FONDAMENTI DI PROGETTAZIONE MECCANICA (Prof. F. Fossati)

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1 Politecico di ilao Facoltà del esig o ccadeico 009/00 FONENTI I POGETTZIONE ECCNIC (Pof. F. Fossati) INIC ELLE CCHINE. INTOUZIONE: POBLEI IETTI E INVESI Lo studio della diaica di u sistea eccaico cosiste el calcolae il oto e le eazioi icolai i eseza di foze ageti sugli ogai che coogoo il eccaiso. Si defiisce oblea diaico dietto il oblea della deteiazioe o dell acceleazioe o, iù i geeale, del tio di oto che si ottiee a atie da foze e oeti assegati. Si defiisce iece oblea diaico ieso quello cosistete ella deteiazioe delle foze o oeti che oducoo u oto assegato. Nello studio dei oblei diaici iesi, di oa si eiee ad equazioi algebiche elle icogite, foze e oeti, che si desidea icaae, essedo assegati i aaeti cieatici del oblea. Lo studio di oblei diaici iesi è sesso u io asso e la ogettazioe e il diesioaeto degli ogai che costituiscoo u eccaiso. Nel caso dei oblei diaici dietti, ad u gado di libetà, si eiee ad u equazioe che eette algebicaete di icaae l acceleazioe, coe eà illustato attaeso esei el seguito del esete caitolo. Se fosse iece ecessaio deteiae il oto del sistea esaiato, deteiado lo sostaeto i fuzioe del teo (legge di oto), l equazioe del oto adebbe i tal caso itegata; oiché sesso isulta essee o lieae, la sua isoluzioe uò cootae l uso di ocedieti ueici. oedo cosideae ello studio della diaica delle acchie dei sistei colessi, coosti da iù sottosistei eccaici, si usa foie ua scheatizzazioe del sistea stesso aesetadolo coe coosto da alcui eleeti di tio scatola ea (black box), coosti al loo iteo da sottosistei iù colessi, a aesetabili el loo isiee ediate ochi aaeti caatteistici. I aticolae si otà sesso adottae u odello scheatico coosto da te blocchi ta loo collegati (edi Figua ), defiiti coe otoe, tasissioe e utilizzatoe. Ua odellazioe di questo tio isulta olto efficace ell alicazioe dei bilaci di oteze. e u otoe Tasissioe e u Figua odello scheatico delle acchie. Utilizzatoe Nel esete caitolo si è efeito dae u iostazioe eo legata all asetto uaete teoico, iilegiado iece l esosizioe dei cocetti ileati ediate l illustazioe di alcui casi sigificatii. Veà daia aalizzato il oto di u autoobile e ostae coe, sotto alcue iotesi selificatici lo studio diaico ossa essee affotato diettaete ediate la scittua degli equilibi diaici, seza icoee alla scheatizzazioe a blocchi. Successiaete eà esaiato l eseio della diaica dell autoobile utilizzado ache la scheatizzazioe a blocchi: otoe, tasissioe e utilizzatoe. I tale cotesto eà ache itodotto il cocetto di iduzioe di foze o di asse. Seguià l aalisi del oto dell ascesoe ostado il cofoto ta

2 oto a egie e oto i tasitoio. Nella ate fiale si faao alcue ecisazioi sul edieto e si eseteà u eseio di studio di oblea diaico dietto ed ieso alicato ad u selice caso già esaiato dal uto di ista cieatico.. OTO ELL UTOOBILE Ua tadizioale alicazioe di diaica delle acchie iee studiata osseado il oto di ua autoobile sotto ootue iotesi selificatici. La taiettoia iee cosideata ettiliea ed oizzotale e l autoobile è assiilata ad u coo igido iao e duque ageolete tattabile i ua aesetazioe bidiesioale. Ulteioi iotesi selificatici soo l assuzioe di asseza di eto, di uote ie di sosesioi ed iizialete di assa tascuabile isetto a quella del eicolo. Si iotizza iolte che le uote si uoao di oto otatoio i codizioi di adeeza co solo attito olete (Figua ). a k u B B B J tb b a P G P t C u J u h H Figua aesetazioe scheatica di u autoobile... Schea di ocedieto isolutio della cieatica e diaica dell autoobile che i oblei di diaica del eicolo che egoo solitaete osti, soo dei due tii dietto o ieso. Nel oblea diaico dietto è assegato il oeto otoe e si chiede di deteiae l acceleazioe del eicolo; i questo caso o iteessa deteiae il oto dell autoobile e quidi o è ecessaio itegae l equazioe diffeeziale del oto. Nel oblea diaico ieso è iece assegata l acceleazioe e si ichiede di deteiae qual è il aloe del oeto otoe i gado di geeae il tio di oto assegato. L aoccio usuale iù selice è quello di cosideae il oto delle uote coe u oto di otolaeto uo seza stisciaeto, salo oi eificae a osteioi la coettezza di tale assuzioe. Questa iotesi cosete di sciee le elazioi: (5.) a (5.) Si ossoo così sciee te equazioi su tutto il sistea iù due equazioi sulle uote che eettoo di deteiae le quatto eazioi icolai icogite, isettiaete ed t e l assale ateioe, ed B t e l assale osteioe, e l acceleazioe a del eicolo. B

3 Successiaete si eifica che l iotesi di ateza sia alida, oeo che le uote otolio di otolaeto uo seza stisciaeto: f (5.3) t a f (5.4) tb a B e che o si distacchio dal teeo oducedo il ibaltaeto del eicolo: 0 (5.5) B 0 (5.6) Quado queste eifiche soo soddisfatte il oblea diaico dietto è isolto. I caso cotaio le uote stisciao sul teeo e le icogite auetao eché, olte alla elocità ed all acceleazioe a del eicolo, occoe deteiae ache la elocità agolae e l acceleazioe agolae delle uote, o lieaete diedeti da queste. Occoeà i tale caso itodue uoe equazioi. lle due equazioi (5.) e (5.), che egoo a cadee, ossoo alloa sostituisi le due uoe equazioi dell attito adete: t tb f (5.7) f (5.8) B Schea iao e eicolo feo. Va sottolieato che se si scheatizza il eicolo co uo schea iao, le eazioi icolai sui due assali ateioe e osteioe doao, ella loo cooete eticale equilibae il eso. eicolo feo, la iatizioe delle eazioi oali otà essee P/ sull assale ateioe e P/ sull assale osteioe, se si iotizza il baiceto di assa collocato i ezzeia isetto al asso del eicolo. Schea iao e oto a elocità costate. Se si cosidea u eicolo a elocità costate le eazioi eticali eao ad essee diese da P/ a causa dello sostaeto della eazioe di ua quatità u f oché e la eseza del caico aeodiaico. Schea iao e oto aio. Se si cosidea u oto aio occoeà cosideae, egli equilibi diaici che deteiao le eazioi icolai del suolo sulle uote, ache l effetto della foza d iezia sul eicolo e sulle uote, la coia d iezia sugli ogai otati (otoe e uote), il coefficiete di attito olete (f u/) e la sita aeodiaica logitudiale agete el ceto di sita (baiceto dell aea della sezioe aesta) e eticale. Si tascua iece il oeto douto all azioe aeodiaica. Schea tidiesioale e eicolo feo. Se iece si scheatizza il oblea coe tidiesioale (4 uote aziché coe el caso iao), le eazioi eticali su ciascua delle 4 uote saao P/4 (see co ua selificazioe dastica di ia aossiazioe). Gli alti schei del caso iao ossoo essee oiaete estesi ache al caso tidiesioale. Bilacio di oteza. Laddoe o occoao diese equazioi di equilibio a e sia sufficiete ua sola si uò iiegae, aziché gli equilibi diaici, il bilacio di oteza. ziché doe isolee il oblea della deteiazioe delle quatto eazioi icolai iù l acceleazioe uò ifatti iteessae deteiae soltato l acceleazioe del eicolo dado e scotate le eifiche 3

4 all adeeza delle uote sul teeo ed il otolaeto coe otolaeto uo, seza stisciaeto o ibaltaeto.. Soluzioe co gli equilibi diaici - Foze ageti La soluzioe del oblea diaico dietto iee icecata utilizzado gli equilibi diaici (Figua ). Si disoe el iao di te equazioi scalai che iogoo l equilibio alla taslazioe oizzotale, eticale ed alla otazioe e che equialgoo all aullaeto della soa delle foze oizzotali, eticali e oeti attoo ad u uto. L equilibio iee iostato su tutte le foze estee, d iezia e eazioi icolai ed aalogaete e i oeti. È ossibile aziché basasi su due equazioi elle foze ed ua ei oeti sciee te equazioi ei oeti attoo a uti o allieati. Ta le foze estee esisteti, occoe cosideae la esisteza fluidodiaica, che agisce el baiceto della sezioe aesta del eicolo co ua itesità oozioale al quadato della elocità secodo ua costate k; la secoda azioe esistete è douta al otolaeto e asce dalla taslazioe della etta d azioe delle eazioi oali delle uote che, coe isto el caitolo 4, si sostao di ua quatità ai ad u f (edi la (4.6)). I dati ileati e il oblea soo il eso del eicolo P, il coefficiete k, l altezza del baiceto h e quella del ceto della sezioe aesta dal suolo H, il oeto otoe utile u, il oeto d iezia delle uote J, l iteasse e la distaza oiettata sull oizzotale del ceto di otazioe delle uote osteioi dal baiceto b. Ua olta stabilito u eso ositio e le foze ed i oeti, si scioo i te equilibi diaici: x sistea sistea sistea F * 0 F * 0 y B * 0 a k 0 t tb P+ + 0 B ( ) k H P b u ah J a (5.9) (5.0) (5.) isettiaete di equilibio alla taslazioe i seso oizzotale, eticale ed alla otazioe attoo al uto B di cotatto della uota osteioe e tutto il sistea cosideato. Si oti ella (5.) l asseza di, che agli effetti di tutto il sistea aeseta u oeto iteo. Le ecedeti equazioi esetao eò cique icogite:, t, B t, a e o soo duque B sufficieti. No è ossibile sciee ulteioi equazioi di equilibio elatiaete al coo i questioe eché si otteebbeo delle equazioi o idiedeti dalle ecedeti. Occoe alloa isolae dei sottosistei della acchia i questioe tagliado i icoli e ettedo i eideza le eazioi icolai itee doe i icoli egoo tagliati. Si cosideao e questo gli equilibi diaici delle uote ateioi e osteioi, calcolado i etabi i casi il oeto isetto ai ceti di otazioe C e (Figua 3). La scelta del uto itoo al quale iostae l equilibio diaico alla otazioe a effettuata cosideado che, a secoda del uto che si sceglie, si eliiao cete foze e se e lasciao alte ell equazioe di equilibio. I aticolae saiscoo quei teii che hao baccio ullo isetto al uto cosideato, etato o eteao el couto le eazioi icolai eseti sulle ceiee di attacco delle due uote. 4

5 J. H V B B B J tb J. H t C C V C u u u Figua 3 Equilibi diaici aziali sulle uote. C uota at. uota ost. * 0 u J a 0 * 0 u t t u J a 0 B B (5.) (5.3) Si ossei ella (5.) coe questa olta coaia il oeto, dato che sul sottosistea assale ateioe isulta u oeto esteo. icaado da queste ultie t e t e sostituedole ella B (5.9), si ottiee: u u a k J a 4 0 B (5.4) ossia ( ) B F f k a J a u (5.5) dalla quale, sostituedo la (5.0) e oedo + 4 J, si icaa l equazioe di equilibio ella diezioe del oieto che ea già stata idicata coe ia equazioe del oto: F P f + k + a ' (5.6) u doe F u è la foza otice utile ai a eicolo coe: u. alla (5.6) si ottiee duque l acceleazioe del a F u P f k (5.7) Veifica allo slittaeto. Si uò oa eseguie la eifica allo slittaeto, utilizzado la disequazioe di Coulob del caso statico (4.6), otteedo: f (5.8) t a e il io assale e e il secodo 5

6 f (5.9) t a B B Pe quato iguada il aloe del coefficiete f a si icoda che questo uò assuee aloi esteaete diffeeti a secoda delle codizioi del battistada, dello stato del ato stadale e delle codizioi eteoologiche (stada asciutta, bagata, ee, ghiaccio ecc.). I aloi ao scelti ootuaete icoedo all utilizzo di accolte di aloi tabulati. Veifica al ibaltaeto. Ultia eifica che si uò eseguie è quella al ibaltaeto, ossia le due eazioi oali, date le coezioi di sego adottate, deoo isultae ositie: > 0, B > 0 (5.0).3. Soluzioe co il bilacio di oteze Laddoe o sia ichiesta la deteiazioe delle eazioi icolai, ad eseio saedo già che le uote si toao i codizioi di adeeza, a iteessi soltato l acceleazioe del eicolo, si saebbe ache otuto ocedee diesaete, facedo uso del bilacio di oteze de dt. Si sottoliea che i questo caso, tattadosi di oteze, la soatoia è estesa sia alle foze estee che a quelle itee. Teedo coto ache dei oeti d iezia delle uote, si icaa ifatti: ( ) B d u + f k + 4 J dt (5.) I questo caso, essedo esete l attito olete, la (5.) cotiee ache coe icogite le eazioi icolai oali delle uote. Si uò eò osseae che utilizzado ache u equilibio diaico, i aticolae l equilibio alla taslazioe eticale, ossia la (5.0), la soa delle eazioi oali è ai al eso e quidi si uò sciee la seguete equazioe: u P f k a+ 4 J (5.) Se ale l iotesi di otolaeto uo seza stisciaeto, cosa che eò o uò essee eificata solo facedo uso del bilacio di oteze, besì adado a calcolae le eazioi co gli equilibi diaici ed effettuado la eifica co le (5.8) e (5.9) alloa e a e cui si uò selificae la elocità, otteedo acoa l equazioe del oto (5.5)..4. oto i salita Se l autoobile si uoe i salita (Figua 4) oeo si uoe su di u iao icliato di u agolo α aziché oizzotale, si dee cosideae ella (5.9) il teie aggiutio P siα e sostituie ella (5.0) P co P cosα. ssegato l agolo α di icliazioe del iao stadale, si defiisce edeza il aaeto i ta α. ati i aloi usualete iccoli dell agolo α, caatteistici dei ecosi stadali abituali, è lecito iteee si α ta α i ete cos α. 6

7 Figua 4 utoobile i oto i salita. α P P cos α P si α 3. OTOE oo ae esaiato u eseio sul calcolo della diaica delle acchie, etiao el dettaglio degli eleeti costitueti le acchie secodo lo schea di Figua. Il otoe è l ogao che foisce la oteza eccaica e aeseta il io eleeto del odello ello schea i Figua. Nell abito dello studio della diaica delle acchie uò essee cosideato coe u eleeto a scatola ea del quale iteessao oco le fuzioi solte al suo iteo, ete iotao le estazioi che soo caatteizzate attaeso l assegazioe delle due cue caatteistiche: quella della oteza e quella della coia, i fuzioe del ueo di gii. 3.. otoe elettico asicoo tifase Si iizi ad aalizzae il diagaa caatteistico del otoe elettico asicoo tifase iotato i Figua 5; su di esso si ossoo idiiduae alcui uti ileati: il io è il uto di itesezioe di etabe le cue co l asse delle elocità agolai, i coisodeza alla elocità di sicoiso. Pe elocità sueioi il eso della coia geeata dal otoe si iete ed il otoe assobe eegia eccaica e cootadosi di fatto coe u feo e il sistea. La coisodete elocità è ai a: 0 60 f (5.3) doe è il ueo di coie di oli del otoe ed f è la fequeza di ete (i Italia f 50 Hz). Il secodo uto è l itesezioe 0 della cua della coia co l asse eticale i coisodeza della elocità di otazioe ulla. Tale aloe iee defiito coia allo suto. Si ossea alloa che il otoe elettico asicoo tifase eseta u oeto ositio, che eette allo stesso di sutae, ossia di aiasi da feo e sotto caico, a diffeeza di quato accade el otoe a cobustioe itea che dee essee laciato attaeso u otoio elettico ausiliaio e oi essee iestato attaeso u iesto a fizioe all utilizzatoe e quidi collegato al caico. Si oti che se è esete ua coia esistete, si ha uo scoieto ta il otoe ed il cao elettico co ua coseguete diiuzioe della elocità di otazioe a egie. 7

8 0 Figua 5 iagaa caatteistico del otoe asicoo tifase otoe elettico a coete cotiua olto diffeete è la cua di coia del otoe elettico a coete cotiua (coe ad eseio quello dei ta) che è ua etta (Figua 6) e osta coe la coia decesca all auetae della elocità e coe ache questo tio di otoe iesca a sutae da feo sotto caico. Figua 6 iagaa caatteistico del otoe elettico a coete cotiua otoe a cobustioe itea Il diagaa del otoe a cobustioe itea è ostato i Figua 7. È iotata ua sola cua della oteza, otteuta co u deteiato gado di aissioe (osizioe dell ogao di egolazioe dell aissioe del cabuate). Coe si ossea egoo aesetate diese cue di coia, ogua delle quali coisode ad u dieso aloe del gado di aissioe. Più esattaete si defiisce gado di aissioe il aoto fa la quatità di iscela cobustibile (aia e cabuate) iessa i caea di cobustioe e la quatità stechioetica. d ogi cua tacciata coisode ua deteiata osizioe dell ogao di egolazioe e quidi di quatità di cobustibile iesso. La cua iù bassa coisode al iio, quella iù alta alla quatità assia. 8

9 α Figua 7 iagaa caatteistico del otoe a cobustioe itea. Nel otoe a cobustioe itea del tio a ciclo Otto co cabuatoe, la assia aissioe si ha i coisodeza alla coleta aetua della alola a fafalla del cabuatoe, la iia coisodeà al codotto del cabuatoe azializzato al assio dalla alola a fafalla. Tato la cua di oteza che la cua di coia o aiao a idosso dell asse delle odiate oiché il otoe alteatio ichiede u iio di elocità di otazioe e ote iaee i oto. Il oieto di otazioe ifatti aiee a elocità aiabile co fluttuazioi della elocità istataea eso l alto (acceleazioe) duate la fase utile e co fluttuazioi eso il basso (deceleazioi) duate le fasi assie (ua el otoe a due tei, te i quello a quatto tei). Esso doà aee u egie di iio sufficiete a ateesi i otazioe co elocità di otazioe 0. oà etato essee all icica edio / altieti il otoe scede ad u ueo di gii 0 ed il otoe si sege. Solo al di soa di u ceto egie di otazioe iizia ad essee i gado di eogae oteza utile. Chiaaete dalle cue coisodeti al aloe assio del gado di aissioe si ossoo deteiae i aloi di coia e oteza assia. U otoe a c.i. si defiisce tato iù elastico quado iù la sua cua di coia si atiee iatta al aiae del egie di otazioe (Figua 8). otoe elastico otoe oco elastico Figua 8 Cofoto ta diagai caatteistici. U ultia osseazioe eitao i etodi e il tacciaeto, che aiee see e uti, di ua cua data l alta; ota la coia, la oteza i u uto è baalete il odotto del odulo della coia e la coisodete elocità agolae, ete, ota la oteza, la coia i u uto è defiita coe il aoto ta oteza e elocità agolae. I tal odo è ossibile deteiae la coia assia seza tacciae tutta la cua, idiiduado il uto di tageza ta ua etta assate e l oigie ed il diagaa della oteza (ifatti il aoto citato i ecedeza o è alto che la edeza della etta, che isulta assia el uto di tageza). 9

10 4. TSISSIONE Il otoe e l utilizzatoe egoo cosideati seaataete e successiaete collegati attaeso la tasissioe (Figua 9) che è il secodo eleeto dello schea i Figua. questo liello di aalisi, o iteesseà coe sia fisicaete ealizzata la tasissioe, a saao ileati i aaeti caatteistici della tasissioe stessa, ossia il edieto ed il aoto di tasissioe. La tasissioe dee eciò ossedee diesi equisiti: ealizzae la coessioe fisica fa il otoe e l utilizzatoe; tasettee la oteza eccaica, iducedo al iio le edite e attito; odificae i fattoi della oteza eccaica tasessa adattadoli all utilizzatoe, solitaete oeado ua iduzioe della elocità ed u aueto della coia. Occoe sottolieae ifatti che i otoi i geee - sia elettici che a c.i. - laoao bee se ateuti ad u egie di otazioe eleato. Questo è i cotasto co le esigeze dell utilizzatoe che ichiede oteza otice i teii di ua coia eleata foita a basso egie di otazioe. e e τ,η u Figua 9 Tasissioe e elatii flussi di oteza. Il io aaeto fodaetale è il aoto di tasissioe τ (solitaete ioe di uo) ta la elocità agolae etate e quella uscete: u τ u e (5.4) Pe quato iguada l asetto eegetico, ella tasissioe eteà ua oteza etate e e e uscià ua oteza uscete u che i geeale diffeià dalla oteza etate. Tale diffeeza è causata della eseza della oteza eduta, douta alla eseza di attiti i seo agli ogai eosti alla tasissioe, basti esae ad ua tasissioe ealizzata ediate igaaggi. La dissiazioe eegetica si aifesta coe ua cessioe di caloe eso l esteo. Tale dissiazioe di oteza saà tato ioe quato iù idotti saao gli attiti all iteo della tasissioe. Pe la alutazioe di questo feoeo iee itodotto il edieto η, solitaete ioe dell uità, defiito dal aoto ta oteza uscete e oteza etate: η u e (5.5) La elazioe che lega la oteza eduta al edieto è esiibile coe: ( e u ) ( η ) e (5.6) u η 0

11 Il sego egatio ella (5.6) esie la coezioe assuta che cosidea le oteze usceti dal sistea coe egatie e ositie quelle etati, coezioe che cocoda co il sego che si ottiee ei odotti scalai. e u e u τ, η τ, η e u e u Figua 0 Tasissioe i seie ed i aallelo. e u È iteessate osseae le diffeeze che esetao le tasissioi co collegaeto i seie ed i aallelo (Figua 0): suoedo di collegae due eleeti i seie il aoto di tasissioe colessio è ai al odotto di quello dei sigoli eleeti: τ τ τ (5.7) Ifatti si ha: u τ (5.8) u u u u u, τ, τ ττ e e u e u e alogo discoso è alido e i edieti: η η η (5.9) η u u u u u u, η, η ηη e e u e u e (5.30) Se, iece, il collegaeto aiee i aallelo, alloa si soao le oteze usceti da ogi tasissioe, ad eseio: u + (5.3) u u licado la defiizioe (5.5) si ha: u u u e e η (5.3) e e + + e η e + η + e I questo caso il edieto totale è la edia esata dei edieti delle sigole tasissioi, doe i esi soo le oteze etati i ogua delle tasissioi.

12 4.. oto dietto e oto etogado Ua tasissioe uò tasettee oteza i due esi diffeeti. Si ala di oto dietto quado la oteza fluisce dal otoe all utilizzatoe e di oto etogado quado la oteza fluisce dall utilizzatoe al otoe i eso oosto. secoda del eso i cui fluisce la oteza all iteo della tasissioe il aloe del suo edieto assue aloi diesi, solitaete iù alto quado la oteza fluisce dal otoe eso l utilizzatoe e la tasissioe laoa coe iduttoe di elocità che o el eso oosto. Si esti duque attezioe a o cadee i eoe cosideado ad eseio la etoacia coe u oto etogado. Ciò che è disciiate o è il eso della elocità, a quello della oteza. 5. UTILIZZTOE efiiao utilizzatoe la ate della acchia che iee ossa dal otoe attaeso la tasissioe e aeseta l ultia ate del odello i Figua. Il cootaeto diaico dell utilizzatoe, che coede ai fattoi quali ad eseio i cotibuti douti alle iezie, alla esisteza aeodiaica, alla esisteza al otolaeto, ecc., iee coueete aesetato e ezzo della cua caatteistica del suo oeto esistete, oue e ezzo della cua della oteza esistete (Figua ). d eseio, el caso dell autoeicolo già cosideato, la cua della coia esistete è ua aabola sietica isetto all asse eticale e sostata eso l alto, oiché i è u cotibuto fisso douto agli attiti del otolaeto ed alla eetuale edeza, ed u teie quadatico douto alla esisteza dell aia, che è oozioale al quadato della elocità (eloeo ell abito di elocità o esteaete eleate). Figua Cue caatteistiche e l utilizzatoe. 6. PPLICZIONE EL BILNCIO I POTENZE LLO STUIO ELL UTOOBILE Si ocede oa allo studio del cootaeto diaico co la deteiazioe della legge di oto ediate l alicazioe del bilacio di oteze e della scheatizzazioe del sistea coe iotato i Figua che eette di icaae diettaete l acceleazioe ediate la scittua di ua sola equazioe. Va acoa icodato che ete egli equilibi diaici o si cosideao le azioi itee le quali dao cotibuto ullo essedo costituite da due azioi uguali e cotaie, el bilacio di oteze ao cosideate o solo le foze estee, a ache quelle itee.

13 Il bilacio di oteze de dt osta che la diffeeza fa la oteza etate e la oteza uscete el sistea cosideato oduce ua coisodete aiazioe dell eegia cietica ell uità di teo. Occoe etato disciiae quali foze dao cotibuto ositio e quali cotibuto egatio estado attezioe al sego delle oteze: ao ifatti ese co sego ositio le oteze otici che dao u iceeto all eegia cietica, ossia quelle deteiate da foze equiese co la elocità, co sego egatio tutte le iaeti (questo fatto isulta del tutto oio quado si esa all effettio sigificato del bilacio di oteze coe equialete dell equazioe dell eegia cietica). 6.. oto a egie Si ieda oa i cosideazioe l eseio dell autoettua (Figua ), esaiado il oto a egie e teedo oa coto ache della tasissioe attaeso i aaeti caatteistici τ ed η. Il bilacio di oteze, che i questo caso a scitto solaete coe 0 oiché la aiazioe di eegia cietica è ulla, è coosto da te teii distiti, oeo: (5.33) doe la soa ella (5.33) è da cosideasi coe soa algebica. τ,η k Pote Tasissioe τ c, ηc otoe τ, η g tb B t assia aissioe iia aissioe Figua Studio dell autoobile a egie teedo coto della tasissioe. Il teie aeseta la oteza otice e duque è ositia i cofoità alle ecedeti cosideazioi. Pe le sua deteiazioe quatitatia è ecessaia la coosceza del diagaa della coia, e il quale algoo le cosideazioi solte el aagafo sul otoe. Noto alloa il gado di aissioe e la elocità dell albeo otoe, la oteza otice isulta: 3

14 (5.34) Il secodo teie esie le oteze esisteti, che isulteao egatie, e uò essee a sua olta scoosto i due cotibuti distiti: il io douto alla oteza dissiata el otolaeto a causa dell attito olete (edi (4.7)), ai a: ( + ) u P f ot. B (5.35) ed il secodo, deteiato dalle esisteza aeodiaica, che ale: aia k (5.36) doe k è dato da ½ ρ S C, isettiaete desità dell aia, sueficie della sezioe aesta e coefficiete di esisteza aeodiaica (edi (4.37)). L ultio teie è la oteza eduta (5.6) el assaggio attaeso la tasissioe, oeo: ( η) (5.37) I effetti bisogeebbe cosideae che il edieto η dee essee deteiato coe il odotto dei edieti della tasissioe al ote (diffeeziale) η e di quella del cabio η c (edi Figua ) che isultao collegati i seie e che aia i base alla acia iestata al cabio (si icoda che iee defiita esa dietta la acia co aoto di tasissioe τ ). Sostituedo le elazioi otteute ella (5.33) si icaa, co alcue selificazioi, la seguete η P f k 0 (5.38) Quest ultia foula uò essee ulteioete siluata; si cosidei ifatti che la elocità si deteia, sotto l iotesi di adeeza delle uote, coe: (5.39) doe ed soo il diaeto e la elocità agolae delle uote. Il aoto di tasissioe τ (e il quale algoo le edesie cosideazioi già fatte e i edieti iguado al cabio ed al ote) è il aoto ta la elocità agolae delle uote e la elocità agolae dell albeo otoe, ossia: τ (5.40) Si uò esiee alloa la elocità coe: τ (5.4) dalla quale si icaa ageolete la elocità agolae del otoe i fuzioe della elocità: 4

15 τ (5.4) Facedo oa uso della (5.4) ella (5.38), seaado i teii e selificado e la elocità, si ottiee: η τ ( ) Pf + k (5.43) Oeo: τ P f k η + (5.44) 6.. Foze idotte lla elazioe (5.44) si uò dae u iteetazioe iteessate deoiado foza otice idotta F il teie a siista e foza esistete idotta F quello a desta dell uguale e icaado: F F (5.45) La foza otice idotta è la foza che, agedo sul eicolo (si esi sul gacio di taio), dà la stessa oteza otice utile, ossia deuata dalle edite della tasissioe, ete la foza esistete idotta è quella che, agedo sul eicolo, foisce la edesia oteza esistete (Figua 5.3). F F Figua 5.3 Foze otice e esistete idotte. La iduzioe di foze e oeti, cosetedo di icodue tutte le azioi sul edesio eleeto eccaico i oto, ieste u uolo aticolaete iotate, giacché ede ossibile il cofoto degli effetti di coie e foze ageti su di u eleeto della acchia co alti ad esso collegati. È eidete duque che a egie, ossia quado la elocità dell autoeicolo è ai ad u aloe egie, dee essee ecessaiaete eificata la codizioe (5.45), ossia le foze idotte, esistete e otice, deoo equilibasi. È utile aesetae le foze idotte i u diagaa coe i Figua 4, deteiado così diettaete e ia gafica la elocità di egie el uto di itesezioe delle due cue. Si oti che al di fuoi di tale uto le foze o si equilibao, e cui dal diagaa, e ogi elocità, si ossoo alutae la foza acceleate utile e la foza deceleate a secoda dello squilibio ta le due foze i questioe. È ache chiao il eccaiso ediate il quale etabe queste foze tedoo a iotae il sistea alla elocità di egie: se, ad eseio, si fosse i ua osizioe a siista della elocità di egie ( i Figua 4), la diffeeza F F isulteebbe ositia, e cui isogeebbe ua foza acceleate che sussisteà solaete fio a quado F F o saà ulla, ossia quado il sistea 5

16 saà itoato a egie. desta di egie la diffeeza F F saebbe egatia e si aebbe ua foza deceleate che ioteebbe acoa il sistea al uto di equilibio. Iolte il diagaa della foza otice idotta uò essee ageolete deteiato e ezzo di u selice cabiaeto della scala del diagaa che aeseta la coia otice (fig. 5.0). Ifatti, icodado le esessioi della foza otice idotta η F u (5.46) τ e della elocità i fuzioe della elocità agolae dell albeo otoe i gii/i F F F ( ) F ( ) egie Foza acceleate utile Figua 4 iagaa delle foze idotte. π τ (5.47) 60 si icaao i fattoi di coesioe della scala e il tacciaeto del diagaa: σ η F σ u τ σ σ π τ 60 (5.48) (5.49) Si oti, ifie, che la elazioe (5.45) deteiata facedo uso dell eseio, tascede da questo, essedo geealete alida ed alicabile, duque, i tutti i oblei eccaici ei quali si debba cosideae u oto ad ua elocità di egie oto aio Il etodo aea isto e lo studio del oto a egie uò essee utilizzato ache e il oto aio, uché si edao i cosideazioe ache le oteze delle foze e delle coie d iezia. La foula 0 iee odificata ella * 0 (5.50) 6

17 ella quale, secodo la coezioe adottata, l asteisco idica la eseza delle foze d iezia. La ecedete foula equiale all effettia equazioe dell eegia cietica (.78), che scitta e esteso isulta: de + + (5.5) dt doe i teii assuoo i cosueti sigificati e la soa è da itedesi coe soa algebica. La (5.5) uò essee icodotta alla (5.50) cosideado che: de dt d + J a + J dt (5.5) Sostituedo la (5.5) ella (5.5) co alcui assaggi e icodado le defiizioi delle foze e coie d iezia, si ha: + + * de 0 dt + F + i i + C 0 + a + + J 0 + i 0 (5.53) Pia di oseguie è tuttaia ecessaio itodue il cocetto di assa idotta, utile alla tattazioe del oto aio. assa idotta. Si calcola la assa idotta coe quella assa equialete che, osta su u eleeto dotato di elocità ed acceleazioe diesa dalla osizioe oigiale, cosea ialteata la deiata isetto al teo della sua eegia cietica oeo cosea il aloe della oteza della foza d iezia. Il citeio che si alica e calcolae la assa idotta è ifatti quello di tasotae la assa i u uto dieso, dotato di diesa elocità ed acceleazioe, facedo i odo che iaga isettato il bilacio di oteza. Eseio di calcolo della assa otate del otoe, idotta a assa taslate. Coe eseio di alicazioe del calcolo della assa idotta si ieda acoa i cosideazioe l eseio dell autoobile, adado a deteiae la assa del otoe idotta al coo taslate della autoobile. Il teie che cotibuisce all iceeto dell eegia cietica è quello douto al otoe; detto J il oeto d iezia del otoe e la assa dell auto (Figua 5), si icaa seliceete l eegia cietica coe: E J J + + (5.54) otoe J Figua 5 iduzioe della assa otate del otoe a assa taslate. 7

18 Itoducedo la (5.54) ella (5.5) e cosideado che la a odificata a seguito della eseza dell iezia del otoe (Figua 6), ete la e la soo acoa date dalle (5.34) - (5.36), si ottiee: J. C otoe e J. ( C J. ) Figua 6 Poteza etate ella tasissioe. Tasissioe ( η) ( η)( J ) e (5.55) ( P f + k ) ( η)( J ) a + J (5.56) ( J ) ( P f + k ) a η (5.57) + Nella (5.56) si soo tascuate le iezie delle uote. Se o fosse ossibile tascuale, el teie a desta dell uguale saebbe ecessaio aggiugee il teie 4 J. Facedo oa uso della elazioe (5.4) e la elocità e di ua elazioe equialete e l acceleazioe deteiabile ediate deiazioe: a τ (5.58) si ottiee, sostituedo ed effettuado alcue selificazioi: η a η J Pf + k + a (5.59) τ τ 4 a cui agguado i teii siili: η J Pf k η a τ τ 4 (5.60) questo uto, si uò osseae coe solaete ua fazioe η delle oteze delle foze d iezia elatie al otoe attaesi i effetti la tasissioe. Facedo oa uso dei cocetti ecedeteete itodotti di foza otice e esistete idotte, la (5.60) si scie coe: F u F + ( + )a (5.6) ella quale si è defiita coe assa del otoe idotta al eicolo i oto taslatoio la quatità: 8

19 J η τ 4 (5.6) alla (5.6) aae chiao coe sia ifluete il aoto di tasissioe el aloe quatitatio della assa idotta del otoe, cosideado che τ aeseta a deoiatoe u teie olto ioe di uo i quato quadato di u teie ioe di uo. Pe eglio eselificae il cocetto si cosidei il seguete eseio. Sia dato u autoeicolo di assa ai a 000 kg, co u oeto d iezia del otoe J ai a 0. kg, co uote di diaeto ai a 0.6 e co u edieto della tasissioe uitaio. Se l autoobile si toa i ia acia co u aoto τ I /5 0.04, la assa idotta I è ai a 690 kg, ossia è il 69% della assa del eicolo, ete se è i quata acia, co τ IV /5 0., IV isulta 7.7 kg, ossia solo il.77% della assa del eicolo. Tale disceaza è douta, coe già sottolieato, alla eseza del teie τ a deoiatoe ella (5.6). Co ace basse, duque, ua ate ileate dell eegia cietica è cocetata elle ati otati del otoe. Questa caatteistica iee utilizzata el feo otoe, quado la oteza etate el otoe iee usata e auetae l eegia cietica delle ati otati. Nel seguito si edà ache l uso di olai co la edesia fuzioe di assobieto di oteza. U ultia osseazioe uò essee fatta a oosito della deteiazioe della legge del oto a atie dalla (5.60) o dalla (5.6): sia la foza otice che quella esistete idotta isultao i fuzioe della elocità. lloa la legge del oto è icaabile ediate ua sola itegazioe coe già isto ella (.73), ossia, suoedo l istate iiziale ullo: ( + ) d ( ) F ( ) t t dt 0 (5.63) Fu Ifatti: ( + ) d d F u( ) F ( ) + ( + ) dt (5.64) dt F ( ) F ( ) u Eseio di calcolo della assa otate delle uote idotta a assa taslate. I odo aalogo alla assa idotta del otoe si uò cosideae ache la assa otate idotta a assa taslate. L eseio si uò edee alicato alle uote dell autoobile (Figua 7). Si è affeato i ecedeza che la deiata dell eegia cietica douta alla assa idotta, uguaglia la oteza delle foze d iezia; eslicitado tale affeazioe si dee duque oe la oteza effettia delle foze d iezia ai alla deiata dell eegia cietica di ua assa J che si uoa di oto taslatoio (si esti attezioe a o cadee i equioco a causa della otazioe adottata che otebbe sebae oia di u oeto d iezia: la J è agli effetti diesioali ua assa); co baali assaggi si icaa alloa: d J J J a (5.65) dt i 9

20 a. J Figua 7 iduzioe della assa otate delle uote a assa taslate. Utilizzado oa le cosuete elazioi cieatiche ell iotesi di adeeza, si icaa: J J a J 4 (5.66) 6.4 Cabio Si è ista l iotaza del aoto di tasissioe ella deteiazioe della assa equialete, a iotaza acoa aggioe assue il aoto di tasissioe ella foza otice utile idotta. alla sua esessioe, già icaata al io ebo della (5.60) e ai a: η F u (5.67) τ aae ifatti eidete coe ache i quest ultio caso la F u isulti iesaete oozioale al aoto di tasissioe. Il eccaiso ediate il quale è ossibile aiae tale aoto è il cabio. Nel caso dell autoeicolo si è già isto coe il aoto fiale τ isulti dal odotto dei aoti di tasissioe del ote τ e del aoto τ c che aia al aiae delle ace (si icodi che a ace basse coisodoo aloi bassi di τ c ). Pe la coesioe del fuzioaeto del cabio di elocità, è utile aesetae i u diagaa (Figua 8) sia la foza otice idotta che quella esistete a ai gado di aissioe, oiché si uò osseae coe l adaeto della foza F dieda foteete dalla acia iestata. Iolte, assado da aloi alti a aloi bassi di τ (ossia da ace alte a ace basse) la foza otice idotta cesce, a coteoaeaete si estige l iteallo di elocità utile coisodete. 0

21 F I F I F, F F I F II F III F + i P F IV F α P F IV P cosα P siα i P IV F I IV Figua 8 iagaa delle foze otici e esistete idotta a ai gado di aissioe. Se si ede i cosideazioe il caso dell autoobile i salita, coe già ostato i Figua 8, olte ad F, è ecessaio aggiugee il teie P si α doe α è l agolo di icliazioe della stada. È ialso l uso di sostituie tale esessioe co i P, doe P è il eso del eicolo ed i aeseta la edeza oeo la tagete dell agolo di icliazioe del iao stadale. Coe detto, i è la tagete dell agolo α e iee solitaete esesso i ecetuale i odo che ua edeza del 00% coisode ad ua icliazioe di 45. La sostituzioe della fuzioe seo co la tagete del edesio agolo è giustificata dalla aossiazioe iuttosto buoa e bassi aloi di α (ifatti co i 0%, ossia α 5 4, si α è ete ta α è 0.00 co u eoe ai a 0.5%). L aossiazioe eggioa all auetae di α i odo che i P isulta aggioe, ache sesibilete, di P si α. Tale aossiazioe tuttaia a el eso del soadiesioaeto del otoe i fase di ogetto. Tacciado el diagaa ache la soa di questi due cotibuti, si ossea che, scegliedo ootuaete la acia, si iesce ad alzae F fio a icee la foza esistete assegata. Uico eleeto egatio è la bassa elocità che e cosegue, a causa della liitata elocità assia di otazioe del otoe. 7. OTO ELL SCENSOE L ascesoe è u sistea iuttosto selice che be si esta all aalisi ed all alicazioe degli agoeti sioa solti. Si uò scheatizzae il sistea elle sue ati esseziali coe i Figua 9, cosideado, olte chiaaete al otoe di oeto d iezia J, u olao di oeto d iezia J collegato al otoe ed ua uleggia, che egge i cai collegati alla cabia ed al cotaeso, di oeto d iezia J, accoiata all albeo otoe taite ua tasissioe aesetata da u iduttoe a ite eetua e uota elicoidale. Se la lughezza delle fui o è eccessia, la loo assa è tascuabile. Si suoe ota ache la cua caatteistica del otoe asicoo, foita dal costuttoe, che saà del tio di quella iotata i Figua 5.

22 J J τ, η J Q P Figua 9 Schea di u ascesoe (oto a egie i salita). 7.. oto a egie i salita Fissato u eso ositio e le elocità agolai e e i oeti, si icoici a cosideae il caso di oto a egie i salita. Facedo uso del bilacio di oteze (5.33) e icodado che a egie o ietao i teii douti all iezia, oiché è ulla la aiazioe dell eegia cietica, si ottiee: (5.68) P + Q ( P Q) ( P Q) (5.69) ( η) e ( η) (5.70) doe la oteza esistete è quella legata al caico della cabia ed al cotaeso. a u iù atteto esae (5.69) si uò tuttaia osseae coe effettiaete solo il cotibuto del eso P della cabia deteii ua oteza co sego egatio, ete il cotibuto del eso Q del cotaeso sia ositio. Si otebbe etato cosideae la oteza della foza eso del cotaeso coe ua oteza otice del sistea e o ua oteza esistete. Il bilacio di oteze isulta duque: ( η P Q) 0 (5.7) alla (5.7), icodado la defiizioe di aoto di tasissioe (5.4), si icaa l esessioe del oeto otoe ecessaio e ateee il oto elle codizioi di egie: ( P Q) τ (5.7) η Poiché si è a egie, il aloe del oeto esistete idotto all albeo otoe dee aee il edesio aloe del oeto otoe, coe si ea isto i ecedeza e le foze coisodeti:

23 ( P Q) τ (5.73) η Cooscedo la cua caatteistica del otoe è ossibile deteiae, aesetado sul edesio diagaa ache il aloe di, la elocità di fuzioaeto a egie gaficaete coe itesezioe delle due cue (Figua 0)., eg. 0 Figua 0 iagai dei oeti a egie., eg. discesa eg. salita Figua iagai dei oeti a egie i salita e i discesa. goeti essoché idetici ossoo essee esi i cosideazioe quado si aalizzi il oto a egie i discesa, essedo il oeto esistete idotto dato acoa dalla (5.73), co l uica aeteza di cosideae il edieto η elatio al oto etogado. Ciò che aia iece è la coia otice che cabia di sego. Pe icaae tale diagaa, basta ibaltae fisicaete il diagaa dato e il oto dietto (Figua ). all aalisi di etabi i diagai, se i edieti i oto dietto e etogado soo uguali, si uò osseae che i questo caso il odulo della elocità di fuzioaeto è sueioe alla elocità di sicoiso (l ascesoe i discesa eseta quidi ua aggioe elocità). 7.. oto aio i discesa elatiaete iù colesso è lo studio del oto aio i discesa (Figua ), che iee studiato utilizzado l equazioe dell eegia cietica ella foa già ista ella (5.5). È ootuo, e chiaezza, aalizzae i teii uo e olta: la oteza otice è douta al otoe e, e quato 3

24 isto el aagafo ecedete iguado al sego dei odotti scalai elatii alle oteze, al colesso cabia caico tasotato, oeo: + P P (5.74) + J. J τ, η J. a a Q P Figua Schea di u ascesoe (oto aio i discesa). La oteza esistete è data dal solo cotaeso: Q Q (5.75) ete, cosideado il oto etogado, la oteza eduta è aesetata dalla fazioe ( η ) delle oteze che attaesao la tasissioe. Nel osto caso etao i gioco ache le foze d iezia dei caichi e la coia d iezia della uleggia, ale a die: ( η ) e ( η )[ P + Q + Fi + Fi + Ci ] P Q P + Q ( η ) ( P Q) a J g (5.76) La deiata dell eegia cietica si icaa facilete coe: de dt P Q a + a + ( J + J ) + J g g P + Q a + g ( J + J ) + J (5.77) Sostituite le quatto ecedeti elazioi ella (5.5) si ha: P+ Q + η ( P Q) a J ( J J) g + (5.78) Facedo uso delle cosuete elazioi cieatiche (5.4) e (5.58), si icaao le 4

25 τ τ (5.79) ediate le quali la (5.78) uò essee iscitta solo i teii di elocità ed acceleazioi agolai del otoe; eseguedo oi alcue selificazioi, si giuge alla ( P Q) P+ Q + η τ J + J + η Jτ + η τ (5.80) g 4 da cui, fialete, si icaa l acceleazioe agolae: + η ( P Q) τ (5.8) P + Q J + J + η J + τ g 4 causa della eseza del teie τ a deoiatoe della foula ecedete, cica il 90% del aloe del deoiatoe stesso coete ai oeti d iezia del olao e del otoe, ete solo il estate 0% è douto ai teii eto aetesi. Ifatti co u aoto τ di /50 si ha τ che ede tascuabili i oeti d iezia equialeti della cabia e del cotaeso, isetto a quelli del olao e del otoe, sebbee essi esetio dei oeti olto iù iccoli. Se e deduce che ua ga ate della oteza foita dai caichi i discesa iee utilizzata e acceleae il olao, co u sesibile effetto feate duate i tasitoi. zi, ediate u ootuo diesioaeto del olao, si uò fissae l acceleazioe i discesa eto liiti accettabili seliceete sostituedo ella (5.8) il aloe assio desideato e isoledo tale esessioe isetto al oeto d iezia J del olao. Ifie, a causa delle sue caatteistiche, isulta chiao coe sia coeiete l alicazioe del olao all albeo iù eloce i aiea tale da otee utilizzae uo iù leggeo e quidi eo igobate e eo costoso. 8. INIC I UN GLIFO OSCILLNTE 8.. Poblea ieso I Figua 3 è iotato lo schea del eccaiso a glifo oscillate di ua acchia utesile già aalizzato el aagafo 3.6 e quato iguada la cieatica e etato le gadezze cieatiche si suoao ote. Ulteioi gadezze ote soo: la assa e il oeto d iezia baicetico J del glifo OC, ete la assa del cosoio i B, la assa ed il oeto d iezia baicetico J della aoella B soo cosideati tascuabili. Si suoe iolte che sia esete attito ta il cosoio i B ed il glifo co aloe del coefficiete di attito uguale ad f. 5

26 C C C F F F cost., J f T N B ϑ H B N H B V F T G F i G G V OC i OC Fi OC F i t t O ϑ g H O O V O g y + x H O V g O i i O Figua 3 iaica del glifo oscillate. È ota ache la foza F, dietta oizzotalete e alicata el uto C, che aeseta la foza esistete esecitata sul glifo dalla slitta ota utesile: essa è costituita, i fase di adata, dalla soa della foza di taglio esecitata dall utesile, della foza d iezia douta all acceleazioe della slitta e dell attito ta slitta e guide ettiliee, ete i fase di itoo è costituita sola dalla foza d iezia e dall attito. Lo scoo del oblea è la deteiazioe di e delle eazioi esecitate dal eccaiso sul telaio i e i O. isoluzioe ediate le equazioi di equilibio diaico. Le foze da cosideasi e la scittua delle equazioi di equilibio soo le sole foze estee al sistea, sia attie che eattie; ta le foze estee attie egoo cosideate, secodo il iciio di lebet, ache le foze d iezia che el caso cosideato soo date dalla foza d iezia del glifo F i e dalla coia d iezia del glifo i : F i a t ϑ ϑ G ag ag OG OC OG OC t (5.8) OC OC OCt J J ϑ k (5.83) i Occoe ifie eideziae le foze estee eattie ageti sul sistea elatie alle ceiee i e O, che chiaeeo co i siboli H, V, H O e V O, e che soo oiaete icogite, e si aggiugoo al oeto otoe, ach esso icogito (Figua 3 ). Essedo cique le icogite scalai, le te equazioi che si ossoo sciee sul sistea eccaico coleto o soo sufficieti, e cui, olte al sistea eccaico coleto, si cosideao i due sottosistei otteuti aedo il sistea oigiaio. Se le diesioi del cosoio i B soo tascuabili, questo uò essee cosideato coe utifoe, e cui la eazioe itea saà solo la eazioe oale N, a cui si affiaca u azioe tageziale T douta all attito (Figua 3 ); i questo caso il oeto iee tascuato. Noto il coefficiete f ed il eso della elocità elatia ta glifo e cosoio, è deteiato ache il odulo ed il eso della T co le (4.0) e (4.). Le icogite scalai soo etato sette e ao deteiate ediate sei equilibi diaici ai quali si aggiuge la elazioe di Coulob (4.0) dell attito adete ta glifo OC e cosoio B. Ua ossibile scelta delle equazioi è la seguete: 6

27 ao. * 0 T Bsi( ϑ ϑ) N Bcos( ϑ ϑ) 0 (5.84) ao. ao. glifo glifo glifo Fx 0 H T cosϑ + N siϑ 0 (5.85) * Fy * 0 V T siϑ N cosϑ 0 (5.86) 0 F OGOC gogoc cosϑ + N OB + F OCsiϑ 0 (5.87) t O* i i Fx* 0 H + Fi siϑ + Fi cosϑ N siϑ + T cosϑ F 0 (5.88) O t Fy * 0 V g Fi cosϑ + Fi siθ + N cosϑ + T siϑ 0 (5.89) O t T f N (5.90) Se le diesioi del cosoio o soo tascuabili, è ecessaio cosideae ache la eazioe itea aesetata dal oeto, obeggiato i Figua 3. I tal caso le icogite scalai diegoo otto e isulta ecessaio sia odificae le equazioi (5.84) e (5.87) che diegoo le (5.84) e (5.87), sia itodue ua ulteioe equazioe olte alle (5.84) - (5.90) che uò essee ad eseio l equilibio alla taslazioe oizzotale di tutto il sistea: ao. glifo sistea * 0 T Bsi( ϑ ϑ) N Bcos( ϑ ϑ) 0 (5.84) * 0 i Fi OGOC gogoc cosϑ + N OB + F OCsiϑ + 0 (5.87) O t Fx* 0 H + Fi siϑ + Fi cosϑ + H F 0 (5.9) O t isoluzioe ediate il bilacio di oteze. Pe sistei a u gado di libetà, quale il glifo oscillate oggetto dello studio, di aticolae utilità uò ielasi l iiego dell equazioe dell eegia cietica, detta ache bilacio di oteze, la cui foulazioe iù geeale è la seguete: k de F k k dt (5.9) Pe sciee il bilacio di oteze del sistea, a io ebo bisoga cosideae la oteza del oeto otoe, della foza esistete e del eso g. Le eazioi icolai H, V, H O e V O o laoao, eché i loo uti di alicazioe e O o si uooo. Occoe oi aggiugee la oteza dissiata dalla foza d attito T ta cosoio e guida coe ostato dalla (4.7). L eegia cietica del sistea è uguale alla soa delle eegie cietiche dei diesi eleeti che lo coogoo; cosideado il cosoio utifoe, si ha: 7

28 E G OC G + J OC (5.93) I defiitia si ha: F g J (5.94) + C + G f N OC ag OCt G + OCt Nella (5.94) olte al oeto otoe aae ache coe icogita la eazioe itea N, che uò essee deteiata ediate u equilibio diaico aositaete scelto, coe ad eseio la (5.84) e la elazioe di Coulob (5.90). I tal odo è ossibile deteiae il oeto otoe. Pe la deteiazioe delle alte eazioi icolai iae iece ecessaio icoee agli equilibi diaici. 8