Validazione sperimentale di modelli per la descrizione del comportamento dinamico di compositi laminati

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1 Validazione sperimentale di modelli per la descrizione del comportamento dinamico di compositi laminati L. Gerovasi, B. Picasso Dipartimento di Ingegneria Meccanica Università di Cagliari Piazza d Armi 0913 Cagliari picasso@zot.unica.it Keywords: damping, viscoelasticity, composite materials, axial vibrations Sommario Il comportamento dinamico dei compositi laminati a matrice plastica viene correntemente descritto utilizzando modelli di viscoelasticità lineare. Questo lavoro si propone di applicare questi modelli alla previsione del modulo complesso di laminati PEEK-Grafite, partendo dall'ipotesi di fibre elastiche e matrice viscoelastica. I laminati presi in considerazione avevano vari spessori e diverse sequenze di orientazione delle lamine. Si è partiti dalla misura del modulo complesso della matrice ottenuta con varie tecniche, quali la misura del decremento logaritmico e la misura dell'impedenza nel punto di eccitazione per una trave non vincolata. È stato sviluppato un modello per la previsione dei moduli complessi di un laminato con qualunque sequenza di laminazione, basandosi su alcune relazioni dovute ad Hashin per il calcolo del modulo complesso di una singola lamina partendo dalle caratteristiche note delle fibre e della matrice. Le prove sperimentali svolte hanno permesso di verificare precisione e limiti di applicabilità del modello precedente. È stata proposta una nuova tecnica sperimentale per la misura dello smorzamento in trazione. Abstract The prediction of the dynamic behaviour of plastic matrix laminated composites is usually obtained using linear viscoelastic models. This paper describes the results of a research effort aimed at analysing the accuracy and application limits of linear viscoelastic models. Pee-Graphite laminates with various fibre orientations were experimentally tested in bending and tension. Complex modulus predictions were performed starting from measured matrix properties and fibre properties from the scientific literature. The correspondence principle was applied to calculate the complex modului of the laminates with various stacing sequences. A new experimental technique for measuring the complex modulus in tension and torsion is presented. 1. INTRODUZIONE L'impiego di modelli viscoelastici lineari nella valutazione del comportamento dinamico di compositi laminati a matrice plastica è pratica corrente. Il comportamento dei materiali polimerici che vengono comunemente usati come matrici è ben rappresentato da modelli di viscoelasticità lineare anche se i fenomeni dissipativi che hanno luogo durante la deformazione sono intermedi tra quelli di un solido cristallino e quelli di un liquido viscoso. Ciò è dovuto al fatto che i polimeri non presentano una struttura completamente cristallina e sono caratterizzati da macromolecole aggregate e reticolate in vario modo disperse in una fase amorfa[1,]. Se si adotta il concetto di modulo complesso si può dire che sia la parte conservativa che quella dissipativa dei moduli elastici dipendono fortemente dalla frequenza e dalla temperatura. Nel passare attraverso una zona critica di transizione vetrosa i moduli conservativi subiscono un forte incremento, quelli dissipativi presentano un massimo più o meno pronunciato. Questo comportamento si riflette, anche se attenuato dalla presenza delle fibre, sul comportamento dei compositi [3]. Nella progettazione di strutture in composito l'impiego di valori del modulo complesso indipendenti dalla frequenza può portare a risultati lontani dalla realtà, soprattutto se il composito presenta una percentuale in volume di fibre non elevatissima. In questo lavoro si parte dalla misura sperimentale del modulo complesso della matrice e dalle caratteristiche elastiche note delle fibre per calcolare il modulo complesso della lamina elementare e da questo, attraverso l'applicazione del principio di corrispondenza [4], al modulo dell'intero laminato. 191

2 XXX Convegno Nazionale AIAS Alghero (SS), 1-15 settembre 001. MODELLI VISCOELASTICI.1 Modelli generali I modelli viscoelastici sono il naturale compromesso tra il comportamento elastico a quello plastico. Per studiare questi comportamenti, spesso basati su fenomeni complessi, può essere conveniente utilizzare dei modelli a parametri concentrati. Il modello più semplice per mostrare questo è quello di Voigt, dove una molla ed uno smorzatore puro sono posti in parallelo. La relazione tra sforzo e deformazione è la seguente: σ = E ε + η ε (1) dove η è funzione della frequenza. Se si sottopone un materiale viscoelastico lineare a variazioni di sforzo e deformazione dipendenti dal tempo, questo si comporterà seguendo, in generale, la legge: a + a a t t + + n σ n a n = b + ε n 0 b1 b bn t t t t n () da cui passando dall espressione temporale a quella in frequenza e facendo le opportune semplificazioni, è possibile legare ε e σ tramite l eq. (3): σ = E ε (3) dove E = E0 (1 + i η) (4) con l eq. (4) si definisce il modulo complesso E. Inoltre per qualsiasi proprietà elastica di un generico materiale viscoelastico è sempre possibile l applicazione del principio di corrispondenza di Hashin[4-6] che conserva la validità di tutte le relazioni tra sforzi e deformazioni semplicemente sostituendo ai moduli elastici reali i loro corrispondenti complessi.. Modelli per laminati I compositi laminati vengono normalmente schematizzati come una sequenza di strati, aventi proprietà diverse secondo l orientazione delle fibre nello strato. Per questo è basilare passare dalle caratteristiche dei costituenti a quelle di ciascuna lamina. Per quanto riguarda il modulo di Young, per una lamina in cui le fibre sono dirette lungo l asse della lamina stessa, vale l eq. (5): ( v v ) 4 v 1 v E = E 1 1 v1 + E v + v1 v µ 1 (5) dove l indice 1 rappresenta la matrice e l indice le fibre, v la frazione in volume di ciascun costituente, il modulo di compressione idrostatica trasversale e µ il modulo di Lamè. Nell equazione (5) l ultimo termine è numericamente trascurabile. Esistono relazioni analoghe per ciascuna caratteristica della lamina [4]. Con l uso delle predette espressioni si arriva alla matrice di rigidezza Q x,y della singola lamina: 1/ E Q x, y = ν / E 0 ν / E 1/ Et / G (6) dove E t è il modulo elastico in direzione perpendicolare alle fibre, ν è il modulo di Poisson e G è il modulo di taglio. Avendo ricavato in questo modo la matrice di rigidezza Q x,y, è possibile, tramite le matrici di trasformazione delle ε e delle σ, ottenere la matrice Q per una generica orientazione delle fibre, come mostrato della eq. (7): [ 1 Q] = [ T] σ [ Qx, y ] [ T] ε (7). 19

3 XXX Convegno Nazionale AIAS Alghero (SS), 1-15 settembre 001 Il fattore di smorzamento ψ è definito dal rapporto tra l energia dissipata e la massima energia di deformazione accumulata. Nella valutazione energetica di ψ è un cardine il criterio di Adams e Bacon[7,8],secondo il quale l'energia dissipata, in una singola lamina unidirezionale, è semplicemente la somma delle energie dissipate dalle singole componenti di sforzo prese singolarmente. Questo è traducibile nell eq. (8): 1 U = [ ψ σ ε dv + ψ σ ε dv + ψ σ ε dv V V V + ψ 3 σ 5 ε5 dv + ψ1 σ 6 ε6 dv ] V V (8). Con questa assunzione, applicando la teoria della laminazione, è possibile scrivere l eq. (9) che esprime lo smorzamento in un laminato simmetrico[10,13,14] (dove la matricec è l inversa della D): ψ x 8 ψ N / = L ( ) ( ) ( 3 ( 1) ) 3 m m C n C mn C C11 N = 1 ψ y 8 ψ N / = T ( ) ( ) ( 3 ( 1) ) 3 n m C n C mnc C11 N = 1 (9). ψ xy 8ψ N / = LT 3 3 ( 11 1 ( ) 16 )( )( ( 1) ) 3 mn mnc mnc m n C C11N = 1 Il modello da noi proposto si propone di trovare lo smorzamento di un generico laminato composito partendo dalle caratteristiche complesse dei costituenti. Il primo passo per ottenere questo è stato realizzato con l uso della teoria di Hashin che parte dalle caratteristiche dai costituenti per arrivare, tramite l applicazione del principio di corrispondenza, a quelle della singola lamina. Il secondo con la teoria della laminazione con cui si va dalla singola lamina all intero laminato. A questo punto avendo trovato le matrici A,B e D complesse,come mostra l eq. (10), definiamo il coeffìciente di smorzamento in flessione come il rapporto tra la parte immaginaria e quella reale del D 1,1 N A B ε0 = M B D (10). Questa scelta si origina dal fatto che l unico momento non nullo è quello M 1 e quindi il termine considerato è proprio quello che lo lega alla curvatura corrispondente [1]. 3. ANALISI SPERIMENTALE 3.1 Tipo di materiali impiegati Lo studio è stato condotto esclusivamente su provini rettangolari. I materiali utilizzati durante le prove sono stati: provini di materiale composito laminato a matrice polimerica rinforzati con fibre di carbonio (PEEK- APC4) di sezione rettangolare da 0 mm x 1 mm e da 0 mm x mm con lunghezze variabili tra 100 mm e 400 mm e provini di matrice pura (PEEK) di sezione rettangolare da 0 mm x 4,7 mm con lunghezze variabili tra 100 mm e 50 mm. I provini in materiale composito laminato CFRP utilizzati per le prove sono stati sia off-axis (0, 45, 90 ) che angle-ply (0, ±15, ±35, ±45, 90 ). Nella fase iniziale di verifica delle metodologie di prova, sono stati utilizzati provini di alluminio, ricavati da profilati di sezione rettangolare da 0 mm x mm e da 5 mm x mm. 3. Metodologie sperimentali Le prove in flessione sono state condotte seguendo due diverse tecniche. 193

4 XXX Convegno Nazionale AIAS Alghero (SS), 1-15 settembre 001 La prima è stata caratterizzata dalla valutazione dello smorzamento tramite la misura del decremento logaritmico; la seconda è stata condotta con l uso di eccitazione forzata, ricavando il valore dello smorzamento dall acquisizione della funzione di risposta in frequenza. Le misure del decremento logaritmico sono state realizzate utilizzando l apparecchiatura illustrata in fig. (1). Le prove sono state realizzate utilizzando due tipi di sensori senza contatto: un sensore a correnti parassite (Kaman KD 300-6C) che richiede la presenza sul provino di un sottile riscontro metallico (nel caso specifico una piccola lamina di rame da 0,35 mm di spessore); un sensore a solenoide che necessita di un piccolo magnete permanente incollato sulla trave. Il primo tipo di sensore richiede opportuna alimentazione e condizionamento prima di essere acquisito; la seconda soluzione non ha richiesto alcun intervento di amplificazione sul segnale prima che questo fosse inviato agli strumenti di misura. In una prima fase è stato valutato l uso di accelerometri piezoelettrici: questa strada è stata abbandonata per l eccessivo e incontrollabile effetto dei cavi di collegamento sui valori di smorzamento misurati. Per contro le prove effettuate con i due sensori senza contatto hanno portato a valori praticamente coincidenti. Per migliorare le perdite dell incastro è stata utilizzata una morsa da banco molto robusta vincolata al piano di lavoro con una coppia di morsetti di taglia adeguata. A differenza di quanto possa sembrare, la realizzazione di un incastro perfetto quando si lavora con provini di materiali così rigidi e poco smorzanti, come sono quelli unidirezionali a 0, è un punto piuttosto critico. Trattandosi di prove senza eccitazione imposta, la frequenza di lavoro è determinata dalla geometria del provino. Per poter analizzare un campo di frequenze abbastanza ampio sono stati utilizzati provini di lunghezza via via decrescente, coprendo il campo da 0 Hz a circa 10 Hz. Lo stesso effetto è stato ottenuto usando delle masse variabili aggiuntive poste all estremità libera della trave[11]. Anche in questo caso i valori di smorzamento ottenuti con le due diverse tecniche sono assolutamente comparabili. Per acquisire i segnali è stato utilizzato un analizzatore di spettro (Ono Soi CF-940). Con questo sono stati misurati sia il decremento logaritmico su n cicli che la trasformata di Hilbert. Entrambe le misure hanno portato a risultati vicini e con errori contenuti ma la seconda ha mostrato di avere scarti molto limitati che sono stati compresi tra ± 5 % rispetto al valore medio della serie di misure (per quanto riguarda la matrice). Dei risultati ottenuti si parlerà diffusamente nel paragrafo seguente; comunque al variare della frequenza, si sono trovati i seguenti valori del fattore di dissipazione, η matrice =3,4-4,7 % e η laminati =0,6 -,4 %. Le prove con eccitazione forzata sono state realizzate con il sistema rappresentato in fig. (). In questo caso la frequenza di lavoro è imposta dall eccitazione: il tavolino vibrante (Brüel & Kjær 4809) è stato alimentato tramite un amplificatore che aveva come segnale di ingresso quello proveniente da un generatore di funzioni sinusoidali. Il collegamento tra trasduttore di forza (Brüel & Kjær 800) e trave è stato realizzato incollando con colla epossidica un perno filettato (0,6 grammi) al centro della faccia inferiore del provino. L accelerometro (Brüel & Kjær 4375) è stato fissato alla trave con cera per accelerometri. Accelerometro Provino Traduttore di forza Eccitatore Riscontro Provino Incastro Sensore senza contatto Figura 1 apparato per misure di decremento logaritmico Figura apparato per misure con eccitazione forzata 194

5 XXX Convegno Nazionale AIAS Alghero (SS), 1-15 settembre 001 I segnali provenienti dai sensori, sono stati acquisiti con un analizzatore di spettro, dopo essere stati opportunamente amplificati e filtrati tramite specifici condizionatori di segnale. È stato così possibile costruire la funzione di risposta in frequenza intorno al picco della prima frequenza propria, come rapporto tra i segnali di forza e velocità. La tecnica descritta è stata impiegata per la caratterizzazione della sola matrice. I valori misurati sono stati confrontati con quelli calcolati tramite la seguente eq. (11) [1] che descrive il comportamento di una trave priva di vincoli eccitata in mezzeria. L impedenza nel punto di eccitazione è: Z 0 1 sinh( n a) cos( n a) + cosh( n a) sin( n a) = jω M n a cosh( n a) cos( n a) + 1 dove n a = n a ( η + j ϕ) (1) e 4 ω ρ n = E 0 r dove Z 0 è il rapporto F/v nel punto di eccitazione, ω è la frequenza, a è la semilunghezza del provino, E 0 è il modulo di Young misurato per ω=ω 0, ρ è la densità, r è il raggio d inerzia della sezione trasversale del provino, M è la massa della trave e η e ϕ sono funzioni di η del materiale. Ulteriori dettagli di questo raffronto saranno espressi nel paragrafo seguente. Tutte le prove sono state condotte a temperatura e pressione ambiente. Date le frequenze di lavoro e le ampiezze di oscillazione utilizzate, è ragionevole supporre che la presenza dell aria influenzi in modo trascurabile le misure. 3.3 Comportamento della matrice Volendo creare un modello che parte dalle caratteristiche dei costituenti per determinare le proprietà smorzanti del laminato FRP e partendo, almeno in questa fase, dall ipotesi di fibre puramente elastiche e matrice viscoelastica, le prove iniziali sono state indirizzate alla precisa determinazione di η della matrice pura. La figura (3) mostra l andamento dei valori di η misurati con il decremento logaritmico, in cui è evidente la presenza di un massimo pronunciato intorno ai 56 Hz. I valori sperimentali riportati provengono dalla media di due serie da 10 rilevazioni, che hanno mostrato misure molto ripetibili entro una banda di ±5%. In figura (4) vengono riportati i risultati delle misure di impedenza sulla matrice PEEK. I punti sperimentali vengono confrontati con l andamento dato dall eq. (11) per diversi valori del fattore di smorzamento η. Il confronto Z 0 /jωm Frequenza [Hz] misure - eq.(10) con η = 0,, 0,36, 0,6 Figura 4 matrice pura, risultati con eccitazione forzata η [%] (11) (13) Frequenza [Hz] Figura 3 fattore di smorzamento della matrice fornisce una corrispondenza soddisfacente, alla frequenza di antirisonanza, dei valori di η trovati attraverso le misure di decremento logaritmico. Per quanto riguarda le prove sui laminati CFRP si è scelto di condurre le prove a frequenza costante al variare dell angolo di orientazione delle fibre. Per fare questo, è stato necessario variare le lunghezze dei provini ed in alcuni casi usare masse aggiuntive. Date le grandi variazioni del modulo di Young nel passaggio dall orientazione 0 a quella 90, per i provini a 0 sono stati utilizzati laminati da 1mm di spessore, invece per tutti gli altri, laminati da mm di spessore. I risultati delle prove condotte sui laminati CFRP saranno riportato nel paragrafo. 195

6 XXX Convegno Nazionale AIAS Alghero (SS), 1-15 settembre Risultati sperimentali in flessione sui laminati Nella figura (5) sono riportati i valori sperimentali ottenuti in flessione su laminati angle-ply per angoli 0, ±15, ±35, ±45 e 90. A tratto continuo sono rappresentati il modello di Adams e quello sviluppato nel nostro lavoro. Per le sequenze esaminate i risultati sperimentali si discostano in modo rilevante dal nostro modello per il laminato unidirezionale, mentre seguono il modello con uno scostamento massimo del 9 % per le altre sequenze. Sia il modello di Adams che quello del presente lavoro sovrastimano il fattore di dissipazione. È opportuno notare che la curva di Adams è in sostanza una curva interpolatrice che passa per i punti corrispondenti ai valori misurati a 0 e 90 mentre quella corrispondente al modello qui presentato non ha alcun vincolo di questo tipo in quanto è basata sui valori del modulo complesso delle fibre e della matrice. È evidente che il nostro modello sottostima fortemente il valore di η a 0. Ciò è dovuto probabilmente all ipotesi di fibre elastiche e alla mancata valutazione dell energia dissipata all interfaccia fibramatrice. Anche il taglio interlaminare e quello intralaminare potrebbero giocare un ruolo importante. Su questo aspetto del problema è stata iniziata un indagine specifica tendente a valutare la differenza tra i valori dello smorzamento misurati sullo stesso laminato unidirezionale in trazione e in flessione. È stata progettata e realizzata un apparecchiatura per la misura del modulo complesso in trazione e in torsione che verrà descritta dettagliatamente nel seguito. Le prove svolte su laminati off-axis hanno in sostanza confermato i risultati precedenti. In questo caso il modello di Adams fornisce valori di smorzamento ben confermati dall esperienza, il nostro valori leggermente superiori per inclinazioni superiori a 0, con scostamenti massimi rispetto ai dati sperimentali del 5 % in difetto. In conclusione le misure svolte in flessione indicano che ambedue i modelli forniscono stime ragionevoli del fattore di dissipazione. Nel modello presente sono inaccettabili i dati ottenuti dalla formula di Hashin a 0 e restano da investigare i meccanismi che causano valori dello smorzamento assai più elevati delle previsioni. η [%] η [%] Orientazione fibre [ ] Orientazione fibre [ ] - Modello di Adams - Hashin + Laminazione Valori sperimentali Banda di variazione Figura 5 fattore di smorzamento per laminati Angle-Ply - Modello di Adams - Hashin + Laminazione Valori sperimentali Banda di variazione Figura 6 fattore di smorzamento per laminati Off-Axis 4. DISPOSITIVO PER LA DETERMINAZIONE DEL MODULO COMPLESSO IN TRAZIONE 4.1 Progetto del telaio Per portare in risonanza i provini si è pensato di utilizzare un eccitatore, a cui collegare rigidamente un estremità della trave. Per poter fare delle prove di risonanza assiale a frequenze ragionevoli (inferiori ai 5000 Hz) è stata scelto di aggiungere una massa significativa (centinaia di volte il peso del provino) all estremità libera del provino. La progettazione del telaio è stata caratterizzata dalla ricerca di una geometria che garantisse un comportamento neutro dello stesso nonostante la presenza di sollecitazioni a così elevata frequenza. Allo stesso tempo, date le limitatissime forze in gioco, massimo 40 N, lo studio è stato rivolto quasi esclusivamente alla ricerca delle caratteristiche dinamiche. Si è scelto di fare un analisi agli elementi finiti, utilizzando ANSYS. 196

7 XXX Convegno Nazionale AIAS Alghero (SS), 1-15 settembre 001 La struttura progettata è mostrata in fig. (7), è stata realizzata utilizzando profilati in acciaio, a sezione quadrata 10 mm x 10 mm x 10 mm, l intero telaio è contenuto in un volume 90 mm x 790 mm x 40mm e pesa 160 g. 4. Metodologia sperimentale Una volta realizzato il telaio, si è provveduto a collegarvi rigidamente il tavolino vibrante, con estremità mobile rivolta verso il basso (come mostrato in fig. 7). All estremità oscillante di quest ultimo è stato fissato un trasduttore di forza, che a sua volta è stato collegato rigidamente alla parte superiore del provino. Ed infine, all estremità inferiore della trave, è stata fissata la massa necessaria alla riduzione a valori accettabili della prima frequenza propria assiale. Sulla faccia inferiore della massa è stato collocato un accelerometro piezoceramico. Non avendo a disposizione una metodologia consolidata, in una prima fase si sono realizzate prove con provini, masse e geometrie vari. Anche la posizione dell accelerometro è stata variata per verificare la presenza di posizioni ottimali. Dopo vari tentativi ci si è orientati verso una configurazione come quella mostrata in fig. (8). Il provino in lamitato composito (nella foto in basso) è stato notevolmente accorciato (60 mm circa) per limitare insorgenza di risonanze flessionali e/o torsionali. Tra il trasduttore di forza e l afferraggio superiore del provino, è stato inserito una trave in alluminio di sezione circolare da 6 mm di diametro e lunga 150 mm. In questo modo è stato possibile confrontare il sistema con quello dello schema riportato in fig. (8), dove m 1 è la massa del trasduttore di forza sommata a quella estremità oscillante a cui è collegato, m ed m 3 sono le masse degli affrerraggi rispettivamente superiore ed inferiore, 1 è la rigidezza della Km 1 Km Km 3 K 1 K K 3 Figura 8 apparato oscillante, realtà e modello Figura 7 dispositivo per prove assiali molla di sospensione dell eccitatore, è la rigidezza assiale complessa del provino in alluminio e dove 3 è la rigidezza assiale complessa del provino in composito laminato. L accelerometro sembra essere più sensibile se fissato alla massa m, ma la posizione m 3 è stata preferita per la maggiore pulizia dei valori sperimentali. I segnali provenienti dai sensori, dopo filtrazione ed amplificazione oppurtune, sono stati elaborati con un analizzatore di spettro a canali. L eccitatore è stato comandato da un amplicatore di potenza che aveva come segnale di ingresso quello proveniente da un generatore di funzioni sinusoidali. 4.3 Risultati Queste prove, sino ad ora, sono state condotte solo con provini di composito laminato con fibre orientate a 0. I valori ottenuti sperimentalmente sono stati confrontati con quelli previsti dal modello illustrato in fig. (8). In ordinate vengono riportati i valori del rapporto tra la forza di eccitazione misurata nella posizione 1 e l accelerazione misurata in 3. Non essendo di alcun interesse indagare intorno alla prima frequenza propria (17 Hz, influenzata dalla rigidezza interna dello strumento) si è realizzata una scansione in frequenza da 1000 a 3000 Hz, F 1 /a 3 valori sperimentali - F 1 /a 3 teorico con η =,5 % Frequenza [Hz] Figura 9 risonanza assiale, esperimenti e modello 197

8 XXX Convegno Nazionale AIAS Alghero (SS), 1-15 settembre 001 in modo da trovare i rimenenti picchi di risonanza. Come mostrato dalla fig. (9) il secondo picco di risonanza, dominato dalla rigidezza del laminato, è stato bene evidenziato dalle prove, invece il terzo, in cui la barretta d alluminio gioca il ruolo più importante, non è stato trovato con le misure. In questa fase non si è ancora trovato una spiegazione certa che giustifichi questa assenza. Forse una risposta può essere ricercata nell eccessiva semplificazione del modello utilizzato. In figura (10) è mostrata la zona intorno alla seconda frequenza di risonanza. In blu è riportata una famiglia di curve al variare del fattore di smorzamento, con i seguenti valori: %,,5%, 3%, 3,5% e4%. F 1 /a 3 valori sperimentali - teorico con η da % al 4% Frequenza [Hz] Figura 10 misure e teoria intorno al picco di risonanza assiale Le prove qui descritte sono del tutto preliminari. Non è stata ancora compiuta una completa calibrazione dell apparato sperimentale che permetta di separare i valori dello smorzamento nei provini da quelli globali dell intera struttura eccitata. 5. CONCLUSIONI Le prove svolte hanno permesso, pur nell ambito limitato del tipo di laminati impiegati, di valutare i limiti di approssimazione di due modelli per la previsione del coefficiente di dissipazione nei laminati compositi. I laminati a 0 provati hanno mostrato valori dello smorzamento assai superiori a quelli previsti dal modello presentato dagli Autori. I laminati del tipo angle-ply e off-axis hanno mostrato di seguire con buona approssimazione sia le previsioni del modello classico di Adams, che quelle del modello presentato in questo lavoro. È stata realizzata e messa a punto un apparecchiatura per misure di smorzamento in trazione, torsione e combinate che verrà impiegata per ulteriori indagini, tendenti soprattutto a valutare l influenza del taglio interlaminare e intralaminare sui valori misurati del coefficiente di dissipazione. Gli Autori ringraziano l Ing. Maurizio Ruggiu per il contributo dato allo svolgimento di questo lavoro. Bibliografia [1] J.C. Snowdon, Vibration and shoc in damped mechanical systems, John Wiley & Sons, Inc., 1968 [] B.J. Lazan, Damping of materials and members in structural mechanics, Pergamon Press, 1968 [3] R.M. Christensen, Mechanics of composite materials, John Wiley & Sons, Inc., 1979 [4] Z. Hashin, Complex moduli of viscoelastic composites - Fiber reinforced materials, International Journal Solids Structures, 1970, vol. 6, pp [5] Z. Hashin, Complex moduli of viscoelastic composites - Genaral theory and application to particulate composites, International Journal Solids Structures, 1970, vol. 6, pp [6] Z. Hashin, B.W. Rosen, The elastic moduli of fiber reinforced materials, Journal of applied mechanics, June 1964, pp.3-3 [7] R.D. Adams, M.A.O. Fox, R.J.L. Flood, R.J. Friend, R.L. Hewitt, The dynamic properties of unidirectional carbon and glass fiber reinforced plastics in torsion and flexure, Journal of Composite Material, October 1969, vol. 3, pp [8] R. D. Adams, D. G. C. Bacon, The dynamic properties of unidirectional fibre reinforced composites in flexure and torsion, Journal of Composite Materials, vol. 7, January 1973, pp [9] R. D. Adams, D. G. C. Bacon, Effect of fibre orientation and laminate geometry on the dynamic properties of CFRP, Journal of Composite Materials, vol. 7, October 1973, pp [10] R.G. Ni, R.D. Adams, A rational method for obtaining the dynamic mechanical properties of laminae for predicting the stiffness and damping of laminated plates and beams, Composites, vol 15, n 3, july 1984, pp [11] G.G. Wren, V. K. Kinra, On the effect of an end-mass on beam damping, Experimental Mechanics September 1989, pp [1] H. Hansela, Damping behaviour of unidirectional fibre reinforced polymers, ESA SP-31, october 1991, pp [13] R.D. Adams, M.R. Maheri, Dynamic flexural properties of anisotropic fibrous composite beams, Composites Science and Technology 50(1994) pp [14] M.R. Maheri, R.D. Adams, Vibration properties of structural FRP composites, JSME International Journal Series A, vol.4, n , pp

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