristoranti di Roma, la voce coperto ammonta mediamente a 3 (migliaia di lire) con s.q.m. pari a 1. A Milano, invece, su un campione di 70 ristoranti, la voce coperto risulta mediamente pari a 1, con s.q.m. pari a 4. Assumendo che le due popolazioni abbiano la stessa varianza, sottoporre a test l ipotesi che le due medie siano uguali contro l alternativa, unilaterale, che in media il coperto a Roma sia maggiore. a) Individuare la regione critica con α = b) Individuare la regione critica con α = 0.01.

19 19 c) Cosa si conclude nell uno e nell altro caso? [R: R(α) = { X Y : X Y > 0.69 } ;R(α) = { X Y : X Y > 0.98 } ; si rifiuta H 0 in entrambi i casi] Esercizio 3.29 (Prof. Pieraccini, ) Un indagine campionaria sul numero di sigarette fumate giornalmente, svolta tra studenti universitari, ha dato i seguenti risultati distinti per sesso: Campione Maschi Femmine Numerosità N. medio di sigarette Stima non distorta della varianza a) Sottoporre a test l ipotesi di eguaglianza del numero medio di sigarette fumate dai due sessi al livello di significatività del 5%. b) Calcolare l intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le due medie. [R: non si rifiuta H 0 ; ( ; )] Esercizio 3.30 (Prof. Pieraccini, ) L efficacia di una nuova cura dimagrante viene sperimentata su sei soggetti ottenendo i seguenti risultati: X Y (dove con X si è indicato il peso prima della cura e con Y quello dopo la stessa). Sottoporre a test l ipotesi che la cura non abbia avuto effetto. [R: si rifiuta l ipotesi nulla che la cura non abbia avuto effetto]. Esercizio 3.31 (Prof. Pieraccini, ) I voti in Economia (X) ed in Statistica (Y) riportati da dieci studenti sono stati i seguenti: X Y Sotto l assunzione di Normalità, sottoporre a test l ipotesi di eguaglianza in media dei voti di Statistica a quelli di Economia sapendo che: Dev(X)=151.6, Dev(Y)=160.9, Cod(X,Y)= [R: non si rifiuta l ipotesi nulla di uguaglianza in media dei voti] Esercizio 3.32 (Prof. Pieraccini, ) Un indagine campionaria sul numero di sigarette fumate giornalmente svolta tra studenti universitari ha dato i seguenti risultati distinti per sesso: Campione Numerosità Frazione di fumatori Maschi Femmine a) Sottoporre a test l ipotesi di eguaglianza della percentuale di fumatori fra gli studenti universitari maschi e femmine al livello di significatività del 5%. b) Calcolare l intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le due percentuali. [R: non si rifiuta l ipotesi nulla; ( 0.25; 0.04)]

20 20 Esercizio 3.33 (Prof.ssa Mortera, ) La seguente tabella riporta i furti commessi scoperti in un grande magazzino in un anno, a seconda del settore merceologico e dell età del colpevole. Settore Età Abbigliamento Bigiotteria Profumi a) Sia p la probabilità che se un furto viene compiuto nel settore abbigliamento, l età del colpevole sia Costruire un intervallo di confidenza per p al 95%. b) Siano p 1 e p 2 le probabilità che il furto sia commesso nel settore dell abbigliamento nell ipotesi che il colpevole abbia rispettivamente età compresa nella classe oppure Verificare l ipotesi p 1 = p 2 contro l ipotesi alternativa p 1 p 2. [R: (0.0606; ) ; si rifiuta l ipotesi nulla di uguaglianza delle probabilità] Esercizio 3.34 (Prof. Pieraccini, ) In un campione di 100 studenti maschi si sono rilevati i seguenti pesi: Peso (Kg) N. di studenti Sottoporre a test l ipotesi che i dati provengano da una distribuzione Normale. [R: non si rifiuta l ipotesi nulla] Esercizio 3.35 (Prof. Pieraccini, ) La distribuzione dei pesi (X) dei portieri che hanno giocato nel campionato di calcio di serie A e B del è risultata la seguente: X n(x) < > Si sottoponga a test l ipotesi che i dati provengono da una distribuzione Normale. [R: non si rifiuta l ipotesi nulla] Esercizio 3.36 (Prof. Pieraccini, ) In un pronto soccorso di un ospedale sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su un arco di cento giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X n(x)

21 21 Sapendo che il numero di interventi giornalieri per i quali il pronto soccorso è strutturato è uguale a 10, sottoporre a test l ipotesi che la distribuzione osservata provenga da una distribuzione di Bernoulli. [R: si rifiuta H 0 ] Esercizio 3.37 (Prof. Pieraccini, ) In 20 famiglie con 5 figli si è osservato il seguente numero di figli maschi: n. maschi n. famiglie Sottoporre a test l ipotesi che la distribuzione delle famiglie secondo il numero di figli maschi segua una distribuzione Binomiale. [R: non si rifiuta l ipotesi nulla] Esercizio 3.38 (Prof. Pieraccini, ) In un impresa di soccorso stradale sono state registrate le richieste giornaliere di intervento su un arco di cento giorni ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: n. interventi n. di giorni Sottoporre a test l ipotesi che la distribuzione sia ben adattabile da una distribuzione di Poisson. [R: non si rifiuta l ipotesi nulla] Esercizio 3.39 (Prof.ssa Mortera, ) Nell isola Smeraldina, negli ultimi 1000 giorni, sono arrivate delle navi, secondo la seguente tabella: 450 sono i giorni durante i quali non è arrivata alcuna nave, 360 i giorni durante i quali ne è arrivata una, 140 i giorni in cui ne sono arrivate due, 40 i giorni in cui ne sono arrivate tre, e 10 i giorni in cui ne sono arrivate quattro. Questi dati sono conformi con l ipotesi che la distribuzione del numero di arrivi sia una variabile casuale di Poisson? Usare un livello di significatività dell 1%. [R: non si rifiuta H 0 ] Esercizio 3.40 (Prof.ssa Mortera, ) Per esaminare come vengono utilizzati i quattro ingressi di un grande supermercato si osserva un campione casuale di 130 persone e risulta: Ingresso n.persone Si verifichi l ipotesi che i quattro ingressi vengono utilizzati con la stessa intensità [R: non si rifiuta H 0 ] Esercizio 3.41 (Prof. Pieraccini, ) Lanciando 240 volte un dado si sono ottenuti i seguenti punteggi: Punteggio Frequenza Sottoporre a test l ipotesi che il dado non sia truccato, cioè che i punteggi siano equidistribuiti. [R: non si rifiuta H 0 con α = 0.025, mentre si rifiuta H 0 con α = 0.05]

22 22 Esercizio 3.42 (Prof. Pieraccini, ) La distribuzione dei matrimoni celebrati in Italia secondo lo stato civile è risultata la seguente: Stato civile delle spose Stato civile degli sposi Nubili Vedove Divorziate Celibi Vedovi Divorziati Si controlli l esistenza di una dipendenza assoluta fra i due caratteri e si commenti il risultato ottenuto. [R: si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza]. Esercizio 3.43 (Prof.ssa Mortera, ) Ad un campione di 80 giovani in età compresa tra 25 e 35 anni è stato chiesto se sono laureati e se hanno un occupazione. Il risultato della rilevazione è contenuto nella tabella seguente: Stato occupazionale Titolo di studio Occupato Disoccupato Laureato Non laureato a) C è dipendenza o indipendenza tra il titolo di studio e lo stato occupazionale? Usare l indice opportuno. b) Valutare se c è indipendenza anche mediante l opportuno test statistico. c) Lasciando inalterata la marginale del titolo di studio, costruire la tabella di massima dipendenza. [R: χ 2 = ; si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza]

23 23 4 Esercizi sulla regressione Esercizio 4.1 (Prof.ssa Terzi, ) In 5 famiglie sono stati rilevati i seguenti redditi (X) e risparmi (Y): X Y a) determinare l equazione della retta di regressione di Y su X; b) stimare il presumibile valore del risparmio per una famiglia con reddito pari a 50: Ŷ(50); c) determinare il valore del coefficiente di correlazione r xy. [R: Ŷ= X; Ŷ(50)=31.5; r xy = 0.75] Esercizio 4.2 (Prof.ssa Terzi, ) Per due variabili statistiche X e Y si hanno le seguenti coppie di osservazioni: X Y Stimare i parametri della retta di regressione Y=a +bx e valutarne la bontà di adattamento tramite l indice R 2. Posto poi che si osservi X=12, sulla base della retta stimata, qual è il presumibile valore della Y?[R: â = 5.75, b = 0.39; R 2 = 0.94; Ŷ(12)=1.07] Esercizio 4.3 (Prof. Pieraccini, ) Per una distribuzione doppia si è stimata la retta di regressione X i =10-2Y i. Individuare quale, fra le seguenti, è la possibile equazione della retta di regressione di Y su X e motivare la scelta: a) Ŷi= 4+0.4X i b) Ŷi= X i c) Ŷi= X i d) Ŷi= X i. Esercizio 4.4 (Prof.ssa Terzi, ) La regressione di Y su X ha fornito la seguente retta dei minimi quadrati: Ŷ=13-1.5X, mentre quella di X su Y ha fornito: X=31/6-(1/6)Y. Si determinino il coefficiente di correlazione r xy e le due medie M 1 (X) e M 1 (Y ). [R: r xy = 0.5; M 1 (X) = 4; M 1 (Y ) = 7] Esercizio 4.5 (Prof.ssa Mortera, ) Su una variabile statistica doppia (X,Y) si sono stimate le seguenti equazioni delle rette di regressione: Ŷ = X, X = Y. Determinare il coefficiente di correlazione lineare, la media di X e quella di Y. Sapendo poi che la media quadratica di X è pari a 4.36, determinare la media e la varianza della variabile Z=2X-4Y+1. [R: r xy = 0.8; M 1 (X) = 2; M 1 (Y ) = 2.89; M 1 (Z) = 6.56, var (Z) = ] Esercizio 4.6 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui è noto che X ha varianza doppia rispetto a Y, e data la variabile Z=Y+2, determinare il valore del

24 24 rapporto α 1 /β 1, in cui α 1 e β 1 sono i coefficienti angolari delle rette di regressione di X su Z e di Z su X rispettivamente: [R: α 1 /β 1 = 2] X = α 0 + α 1 Z, Z = β 0 + β 1 X. Esercizio 4.7 Data la variabile statistica doppia (X,Y), si sono stimati i parametri della retta di regressione di X su Y, il cui coefficiente angolare è risultato uguale al coefficiente di correlazione lineare. Sappiamo inoltre che la variabile Z=2Y ha varianza pari a 36. Calcolare la varianza di X e individuare il campo di valori accettabili per la covarianza tra X e Y. [R: var(x)=9; σ xy ( 9, 9)] Esercizio 4.8 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui è noto che var(x)=81var(y), indicare quali tra i seguenti valori del coefficiente angolare della retta di regressione di X su Y: 2, 0, 15 non sono accettabili, motivando la risposta fornita. [R: il valore 15 non è accettabile]. Esercizio 4.9 (Prof.ssa Mortera, ) Al fine di stabilire se esiste una relazione statistica tra l altezza degli alberi di ciliegie (X) ed il diametro medio delle ciliegie prodotte (Y), si considerino le osservazioni della seguente tabella: Diametro (cm.) Altezza (m.) a) Calcolare la retta di regressione di Y su X. Stabilire se X e Y sono: incorrelate, correlate positivamente oppure correlate negativamente. b) Calcolare la devianza residua, la devianza spiegata e l indice di accostamento lineare. c) Si preveda, sulla base della relazione trovata al punto a), il diametro delle ciliegie prodotte da un albero di altezza 3.5. Commentare il risultato. d) Costruire l intervallo di confidenza per β 1 con livello di confidenza del 95% e verificare l ipotesi H 0 :β 1 =0 contro l alternativa H 1 :β 1 0 (con α=0.05). e) Si esprima l altezza delle piante in centimetri e si indichi con W la corrispondente variabile statistica. Senza rifare i calcoli, a partire dai parametri della funzione di regressione trovata al punto a), determinare la funzione di regressione lineare di Y su W. [R: Ŷ = 1.26x 3.53, σ xy = 0.326; D res = 0.449, D tot = 2.5, R 2 = 0.82; Ŷ (3.5) = 0.88; (0.18; 2.34), si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza lineare; Ŷ = w 3.53] Esercizio 4.10 (Prof. Pieraccini, ) In un campione di 12 famiglie si sono rilevati i pesi del padre (X) e del figlio primogenito (Y) qui di seguito riportati: X Y a) Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e calcolarne l R 2.

25 25 b) Nell ipotesi di normalità della componente accidentale, sottoporre a test le due ipotesi α=0 e β=1 e commentare i risultati. [R: Ŷ = x, R2 = 0.46; si rifiuta l ipotesi nulla di assenza di intercetta, si rifiuta l ipotesi nulla di coefficiente di regressione unitario] Esercizio 4.11 (Prof. Pieraccini, ) In un campione di 15 famiglie si è rilevato il reddito annuo e la spesa per generi alimentari: Reddito Spesa a) Si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per alimenti in funzione del reddito netto annuo e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata; b) si verifichi l ipotesi di indipendenza lineare fra le due variabili ad un livello di significatività del 5%; c) si verifichi inoltre, per la retta stimata, l ipotesi di passaggio per l origine; c) si calcoli l intervallo di confidenza per la spesa alimentare nel caso in cui il reddito sia di 58 milioni e nel caso in cui esso sia di 32 milioni. [R: Ŷ = x, R 2 = 0.93; si rifiuta l ipotesi di indipendenza lineare; si rifiuta l ipotesi di passaggio per l origine; (14.67; 16.83) ; (9.26; 10.28)] Esercizio 4.12 (Prof. Pieraccini, ) In una indagine campionaria si sono rilevati i seguenti dati sulla superficie in ettari (X) e sul rendimento in q/ha (Y) di 10 aziende cerealicole: (3, 27) (2, 26) (4, 30) (3, 28) (4, 32) (2, 30) (6, 33) (5, 29) (4, 31) (6, 31) Si verifichi al livello di significatività del 5% l ipotesi di indipendenza lineare del rendimento dalla dimenzione aziendale contro l ipotesi alternativa più opportuna. [R: si rifiuta l ipotesi di indipendenza lineare] Esercizio 4.13 (Prof.ssa Mortera, ) La torre di Pisa che pende che pende.... Prima che la torre venisse chiusa, era stata condotta, con frequenza trimestrale, una rilevazione statistica sull incremento dell inclinazione della torre. Sia Y= pendenza X= tempo e Z= cm di pioggia caduti su Pisa. Sono state stimate le seguenti relazioni lineari: A : Ŷ = 3x B : Ŷ = 3z per le quali l output di computer è risultato: Stima di β 1 t p Dev. spiegata Dev(Y) Modello A Modello B