Metodo della trasformata di Laplace

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1 Meodo della raformaa di aplace Il meodo imbolico conene di affronare l analii di rei coneneni componeni reaivi (condenaori e induori) in regime inuoidale, aggirando la compleià maemaica inrodoa dalle relazioni inegro-differenziali (con derivae e inegrali) che legano le enioni e le correni u quei componeni. Se i egnali d ingreo hanno un andameno generico o e vogliamo udiare la fae ranioria che egue l applicazione di un egnale a una ree, dobbiamo uare un meodo più generale, di cui quello imbolico è un cao paricolare: il meodo della raformaa di aplace. a FIGUA riaume i meodi per l analii delle rei lineari nelle varie condizioni. Traniorio Traformaa di aplace Meodi di raformazione per l'analii di rei lineari ei con generaori in coninua egime permanene coninuo Soluzione della ree, oiuendo: con con ei con generaori inuoidali iofrequenziali Traniorio egime permanene inuoidale Traformaa di aplace Meodo imbolico ei con generaori di forme d onda qualiai Traformaa di aplace Alre ecniche FIGUA Quadro riaunivo dei meodi per l analii delle rei lineari. Si ricordano le formule che legano, in modo differenziale, la enione e la correne nei condenaori e negli induori: i C dv ( ( ) ) v di ( ) ( ) d d Nei reiori, invece, il legame non coniene derivae: v( ) i( ). di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66]

2 SMPIO Deerminare l epreione che lega la correne i(), nella ree di FIGUA, con la enione d ingreo v i (), a parire dall iane in cui viene chiuo l inerruore. A i() FIGUA v i () B v i () SOUZION In bae alle relazioni che legano le enioni e le correni nei ingoli componeni, i può crivere: v i () v () v () i() di ( ) d () Coniderando i() come egnale d ucia e v i () come egnale d ingreo che nell iane di chiuura dell inerruore varia con un gradino da 0 V al valore, i oerva che il legame ra il egnale d ucia e quello d ingreo è coiuio da un equazione differenziale. Si pone in evidenza come anche una emplice ree conenene un olo componene reaivo ia decria da un equazione differenziale. a oluzione dell equazione differenziale conene di deerminare l andameno nel empo della correne dopo la chiuura dell inerruore, ovvero nella fae ranioria di adeguameno del circuio al egnale d ingreo. a raformaa di aplace, come il meodo imbolico, è una raformazione delle variabili del problema che conene di cambiare operazioni complee in alre più emplici. In paricolare nella oluzione delle rei con la raformaa di aplace, le variabili ono converie da funzioni del empo a funzioni complee (pare reale e immaginaria), in modo che le equazioni inegro-differenziali divenino epreioni algebriche. iporando poi le variabili in funzione del empo i rova la oluzione del problema. P Si definice raformaa di aplace (-raformaa) di una funzione f(), la funzione della variabile complea: σ jω (operaore di aplace con le dimenioni dell invero di un empo [ ]), definia dalla relazione inegrale: 0 [f()] F() f ( ) e d epreione precedene evidenzia che l inervallo d inegrazione ha origine da 0; queo ignifica che la -raformaa di una funzione f() è indipendene dal valore che aveva prima dell iane auno come 0. Il ignificao fiico della condizione evidenziaa è che, e i aume come iane iniziale quello in cui è applicao il egnale d ingreo a una ree, il ricoro alle -raformae permee di riolvere la ree racurando lo ao precedene. Nel cao di componeni reaivi queo equivale a non coniderare, nella raformazione, l energia evenualmene immagazzinaa nei componeni all ao dell applicazione del egnale. a ricerca della ripoa conie nell eprimere l andameno nel empo della grandezza elerica incognia, in funzione del egnale di ecciazione e dei parameri caraeriici della ree; con riferimeno alla FIGUA 3 i indica con: () di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66]

3 i (): il generico egnale d ingreo (funzione del empo); u (): il egnale funzione del empo che rappreena la ripoa; g(): il legame ra ingreo e ucia dovuo ai parameri della ree. ( ) u a relazione è: g( ) e quindi l epreione della ripoa è: ( ) i u () i () g () (3) i () g() u () FIGUA 3 Blocco funzionale di una ree generica. Poiché generalmene è noa l epreione del egnale i (), per conocere u (), è ufficiene deerminare g(); la preenza dei componeni reaivi fa i che g() ia una equazione differenziale. Nella maggior pare delle rei la funzione g() è coane nel empo (iemi empo-invariani). P Uilizzando la raformaa di aplace, è poibile ridurre epreioni di ipo inegro-differenziale in epreioni algebriche (raformazione) e ricavare la ripoa cercaa, come chemaizzao nella FIGUA 4: in praica i raforma ia il egnale d ingreo ia l equazione inegro-differenziale, poi una vola riola l equazione algebrica nel campo compleo () i aniraforma il riulao per rovare la ripoa u () in funzione del empo. Per i problemi ipici dell eleronica, la oluzione dell equazione algebrica è relaivamene emplice, perché le equazioni differenziali ono del ipo a coefficieni coani ed è agevole riolverle in, per poi rialire alle epreioni in funzione del empo. In alernaiva è poibile fermari ad analizzare la ripoa in, enza effeuare l aniraformazione, in bae a dei crieri che conenono di valuare il comporameno nel empo della ree in eame. Nei capioli che eguono, i farà peo ricoro agli rumeni d analii in, ma in quea fae vengono decrii i meodi di raformazione e aniraformazione, econdo il percoro rappreenao in FIGUA 4. i () ee elerica g(): equazione inegro-differenziale in u () ripoa nel empo -raformaa -raformaa aniraformaa S i () G(): equazione algebrica in oluzione della equazione algebrica S u () ripoa in FIGUA 4 Calcolo della ripoa nel empo mediane la -raformaa. di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 3

4 Per poer operare econdo lo chema di FIGUA 4, deve eiere una relazione di ipo biunivoco ra le funzioni del empo e quelle in, in modo che a ciacuna f() corriponda una e una ola F() e vicevera. Quea condizione è verificaa e: i ricerca unicamene la ripoa forzaa della ree (ovvero il valore della variabile incognia dall iane di applicazione del egnale in poi, eparando le evenuali condizioni iniziali); l inegrale di aplace epreo dalla FOMUA è convergene, ovvero ha valore finio per uno o più valori della variabile. a raformazione a raformazione dalle funzioni nella variabile a quelle corripondeni nella variabile può eere realizzaa applicando la FOMUA, ma normalmene nell eleronica i fa ricoro a abelle di raformae noevoli: i compone l equazione differenziale in un inieme delle funzioni riporae nella TABA da raformare ingolarmene, nel ripeo dei eoremi epoi nel eguio. Si uilizzeranno le leere minucole per indicare le funzioni di e quelle maiucole per indicare le corripondeni funzioni di. e principali proprieà delle -raformae ono le egueni. ) Traformaa del prodoo per una coane: la -raformaa del prodoo ra la funzione f() e la coane a, è daa dal prodoo a F(), ove F() è la -raformaa di f(); in formule: e F() [f()] allora [a f()] a F() ) Traformaa di una combinazione lineare di funzioni: la -raformaa di una combinazione lineare di funzioni è daa dalla combinazione lineare delle -raformae delle ingole funzioni; in formule: e F() [f()], G() [g()] e a, b coani, allora: [a f() b g()] a F() b G() 3) Traformaa della derivaa prima di una funzione: la -raformaa della derivaa prima di una funzione f() che abbia come -raformaa F(), vale: df ( ) F( ) f ( ) d 0 dove f(0) eprime il valore auno da f() dall iane di applicazione del egnale in poi; e ale valore è 0 (queo equivale all aenza di energia immagazzinaa nel componene il cui comporameno è epreo dalla derivaa), riula: df ( ) F( ) d 4) Traformaa dell inegrale di una funzione: la -raformaa dell inegrale di una funzione f(), che abbia come -raformaa F(), vale: di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 4

5 n f() funzione del empo per 0 u() (gradino uniario) F() Traformaa di aplace TABA Traformae di aplace per funzioni noevoli. δ( ) (impulo uniario di Dirac) 3 (rampa uniaria) 4 n ( n )! (con n inero e > 0) n 5 e a a 6 7 a a ( e ) a e e b a b ( a) ( a)( b) 8 e a ( a) n a 9 ( ) e n (n inero e > 0) ( n )! ( a) a 0 e en ω en ω co ω ω ( a) ω ω ω ω 3 k e ω a ω b en( ω ϕ ) con: ϕ arcg b a ( a) ω k ( b a) ω dove 0 0 f ( ) d f ( ) d F ( ) 0 0 f ( ) d rappreena il valore delle primiiva di f() dall iane di applicazione del egnale in poi; e ale valore è 0 (queo equivale all a- di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 5

6 enza di energia immagazzinaa nel componene il cui comporameno è epreo dall inegrale), riula: f ( ) d F( ) Nell analii delle rei hanno paricolare imporanza due eoremi, che conenono di ricavare i valori della ripoa f() per 0 e per, direamene dalla epreione in, enza ricorrere ad aniraformazione. 5) Teorema del valore iniziale: e F() [f()], riula: lim f ( ) lim F( ) 0 6) Teorema del valore finale: e F() [f()], riula: lim f ( ) lim F( ) 0 SMPIO Traformare l equazione della ree dell SM- PIO in un epreione algebrica, mediane la -raformaa, e riolverla deerminando l epreione della raformaa della correne I(). SOUZION Si uppone che non vi ia energia immagazzinaa nell induore [i(0) 0] e che l epreione della correne ia raformabile, ovvero: [ i ()] I(). Fino alla chiuura dell inerruore il egnale d ingreo v i () è nullo, poi aume il valore coane ; l ingreo è quindi un gradino con ampiezza. Dalla TABA (riga ) i ricava che, nel cao di egnale a gradino di ampiezza uniaria, la -raformaa vale /. Nel cao in eame, l ampiezza è ; per la proprieà del prodoo per una coane (proprieà ), i oiene il prodoo della raformaa per : [v i ()] V i () inolre, per la proprieà 3 (Traformaa della derivaa prima di una funzione) l equazione i raforma coì: V i () di( ) [ i() ] I() I() d (4) Si ricava quindi l epreione di I(): I( ) ( ) Il riulao mora che, con l applicazione delle -raformae, la correne i() i è ridoa a una emplice epreione algebrica nella variabile. i() SMPIO 3 icavare la -raformaa I() della correne nella ree di FIGUA 5, a parire dall iane in cui viene chiuo l inerruore. i() v i () v i () v () v C () i() C i ( ) d Nell ipoei che non vi ia energia immagazzinaa nel condenaore [v C (0) 0], che l epreione della correne ia raformabile, ovvero: [i()] I(), e conide- v i () rando la -raformaa del egnale d ingreo v i () come nell eempio precedene [v i ()] V i () /, riula: v i () C A FIGUA 5 v i () SOUZION Dalla ree i ricava: C B V i () [i() C i ( ) d ] I() Si ricava quindi l epreione di I(): I( ) ( ) C I() C (5) di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 6

7 Analizzando le equazioni 4 e 5 degli eempi precedeni i noa che il circuio di FIGUA i compora come una erie di due impedenze, di valore e, enrambe percore dalla correne I(); analogamene il circuio C di FIGUA 5A è coiuio da due impedenze in erie, di valore e /C, enrambe percore dalla correne I(). POCDIMNTO Generalizzando il riulao, i può enunciare la eguene regola praica. Per analizzare una ree conenene elemeni reaivi con il meodo delle -raformae è poibile applicare le regole dell eleroecnica, a pao di: ) oiuire le enioni e le correni con la ripeiva epreione -raformaa: i() I() e v() V() ) oiuire i condenaori di capacià C con impedenze di valore : C C C 3) oiuire gli induori d induanza con impedenze di valore : 4) oiuire i generaori di enione coane con generaori di valore : 5) oiuire i generaori di correne coane I con generaori di valore I 6) i reiori manengono il loro valore di reienza perché non hanno accumulo di energia. : a TABA, a pagina eguene, riepiloga i concei elencai nella regola praica; l evenuale energia iniziale immagazzinaa nei componeni reaivi viene conideraa ponendo in erie all impedenza pura del bipolo un generaore che rappreena: la d.d.p. V 0 preene ra le armaure del condenaore all ao dell applicazione del egnale funzione del empo; la correne I 0 che circola nell induore all ao della applicazione del egnale funzione del empo. Nello chema -raformao, il generaore di correne è ao oiuio con un generaore di enione di valore V I 0 I (prodoo della correne per l impedenza ). 0 0 e rei con più componeni poono eere analizzae oiuendo a reiori, condenaori e induori, le impedenze riporae nella colonna di dera di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 7

8 della TABA e poi calcolando le impedenze equivaleni erie e parallelo con le ee formule uilizzae per le rei di reiori alimenae in coninua. Si veda a propoio l SMPIO 4. Componene elazioni v - i nel empo elazioni v - i in -raformaa Schema equivalene in -raformaa i() v() i() V() I() I() v() v() i() V() I() V() con Z i() I 0 di() v() d V() I() I 0 I() I 0 v() i() v() d I 0 I() V() I 0 V() con Z i() C v() V 0 v() C i() d V 0 dv() i() C d V() I() C V 0 I() C V() V 0 r I() /C V() V 0 / con Z C /C TABA Schemi equivaleni in e in dei bipoli reaivi, con generaori che coniderano l evenuale energia immagazzinaa. SMPIO 4 Nella ree C di FIGUA 6A, deerminare l epreione della raformaa della correne nel condenaore, dall iane di chiuura dell inerruore. Si conideri il condenaore inizialmene carico con una d.d.p. V 0. i() C A C I() v i () V o I() SOUZION Si applica la regola praica uilizzando per il condenaore carico e per l induore lo chema equivalene della V TABA ; i oiene lo chema di FIGUA o 6B. Si ricava l epreione in della correne I C () uilizzando le regole noe per la rioluzione delle rei. Si ricava l epreione del parallelo : Z p // a correne I() che circola nella maglia è daa da: V0 I V0 C ( ) C Z C Z p p B FIGUA 6 A) ee C. B) Traformazione della ree in. di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 8

9 aniraformazione P aniraformazione (imbolo ) è l operazione che conene di ricavare l epreione della funzione del empo f() corripondene a una F(). Il meodo più diffuo per aniraformare conie nel ricondurre la F() alle epreioni della TABA (colonna di dera), per poi rialire alla f() (colonna di inira). aramene la F() è immediaamene riconducibile a una delle forme di abella, per cui la i deve raformare in una combinazione lineare di alcune funzioni di abella, per poi aniraformare ingolarmene i ermini della combinazione, in bae alla proprieà della combinazione lineare delle -raformae. È conigliabile porare la F() nella forma canonica: ) ordinare i polinomi al denominaore e al numeraore di F(), econdo le poenze decreceni di ; ) raccogliere a faore il coefficiene del ermine di grado maimo in in modo da oenere il prodoo di una coane (rapporo dei coefficieni del ermine di grado maimo in di numeraore e denominaore) per un rapporo di polinomi in cui i ermini di grado maimo in hanno coefficiene uniario; 3) comporre il polinomio al denominaore nel prodoo di polinomi e/o monomi in. SMPIO 5 Applicare le regole appena ciae per aniraformare l epreione della correne ricavaa nell SM- PIO. SOUZION epreione I( ) i può porare nella ( ) forma della riga 6 della TABA : I( ) ( / ) per cui la oluzione in funzione del empo i ricava dal confrono con l epreione nella prima colonna della abella: i( ) ( e ) ( e ) da cui i deduce che per 0 la correne è nulla, C perché e, menre all aumenare di il ermine e ende a zero e quindi la correne ende a / (l induanza a regime i compora da corocircuio). SMPIO 6 Aniraformare l epreione della correne ricavaa nell SMPIO 3. SOUZION epreione I( ) i può porare nella ( ) C forma della riga 5 della TABA : I( ) / C e la oluzione in funzione del empo i ricava dal confrono con l epreione nella prima colonna della abella: i ( ) e il che ignifica che la correne per 0 vale / C (perché e ), poi ende a zero col paare del empo (a regime il condenaore equivale a un circuio apero). C di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 9

10 Per i cai in cui non è poibile individuare immediaamene la funzione F() nella abella, come per l epreione dell SMPIO 4, i ricorre al meodo dello viluppo in frazioni parziali. o viluppo in frazioni parziali i baa ulla poibilià di comporre un polinomio, del quale i conocono le radici (valori della variabile che annullano il polinomio), nel prodoo di ani binomi quane ono le radici ee. Se ale polinomio è il denominaore di F(), queo è compoo in una omma di frazioni che hanno al numeraore delle coani e come denominaori i binomi precedeni. Se N( ) F( ) è la funzione da aniraformare e p, p, p 3 ono i valori D( ) di che annullano il denominaore D(), componendo queo nel prodoo di binomi, i ha: Si ricordi che: N( ) F( ) ( p ) ( p ) ( p )... 3 un monomio in è un binomio in cui p 0; i valori di che annullano il polinomio al numeraore i dicono zeri; i valori di che annullano il polinomio al denominaore i dicono poli; perano i ermini p, p, p 3 vengono dei poli reali, menre gli evenuali monomi in vengono dei poli nulli; i definice ordine di F() il grado maimo della variabile nel polinomio al denominaore; il meodo in eame conene l anirafomazione nell ipoei che il grado del polinomio N() ia minore di quello del polinomio D(), cioè gli zeri debbono eere in numero minore dei poli. Per viluppare in frazioni parziali, i deermina il valore delle coani A, B, C che oddifano l eguaglianza: N N( ) A B C F( ) F( )... D( ) ( p ) ( p )... p p (6) e coani cercae i oengono dall eguaglianza ra N() e il numeraore della omma di frazioni poe alla dera della relazione 6. Una vola ricavai i valori di A, B, C i oiene una omma di frazioni che poono eere aniraformae ingolarmene, in bae alla riga 5 della TABA o alla riga nel cao di poli nulli. Si viluppano ora alcuni eempi con alcuni cai paricolari più frequeni. Nell SMPIO 7 i decrive in deaglio il procedimeno e, dopo, i viluppa il cao numerico riferio a una funzione F() con numeraore coane (k). di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 0

11 SMPIO 7 POCDIMNTO ANTITASFOMAZION DI UNA FUNZION F() N( ) N( ) D( ) a... m n n 0 ) Si ricavano le radici di D(), cioè i poli di F(), giungendo ad una forma del ipo: N( ) ( p ) ( p )... ) Si viluppa F() in omma di frazioni: N( ) ( p ) ( p )... A B C... p p 3) Si deermina il valore delle coani A, B, C...; i può uilizzare uno dei egueni due meodi. Uguaglianza dei numeraori: i calcola il denominaore comune e i viluppa il econdo membro della uguaglianza precedene, ino a oenere al numeraore un polinomio ordinao econdo le poenze decreceni di. Si realizzano poi ane eguaglianze quano è l ordine del polinomio, ra i coefficieni dei ermini in di uguale grado nel numeraore originale (k) e nel polinomio. Si riolve il iema nelle incognie A, B... fino a deerminarne i valori. Meodo dei reidui: ciacuno dei coefficieni A, B... I... può eere deerminao dalla relazione: I lim [ ( pi )] pi con: I generico coefficiene; p i polo corripondene a I. 4) Si oiuicono le coani A, B... con i valori ricavai e i aniraformano le ingole frazioni uilizzando le righe e 6 della TABA. F ( ) A B C p p... SMPIO NUMICO (numeraore coane, k) 3 Daa: ( 5 6) ) i ricavano i poli di F() riolvendo l equazione: p, ( 5 ± 5 4 ) / da cui: p e p 3; i crive quindi: 3 ( )( 3) ) i effeua lo viluppo in omma di frazioni: 3 ( )( 3) A B 3 3) i deermina il valore delle coani A, B: Uguaglianza dei numeraori: 3 A( 3) B( ) (A B) 3A B A B 0 N() non ha ermini in 3A B 3 uguaglianza dei ermini noi iolvendo il iema, i oiene: Meodo dei reidui: A 3; B 3 3 A lim ( ) 3 ( )( 3) 3 B lim ( 3) 3 ( )( 3) 3 4) Si oiuicono le coani A, B... con i valori ricavai: ( )( 3) 3 nrambe le frazioni corripondono alla riga 5 della TABA, per cui l aniraformaa di F() vale: f ( ) 3e 3e 3 di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66]

12 SMPIO 8 FUNZION CON POINOMIO IN S A NUMATO Aniraformare la funzione: 3 ( 5) SOUZION Si egue il procedimeno dell SMPIO 7: a-b) 3 3 ( 5) c) A B 5 A B A( 5) B ( A B) 5A 5 ( 5) ( 5) Si uguagliano i coefficieni dei ermini di idenico grado in nei due numeraori: A B /3 uguaglianza coefficieni dei ermini in 5A /3 uguaglianza dei ermini noi e riolvendo il iema, i oiene: per cui: A /5; B 4/ d) a prima frazione corriponde alla riga della TA- BA e la econda alla riga 5; l aniraformaa di F() vale quindi: f ( ) e 5 ( 4 5 ) POCDIMNTO Un polinomio D() conenene binomi del ipo ( - p) n i annulla per valori coincideni di e i dice che ha radici muliple, quindi la F() ha poli mulipli. In al cao, lo viluppo in frazioni parziali prevede: ) ane frazioni quano è l ordine di moleplicià del polo muliplo; ) al numeraore di ciacuna di ali frazioni vi è una coane e i denominaori ono poenze decreceni da n a del binomio - p. SMPIO 9 FUNZION CON POI MUTIPI Aniraformare la funzione: ( )( ) SOUZION Si egue il procedimeno dell SMPIO 8: a-b) Il binomio ( ) è di econdo grado, per cui i applica la regola opra enunciaa: A B C ( ) c) Si pora il econdo membro dell epreione precedene a denominaore comune e i viluppa il numeraore come polinomio in : A( ) B( ) C( )( ) ( A C) (A 3 C B) A B C ( )( ) ( )( ) Si uguagliano i coefficieni dei ermini con idenico grado in nei numeraori della funzione precedene e di quella originale: A C 0 A B 3C A B C 0 uguaglianza coefficieni dei ermini di grado in uguaglianza coefficieni dei ermini di grado in uguaglianza dei ermini noi P di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66]

13 P iolvendo il iema, i oiene: A, B, C ; perano la compoizione è: ( ) d) a prima e la erza frazione corripondono alla riga 5 della TABA, la econda alla riga 8, con a ; l aniraformaa di F() vale quindi: f ( ) e e e POCDIMNTO Quando il polinomio D() uguagliao a 0 ha radici complee coniugae, è opporuno porarlo alla forma normale: D() ( a) ω dove ω coiuice il coefficiene della pare immaginaria della variabile complea di aplace, e rappreena una pulazione (cioè ω πf ), perano non ammee radici negaive. o viluppo in frazioni parziali prevede che, e il denominaore è un polinomio di econdo grado in, il numeraore deve eere di primo grado, cioè auma la forma: N() A B Il procedimeno di aniraformazione i viluppa poi nel modo conueo (SMPIO ). SMPIO 0 POINOMIO A DNOMINATO CON ADICI COMPSS CONIUGAT Aniraformare la funzione: ( )( 5) SOUZION Il faore ( 5) ha radici complee coniugae: p, ± j. Come opra indicao, lo i pora alla forma normale: ( ( a) ω a a ω ; per individuare il valore di a e ω, i eguagliano i coefficieni dei ermini di idenico ordine in del polinomio del econd ordine dao e di quello ora ricavao, cioè: a a ω 5 uguaglianza coefficieni dei ermini di grado in uguaglianza dei ermini noi Dal iema i oiene: a e ω rad/, quindi la forma normale del polinomio a radici complee coniugae diviene: ( ) 4. Si egue ora il procedimeno dell SMPIO 7: a-b) o viluppo in frazioni parziali della funzione da aniraformare è: A B C ( )( 5) ( ) 4 c) Porando il econdo membro dell epreione precedene a denominaore comune e viluppando il numeraore come polinomio in i oiene: ( A B) (A B C) 5A C ( )[( ) 4] P di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 3

14 P Si uguagliano i coefficieni dei ermini d idenico grado in nei due numeraori: A B 0 A B C 5A C uguaglianza coefficieni dei ermini di grado in uguaglianza coefficieni dei ermini di grado in uguaglianza dei ermini noi iolvendo il iema i oiene A /5, B /5, C ; quindi la compoizione è: / 5 5 F( ) 5 ( ) 4 d) a prima frazione corriponde alla riga 5 della TABA, la econda alla riga 3, con b 5, a e ω rad/, per cui: aniraformaa di F() vale quindi: ω k ( b a) ω 0 5 e ϕ arcg b a 0,47 rad 5 f ( ) e e en( 0,47) 5 5 Si noi che la funzione del empo relaiva alla econda frazione (poli complei coniugai) ha un andameno ocillaorio (funzione eno) morzao eponenzialmene ( e ) del ipo di quello in FIGUA 7. FIGUA 7, i può ra- V0 equazione ricavaa nell SMPIO 4, I( ) formare nel modo eguene: C C Z p I( ) ( V 0 ) C C I V0 / ( ) / C / C in cui i evidenzia l equazione di econdo grado al denominaore; in bae ai valori di, e C, ale equazioni può avere radici: reali diine (per < C ): l aniraformazione i effeua come nell SMPIO 7. complee coniugae (per > C ): l aniraformazione i effeua come nell SMPIO 0. Come i è vio negli eempi precedeni, aniraformando vari ipi di F(), nella corripondene f() i ha la preenza di ermini in cui gli eponeni di e (numero di Nepero) conengono la variabile empo e i poli della F(). Si ricorda che l andameno dell eponenziale e a in funzione di è: coane e di valore e a 0; eponenziale crecene e a > 0; eponenziale decrecene e a < 0. di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 4

15 Inroducendo le -raformae, i è pecificao che coiuicono uno rumeno per eaminare il comporameno di una ree dall iane (auno come 0) in cui viene applicao un egnale d ingreo. Si ricava che, applicando un egnale d ingreo a una ree conenene elemeni a immagazzinameno d energia (condenaori e induori), l ucia della ree coniene uno o più ermini eponenziali funzioni del empo. Quei ermini, olre che dal empo, dipendono dai poli di F() e in paricolare: endono all infinio, con legge eponenziale crecene, e i poli riulano di egno poiivo; endono a 0, con legge eponenziale decrecene, e i poli riulano di egno negaivo. Da queo egue che, per poer definire raniorio (cioè che i eaurice nel empo), l effeo coneguene all applicazione di un egnale in un circuio conenene elemeni reaivi, è neceario che i poli dell epreione F() che decrive la ripoa del circuio, iano ui negaivi o con pare reale negaiva. di Sefano Mirandola - 0 Zanichelli diore SpA, Bologna [66] 5

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