=, dove: 2πσ π =3, (ben noto); e=2, (numero di Nepéro);

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1 GLI ERRORI DI MISURA Predi u metro da muratore (di quelli pieghevoli, formati da più aste collegate da ceriere, totale 2 m) e prova a misurare, al cetimetro, la lughezza del corridoio della tua scuola. Ripeti l operazioe più volte, segado sempre su di u taccuio il valore otteuto. Certamete o otterrai la stessa misura ad ogi prova: ifatti, el disporre il metro sul pavimeto, ti capiterà di o iiziare esattamete dallo stesso puto, di riportare il metro o sempre co precisioe quado devi spostarlo per ricollocare u estremità ella posizioe alla quale eri giuto al passo precedete, di piegarlo leggermete, e così via. Adesso coraggio, perché ho bisogo che tu faccia TANTE misurazioi, diciamo 100 (soo certo che i tuoi compagi di classe si presterao a collaborare oguo potrebbe fare 4-5 misurazioi). Ora hai a disposizioe 100 umeri. Può darsi che alcui di questi umeri coicidao, ma i geerale sarao ivece u poco diversi fra loro. Cosidera il miimo e il massimo valore rilevato, e suddividi l itervallo [ xmi, x MAX ] i u certo umero di sottoitervalli, diciamo otto-dieci (i geerale, se le misure soo, si cosiglia di far sì che il umero di itervalli o superi ) : ad esempio, se la miima e la massima delle misure registrate soo state di m 23,92 e di m 24,11, avremo 24,11 23,92 = 0,19 e questo itervallo di metri 0,19 (19 cm) potrà portarci a defiire 10 sottoitervalli di 2 cm ciascuo: [ 23,92; 23,94), [23,94; 23,96), [23,96; 23,98),..., [24,10; 24,12). Ora, per ciascu sottoitervallo, cota la rispettiva frequeza, ossia cota il umero di misure, fra le 100 registrate, che cadoo i quel sottoitervallo; traccia, co u foglio elettroico, u istogramma co le classi di misura i orizzotale e le frequeze i verticale. Potrai osservare che le misure cetrali della distribuzioe sarao i liea di massima più frequeti, e quelle estreme meo. I effetti, ell atto pratico della misurazioe, si commettoo sempre errori casuali talvolta i difetto talvolta i eccesso, e se il umero di misurazioi effettuate diveta alto, l istogramma tederà ad assomigliare a ua curva a campaa detta gaussiaa (F. Gauss, ). Ecco qui di seguito u fumetto di possibili cofigurazioi dell istogramma delle frequeze al crescere del umero di misure effettuate. 2 1 x μ 1 La Gaussiaa è ua curva la cui equazioe è ietemeo che y e 2 σ =, dove: 2πσ 2 π =3, (be oto); e=2, (umero di Nepéro); μ, σ soo due umeri fissi che, el caso i cui la curva abbia a che fare co il problema da oi esamiato, ossia quello delle misure ripetute di ua quatità (affette da errori casuali o statistici ), soo iterpretabili come rispettivamete la media aritmetica e lo scarto quadratico medio che si otterrebbero facedo u umero colossale ( = tedete all ifiito) di misure. Trovi la cosa complicata? I effetti, lo è Questi studi richiedoo ozioi matematiche più avazate (la teoria delle distribuzioi di probabilità ) e o è facile, i ua trattazioe di carattere o specialistico, mateere il discorso su di u livello che sia el cotempo accessibile e rigoroso ma oi ci proviamo. Se le misurazioi effettuate, affette da errore casuale, soo tate (di solito, detto il umero di misure, tate sigifica perlomeo >30, ma alcui Autori scrivoo > 50 o > 60, altri > 100 e isomma, più soo, meglio è), allora l istogramma delle frequeze tede ad assomigliare ad ua gaussiaa; e quato più tale somigliaza sussiste, tato più, x1+ x x detta x la media di queste misure x = MEDIA = e detto s il loro scarto quadratico medio soo corrette le affermazioi segueti: ( x1 x) + ( x2 x) ( x x) s = S.Q.M. =,

2 a) x è u valore prossimo al vero valore della gradezza i questioe, dove per vero valore si itede quello che si otterrebbe come media su di u umero eorme di misure b) circa il 68% delle misure effettuate rietra ell itervallo ( x s, x+ s) circa il 95% delle misure effettuate rietra ell itervallo ( x 2 s, x+ 2 s) circa il 99,7% delle misure effettuate rietra ell itervallo ( x 3 s, x+ 3 s) c) se facessi u ulteriore misura, questa avrebbe circa il 68% di probabilità di cadere ell itervallo ( x s, x+ s) circa il 95% di probabilità di cadere ell itervallo ( x 2 s, x+ 2 s) circa il 99,7% di probabilità di cadere ell itervallo ( x 3 s, x+ 3 s) 57 Di solito, per misurare ua gradezza fisica, si effettua u certo umero di operazioi di misura, si calcolao la media x e lo scarto quadratico medio s degli valori così trovati, poi si scrive che la gradezza i gioco vale x± s, dove per la piea compresioe di questa scrittura occorre teere preseti le 3 cosiderazioi a), b), c). Toriamo soltato a ribadire alcui cocetti davvero fodametali. Affiché le affermazioi precedeti siao corrette, il umero delle misure deve essere GRANDE Ioltre LE AFFERMAZIONI CONTENGONO DEGLI AVVERBI CIRCA, NON SOLO PER IL FATTO CHE I VALORI 68%, 95%, 99,7% SONO TUTTI APPROSSIMATI, MA SOPRATTUTTO PER IL FATTO CHE SI STA PENSANDO AD UNA CONFIGURAZIONE PROBABILISTICA IDEALE ALLA QUALE SI TENDE AD AVVICINARSI (SENZA PERO RAGGIUNGERLA) AL CRESCERE DI. La veridicità di a), b), c) è tato maggiore quato più x (media delle misure realmete effettuate) è prossimo a μ (vero valore della gradezza, media su u umero di misure che tede all ifiito) e quato più s (s. q. m. delle misure realmete effettuate) è prossimo a σ (s. q. m. su ifiite misure); ed è all aumetare del umero delle misure che effettivamete xs, tedoo a idetificarsi co μ, σ!!! ESEMPIO Qui sotto riportiamo 96 misure i mm della larghezza della lavaga di u aula, rilevate dai 24 studeti, che hao effettuato 4 misurazioi ciascuo: Il calcolo ci dà media = x = 2243,06...; scarto quadratico medio = s = 1,79... Se ora adiamo a cotare il umero di misure che soo comprese ell itervallo ( x s, x s) vediamo che tali misure soo = 63. Bee, 63 è assai prossimo al 68% di 96 (che vale circa 65). [vedi NOTA] Ecco l istogramma della distribuzioe di frequeza, che i effetti preseta, pur co irregolarità, il tipico adameto a campaa. +, NOTA - Per la precisioe, quello che abbiamo iizialmete idicato come il 68% avrebbe potuto essere meglio approssimato come 68,3%, e il 95% come 95,4%. Oppure, si sarebbe potuto scrivere 95% ma sostituedo il fattore 2 co u più preciso 1,96. Lo diciamo per scrupolo, e tuttavia isistiamo: o dobbiamo cofodere la cofigurazioe probabilistica ideale, teorica, alla quale ci si avvicierebbe se tedesse a ifiito, co la situazioe reale, che è approssimata bee, ma o certo alla perfezioe, quado comicia ad esser >30, o meglio acora >100.

3 58 U ultima putualizzazioe. La Statistica Ifereziale isega che, per meglio stimare lo scarto quadratico medio σ relativo alle ifiite misure, è più giusto calcolare lo scarto quadratico medio s del campioe di misure attraverso la formula corretta che si ottiee prededo come deomiatore 1 aziché : ( 1 ) + ( 2 ) ( ) x x x x x x scarto quadratico medio "corretto" = s= = s 1 1 E pur vero che quado è grade, scarto quadratico medio corretto e o corretto differiscoo di pochissimo; e quado o è grade, la teoria esposta o vale più! Già per valori di dell ordie di qualche decia, la differeza è assai piccola. Ad esempio, co = 30, il fattore /( 1) vale 30/ 29 1,017 che è molto vicio a 1! I EXCEL e i OPENOFFICE CALC lo scarto quadratico medio o corretto è dev.st.pop() metre quello corretto è dev.st() APPROFONDIMENTO (NON SEMPLICE): INTERVALLI DI CONFIDENZA, ERRORE STANDARD I realtà, quado adiamo a calcolare la media x e lo scarto quadratico medio s sulle misure che abbiamo effettuato, il ostro iteresse è putato, più che a quelle particolari misure, al valore vero che ci è scoosciuto della gradezza i esame. Ora, abbiamo già detto che quest ultimo può essere pesato come quel valore μ che si otterrebbe come media su di u umero stermiato di misure. Ma fio a che puto possiamo riteere che la media x da oi calcolata sia prossima al vero valore μ? La statistica ifereziale ci isega che se oi effettuiamo ua serie di misure, ed è grade (certi Autori scrivoo > 30, altri > 50 o 60, altri acora > 100 ; i realtà quato stiamo dicedo tede ad essere tato più veritiero quato più è alto), allora, determiado per queste misure la media x e lo scarto quadratico medio s, il vero valore μ avrà ua probabilità del 68% circa di rietrare ell itervallo s s x, x+ del 95% circa di rietrare ell itervallo s x 2, x+ 2 del 99,7% circa di rietrare ell itervallo s x 3, x+ 3 ache se per maggiore precisioe cocettuale, poiché il vero valore è quello che è, è costate, metre a variare è ivece l isieme delle misure e co esso l itervallo che e deriva (è come se oi estraessimo a sorte u itervallo, per poi domadarci se comprede o o il valore vero ), bisogerebbe piuttosto partire dal puto di vista dell itervallo, dicedo che il 68% circa degli itervalli s s x, x+ costruiti ciascuo facedo misure e calcoladoe i relativi x e s cotiee al suo itero il vero valore (e il 32% circa lo lascia ivece al suo estero) il 95% circa degli itervalli ecc. ecc. il 99,7% circa degli itervalli ecc. ecc. Questi itervalli di cui abbiamo parlato vegoo chiamati INTERVALLI DI CONFIDENZA. Ad es., s s x 3, x+ 3 è u itervallo di cofideza al 99,7% per il vero valore della gradezza. s s Osserviamo l uso del termie cofideza ( = fiducia) al posto di probabilità. σ La quatità viee detta ERRORE STANDARD DELLA MEDIA (brevemete: errore stadard ), e, se è grade, così come x è ua buoa approssimazioe per μ, allo stesso modo s è ua buoa approssimazioe per σ e quidi s è ua buoa approssimazioe per σ.

4 59 Il discorso è itrigate, ma complicato. RICAPITOLIAMO LE PREMESSE E LA SIMBOLOGIA. Stiamo suppoedo di ricercare il valore vero di ua determiata gradezza, tramite ua misura, azi: tramite ua serie di misure, di cui faremo poi la media. μ è il vero valore della gradezza. μ è icogito e viee approssimato co la media x delle misure realizzate. Se oi avessimo la possibilità di effettuare u umero gradissimissimissimo di misure, al tedere all ifiito di questo umero, la media delle misure tederebbe a μ. Ma oi per forza di cose ci dobbiamo accotetare delle ostre misure. è grade, ma o colossale: prederemo almeo maggiore di 30, preferibilmete maggiore di 100 tuttavia le ostre misure, pur essedo tate, sarao e basta. Calcoleremo duque la media x e lo scarto quadratico medio s delle ostre misure. Bee, avedo preso piuttosto grade abbiamo fiducia che x sia già ua approssimazioe piuttosto precisa per μ, e che s sia già prossimo a quello che sarebbe lo s. q. m. σ se oi potessimo effettuare ifiite misure. Possiamo azi quatificare questa ostra fiducia. s s Se cosideriamo, ad esempio, l itervallo x 2, x 2 +, la ostra fiducia che questo itervallo cotega μ è all icirca del 95%, perché la Statistica Ifereziale isega che, qualora adassimo a barbosissimamete effettuare 100 serie, o 1000 serie,, di misure ciascua, calcolado per ogua di queste il relativo x e il relativo s, s s all icirca il 95% degli itervalli x 2, x + 2 così costruiti coterrebbero μ. Questo è tato più vicio al vero quato più è grade, ma a partire da > 30 comiciamo già ad adar beio! ESEMPIO Prediamo i prestito u esempio dal testo Essetial medical statistics di B. R. Kirkwood e J. A. C. Stere, dove ogi cosa è spiegata co calma, precisioe, e ottimi riferimeti cocreti (hats off, tato di cappello!) I realtà qui si ragioa i u ambito più geerale del ostro. Viee ifatti esamiata o ua sigola gradezza misurata più volte, besì ua popolazioe limitata (l isieme delle case), oché u suo campioe (le 100 case che vegoo visitate). Ma lo stesso discorso fatto per le misure vale, ei suoi tratti esseziali, ache i questo cotesto, perché si può osservare che la quatità di cui ci si sta occupado (la superficie da disifestare elle case) è uo degli svariati feomei della realtà che presetao ua Gauss-like distributio, vale a dire: ua distribuzioe simile alla gaussiaa. Nell ambito di u piao per l eradicazioe della malaria si progetta di trattare co isetticida tutte le case di ua certa area rurale. Problema: quato isetticida acquistare? Per deciderlo, si estrae da quelle case u campioe casuale di 100 case, e le si ispezioa per misurare i ciascua casa la superficie che richiede di essere boificata. I quelle 100 case la superficie media su cui spruzzare l isetticida risulta essere di x = 24,2 m2 co uo scarto quadratico medio s = 5,9 m2. No è realistico a questo puto supporre che la superficie media x rilevata el campioe di 100 case coicida co la media μ della superficie da disifestare ell itera popolazioe delle case; tuttavia, è possibile valutare quato sia da riteere affidabile la media campioaria x = 24,2 m2 s s 5, 9 se si va a calcolare l errore stadard, approssimabile co = = = 0, 59 0, A questo puto, ifatti, si può dire che l itervallo (24,2 ± 0,6) m 2 ha ua probabilità del 68% circa di coteere il valore icogito μ della media di tutta la popolazioe delle case; e che l itervallo (24, 2 ± 2 0,6) m2 = (24, 2 ± 1, 2) m2 ha ua probabilità del 95% circa di coteere μ. Allora l itervallo (24, 2 ± 1,2) m 2 è u itervallo di cofideza al 95% per μ ; se quidi ipotizziamo che questo itervallo cotega μ, abbiamo ua probabilità del 95% circa di ipotizzare il vero. μ dovrebbe perciò, al 95% di cofideza, di fiducia, o essere superiore a (24, 2 + 1,2) m2 = 25,4 m2 per cui se acquistiamo ua quatità di isetticida tale da poter coprire 25, m2 = m2 abbiamo il 95% di probabilità che questo sia sufficiete al bisogo. Tutto il discorso fatto regge bee perché la umerosità del ostro campioe ( = 100) è decisamete alta. Coraggio, allora: abbiamo stimato quato isetticida plausibilmete ci serve, adiamo a procurarcelo. E se volessimo comprare l isetticida sulla base di ua cofideza del 99,7% circa? Per quati metri quadrati dovremmo attrezzarci? Fai tu il semplice calcolo: troverai circa m 2.

5 60 ME AN ± SD oppure MEAN ± SEM??? Il ruolo dello scarto quadratico medio (SD, Stadard Deviatio) e quello dell errore stadard della media o semplicemete errore stadard (SEM, Stadard Error of the Mea) o devoo essere cofusi. Sovete alcui risultati, ad esempio i Medicia, vegoo scritti co u icertezza uguale al SEM, che è sempre per defiizioe miore della SD, proprio per dare l idea di ua miore variabilità ma ciò può essere fote di fraitedimeti gravi, se il lettore poi cofode questo SEM co la SD. Cerco di spiegarmi. Suppoiamo che ua certa caratteristica quatitativa x relativa al sague umao vega testata su di u campioe di 400 idividui presi a caso dalla popolazioe geerale, e si trovi che i questi idividui la caratteristica i gioco vale 235 ± 42, essedo 235 la media calcolata sui 400 idividui osservati, e 42 la SD delle 400 osservazioi. Suppoiamo ioltre che si sappia che la caratteristica studiata si distribuisce ella popolazioe secodo la campaa di Gauss o comuque ua sua buoa approssimazioe (NOTA ) Bee, se si scrive che la caratteristica i esame è stata osservata, i quel campioe di 400 soggetti, co u valore dato da 235 ± 42 ( mea, SD), allora u medico che legge l articolo scietifico potrà dire: i quel campioe di 400 persoe, pressappoco il 95% aveva quel valore compreso fra = 151 e = 319, e siccome quel campioe (essedo abbastaza umeroso) è u immagie piuttosto fedele dell itera popolazioe, se si preseta da me u paziete che ha quel valore miore di 151 o maggiore di 319, soo portato a classificare quel caso come aomalo e tale da richiedere ulteriori idagii cliiche; se ivece i u paziete il valore è estero all itervallo 235 ± 2 2,1 (2,1 è il valore approssimato dell Errore Stadard della Media o SEM, che si desume da ua SD di 42 co = 400 : 42/ 400 = 42/ 20 = 2,1 ), questo o mi preoccuperà affatto! Piuttosto, l itervallo 235 ± 2 2,1 è u itervallo di cofideza al 95% per x, el seso che ha il 95% di probabilità di coteere il vero valore di x, ossia la media dei valori di x ell itera popolazioe. Quidi il SEM mi iteressa per valutare co quale probabilità u dato itervallo itoro alla media campioaria cotega la media dell itera popolazioe, ossia per la STIMA DELLA MEDIA INCOGNITA μ, metre la SD mi iteressa per quatificare la DISPERSIONE delle rilevazioi NEL MIO CAMPIONE, cosiderazioi che poi posso estedere tali e quali all itera popolazioe, perché, dato il umero elevato di elemeti del campioe e dato che erao stati estratti casualmete dalla popolazioe, il campioe rappreseterà abbastaza fedelmete la popolazioe itera. NOTA IMPORTANTE Questa richiesta è esseziale, perché PARECCHI FENOMENI DELLA REALTA PRESENTANO UNA GAUSS-LIKE DISTRIBUTION, MA CIÒ NON VALE PER ALTRI! Ad esempio, hao ua distribuzioe più o meo sovrappoibile alla gaussiaa gli errori di misura, come abbiamo visto (ma, a dire il vero, o proprio sempre) le distaze dal cetro di u bersaglio per ua serie di tiri i quozieti di itelligeza le altezze degli adulti di ua stessa etìa e sesso metre per la distribuzioe dei pesi delle persoe la differeza rispetto alla gaussiaa è già più marcata. SINONIMO di DISTRIBUZIONE GAUSSIANA è DISTRIBUZIONE NORMALE. Le cosiderazioi sopra riportate possoo redere ua prima idea di alcue fra le questioi di cui si occupa la STATISTICA INFERENZIALE. Essa iterviee quado si cerca di studiare ua caratteristica dell itera popolazioe tramite osservazioi codotte su di u suo sottoisieme ( campioe ), e occorre quatificare il grado di attedibilità di questo procedimeto. Come ei sodaggi elettorali. Come elle ricerche farmacologiche, dove si va a cofrotare l evoluzioe cliica di due gruppi di malati, a uo dei quali viee sommiistrata la sostaza attiva e all altro, ivece, u preparato ierte (il placebo ). Come ei test fializzati a verificare (i u determiato cotesto) la botà di ua ipotesi. La statistica ifereziale cosidera ache il caso i cui siao dispoibili solo piccoli campioi. Noi però, ei limiti del ostro corso, ci dobbiamo fermare ai pochi cei dati, seza approfodire oltre.

6 61 How to Lie with Statistics E u libretto di divulgazioe, scritto da Darrell Huff el lotao 1954, che ha avuto uo straordiario successo di vedite, e coserva acor oggi piea attualità. Aiutadosi co garbate illustrazioi, passa i rassega i modi attraverso i quali la pubblicità e la politica maipolao e presetao i modo parziale e distorto le statistiche, per spigere il cosumatore o l elettore a coclusioi sbagliate. Il campioe co l'errore icorporato Alle iterviste sulle letture abituali probabilmete la gete rispoderà metedo, almeo parzialmete, perché cofessare letture frivole o imbarazzati o fa fare bella figura. Aalogo il discorso per l igiee persoale. Poi le persoe cotattate hao tedeza a dare quelle risposte che pesao possa far piacere a chi coduce l itervista: l autore riferisce, come esempio sigificativo, di u aalisi statistica a soggetto politico che aveva avuto esiti radicalmete diversi co itervistatori di pelle biaca o rispettivamete era. scaricabile da qui: Le persoe i ua stazioe ferroviaria soo rappresetative della popolazioe geerale? Probabilmete o: le madri di bambii piccoli, ad esempio, potrebbero scarseggiare i quel campioe. E gli icaricati a svolgere sodaggi per strada potrao tedere a scegliere persoe più pulite o più gradevoli, o chi ituiscoo sia più dispoibile a rispodere, specie se devoo termiare il loro compito i tempi ristretti. La media be scelta Quado si parla di media, i realtà ci si sta riferedo a ua media aritmetica, a ua mediaa o a ua moda? Dire che lo stipedio medio auo dei dipedeti di u azieda è, poiamo, di dollari, può essere comodo per i dirigeti. Ma questa media, che è l ordiaria media aritmetica, è compresiva ache dei compesi stratosferici dei pochissimi maager strapagati, e i sidacalisti potrebbero ivece cosiderare come stipedio medio la mediaa degli stipedi, pari a dollari (i pratica: solo metà dei dipedeti percepisce uo stipedio superiore a dollari, l altra metà iferiore). E possibile che dirigeza e sidacati usio duque il medesimo termie media, i relazioe a idicatori be diversi. Quei piccoli umeri che o ci soo E purtroppo frequete che si utilizzio (seza segalarlo), per u idagie statistica, campioi troppo piccoli per poter dare risultati attedibili; che si ometta la specificazioe del grado di dispersioe dei dati Molto rumore per praticamete ulla Del tutto iutile cofrotare due dati o molto differeti fra loro, seza specificare quale sia l itervallo di icertezza di questi dati! Oppure: se abbiamo l eleco completo delle marche di sigarette i commercio, elecate per grado di pericolosità decrescete ma tutte pressappoco allo stesso livello di tossicità, è isesato e igaevole pubblicizzare la marca che sta i fodo all eleco dicedo che è la più raccomadabile! Il grafico fatasmagorico Tagliare i modo scaltro i grafici, e/o scegliere furbamete le lughezze dei segmeti che rappresetao date quatità i orizzotale e i verticale, può favorire forti distorsioi ella percezioe di chi osserva. Il diagramma i basso a siistra ella pagia mira maliziosamete a suggerire che il umero di copie vedute da ua rivista di politica sia crollato dopo la caduta del govero, metre si è mateuto pressoché stabile. L'immagie moodimesioale Rappresetare ua quatità co ideogrammi ha u isidia: se due raffigurazioi i scala di altezza ua doppia dell altra vegoo utilizzate per illustrare il fatto che u certo valore è raddoppiato, l osservatore ha comuque u impressioe diversa: l area della secoda figura è quadrupla rispetto alla prima, e se azi le figure vegoo pesate come tridimesioali u raddoppio dell altezza comporta u volume che è addirittura 8 volte tato. Quidi disegi di questo tipo possoo essere impiegati per idurre la sesazioe di ua crescita (o dimiuzioe) più forte di quella reale. L immagie i basso a destra dà u esempio di questo effetto psicologico. Tracollo o sostaziale stabilità delle vedite? Il umero pseudocoesso Se qualcuo o può dimostrare ciò che vorrebbe dimostrare, può dimostrare qualcos'altro e far fita che sia la stessa cosa Il vecchio post hoc ritora i sella Se B segue, i ordie di tempo, A, ciò o implica che A sia causa di B. Nelle Nuove Ebridi si era coviti che i pidocchi facessero bee alla salute ; i realtà, è be facile che ua persoa ammalata sviluppi la febbre, e l aumeto di temperatura scaccia i pidocchi! Causa ed effetto completamete ribaltati. Il sigore il basso guadaga il doppio, il quadruplo, o 8 volte tato?

7 62 ALTRI MODI DI QUANTIFICARE L INCERTEZZA DELLA MISURA (per la distizioe fra la parola errore - spesso adoperata impropriamete - e la parola icertezza, vedi l importate NOTA a pag. 69) a) SCARTO ASSOLUTO MEDIO (SCARTO MEDIO, DEVIAZIONE MEDIA, ERRORE MEDIO) Al posto dello scarto quadratico medio s, si può predere lo scarto assoluto medio δ ossia la media dei valori assoluti degli scarti dalla media: Si scriverà allora che la gradezza i esame vale x ± δ x1 x + x2 x x x δ =. b) SEMIDISPERSIONE (INCERTEZZA ASSOLUTA, ERRORE ASSOLUTO, ERR. MASSIMO) Effettuate le misure x1, x2,..., x e calcolata la media x di queste, si va a determiare la semidispersioe (da alcui detta icertezza assoluta o errore assoluto o errore massimo ) xmax x cioè la semidiffereza fra la più grade e la più piccola delle misure rilevate: d = mi 2 poi si scrive semplicemete che il valore della gradezza i questioe è x± d. Questo metodo molto elemetare della semidispersioe viee impiegato più che altro QUANDO IL NUMERO DELLE MISURE A DISPOSIZIONE È BASSO O MOLTO BASSO. La semidispersioe è sovete idicata col simbolo Δ x (aturalmete, se la gradezza è t, si userà Δ t!) Si legge delta x ; quel Δ è u simbolo utilizzato, i questo e i altri casi, come operatore di differeza. c) IL CASO DELLA MISURA UNICA, AD ES. PERCHE LO STRUMENTO E POCO SENSIBILE Quado, ifie, lo strumeto di misura è poco sesibile, cosicché gli errori casuali o statistici o emergoo e si rileva duque sempre la stessa, grossolaa, misura; oppure ache quado l operazioe di misura viee effettuata ua sola volta, si scrive, detta x la misura trovata, che il valore della gradezza è x± a, essedo a l ampiezza dell itervallo che corrispode a due tacche cosecutive del misuratore (o la semiampiezza el caso le tacche siao abbastaza distaziate). I qualsiasi caso, l icertezza dichiarata riguardo a ua misura o dovrebbe mai essere iferiore a quella dovuta alla sesibilità dello strumeto. I geerale, la preseza di errori casuali ella misura fa sì che l'errore statistico risulti maggiore dell'errore strumetale (la sesibilità dello strumeto), ma talvolta può accadere il cotrario! Si stabilisce allora che l icertezza elle misure è data dal maggiore tra questi due errori (prof. Aurelio Agliolo Gallitto, Dipartimeto di Fisica, Uiversità di Palermo, Quado poi si è scelto quale tipo di icertezza (si trova spesso scritto, impropriamete: di errore ) si vuol scrivere accato alla media delle misure, sarebbe bee idicare questa scelta ESPLICITAMENTE! Vediamo u ESEMPIO. 40 misurazioi del periodo T di oscillazioe di u pedolo hao fatto registrare questi valori (i secodi): 4,80 4,82 4,84 4,83 4,79 4,83 4,86 4,86 4,82 4,83 4,87 4,88 4,87 4,89 4,83 4,75 4,86 4,82 4,84 4,87 4,81 4,78 4,85 4,86 4,84 4,79 4,84 4,88 4,85 4,80 4,84 4,85 4,89 4,85 4,83 4,79 4,84 4,81 4,85 4,84 La media delle misure è stata quidi 4,83625, arrotodata a 4,84 la semidispersioe è stata 0,07 per cui potremo scrivere, teedo coto di essa, T= 4,84± 0,07 lo scarto assoluto medio ( errore medio ) è stato 0, arrotodabile a 0,02 o a 0,024 per cui, teedo coto di esso, T= 4,84± 0,02 o i alterativa T = 4,836± 0,024 lo scarto quadratico medio è stato s = 0, arrotodato a 0,03 da cui T= 4,84± 0,03 (verifica che la percetuale dei valori compresi fra 4,84 0,03 e 4,84+ 0,03 o si discosta molto dal 68%!) Come si vede, l itervallo, itoro alla media, che si utilizza per esprimere il valore di ua gradezza, dipede dal modo col quale viee espressa l icertezza; e la corretta iterpretazioe della scrittura... ±... sarà legata alla coosceza del sigificato delle varie quatità δ, d, a, s, s/ teedo i debito coto il umero di misure effettuate.

8 63 ERRORI RELATIVI / INCERTEZZE RELATIVE ( oiosamete ribadiamolo: è brutta cosuetudie della letteratura scietifica scrivere, tedezialmete, la parola errore ache ei casi i cui il termie corretto sarebbe icertezza ) L errore/icertezza relativo/a è il quoziete, il rapporto, fra u errore/icertezza (di qualsiasi tipo!) e il valore della gradezza da misurare (valutato tramite la media delle misure rilevate; se tale valore fosse egativo, si itede di igorare il sego, cioè di prederlo i valore assoluto). Cosideriamo uovamete le 40 misure del periodo di u pedolo elecate a pag. 62. La media delle misure è stata 4,83625, arrotodata a 4,84 La semidispersioe è stata 0, 07, da cui la possibilità di scrivere T= 4,84± 0,07. Duque l icertezza assoluta viee qui valutata i 0,07 : bee, l icertezza relativa sarà allora all icirca di 0,07 0,014 4,84. I forma percetuale, l icertezza relativa è (circa) dell 1, 4 % L errore medio è stato 0, arrotodato a 0,02 per cui, teedo coto di esso, T= 4,84± 0,02: l errore medio relativo è (circa) 0,02 0,004, e l errore medio relativo percetuale circa dello 0,4% 4,84 Lo scarto quadratico medio è stato s = 0, arrotodato a 0,03 da cui T= 4,84± 0,03 quidi lo scarto quadratico medio relativo - detto, come sappiamo, coefficiete di variazioe - è (circa) 0,03 0,006, e lo scarto quadratico medio relativo percetuale è all icirca dello 0, 4,84 6% L icertezza relativa può essere impiegata per cofrotare la precisioe di misure di quatità diverse. Ad esempio, se ella misura dell altezza di ua parete A c è l icertezza di 10 cm metre ella misura dell altezza di u altra parete B l icertezza è di 20 cm, o possiamo affermare che la misura di A sia più precisa di quella di B se o coosciamo quato valgoo, all icirca, le altezze di A e di B Poiamo che A sia ua casa a due piai alta pressappoco 6 metri e B u grattacielo di circa 130 metri: l icertezza relativa su A sarà di 0,10 0,017 6 metre l icertezza relativa su B di 0,20 0,0015 (meo della 130 decima parte della precedete!), quidi i questo caso va cosiderata di gra luga più precisa la misura di B. GLI ERRORI SISTEMATICI Nel valutare la misura di ua gradezza fisica, oltre agli errori CASUALI (detti ache ACCIDENTALI o STATISTICI ) (ossia: oltre agli errori legati a circostaze imprevedibili e mai completamete cotrollabili, le quali possoo ifluire sul risultato della misura ora per difetto, ora per eccesso), si possoo commettere ache errori cosiddetti SISTEMATICI. Questi ifluiscoo sempre per difetto o sempre per eccesso sul valore rilevato, e derivao: dall iadeguatezza dello strumeto di misura (esempi: u orologio che ritardi, u termometro che co la propria temperatura vada a modificare i modo sesibile la temperatura dell oggetto i esame ) dall uso o appropriato di tale strumeto (es.: dimeticarsi di azzerarlo, quado ciò sia ecessario) da applicazioe di leggi sbagliate o metodi sbagliati di idagie (ad esempio cercare di determiare la profodità di u pozzo lasciadovi cadere ua pietra e aotado dopo quati secodi si sete splash, per poi utilizzare la formula ota che regola spazi e tempi ella caduta dei gravi ma seza teer coto che il suoo dell impatto co l acqua ci mette a sua volta u certo tempo per salire dal fodo del pozzo alle ostre orecchie). Gli errori sistematici possoo essere idividuati ed elimiati o perlomeo miimizzati, metre sugli errori accidetali o possiamo far ulla (a parte, è ovvio, cercare di effettuare l operazioe di misura co tutta l attezioe di cui siamo capaci); l icertezza legata agli errori accidetali è ielimiabile: può solo essere quatificata coi metodi visti sopra, e ridotta facedo, se possibile, u umero elevato di misure. Alcui testi itroducoo come categoria a sé state gli ERRORI DI SENSIBILITA, ossia quelli legati alla sesibilità dello strumeto. Se misuro la larghezza di u foglio di carta co u righello le cui tacche più ravviciate siao quelle dei mm, a ogi misura sarà comuque associata u icertezza di 0,5 mm (secodo alcui, di 1 mm) Gli errori casuali si presetao solo quado soo maggiori della sesibilità dello strumeto!!!

9 ESERCIZI (risposte a pag. 74) 64 1) Calcola, per il seguete isieme di dati: a) la media b) la semidispersioe.. c) lo scarto assoluto medio d) la variaza e) lo scarto quadratico medio (arrotodato a 1 cifra dopo la virgola) 2) VERO O FALSO? a) Scarto quadratico medio e deviazioe stadard soo sioimi b) Se effettuo tatissime misure di ua gradezza G, e calcolo la loro media x e la loro deviazioe stadard s, ello scrivere G = x± s io itedo che l itervallo da x s a x + s ha ua probabilità del 68% circa di coteere il vero valore della gradezza c) La media x fra u umero elevato di misure è ua buoa approssimazioe del valore vero μ della gradezza, e se a questo puto faccio k misure i più e vado a calcolare la media fra tutte le +k misure, certamete tale uova media sarà acora più vicia al vero valore della gradezza d) Nella figura che si riferisce alle ripetute misurazioi di ua quatità fisica, le altezze dei rettagoli rappresetao le frequeze e) Nella stessa figura di prima, le basi dei rettagoli rappresetao le classi di misura f) Lo scarto quadratico medio corretto è miore di quello o corretto g) La fuzioe scarto quadratico medio (o corretto) si idica, el foglio elettroico, co dev.st.() h) Per dimezzare l errore stadard della media occorre raddoppiare il umero delle misure 3) Soo state rilevate 625 misure. La media di queste è stata x = 152,4 e lo scarto quadratico medio s = 2,5. a) U itervallo el quale rietrerà, pressappoco, il 95% delle misure effettuate è quello che va da a b) U itervallo di cofideza al 95% per il vero valore della gradezza i esame (ossia, u itervallo che ha ua probabilità itoro al 95% di coteere il vero valore della gradezza) è ivece quello compreso fra e 4) La media fra 64 misurazioi di ua gradezza risulta essere 173,5 e il loro scarto quadratico medio 2,3. a) Determia u itervallo el quale dovrebbe rietrare pressappoco il 68% di questi 64 dati b) Determia u itervallo di cofideza al 68% per il valore della gradezza i esame 5) Misurado 80 volte il tempo di caduta di u grave da ua data altezza, i secodi, soo stati trovati i valori: 43,3 41,2 42,5 42,4 43, ,6 40,8 42, , ,4 42,2 42,8 41,5 44,5 43,3 42,5 44,2 41,8 42,4 42,2 43,2 42,2 41,8 42,1 43,1 41,7 42,1 42, ,3 42,7 44,3 44,1 41,4 42,5 42,8 42,8 43,1 42, , , ,6 43,3 42,9 43,2 42,3 42,9 42,3 41,8 42,2 42,7 41,3 44,4 42,8 42,8 42,1 40,9 43,7 43,6 43, ,4 44,3 41,7 43,7 42,7 43,4 42,3 42,1 43,3 42 Foglio elettroico! a) Esprimi quel tempo come... ±... utilizzado la deviazioe stadard e arrotodado media e dev. stadard a 1 cifra dopo la virgola. Cota il umero di dati tra x s e x + s e il umero di quelli tra x 2s e x + 2s. b) Determia u itervallo di cofideza al 95% (cosa sigifica?) per il valore della gradezza i esame. 6) Clicca sulla freccia per u altro esercizio di questo tipo, co 400 dati già proti 7) Si vuole stimare l'età media i cui si preseta ua data patologia. I 400 pazieti seguiti da u famoso cetro specializzato hao cotratto la malattia all età media di 44 ai. La distribuzioe di queste 400 età è Gauss-like, co scarto quadratico medio uguale a 10 ai. Se e deduce allora che l itervallo di età che va da ai a ai ha ua probabilità valutabile itoro al 95% di coteere l età media di isorgeza della malattia, qualora veisse calcolata sui malati di tutta Italia. Si può ache dire che, i quel campioe di 400 malati, pressappoco il 95% avrà cotratto la malattia ell itervallo di età che va da ai a ai; e siccome il campioe, piuttosto umeroso, rispecchia la popolazioe geerale, tale itervallo di età sarà ache quello etro il quale sviluppa la malattia il 95% circa degli italiai che si ammalao. 8) Dal sito Battery lifetime is ormally distributed ( = segue la distribuzioe ormale, cioè gaussiaa) for large samples (sample = campioe). The mea lifetime is 500 days ad the stadard deviatio is 61 days. What percet of batteries have lifetimes loger tha 561 days?

10 65 9) Suppoi che i ua grade città sudamericaa sia stata rilevata l altezza di 420 ragazzi quattordicei, otteedo ua media di m 1,67 e uo scarto quadratico medio di cm 10. Allora u itervallo di altezze che ha il 95% di probabilità di coteere l altezza media di tutti i ragazzi di quell età, resideti i quella città, è quello che va da. a. 10) I moderi test per attribuire il cosiddetto quoziete di itelligeza (Q.I.) soo progettati i modo che ella curva, approssimativamete gaussiaa, otteuta dispoedo i orizzotale i vari puteggi realizzabili e i verticale il umero di persoe, tutte di ua stessa età e, che hao realizzato quella determiata fascia di puteggio, la media risulti uguale a 100 e la deviazioe stadard a 15. I questo modo, pressoché il 95% delle persoe della stessa età avrà u Q.I. che si collocherà fra e 11) Per ua certa popolazioe di rae allo stato aturale, si è visto che la lughezza della vita è distribuita ormalmete (cioè, segue ua distribuzioe gaussiaa) co media 10 ai e deviazioe stadard di 3 ai ( Quale percetuale di queste rae sopravvive oltre i 16 ai? 12) Soo state effettuate solo 5 misure, che hao forito gli esiti segueti: 85 86,5 85, Se vogliamo esprimere il valore della gradezza co ua scrittura del tipo... ±..., come faremo? 13) Misurado ripetutamete ua gradezza soo stati trovati i valori 2,60 2,59 2,58 2,59 2,59 2,54 2,58. a) Esprimi quella gradezza come... ±... utilizzado la semidispersioe. b) Se scriviamo G= x± d, dove d è la semidispersioe, i geerale siamo sicuri che tutte le osservazioi effettuate rietrio fra x d e x + d? 14) I u sito Iteret troviamo che la misura di u dato tempo è (3, 27 ± 0,02) s e che la misura di ua data velocità è (24,4 ± 0,3) ( mea ± SD). Ma essua delle due scritture è scietificamete corretta: perché? 15) Stabilisci quale delle due scritture segueti esprime ua misura di velocità più precisa: (3, 24 ± 0,04) m / s ( mea; SD); (40,5 ± 0,5) m / s ( mea; SD) 16) Esprimedo u tempo come (8,0 ± 0, 2) s, qual è l icertezza relativa percetuale? 17) Se si predoo i due isiemi di dati segueti: a) b) per cofrotarli, ode stabilire se i dati soo più sparpagliati el primo caso o el secodo, cosa occorrerebbe calcolare? 18) Lo scarto quadratico medio di misure è risultato uguale a 2,0 e calcolado l errore stadard della media si è otteuto 0, 1. Quate misure soo state effettuate? 19) La tabella qui a destra riporta, i tre casi, il valore di ua misura a) 1,25 0,05 co a fiaco l icertezza da cui questo dato è affetto. b) 10,0 0,3 Stabilisci quale delle tre misure può essere cosiderata la più precisa. c) 0,0040 0, ) Ua ditta produce camomilla i bustie da 5 grammi. Si vuole cotrollare che o troppe bustie abbiao u peso sesibilmete diverso dal valore ottimale. Pesado 40 bustie prodotte cosecutivamete da u macchiario, si trovao i segueti valori i grammi: 4,89 5,21 5,20 4,76 4,78 5,16 4,84 4,78 4,86 4,88 5,04 5,26 4,74 5,14 4,88 4,82 4,80 5,08 5,20 5,18 5,03 5,18 4,81 4,77 5,20 5,19 5,25 4,75 4,77 4,78 4,90 4,80 4,86 5,18 4,85 4,87 5,05 5,21 5,11 4,82 Quali soo la media e la deviazioe stadard di questo campioe? Se si è osservato che i dati i esame presetao ua Gauss-like distributio, delle circa bustie prodotte i ua giorata lavorativa, quate si può presumere che adrao a pesare o più di 4,60 grammi? 21) SOLO ALCUNE DISTRIBUZIONI SONO GAUSSIANE O GAUSS-LIKE, ALTRE NO!!! Se cosideriamo ad esempio la distribuzioe dei pesi delle persoe, o la distribuzioe dei tempi di attesa dei clieti i ua filiale bacaria, capiremo che le differeze rispetto alla distribuzioe ormale soo otevoli. a) Spiega i che seso queste due distribuzioi, se cofrotate co la ormale, presetao ua coda verso destra ella campaa. Nelle distribuzioi o ormali o si ha ecessariamete la coicideza fra media, moda, mediaa. b) Per fare u esempio semplice, quato valgoo media, mediaa e moda ella distribuzioe della figura a destra, relativa ai voti dati i ua classe di 21 studeti da u isegate geerosissimo?