Appunti delle lezioni di Laboratorio di Strumentazione e Misura

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1 Sergo Frasca Appunt delle lezon d Laboratoro d Strumentazone e Msura Dpartmento d Fsca Unverstà d Roma La Sapenza Museo del Dpartmento d Fsca dell'unverstà La Sapenza Versone 5 ottobre 004 Versone aggornata n

2 [Dal Museo del Dpartmento - Questa blanca d ottone, d kg d portata, è conservata n una custoda d legno con crstall, cassett per gl accessor e due manopole d controllo per sbloccare e regolare la poszone de patt. La base della blanca è dotata d lvella e scala mllmetrata. La struttura del gogo, d grande eleganza e funzonaltà, è tale da consentre alta rgdtà de bracc e al tempo stesso la loro massma mobltà. Tre vt per lato regolano la poszone de coltell rspetto a patt. L' esemplare è forse dentfcable con la blanca d precsone menzonata n "Le scenze e le art sotto l pontfcato d Po IX", nella presentazone del Museo d Fsca del 857, e mpegata nelle operazon d defnzone del Sstema de pes e msure degl Stat Pontfc. La sua grande sensbltà (0,5 mg su kg, par a,5 su 0 7 ) consentva d msurare n laboratoro la varazone dell'accelerazone d gravtà con la quota secondo l metodo d von Jolly. A tale scopo l fondo della custoda venva rmosso, n modo da sospendere al d sotto del patto d snstra, con un dslvello h, un patto auslaro. Dsposta la blanca n prossmtà del sofftto del laboratoro con l pattello auslaro n prossmtà del pavmento, s carca cascun patto con una massa d crca kg n modo da raggungere l'equlbro. S trasfersce po la massa dal patto d snstra sul patto auslaro al d sotto. Dalla massa agguntva posta sul patto d destra per rstablre l'equlbro, nota h, s può rsalre alla varazone percentuale della forza peso (dell'ordne d 0-6 ). La blanca è rportata nel Regstro nventarale del Rego Isttuto Fsco con l numero I-7. (M. Graza Iannello) Per suggerment e segnalazone d error su queste dspense,

3 Sommaro INTRODUZIONE: LA MISURA, BASE DELLE SCIENZE SPERIMENTALI SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA E DIMENSIONI FISICHE... 9 IL SISTEMA INTERNAZIONALE... 9 DIMENSIONI FISICHE E ANALISI DIMENSIONALE STRUMENTI DI MISURA ERRORI DI MISURA... 4 UN ESEMPIO RAPPRESENTAZIONE DI INSIEMI DI MISURE... L ISTOGRAMMA... PARAMETRI DI POSIZIONE E DI DISPERSIONE: LA MEDIA E LA DEVIAZIONE STANDARD... TRASFORMAZIONI LINEARI PER MEDIA E DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIE GRAFICI... 6 INCERTEZZE NEI GRAFICI... 6 GRAFICI SEMI-LOGARITMICI... 6 GRAFICI DOPPIO-LOGARITMICI INCERTEZZA SULLE MISURE INDIRETTE... 9 MISURE INDIRETTE DA UNA SINGOLA VARIABILE... 9 MISURE INDIRETTE DA PIÙ VARIABILI TEORIA DELLE PROBABILITÀ TEORIA ASSIOMATICA DELLE PROBABILITÀ PROBABILITÀ CONDIZIONATA LA STATISTICA COMBINATORIA VARIABILI CASUALI DISCRETE DISTRIBUZIONI DISCRETE DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETA DISTRIBUZIONE BINOMIALE DISTRIBUZIONE DI POISSON VARIABILI CASUALI CONTINUE TRASFORMAZIONI LINEARI PER VALOR MEDIO E DEVIAZIONE STANDARD DISTRIBUZIONE CUMULATIVA DI UNA VARIABILE CASUALE VALOR MEDIO, MEDIANA E MODA MOMENTI SUPERIORI: ASIMMETRIA E CURTOSI DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV SOMMA DI VARIABILI CASUALI INDIPENDENTI DISTRIBUZIONI CONTINUE... 6 DISTRIBUZIONE UNIFORME (CONTINUA)... 6 DISTRIBUZIONE DI GAUSS... 6 Approssmazone gaussana Teorema del lmte centrale

4 DISTRIBUZIONE DEL χ DISTRIBUZIONE DI CAUCHY VARIABILI CASUALI MULTIPLE (CENNO)... 7 VALORI ASPETTATI... 7 DENSITÀ MARGINALI E INDIPENDENZA STOCASTICA COVARIANZA COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE DISTRIBUZIONE GAUSSIANA BIVARIATA "SCATTER PLOT" STIMA DI PARAMETRI... 8 CENNO ALL INFERENZA STATISTICA... 8 STIMA DEL VALOR MEDIO... 8 STIMA DELLA VARIANZA STIMA DEI PARAMETRI DI UNA RETTA SPERIMENTALE ( FIT LINEARE ) MEDIA PESATA TEST STATISTICI TEST DEL χ LA MISURA ESERCITAZIONI PRATICHE MISURE DI DENSITÀ IL PALLINOMETRO IL CONTATORE LA MOLLA IL VOLANO TEST ED ESERCIZI TEST SU DIMENSIONI E ISTOGRAMMI Altr esercz... 0 TEST SU INCERTEZZE E CIFRE SIGNIFICATIVE... Altr esercz... TEST SULLA PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE... 3 Altr esercz... 4 TEST ELEMENTARE SULLE PROBABILITÀ... 5 Altr esercz... 6 TEST SULLA BINOMIALE... 7 Altr esercz... 8 TEST SULLA POISSONIANA... 9 TEST SULLA DISTRIBUZIONE NORMALE... 0 Altr esercz... TEST VARI... DATI DISTRIBUITI SECONDO CAUCHY APPROFONDIMENTI E CENNI AD ALTRI ARGOMENTI... 6 UNITÀ DI MISURA AMERICANE E BRITANNICHE... 6 STRUMENTI DIGITALI E CONVERSIONE ANALOGICO-DIGITALE LA SCALA LOGARITMICA... 3 IL TEOREMA DI BAYES VARIANZA DELLA BINOMIALE LA DISTRIBUZIONE T DI STUDENT (STATISTICA PER PICCOLI CAMPIONI) LA STIMA BAYESIANA I TEST NON PARAMETRICI

5 IL METODO DI MONTECARLO SUGGERIMENTI PER LA STESURA DELLE RELAZIONI LA MISURA DI G... 4 UNA LEGGENDA URBANA... 4 QUALCHE SITO DI INTERESSE PER IL CORSO USO DI SNAGLAB INTRODUZIONE ISTALLAZIONE USO I GD Altre strutture dat Interfacca nzale Input de dat Grafco Ft Anals statstche Anals de segnal Vare operazon su GD Segnal teorc, smulat e dstrbuzon Esercz Programm estern TABELLE... 5 DISTRIBUZIONE CUMULATIVA NORMALE STANDARDIZZATA... 5 VALORI DEL χ PER UN DATO LIVELLO DI FIDUCIA... 5 INDICE

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7 Introduzone: la msura, base delle scenze spermental o La msura, base delle scenze spermental e fondamentale nella tecnca o Che cosa è una msura o Modell e parametr o Msure drette e ndrette S può far rsalre a Roger Bacon, nel XIII secolo, l dea dello svluppo della scenza, n partcolare la Fsca, come nterazone tra espermento e matematca. Tale dea forì, dopo pù d tre secol, graze soprattutto a Galleo Galle (564-64), Chrstaan Huygens (69-695) e Isaac Newton (64-77). Da allora la scenza naturale s svluppa nel contnuo confronto tra esperment e teora, coè tra fare msure ed nterpretare msure. Ma la msura non è solo mportante nel processo d svluppo della scenza. L'esecuzone d msure è nfatt un'attvtà centrale nella tecnca e nella vta pratca. Una msura è un numero che vene assocato ad una quanttà fsca, come la lunghezza, l volume o la massa d un corpo. Un caso partcolare d msura è l conteggo, per esempo d un certo numero d oggett. Col termne msura s ntende sa la procedura spermentale usata, sa l rsultato: non c è tuttava n genere equvoco, dato l contesto n cu l termne è usato. Molto spesso la quanttà fsca a cu s vuole assegnare una msura è l parametro d un modello. Esempo: la lunghezza d un tavolo. In questo caso per parlare d lunghezza dobbamo supporre che l pano del tavolo sa un rettangolo, l che è un approssmazone; n questo caso l rettangolo è un modello (con due parametr ndpendent che sono per esempo le lunghezze de due lat). Una mglore approssmazone potrebbe essere un quadrlatero rregolare, che è un modello pù complesso, avendo pù parametr ndpendent (per esempo le lunghezze de quattro lat ed un angolo); spngendo ulterormente l'approssmazone s dovrebbero avere modell btorzolut va va pù compless, con un numero crescente d parametr. Se l modello dventa troppo complesso, anche se mglora l approssmazone con la realtà, dventa pratcamente nutle. Altro esempo: la temperatura d una stanza. In questo caso l modello pù semplce è che la temperatura sa la stessa ovunque (modello ad un solo parametro). Mglorando l approssmazone, s può supporre che la temperatura var n modo contnuo lneare dal pavmento al sofftto (l ara calda, per la mnore denstà, tende ad andare verso l alto) e qund parametr del nuovo modello sono due (la temperatura vcno al pavmento e quella vcno al sofftto). Ovvamente possono fars modell ben pù compless che tengano conto della presenza d font d calore, come per esempo le fnestre o le persone. Anche n questo caso un modello troppo complesso (con tropp parametr) può rsultare nutle. L approssmazone necessara per un modello dpende dalle stuazon. In genere s cerca l modello pù semplce per le propre necesstà. È questa una prass generalzzata n tutta la 7

8 scenza, sostenuta per la prma volta dal flosofo nglese del trecento Guglelmo d Occam (francescano come Roger Bacon) con la sua affermazone Enta non sunt multplcanda praeter necesstatem (Non moltplcare gl ent se non è necessaro) che vene rcordata come l prncpo del rasoo d Occam. Nel nostro caso l termne latno enta può tradurs con parametr. Le msure d quanttà fsche s dvdono n drette ed ndrette. Una msura dretta è n genere effettuata con uno strumento d msura. Esemp d strument d msura sono l metro a nastro, la blanca, l voltmetro, lo sfgmomanometro, l msuratore d pressone de gommst, ). Talora l compto d un fsco è costrure partcolar strument d msura. Una msura ndretta è una msura ottenuta da una o pù msure drette, tramte partcolar equazon. Esemp d msure ndrette sono l area d un quadrato, l area d un rettangolo, l volume d una sfera, la veloctà d una automoble (eseguta non col tachmetro, nel qual caso sarebbe una msura dretta, ma come rapporto tra una data dstanza e l tempo mpegato a percorrerla), l numero d molecole n un certo volume d un gas (utlzzando un'opportuna formula basata, per esempo, su msure d volume, temperatura e pressone). Per assegnare una msura ad una grandezza occorre defnre l untà d msura. Vedremo come questo problema sa stato affrontato dalla comuntà scentfca. Spesso c s rfersce ad nsem d msure rguardant un espermento come dat spermental. 8

9 - Sstem d untà d msura e dmenson fsche o Sstema Internazonale o m, s, kg o Multpl e sottomultpl o Dmenson fsche, anals dmensonal Il sstema nternazonale Per msurare una grandezza fsca va prma defnta l untà d msura che s vuole usare. Il valore della msura è qund l rapporto tra la grandezza fsca n oggetto e l untà d msura. In passato non solo ogn paese aveva le sue untà d msura, ma all nterno d ogn paese ogn corporazone d artgan. Per esempo c erano untà d peso dfferent per dfferent tp d merc. Inoltre c erano pù untà d msura dello stesso tpo (per esempo per la lunghezza l pollce, la spanna, l pede, l cubto, lo stado, l mglo, ) non coordnate tra loro. Una stuazone del genere ancora sussste ne paes anglosasson (ved negl Approfondment). Col nascere della scenza moderna c s rese conto della necesstà d razonalzzare la stuazone, ma solo a temp della rvoluzone francese furono fatt decsv pass avant, con la defnzone, da parte dell Accadema delle Scenze d Parg, del metro campone e del chlogrammo campone. Solo pù tard furono aggunte altre untà d base e queste furono adottate uffcalmente da altr paes. La comuntà scentfca ha promulgato negl ultm 00 ann var sstem coerent d untà d msura. Ctamo l sstema cgs (basato sul centmetro, l grammo e l secondo), proposto nel 874 dalla Brtsh Assocaton for the Advancement of Scence, sotto suggermento del fsco Lord Kelvn. Il cgs è ancora parzalmente usato. Nel 90 l talano Govann Gorg, fsco e ngegnere, propose l sstema mks (basato sul metro, l chlogrammo e l secondo), da cu derva l Sstema Internazonale (o SI), adottato nell ottobre del 960 dall XI Conferenza Internazonale d Pes e Msure, tenutas a Parg. Questo sstema è uffcalmente n vgore n Itala dal gennao 979 (Decreto Legge n. de l4/4/78, n attuazone d una drettva CEE). Le untà d base sono così defnte: - metro (m): untà d lunghezza; defnto come la lunghezza percorsa nel vuoto da un raggo d luce n / d secondo. Inzalmente (79) era defnto come la 40-mlonesma parte del merdano terrestre; n seguto (889) era stato costruto l metro campone, n una lega d platno-rdo, conservato ne sotterrane del Bureau Internatonal de Pods et Measures a Sevres. - chlogrammo (kg): untà d massa; defnto come la massa del prototpo nternazonale d chlogrammo, d platno-rdo come l metro campone, conservato anch'esso presso l Bureau Internatonal de Pods et Measures a Sevres (889). Inzalmente era defnto come la massa d un decmetro cubo d acqua dstllata alla sua massma denstà (a 3.98 ºC). 9

10 - secondo (s): untà d tempo; defnto come la durata d perod della radazone prodotta dalla transzone tra due lvell perfn dello stato fondamentale dell atomo d ceso 33. Orgnaramente era defnto come la esma parte del gorno solare medo. - kelvn (K): untà d temperatura; è la frazone /73.6 della temperatura termodnamca del punto trplo dell acqua. - ampere (A): untà d corrente elettrca. - mole (mol): untà d quanttà d sostanza. - candela (cd): untà d ntenstà lumnosa. Campon d chlogrammo e d metro (obsoleto) A partre dalle untà d base s costruscono le untà dervate. Per esempo: - l hertz (Hz), untà d frequenza par al numero d ccl al secondo (dmensone s - ) - l newton (N), untà d forza, defnto come la forza che applcata ad un corpo d massa un chlogrammo, produce un accelerazone d m/s (dmensone kg m/s ) - l joule (J), untà d energa e lavoro, defnto come l lavoro computo dalla forza d N quando l suo punto d applcazone s sposta d m (dmensone kg m /s ). Per ndcare multpl e sottomultpl delle untà d msura s usano, nel Sstema Internazonale, seguent prefss o smbol. Fattore Prefsso Smbolo 0 4 yotta Y 0 zetta Z 0

11 0 8 exa E 0 5 peta P 0 tera T 0 9 gga G 0 6 mega M 0 3 klo o chlo k 0 etto h 0 deca da 0 dec d 0 cent c 0 3 mll m 0 6 mcro µ 0 9 nano n 0 pco p 0 5 femto f 0 8 atto a 0 zepto z 0 4 yocto y ATTENZIONE: le untà d msura e prefss vanno ndcat correttamente, non confondendo mauscole e mnuscole. S not che: - le untà che s rferscono a nom d persona (come ampere, kelvn, hertz, newton, ) sono scrtte n mnuscolo, ma le abbrevazon hanno la prma lettera mauscola. - prefss superor al k (0 3 ) sono tutt mauscol, gl altr mnuscol - l abbrevazone del secondo è s, non sec. Nella pratca s usano anche untà d msura che non sono SI. Sebbene cò sa n genere da evtare, n cert cas è tollerable. Per esempo la veloctà d un auto espressa n chlometr/ora (nvece che n m/s); o n caso d alcune untà d tempo: talora s usa l mnuto o l anno o l

12 secolo (che è crca 3 Gs). Per la temperatura solo fsc usano l kelvn, mentre spesso s usa l grado centgrado (ndcato con ºC, dal nome dell'astronomo svedese Anders Celsus che lo propose nel 74) o, negl Stat Unt, l grado Fahrenhet (ndcato con ºF), dal nome del fsco tedesco che lo ntrodusse nel 74. Dmenson fsche e anals dmensonale Le equazon della Fsca sono relazon tra grandezze fsche (e non semplcemente tra quanttà numerche, come n genere n algebra) e una grandezza fsca è defnta non solo da un numero, che ndca la msura, ma anche da una dmensone fsca (per esempo un tempo, una lunghezza, una veloctà). Ovvamente due termn d un equazone (a destra e a snstra del segno d eguale) devono avere sa lo stesso valore numerco, sa la stessa dmensone. Così se n un espressone compare la somma algebrca d pù quanttà, esse devono avere la stessa dmensone fsca (s dce anche semplcemente le stesse dmenson ): non s possono per esempo sommare una forza e una veloctà. Questo fatto è spesso utlzzato per controllare la correttezza delle equazon (è una spece d semplce "prova del nove": se s trovano dscrepanze, l equazone è scuramente sbaglata, se non s trovano, può essere corretta). I prodott e rapport possono nvece essere fatt tra element d dfferent dmenson (per esempo per avere una veloctà s dvde una lunghezza per un tempo). Gl esponent, se compaono n una formula, hanno le dmenson d un numero puro, coè non hanno dmenson, ovvero sono admensonal. Anche gl angol sono consderat admensonal.

13 3 - Strument d msura o Taratura o Portata, sensbltà, prontezza o Strument analogc e dgtal o Trasduttor Una msura dretta può fars tramte l confronto dretto con l untà d msura o tramte un apposto sstema, pù o meno complesso, chamato strumento d msura tarato. La taratura è la procedura, n genere attuata dal fabbrcante, tramte la quale s rende lo strumento n grado d dare msure corrette; esempo: le tacche sul rghello o su un termometro. Per talun strument questa operazone va rpetuta ogn tanto, mandando lo strumento n laborator specalzzat, o tramte opportune procedure da parte dell utente o, n caso d alcun strument dgtal, tramte una procedura automatca attuata dallo stesso strumento (esempo: talune blance). Uno strumento d msura è caratterzzato da alcun parametr. In partcolare: La portata, coè l ntervallo de valor msurabl, per esempo l tachmetro d un auto può avere una portata d 00 km/ora, un voltmetro da -0 V a +0 V La sensbltà, espressa come errore d sensbltà o errore d lettura, corrspondente alla mnma varazone della grandezza apprezzable n modo oggettvo La prontezza, coè l tempo occorrente per ottenere l valore della msura (eventualmente con una data approssmazone) La precsone e l accuratezza, d cu parleremo n seguto. Inoltre, accanto a classc strument cosddett analogc n cu l rsultato vene n genere evdenzato da un ndce su una scala graduata, s vanno dffondendo sempre pù gl strument dgtal, n cu l rsultato appare drettamente n forma numerca su un dsplay. Spesso gl strument d msura, n partcolare quell dgtal, s basano sull uso d trasduttor (o sensor), dspostv che trasformano una grandezza fsca n un altra, n genere d tpo elettrco, n modo da poterla elaborare elettroncamente; per esempo una pressone n una dfferenza d potenzale, una veloctà n una corrente, una temperatura n una resstenza). 3

14 4 - Error d msura o Errore d lettura o Error sstematc o Error casual o Incertezza d una msura o Rappresentazone d una msura e cfre sgnfcatve o Precsone ed accuratezza o Incertezze assolute e relatve Quando msuramo una grandezza fsca (o un parametro d un modello), no supponamo che essa abba un valore vero g. Il rsultato della nostra msura sarà un numero x n genere dverso da g. Ponamo (4.) x = g + e e defnamo e errore d msura. e è n genere composto dalla somma d tre termn (4.) e = e L + e S + e C d natura molto dversa. Ess sono : e L e S e C errore d lettura (o d sensbltà), che abbamo gà ntrodotto nel precedente captolo errore sstematco errore casuale Spesso uno o due d ess sono trascurabl rspetto a rmanent. Abbamo gà ntrodotto l errore d sensbltà a proposto de parametr che descrvono uno strumento d msura. Consderamo due cas: a) La msura effettuata con uno strumento graduato, per esempo la msura d una lunghezza eseguta con un rghello, o la msura d una corrente elettrca fatta con un tester analogco. La msura può essere effettuata con una approssmazone dell'ordne dell'ntervallo d graduazone della scala d taratura Questa approssmazone può essere vsta come un errore agguntvo (postvo o negatvo), che appunto chamamo errore d lettura. Chamamo ntervallo d lettura l'ntervallo de valor della grandezza n msura assocato ad una data lettura: l'errore d lettura è dato dalla metà dell'ntervallo d lettura. Spesso s dentfca l'ntervallo d lettura con l'ntervallo d graduazone della scala, ma, per essere pù corrett, va consderata l'accuratezza dell'operazone d taratura (talvolta rportata nelle specfche dello strumento) e la dffcoltà d stmare soggettvamente la msura (per esempo, per possbl error d parallasse). S può qund avere un errore d 4

15 lettura superore alla metà dell'ntervallo d graduazone, o anche nferore ad esso (n pratca però raramente superore ad un ntervallo d graduazone o nferore a un quarto d esso). b) La msura effettuata con uno strumento dgtale. In tal caso l'ntervallo d msura ha l'ampezza d una untà nella cfra meno sgnfcatva. Il valore ndcato dal dsplay n genere ndca l valore centrale dell'ntervallo d msura (n qualche caso ndca l'estremo nferore). Come vedremo pù avant, l'errore d sensbltà è n genere dstrbuto n modo unforme nell ntervallo d lettura. Vedamo ora l errore casuale. Se rpetamo pù volte una msura con uno strumento molto sensble, spesso succede che ottenamo rsultat leggermente dfferent. Le cause d questo fenomeno sono molteplc. Per esempo cambament delle condzon spermental. Per esempo varazon d temperatura, pccole dfferenze nella trazone d un metro a nastro, nadeguatezza del modello. Per esempo nella msura del lato d un cubo, fatta n vare poszon, se l corpo n esame non è un cubo abbastanza perfetto (per rugostà o mprecsone della lavorazone). partcolar procedure spermental. Per esempo, s supponga d voler msurare con un rghello da 0 cm la lunghezza d un tavolo d crca tre metr; cò può essere fatto rportando pù volte la lunghezza del rghello lungo l bordo del tavolo: la gunzone tra var segment non sarà perfetta e qund rpetendo la msura l rsultato potrà essere dfferente. dsturb dovut a cause esterne, per esempo vbrazon, urt, dsturb elettrc, pccol error dell operatore umano, per esempo n una msura d ntervallo d tempo con un cronometro manuale, pccole varazon ne rfless dello spermentatore. ntrnseca stocastctà del comportamento della matera, sa per ragon termodnamche (ved la teora cnetca della matera), sa per ragon quantstche (ved l prncpo d ndetermnazone d Hesenberg). L errore casuale può non essere evdenzable se è nferore all errore d lettura. Se rpetamo molte volte la msura d una grandezza n una stuazone n cu è presente l errore casuale, abbamo rsultat dfferent. In assenza d error sstematc, quest dfferent valor sono sa maggor che nferor al valore vero. Se faccamo un stogramma (vedremo come) d quest rsultat, trovamo un caratterstco andamento a campana, centrato ntorno al valor medo. Come vedremo pù avant, l'errore casuale è n genere dstrbuto n modo gaussano. Vedamo nfne l errore sstematco. Se rpetamo la msura, esso è n genere sempre lo stesso. Le cause pù comun d error sstematc sono le seguent: errore d taratura dello strumento d msura. Per esempo un orologo che va ndetro produce msure d ntervall d tempo pù brev del valore gusto; un rghello con le tacche a dstanze errate produce ovvamente msure errate. Ovvamente c è 5

16 sempre un lmte all accuratezza della taratura d uno strumento e questo vene n genere ndcato dal costruttore. Quando non vene ndcato altrment, n genere è nferore all errore d lettura. Per rdurre questo errore va controllata la taratura degl strument. errore del modello. Per esempo msurare la massa d un corpo con una blanca trascurando la spnta d Archmede, dovuta all ara, produce msure nferor al valor vero. Questo tpo d errore può talvolta rdurs o cancellars usando un modello pù corretto. perturbazone della grandezza da msurare da parte dello strumento d msura. Per esempo, se voglamo msurare la temperatura dell acqua calda contenuta n un pccolo recpente tramte un termometro che nzalmente è a temperatura ambente, ntroducendo l termometro nell acqua la raffreddamo e qund l rsultato della msura è nferore al valore corretto. Talvolta questo tpo d errore può calcolars e qund sottrars dal valore della msura sottratto. Abbamo vsto che talvolta l errore sstematco s può calcolare e sottrarre dal rsultato. Uno de compt pù mportant d un fsco spermentale è propro la prevsone e la rduzone degl error sstematc. La presenza nevtable degl error d msura lmta la qualtà delle msure. Ad ogn msura è qund assocata una grandezza, detta ncertezza, che c dà nformazone sull ntervallo d valor possbl (o plausbl) per l valore vero. La msura vene qund espressa come x ± x seguto dall untà d msura, ntendendo che l valore vero della msura sa compreso (plausblmente) nell ntervallo x - x e x + x. x è l valore della msura e x è l ncertezza. Talvolta (d rado) s ndcano ntervall d msura asmmetrc, come x x + x L ncertezza non è n genere nota con alta precsone (n genere a crca l 0 %), e vene n genere espressa con una o due cfre sgnfcatve. Suggermento per l numero d cfre sgnfcatve dell'ncertezza: usare due cfre sgnfcatve se la prma cfra è bassa, per esempo mnore d 4, altrment usarne una. Perché? Consderamo le seguent msure, a due a due con valor successv d ncertezza: 0.0±0. 0.0±0. 0.0± ±0.9 ; 0.00± ± ± ±0.90 Le prme quattro hanno ncertezze espresse con una sola cfra sgnfcatva; tra la prma e la seconda l valore dell ncertezza raddoppa, tra la terza e la quarta la varazone è d crca l %. Le seconde quattro hanno ncertezze espresse con due cfre sgnfcatve, tra la qunta e la sesta la varazone è d crca l 7 %, mentre tra le ultme due è crca l %. Come s vede 6

17 sulle prme due msure la precsone sull ncertezza è troppo scarsa, mentre per le ultme due è troppo elevata. Da qu l suggermento. Una volta stablta l ncertezza, l valore della msura va espressa con un numero d cfre sgnfcatve coerente con l ncertezza, per esempo ±0.03, 7±6, 570±50 (non per es ±. o 75.3±0.005 che vanno scrtte 574.4±. e ±0.005). Ovvamente con la corretta untà d msura. Per descrvere la bontà d una msura rspetto agl error sstematc e casual s utlzzano rspettvamente termn accuratezza (o anche gustezza) e precsone che avevamo ntrodotto tra le caratterstche d uno strumento d msura. Queste due qualtà sono ndpendent: s possono avere msure molto accurate e poco precse o msure poco accurate e molto precse. Le vare stuazon sono llustrate nella fgura seguente: Valore vero Msure precse, non accurate Msure accurate, non precse Msure né precse, né accurate Msure precse e accurate 7

18 Per charre due concett d accuratezza e precsone, mostramo due bersagl colpt da un tratore precso, ma non accurato e da un tratore accurato, ma non precso: Tratore precso, ma non accurato Tratore accurato, ma non precso - pccol error casual - pccol error sstematc - grand error sstematc - grand error casual È evdente che al tratore precso, ma non accurato basta sstemare un po' meglo l mrno e dventa anche "accurato". Accanto all ncertezza d una msura, detta anche ncertezza assoluta, s ntroduce anche l ncertezza relatva, data dal rapporto tra l ncertezza e l valore pù probable della msura ε (4.3) x = x x L ncertezza relatva è un numero puro, n genere molto mnore d e talvolta s esprme come percentuale. Le pù precse msure fsche note hanno un ncertezza relatva (o, come s dce pù semplcemente, una precsone) dell ordne d 0 - (tramte la spettroscopa Mössbauer). Le normal msure che s fanno n laboratoro hanno n genere precson non mglor d 0.00 (coè 0. %), a parte msure d tempo e frequenza che sono n genere mglor. Un esempo Supponamo d fare una msura della lunghezza d un tavolo con un rghello. Sa 4 metr esatt l "valore vero" della lunghezza. Sa l rghello lungo 0 cm, con dvson ogn mllmetro; noltre sa "starato", coè l costruttore lo ha fatto /30 pù corto d quanto 8

19 sarebbe dovuto essere, ma cò è gnoto allo spermentatore. Leggamo valor msurat al mllmetro. Faccamo 50 msure. Ecco d seguto la stuazone. Sono rportat nelle 7 colonne a) l numero d'ordne della msura b) l valore vero (4 m) c) l'errore sstematco (4/30 m) d) l'errore casuale, dovuto al non perfetto allneamento e gustapposzone del rghello e) l valore che msurere se la sensbltà del rghello fosse 0000 volte mglore (b+c+d) f) rsultato effettvo della msura (con l'errore d lettura g) errore d lettura o d sensbltà (e-f) N Msura della lunghezza del tavolo con rghello starato Valore vero Errore sstematco Errore casuale Valore con errore Rsultato msura Errore d lettura

20 Meda Dev.St In fondo sono calcolate, per ogn colonna, la meda artmetca e la devazone standard (che, come vedremo, è un ndce dello sparpaglamento delle msure). Notamo che la meda degl error casual è molto mnore del valore assoluto medo d tal error e lo stesso può drs per gl error d lettura. Se non c fosse l'errore casuale, l'errore d lettura sarebbe sempre lo stesso e qund facendone la meda rmarrebbe se stesso. Qund, paradossalmente, la presenza dell'errore casuale può rdurre l'effetto dell'errore d lettura. Come vedremo, n questo caso possamo valutare l'ncertezza sulla meda come 0.00 m. La msura può essere espressa come 4.337±0.00 m che non è corretta, perché c'è l'errore sstematco (gnoto e qund non correggble). Se l rghello fosse "accurato", msureremmo m n meno, e avremmo ±0.00 m 0

21 5 - Rappresentazone d nsem d msure o Istogramm d msure o Meda o Devazone standard o Calcolo d meda e varanza da stogramm o Calcolo d meda e varanza con tre voc d memora Supponamo d rpetere pù volte la msura d una certa grandezza fsca g. Ottenamo un nseme d valor (le msure o dat spermental ) x, x,, x n Un prmo modo d rappresentare quest rsultat è tramte de punt sulla retta, rappresentant valor d g: L stogramma Un modo pù suggestvo e molto usato, se l numero de dat è abbastanza grande (almeno una decna) è l'stogramma (o stogramma delle frequenze). Per realzzarlo occorre prma defnre l'ntervallo d nteresse {g mn, g max } (per esempo l'ntervallo tra l dato mnmo e l massmo). Dvdamo qund tale ntervallo n un certo numero m d sotto-ntervall (n nglese "bn"). Infne contamo quant dat c sono n ogn bn, ndcando gl m rsultat con h, h,, h m Quest valor, dett "frequenze", possono essere grafcat n var mod, per esempo con un grafco a sbarre. S not che per fare un stogramma vanno defnt (coè scelt) tre valor g mn, g max e m: l'aspetto (e l'utltà) dell'stogramma dpendono da questa scelta. È buona norma, per esempo, che m sa molto mnore d n, ma non troppo pccolo. Infatt se è troppo grande, c saranno molt bn vuot e quell colpt conterranno pochssm dat (e qund con fort fluttuazon, come vedremo n seguto); vceversa se bn effcac (coè non vuot) sono troppo poch, s perderanno nformazon sull andamento delle frequenze. Talvolta s rappresentano le frequenze relatve, coè valor h dvs per n, ottenendo l'stogramma delle frequenze relatve; tal valor ndcano la frazone de dat (spesso ndcata come percentuale) che cade n cascun bn.

22 Può captare d stogrammare numer dscret (per esempo numer nter, come per esempo rsultat d lanc d dad). In tal caso bn natural (e spesso preferbl) sono defnt dalla dscretzzazone de dat (per esempo, nel caso de dad, numer da a 6). In un stogramma non c è tutta l nformazone d un nseme d msure. Per esempo da un stogramma fatto con cert bn non possono otteners stogramm con un altro nseme d bn (a parte cas partcolar), n partcolare con larghezza nferore. Inoltre n un stogramma s perde l ordne temporale delle msure, che è presente nelle msure orgnare se sono rportate nell ordne n cu sono state effettuate. È buona norma, quando s hanno msure successve d una grandezza che s sospetta possa essere varata tra le prme e le ultme msure, osservare l dagramma temporale delle msure effettuate: ovvamente questa nformazone non è rcavable dall stogramma. Nel presente corso assumamo che le grandezze n msura non varno sensblmente durante l perodo d osservazone. Se questo assunto non è verfcato, occorre l'uso d tecnche pù avanzate, svluppate nell'ambto della teora de segnal. S not che potrebbe essere propro la varazone della grandezza n msura la cosa pù nteressante n un espermento. Vanno qund ndvduate le caratterstche d questa varazone, come per esempo la scala temporale d varazone, la presenza d perodctà o la correlazone con altre grandezze che varano per cause note. Parametr d poszone e d dspersone: la meda e la devazone standard Molto spesso gl stogramm d msure rpetute mostrano un andamento a campana n cu le caratterstche salent sono la poszone del massmo della campana e un parametro che c ndch la sua larghezza, coè possamo sntetzzare l nseme delle nostre msure con due numer: un parametro d poszone e un parametro d larghezza (o dspersone). Il prmo c dà l valore pù plausble della msura, mentre l secondo può ndcare l ncertezza sulla sngola msura. Il modo pù ovvo d ottenere l parametro d poszone è fare la meda artmetca de dat (5.) x x + x x = = n n x n = n tuttava c sono altr metod che n cert cas possono essere preferbl, per esempo x x ' = + x (5.) max mn oppure, dopo aver ordnato le n msure n ordne crescente, x'' = x + se n è dspar ( n )/

23 se n è par x '' = + x n/ n/+ x Il parametro poszonale ottenuto con quest'ultma procedura vene chamato medana. Dscuteremo del parametro d poszone con maggor dettagl pù avant nel corso. Per defnre l parametro d dspersone, consderamo gl scart (5.3) ξ = x x S potrebbe qund pensare che una ragonevole defnzone della dspersone sa la meda degl scart. È facle vedere che non è così, nfatt (5.4) n n n n ξ = ( x x) = x x= x x= 0 n n n n = = = = cò perché gl scart sono postv e negatv e, facendone la somma, s cancellano esattamente tra d loro. S potrebbe però defnre l parametro d dspersone come la meda d valor assolut degl scart e la cosa funzonerebbe. Tuttava, per ragon che vedremo n seguto, s prefersce ntrodurre la varanza (pù correttamente varanza camponara ) (5.5) σ n n = ξ = ( x x) n = n = e qund s defnsce l parametro d dspersone σ come la radce quadrata della varanza; tale parametro vene chamato scarto quadratco medo o devazone standard (n Inglese standard devaton ) camponara, coè rcavata da dat spermental. Svluppamo la formula precedente (5.6) n n n ( ) n x xx+ x x x x + nx n = = = σ ( ) n = n n n = = x x = = = x x S not che l ultmo svluppo ndca un modo per calcolare meda e varanza con solo tre voc d memora, come è fatto per esempo nelle calcolatrc tascabl. Il metodo usa tre voc d memora che chamamo S, Q e N, ed è l seguente: al prmo dato mmesso x ponamo S=x, Q=(x ), N= 3

24 al dato mmesso -esmo x, ponamo S=S+x, Q=Q+(x ), N= dopo aver mmesso n dat, possamo calcolare meda e varanza con (5.7) x = S N (5.8) Q S σ = N N La meda e la devazone standard s ottengono partendo da dat {x }. Possamo tuttava calcolarle a partre dall stogramma (eventualmente anche dall stogramma delle frequenze relatve), ottenendo rsultat che possono essere leggermente dfferent. Partendo dagl m valor {h } dell stogramma, calcolat n bn centrat agl m valor {b }, le formule sono le seguent: (5.9) x = m = m b h = h (5.0) = m = σ h( b x) m = h L dea è la seguente: approssmamo dat che captano all nterno d un bn con l valore centrale del bn b ; qund, usando la propretà commutatva, raccoglamo nseme gl h dat d uno stesso bn e usamo le stesse defnzon precedent. Trasformazon lnear per meda e devazone standard camponare Se ad un nseme d numer che hanno un meda x e una devazone standard σ aggungamo una costante k, quale è la nuova meda e la nuova devazone standard? Sosttuendo nelle formule per meda e d.s. x +k al posto d x, trovamo faclmente che nuov parametr sono 4

25 (5.) x' = x+ k σ ' = σ coè, la nuova meda vene semplcemente aumentata del valore k e la nuova devazone standard rmane la stessa. Analogamente, se moltplchamo un nseme d numer che hanno un meda x e una devazone standard σ per una costante k, quale è la nuova meda e la nuova devazone standard? Sosttuendo nelle formule per meda e devazone standard k x al posto d x, trovamo faclmente che nuov parametr sono (5.) x' = k x σ ' = k σ coè, sa la nuova med a, che la nuova devazone standard rsultano par a valor d x e σ moltplcat per k. Ovvamente la nuova varanza sarà par al valore orgnaro moltplcato per k. 5

26 6 - Grafc o Incertezze ne grafc o Grafc sem-logartmc o Grafc doppo-logartmc Spesso s eseguono msure dverse d una grandezza fsca al varare d un parametro. I dat n genere s rappresentano con un grafco con valor del parametro (per esempo x) sulle ascsse e quell delle msure della grandezza n esame (per esempo y) sulle ordnate. È fondamentale rportare sugl ass le grandezze che sono rappresentate e le untà d msura. Incertezze ne grafc Le ncertezze sulle msure del parametro e della grandezza sono rappresentate rportando (n var possbl mod) gl ntervall d ncertezza ( error boxes n Inglese). Ved per esempo: Grafc sem-logartmc Talora nel fare grafc è convenente l uso d una scala logartmca per uno de due ass, coè s grafca l logartmo della grandezza n funzone del parametro o la grandezza n funzone del logartmo del parametro. Cò può offrre vantagg ne seguent cas: 6

27 Samo nteressat ad osservare le varazon della grandezza n esame al varare del parametro n modo percentuale. Un tpco parametro che spesso vene rappresentato sulle ascsse n modo logartmco è la frequenza. Le varazon della grandezza per talun valor del parametro sono molto pù grand che per altr: una rappresentazone con ordnata lneare rdurrebbe pratcamente a 0 valor pccol, mentre usando un'ordnata logartmca possamo apprezzare le varazon su tutte le scale. L andamento della grandezza rspetto al parametro è esponenzale del tpo kx y = a e dove a e k sono numer real. Prendendo Y = log ye A= log a, abbamo kx (6.) Y = log( a e ) = A+ k x e l'andamento esponenzale dventa lneare, e da coeffcent della retta sono faclmente rcavabl parametr dell'andamento esponenzale. L andamento della grandezza rspetto al parametro è logartmco del tpo y = a log( k x). Possamo svluppare log( k x) = log k + log x. Se prendamo X = log x e K = a log k, abbamo (6.) y = K + a X e qund anche n questo caso abbamo un andamento lneare, faclmente verfcable e d cu è facle, dal grafco, calcolare parametr. In quest cas è spesso comodo l uso d una carta specale detta carta mllmetrata semlogartmca n cu uno degl ass (n genere quello "lungo") è "grglato" n modo logartmco. Caratterstca mportante è l numero d "decad" che sono rportate sull'asse logartmco. Carta semlogartmca 7

28 Grafc doppo-logartmc In altr cas è comodo grafcare l logartmo della grandezza n funzone del logartmo del parametro. Cò è partcolarmente comodo nel caso n cu l legame funzonale tra grandezza k e parametro è del tpo y = a x, dove a è un numero reale postvo e k un numero reale qualsas. Infatt n tal caso, prendendo l logartmo de due termn, abbamo (6.3) Y = log y, X = log x e A = log a e qund k (6.4) Y = log( a x ) = log a+ k log x = A+ k X e qund un andamento con legge d potenza k dventa un andamento lneare con pendenza k. Per semplfcare questo tpo d grafc s può utlzzare la carta doppo-logartmca. Carta doppo-logartmca Quando s usa una carta logartmca, la prma cosa da fare è l'"assegnazone delle decad", coè stablre quale potenza del 0 è rappresentata n cascuna decade. 8

29 7 - Incertezza sulle msure ndrette o Propagazone delle ncertezze nel caso d relazone lneare per una varable o Propagazone delle ncertezze n generale per una varable (dervate) o Propagazone delle ncertezze per pù varabl (dervate parzal) Msure ndrette da una sngola varable C occuperemo ora d come s può calcolare l ncertezza sulle msure ndrette. Supponamo che la msura ndretta y s rcav dalla msura dretta x tramte l espressone (7.) y = m x + p È facle vedere che, se la msura dretta è x 0 ± x, l valore della msura ndretta è (7.) y 0 = m x 0 + p e l ncertezza su d essa è (7.3) y = m x y y 0 + y y 0 y 0 - y x 0 - x x 0 x 0 + x x 9

30 In generale, se la msura ndretta y s ottene come y = f(x), essendo x 0 l valore della msura e x l ncertezza, allora l ntervallo (x 0 - x, x 0 + x) s trasforma nell ntervallo (y 0 - y, y 0 + y ) dove (7.4) y 0 - y = f(x 0 - x) e y 0 + y = f(x 0 + x) y y 0 + y y 0 y 0 y x 0 - x x 0 x 0 + x x Poché y 0 = f(x 0 ), possamo scrvere (7.5) y = f(x0) - f(x 0 - x) e y = f(x 0 + x) - f(x0) rcordando che la dervata d f(x) (se la funzone f(x) non è strana ) è defnta come (7.6) df( x) f( x+ dx) f( x) f( x) f( x dx) = f '( x) = lm = lm dx dx 0 dx dx 0 dx Essa rappresenta l coeffcente angolare della tangente alla curva f(x) nel punto x. Se x è abbastanza pccolo, la curva nell'ntervallo (x 0 - x. x 0 + x) può essere approssmata dalla tangente (s fa coè un approssmazone al prmo ordne o lneare) e s ha (7.7) y' y'' f '( x0 ) x possamo porre percò (7.8) y= f '( x0 ) x 30

31 che è qund la formula generale per la propagazone delle ncertezze quando la msura ndretta derva da una sola msura dretta. Possamo qund scrvere la msura ndretta come y 0 ± y. Un caso partcolare e partcolarmente nteressante è quello n cu una msura s rcava da un altra tramte l espressone (7.9) y = a x k n tal caso, se l valore d x è x 0 ± x, abbamo (7.0) y 0 = a x 0 k y = k a x 0 k- x Vedamo ora cosa accade, n questo caso partcolare, all ncertezza relatva ε y x essendo nota ε x =. x S ha y =, y (7.) y kax x y ax x = k 0 k x= k Questo semplcssmo rsultato è molto comodo da usars n pratca. S not che l ncertezza su y n genere vara al varare d x, anche se x è costante (al varare d x) (a meno che l legame tra x e y sa lneare). Esempo: Supponamo d conoscere l raggo r d un cercho con l'ncertezza r. Quale è l'ncertezza assoluta sull'area del cercho? e l'ncertezza relatva? L'area è A = π r, qund, essendo la dervata d A rspetto a r par a π r, A= π r r r Per l'ncertezza relatva, essendo ε r =, s ha r A ε A = = ε r A 3

32 Msure ndrette da pù varabl Consderamo ora l caso n cu s rcav una msura a partre da n dverse msure, tra loro ndpendent (vedremo n seguto cosa cò sgnfch e cosa accada se questa potes non è verfcata). Sa (7.) y = f( x, x,..., x n ) e le ncertezze sulle vare x par relatvamente a x. Abbamo (7.3) y = n = f x x f dove con ndchamo la dervata parzale d f rspetto a x. Rcordamo che la dervata x parzale d una funzone rspetto a una varable è calcolata come la dervata "semplce", consderando le altre varabl come costant. Esempo: S abba un paralleleppedo d lat a ± a, b ± b, c ± c. S vogla calcolarne l volume con la relatva ncertezza. Il volume è dato da V = a b c poché ( abc ) = bc a l ncertezza è ( abc ) = ac b ( abc ) = ab c y = ( b c a) + ( a c b) + ( a b c) Supponamo ora che sa a = b = c, coè sa l paralleleppedo un cubo, e a = b = c, coè sano le ncertezze ugual. Se non c fdamo che sa un cubo ed eseguamo le tre msure de tre lat, abbamo = y 3 a a Se nvece c fdamo che sa un cubo perfetto e qund msuramo solo un lato, usamo l espressone V = a 3 e qund l ncertezza è 3

33 = y 3a a S not che l motvo della dfferenza è dovuta al fatto che nel prmo caso è come se avessmo fatto la meda d 3 msure ndpendent, e qund abbamo un rsultato un po' mglore. Altro esempo: Un caso partcolare d msura ndretta basata su pù msure è quello n cu la f è semplcemente la somma delle varabl x (7.4) y = x+ x xn poché le dervate parzal f x sono n questo caso tutte par a, per l ncertezza su y s ha (7.5) n... n = y = x + x + + x = x S not che questa formula può essere vsta come una generalzzazone del teorema d Ptagora, coè l espressone della dagonale massma d un paralleleppedo n n dmenson, e dà un valore che è sempre nferore alla somma de lat. Gustfcheremo n seguto questa espressone; per ora bast pensare che è dovuta al fatto che gl error casual sono sa postv che negatv e qund nella somma s cancellano parzalmente tra d loro. Se le x sono tutte egual tra d loro, (7.6) y = x n Il caso della meda: questo è un caso partcolarmente nteressante, perché è cò che s fa quando abbamo pù msure rpetute, e n tal caso n genere le ncertezze sono tutte egual. S ha x+ x xn (7.7) y = = x n le dervate parzal sono f = x n, qund y = x + x + + x = x = n x = n n n = n n (7.8) (... n) x qund l ncertezza sulla meda d n msure è msura. n volte pù pccola dell ncertezza sulla sngola 33

34 Un altro caso partcolare è quello n cu k k kn (7.9) y = k x x... x N In tal caso la formula dell ncertezza relatva è partcolarmente semplce e comoda da usare: (7.0) N y x = k y = x Da questa possamo rcavare l ncertezza assoluta moltplcando per y. L espressone (7.0) y = n = f x x detta errore massmo vene talvolta utlzzata per scop partcolar. Il valore d questa espressone è sempre nferore a quello ottenuto con l'espressone (7.3), come è facle dmostrare. Infatt, consderamo le due espresson (7.) A = x e B = x n cu le x sono tutte postve. È mmedato vedere che è sempre A > B, a causa de termn mst ( dopp prodott del quadrato del polnomo) che sono tutt postv. 34

35 8 - Teora delle Probabltà o Defnzone d probabltà o Teora assomatca delle probabltà o Probabltà condzonata o Indpendenza stocastca La probabltà è un numero, compreso tra 0 e, che ndca l grado d possbltà che un certo evento s verfch: esso è se l evento è certo, 0 se è mpossble. La Teora delle Probabltà è la dscplna matematca che s occupa d determnare quanttatvamente l valore della probabltà ne var cas. I prm matematc che s occuparono d probabltà furono Gerolamo Cardano (50-576), Blase Pascal (63-66), Perre de Fermat (60-665) e fsc Galleo Galle (564-64) e Chrstaan Huygens (69-695) fecero lavor nel campo. Quest stud erano legat a goch d azzardo, e da queste poco nobl orgn derva l termne aleatoro (da alea, n latno dado) uno degl aggettv pù usat per defnre l tpo d event oggetto del calcolo delle probabltà. In seguto Jacob Bernoull ( ), Abraham de Movre ( ), Thomas Bayes (70-76), Perre-Smon de Laplace (749-87) e Carl Fredrch Gauss ( ) posero le bas del moderno calcolo delle probabltà. Laplace propose quella che è detta la defnzone classca d probabltà: La probabltà d un evento è l rapporto tra l numero de cas favorevol e l numero de cas possbl, purché quest sano egualmente possbl Per esempo, supponamo d avere un dado perfetto, per cu tutte le facce sano equprobabl, allora l evento uscta d un numero dspar (coè, 3 o 5) ha probabltà = Ovvamente se l dado è rregolare, la probabltà delle vare facce non è uguale e qund la defnzone precedente non c è d auto. Potremmo fare uno studo accurato della forma e della struttura nterna del dado e rcavarne le probabltà delle vare facce, ma cò potrebbe rsultare molto complesso se non pratcamente mpossble. Un altro modo d procedere è quello emprco: s lanca l dado moltssme volte e s calcola l numero d volte che cascuna facca esce (facendo attenzone a lancare l dado bene, coè senza favorre anche nvolontaramente alcuna facca) e s applca la seguente defnzone, detta defnzone frequentsta: La probabltà d un evento è l lmte al crescere all nfnto delle prove, della frequenza dell evento, coè del rapporto tra l numero delle prove favorevol (n cu l evento s verfca) e l numero totale delle prove 35

36 Questa defnzone s basa sulla cosddetta Legge Emprca del Caso o Legge de Grand Numer, secondo cu n una successone d prove rpetute, la frequenza d un evento s avvcna alla probabltà dell evento stesso (ovvamente se tale probabltà la possamo conoscere n modo non frequentsta). Tuttava non sempre s possono fare un alto numero d prove rpetute, anz a volte vorremmo conoscere la probabltà d event che non sono rpetbl. Per esempo, quale è la probabltà che domenca la squadra X vnca la partta? Oppure quale è la probabltà che doman pova? Oppure ancora qual è la probabltà che esstano sorgent perodche d onde gravtazonal d almeno una certa potenza entro un raggo d kpc (kloparsec, una untà d dstanza astronomca non SI, ma usatssma n astrofsca). Per usare l calcolo delle probabltà per questo tpo d event è stata ntrodotta, dal matematco talano Bruno De Fnett ( ), la defnzone soggettva d probabltà: La probabltà d un evento è l grado d fduca (varable da soggetto a soggetto) rposta nel verfcars dell evento stesso In partcolare questa defnzone d probabltà ha portato allo svluppo della cosddetta statstca bayesana. Teora assomatca delle probabltà Indpendentemente dalla defnzone operatva d probabltà (classca, frequentsta o soggettva), Andre Kolmogorov ntrodusse nel 933 la defnzone assomatca d probabltà. In essa s evta d entrare nel sgnfcato d probabltà, e s consdera solo l aspetto matematco-formale, usando l formalsmo della teora degl nsem. In essa gl event sono defnt come tutt sottonsem d uno spazo ambente S, tra due event s defnsce l unone come l occorrenza d almeno uno degl event dell unone e l ntersezone come l occorrenza d entramb; vene defnto A l evento opposto d un evento A come l evento tale che A A= S e A A=, dove è l nseme vuoto. Per defnre la probabltà s parte da seguent assom: I. Ad ogn sottonseme A d S è assocato un numero reale p(a), detto probabltà d A, compreso, estrem nclus, tra 0 e II. p(s) = III. Se l ntersezone tra gl event A e B è vuota, p( A B) = p( A) + p( B) Faccamo un semplce esempo. Lo spazo S sa l nseme delle carte d un mazzo da 5 carte da poker; gl event sano sottonsem d qualsas numero d carte, per esempo a) 4 ass 36

37 b) le carte d cuor c) l sottonseme composto dal d quadr e l 3 d for. Assocamo a cascun sottonseme la probabltà d estrarre una carta appartenente ad esso, per esempo la probabltà assocata al sottonseme a) è /3, quella assocata al b) è /4, quella assocata al c) è /6. Per llustrare l ultmo assoma, pensamo all unone de due sottonsem b) e c): ess sono dsgunt, hanno coè ntersezone nulla, qund per l ultmo assoma la probabltà assocata al sottonseme unone è /3 + /6 = 3/6. A partre dagl assom d Kolmogorov, possono essere dedott tutt teorem del calcolo delle probabltà. Tra pù semplc, seguent Teorema. p( A) = p( A) s deduce dagl assom II e III, nfatt per defnzone A A= e A A= S e ps ( ) =, qund = p( A) + p( A), da cu l asserto Teorema. p( ) = 0 s deduce da II e dal teorema., nfatt = S. Teorema 3. Se A B, allora p( A) p( B) s deduce dal fatto che A è un sottonseme d B. Teorema 4. p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) S ha : PA ( B) = PA ( B) + PA ( B) + PA ( B) = [ PA ( B) + PA ( B)] + [ PA ( B) + PA ( B)] PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) la prma eguaglanza è per l'assoma III, la seconda è mmedata, la terza usa l fatto che ( A B) ( A B) = A e ( A B) e ( A B) hanno ntersezone nulla. 37

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