II.b. dei numeri decimali. in problemi di misura. La rappresentazione sulla retta

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1 I numeri decimali in problemi di misura. La rappresentazione sulla retta II.b Si acquisisce familiarità con i numeri decimali anche attraverso attività di misura concrete, ad esempio con il tradizionale metro di fettuccia o il righello graduato. Un adeguata esercitazione consente inoltre di tenere uno stretto collegamento tra numeri decimali e frazioni; utilissimo il ricorso alla linea dei numeri. La misura delle lunghez ze costituisce un ambiente part i c o l a r m e n t e adeguato per lavorare sui numeri decimali e sulle frazioni decimali: basta osservare un righello e le Il righello è un tacche segnate su di esso, e ci si rende conto che importante la distanza fra due tacche lunghe consecutive, sussidio didattico uguale a un centimetro, è divisa in parti uguali, ciascuna delle quali è un millimetro. Dunque il numeri decimali per lavorare sui m i l l i m e t ro è la decima parte del centimetro, è e sulle frazioni 1/ di centimetro. Un discorso analogo si applica al metro e alla sua suddivisione: si stabiliscono decimali così le varie relazioni fra metro, decimetro, centimetro, millimetro. Sempre con l aiuto del righello o di un metro, si osserva che 3 centimetri sono 30 millimetri, 3/ di decimetro, 3/0 di metro e così via. Le attività di misurazione favoriscono la costruzione del significato dei numeri decimali. Cerchiamo di analizzare in dettaglio i vari passi che si compiono per la misura di un segmento AB, ad esempio in metri. In primo luogo è evidente che, salvo casi fortunati, la misura di AB non è espressa da un 60

2 n u m e ro intero. Proprio questa circostanza, familiare già a priori ai bambini che conoscono la loro altezza (1 metro e 20 centimetri; non si passa direttamente da 1 metro a 2 metri!) rappresenta una motivazione teorica e didattica per l introduzione dei numeri decimali. A 1 m 1 m 6 dm C P B Se 1 metro, cioè l unità di misura che abbiamo scelto, è contenuto due volte in AB, allora nella misura di AB l unica cifra prima della virgola è 2. Poi, si confronta la parte restante del segmento AB (in figura il segmento CB) con 1/ di metro, cioè con un decimetro. Anche questa volta, non è detto che CB sia uguale ad un numero intero di decimetri: ad esempio, potrà essere 6 dm, con un resto PB. È chiaro che, almeno in astratto, il procedimento può continuare indefinitamente; solo in casi particolari troveremo, prima o poi, un numero intero rispetto ad un opportuno sottomultiplo decimale del metro. Naturalmente, lo ribadiamo, questo è un discorso astratto: in pratica, gli strumenti di cui disponiamo non ci permettono di proseguire a piacere e, d altra parte, lo stesso disegno iniziale del segmento AB presenta margini di imprecisione. Da un punto di vista matematico, il procedimento teorico descritto giustifica l introduzione di numeri decimali illimitati: si considerano via via sottomultipli decimali dell unità di misura e si determinano le successive cifre della lunghezza del segmento, senza che, in generale, il procedimento abbia termine. Ma anche restringendosi ai numeri decimali limitati, la situazione è didatticamente delicata. Da un lato, la suddivisione di una unità è un fatto spontaneo in molte circostanze; come abbiamo accennato, già verso i 6-7 anni i bambini vengono implicitamente avvicinati alle frazioni attraverso semplici espressioni di uso quotidiano, quali un quarto d ora, mezzo litro di latte, un etto e mezzo di prosciutto e, in futuro, anche dieci centesimi di euro; quando poi, negli anni successivi, si affrontano le misure di peso, di capacità, le frazioni decimali intervengono in modo sistematico. 61

3 D altro lato, il passaggio dai numeri naturali ai numeri decimali richiede nel bambino il superamento di un concetto elementare di numero, legato esclusivamente all operazione di contare. In p a rt i c o l a re, esempi ed esercizi con gli insiemi, senz altro utili per visualizzare i numeri naturali e le loro prime proprietà, non sono altre t t a n t o adatti per illustrare i numeri decimali. Con i decimali il bambino supera il concetto di numero legato esclusivamente al contare Per favorire la maturazione di un nuovo concetto di numero, è opportuno far lavorare gli alunni con la linea dei numeri e con unità di misura concrete, come i tradizionali metro e decimetro di carta o di fettuccia, in modo che esprimano le loro misurazioni attraverso più unità che sono una 1/ dell altra (tutte le misure ufficiali fanno oggi riferimento alla base ). Ad esempio, un lato di un tavolo che misura 1 metro e 25 centimetri sarà misurato dai bambini in più modi: 1 metro e 2 decimi di metro e 5 centesimi di metro (1 m 2 dm 5 cm), 1 metro e 25 centesimi di metro (1 m 25 cm), 12 decimi e 5 centesimi di metro (12 dm 5 cm), 125 centesimi di metro (125 cm). I diversi modi di leggere la stessa misura, se appoggiati al concreto, sono tutti ugualmente accettabili per i bambini e costituiscono un utile momento prima della scrittura usuale con la virgola e della fissazione del metro come unità di misura (per cui, poi, è spontaneo scrivere 1,25 metri). Agli esempi tradizionali è ora utile affiancare semplici situazioni legate all euro: un prezzo di 1,50 euro si può pagare con un euro e una moneta da 50 centesimi, o con tre monete da 50 centesimi, o con 15 monete da centesimi, Quando si usano numeri decimali, va sottolineato il valore di ogni cifra, tanto della parte intera quanto della parte decimale. Ma, tornando alle lunghezze, è importante che i bambini capiscano che il modo di esprimere la misura cambia al variare dell unità o delle unità che abbiamo fissato, pur rimanendo inalterata la lunghezza da misurare: la distanza tra Piombino e Portoferraio non varia se viene espressa in nodi, miglia marine, chilometri, e così via. Vale la pena di richiamare l attenzione sul fatto che la scelta d e l l unità di misura dipende dal contesto: il contachilometri di un a u- tomobile non registra valori inferiori agli ettometri, per determinare 62

4 La scelta dell unità di misura dipende dal contesto la larghezza dell aula si usano metri, decimetri e forse centimetri, la misura di un segmento disegnato sul quaderno si esprime con centimetri e millimetri. Con alunni degli ultimi anni si può i n i z i a re un discorso sulle approssimazioni: fino a quale sottomultiplo dell unità è significativo, nei vari casi concre t i, p ro s e g u i re la misura? In questo quadro si colloca anche un confronto fra l euro e la lira: con quest ultima sono sufficienti i numeri interi (anzi, le monete di valore inferiore a L. 50 sono in disuso da decenni), mentre l euro richiede i centesimi. Che cosa è un metro? Il metro nasce come il segmento uguale ad un quarantamilionesimo dell equatore terrestre. Nel 1889 la Conferenza generale di pesi e misure, preso atto che la definizione precedente non era sufficientemente precisa, fece costruire un campione (conservato nel Museo di Sèvres a Parigi) da intendere come metro per definizione. Più recentemente, in adeguamento alle direttive europee, il Decreto del Presidente della Repubblica 802 del 1982 ha ridefinito il metro con riferimento alla lunghezza d onda della radiazione del cripto 86. Infine, la legge 473 del 1988 (Gazzetta Ufficiale del ) ha precisato la nuova definizione di metro come «tragitto percorso dalla luce nel vuoto in un intervallo di 1 / di secondo». Dalla misura dei segmenti si ritorna con facilità alla linea dei numeri, che offre anche un occasione per avviare gli alunni al problema dell ordinamento: un bambino abituato a collocare i numeri decimali sulla retta si appoggerà a questo modello per mettere in ordine numeri decimali assegnati, senza cadere nel consueto fraintendimento in base al quale è più grande il numero che ha la parte decimale più lunga. Sulla linea dei numeri troveranno posto sia i numeri decimali sia le frazioni decimali. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,

5 Si può poi ingrandire il primo decimo: 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0, È opportuno poi proporre esercizi in cui si chiede di collocare sulla linea dei numeri vari numeri decimali, come: 1,7 3,4 5,14 2,06 ecc. aiutandosi eventualmente con l abaco per capire come sono fatti i n u m e r i. Un esercizio analogo consiste nel porre, lungo una retta graduata, opportuni cartellini, nei quali il bambino deve scrivere la frazione decimale o il numero decimale corrispondente al punto indicato. Ad esempio, si tratta di completare lo schema seguente, scrivendo numeri decimali (o in particolare interi) nei cartellini circolari e frazioni nei cartellini rettangolari. 0 0,2 0,6 1, In questo contesto non vanno trascurati esercizi di confronto, come i seguenti: trova un numero compreso fra 2 e 3, trova un numero compreso fra 2 e 2,1. Si tratta di fare implicitamente capire che possiamo sempre trovare un numero decimale compreso fra due numeri assegnati (si veda il paragrafo I.c); naturalmente, la presenza dello zero come cifra decimale comporta difficoltà che non vanno assolutamente trascurate. È bene 64

6 operare sempre uno stretto collegamento tra numeri decimali e frazioni. Se gli alunni riconoscono nei numeri decimali le frazioni corrispondenti, riescono ad ordinarli più facilmente. Abituiamoci a scrivere in modo corretto: invece di m 12 o di 12 m. occorre scrivere 12 m (con il simbolo «m» senza punto e dopo il numero); invece di 12 mq occorre scrivere 12 m 2 ; invece di 12 Km occorre scrivere 12 km (k minuscola); invece di 3 quintali occorre scrivere 300 kg (il q u i n t a l e è stato abolito, anche se per ora l uso in Italia è talvolta tollerato). Nel caso di monete, si usa scrivere il simbolo prima del numero: invece di 500 è meglio scrivere L. 500; invece di 0 $ è meglio scrivere $ 0; invece di è meglio scrivere. Ricordiamo infine le unità di misura legali del Sistema Internazionale (SI) e i relativi simboli: metro m kilogrammo kg secondo s ampere A kelvin K mole mol candela cd 65