DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II - INGEGNERIA ELETTRONICA. ANNO ACCADEMICO (PROF. D. PUGLISI)

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II - INGEGNERIA ELETTRONICA. ANNO ACCADEMICO (PROF. D. PUGLISI) Successioni di Funzioni Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Esempi. Criterio di Cauchy. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme. Teorema di limitatezza per la funzione limite. Teorema di continuità per la funzione limite. Esempio di successione di funzione definita su un compatto, convergente puntualmente ma non uniformemente ad una funzione continua. Teorema del Dini Teorema del Dini. Esempi. Teorema di Riemann-integrabilità per la funzione limite e passaggio al limite sotto il segno di integrale. Condizione sufficiente per l uniforme convergenza attraverso la succcessione delle derivate Allerta meteo Teorema dello scambio dei limiti. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale definito. Esempi. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale improprio di prima specie (non dimostrato). Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale improprio di seconda specie (non dimostrato). Teorema di Polya (non dimostrato). Serie di Funzioni Definizione di serie di funzione. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza totale. Confronto fra le varie convergenze. Condizione caratteristica per la convergenza totale Teorema di continuità per serie di funzioni. Teorema di integrazione per serie. Teorema di derivazione per serie. Teorema del Dini per serie di funzioni. Criterio di Cauchy per convergenza uniforme di una serie di funzioni. Esempio sul calcolo della funzione somma di una serie convergente. Esercizi vari Serie di potenze Definizione. Raggio di convergenza di una serie di potenze. Lemma sull assoluta e totale convergenza di una serie di potenze. Teorema descrittivo sulla convergenza assoluta e totale attraverso il raggio di convergenza. Teoremi sul calcolo del raggio di convergenza attraverso il corollario del criterio della radice n-esima e rapporto Teorema di Abel (non dimostrato). Teorema di derivazione di una serie di potenze. Esempi del calcolo della somma di una serie numerica convergente. Serie di Taylor Definizione di serie di Taylor/McLaurin. Funzione analitica in un punto (o sviluppabilità in serie di Taylor). Condizioni sufficienti affinchè una funzione di classe C sia analitica. Teorema di Berstein (non dimostrato). Esercizi vari Spazi metrici Definizione. Intorno di un punto. Insiemi aperti e chiusi in uno spazio metrico. Punto di accumulazione e isolato. Chiusura di un insieme. Insiemi compatti. Ogni insieme compatto è chiuso e limitato (non. 1

2 2 ANALISI II, CORSO (A-Z) vale in generale il viceversa). Teorema di Heine-Borel su R n (dimostrazione uguale a quella in R). Metriche equivalenti. Metriche classiche su R n. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Disuguaglianza triangolare per la metrica euclidea. Disuguaglianza di Holder-Riesz e di Minkowski (non dimostrate). Esercizi vari Spazi normati Successioni convergenti in spazi metrici. Successioni di Cauchy in spazi metrici. Spazi metrici completi. Esempio di spazio metrico non completo. Spazi normati. Spazi di Banach. Definizione di funzioni convergenti (e divergenti) tra spazi normati. Limiti di funzione tra spazi normati. Teorema ponte tra limiti di funzioni e limiti di successione. Teorema di composizione tra limiti di funzioni. Teorema sulle restrizioni di limiti di funzioni. Esempi Allerta meteo Continuità Continuità di funzioni tra spazi metrici. Teorema di Weiestrass per esistenza di massimi e minimi assoluti. Funzioni uniformemente continue. Funzioni lipschitziane. Confronto fra questi concetti. Teorema di Heine-Cantor (dimostrazione identica a quella in R). Funzioni coercive. Funzioni coercive e continue in un chiuso di R n. Derivate direzionali Definizione di derivata direzionale e derivate parziali (rispetto a una variabile). Esempi. Esempio di funzione dotata di derivata rispetto a una qualunque direzione in un punto ma non continua in quel punto. Operatori lineari e continui tra spazi normati. Condizione di equivalenza affinchè un operatore lineare sia continuo. Definizione dello spazio L(X, Y ) e norma associata. Differenziabilità Definizione. Ogni funzione differenziabile in un punto è continua in quel punto. Esercizi vari Ogni funzione differenziabile ammette derivate direzionali e formula del differenziale. Gradiente, matrice Jacobiana e di una funzione e significato. Teorema del differenziale totale. Esercizi su limiti di funzioni Estremi relativi Teorema sulla derivata direzionale e di differenziazione di funzioni composte (non dimostrato). Derivate e differenziale di ordine superiore. Funzione di classe C k. Massimi e minimi relativi per funzioni a più variabili. Forme quadratiche su R n. Forme quadratiche definite (risp. semi-definite) positive e negative. Condizione caratteristica affinchè una forma quadratica simmetrica sia definita positiva attraverso gli autovalori e disuguaglianza caratteristica (non dimostrato). Forma quadratica hessiana. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor col resto di Peano (non dimostrato). Esercizi vari Massimi e minimi relativi sulle restrizioni. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Due Teoremi per lo studio di massimi, minimi e punti di sella attraverso le forme quadratiche hessiane. Teorema per lo studio della positività o meno di forme quadratiche simmetriche attraverso i determinanti delle matrici principali (non dimostrato). Studio di massimi e minimi relativi (schema generale). Esercizi. Definizione di funzione implicita Funzioni implicite Teorema del Dini sull esistenza, continuità e unicità della funzione implicita. Teorema del Dini sulla derivabilità della funzione implicita Calcolo della retta tangente di una curva piana in un punto attraverso la

3 ANALISI II, CORSO (A-Z) 3 funzione implicita. Teorema del Dini-esistenza, unicità e continuità (Caso vettoriale) (non dimostrato). Teorema del Dini-derivabilità della funzione implicita (Caso vettoriale) (non dimostrato). Teorema di invertibilità locale (non dimostrato). Estremi vincolati Definizione di massimo e minimo vincolato. Teorema sui moltiplicatori di Lagrange. Funzione Lagrangiana. Teorema per determinare estremi vincolati attraverso la funzione lagrangiana Esercizi vari Esercizi su massimi e minimi vincolati. Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali Equazioni differenziali a variabili separate. Definizione di soluzione. Soluzioni di primo, secondo e terzo tipo Equazioni differenziali lineare di primo ordine. Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in grande. Equazione omogenea associata. Soluzione particolare attraverso il metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Metodo per determinare tutte le soluzioni (Recupero Lezione 8.00/10.00) Equazioni differenziali lineare di ordine n a coefficienti costanti. Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in grande. Equazione omogenea associata. Soluzioni dell omogenea associata attraverso polinomio caratteristico. Soluzione particolare attraverso il metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Metodo per determinare tutte le soluzioni. Esercizi Equazioni differenziali di Bernoulli e di tipo omogeneo (di Manfredi) di primo ordine. Equazioni differenziali di Bernoulli di primo ordine. Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in piccolo. Metodo risolutivo per determinare tutte le soluzioni. Equazioni differenziali di tipo omogeneo (o di Manfredi) di primo ordine. Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in piccolo. Metodo risolutivo per determinare tutte le soluzioni. Esercizi. Teorema di Banach-Caccioppoli Equazioni differenziali ordinarie di ordine n e sistemi di equazioni differenziali Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in piccolo. Problema di Cauchy. Equazione di Volterra. Teorema di esistenza e unicità di soluzioni in piccolo Teorema di Peano (non dimostrato). Teorema di esistenza in grande (non dimostrato). Teorema di unicità del problema di Cauchy lineare. Wronskiano. Lemma per le soluzioni all equazione omogenea linearmente indipendenti. Teorema sulla dimensione dello spazio di soluzione dell equazione omogenea associata. Teorema sull insieme di soluzioni di una equazione (o sistema) lineare di qualunque ordine. Esercizi vari Metodi risolutivi per sistemi di equazioni differenziali di primo ordine a coefficienti costante. Matrice esponenziale. Teorema di Putzer (non dimostrato). Esercizi vari. Teoria della misura di Lebesgue Rettangoloidi semiaperti in R n. Definizione della misura di Lebesgue di un rettangolide. Plurirettangolo in R n. Definizione della misura di Lebesgue di un plurirettangolo. Definizione della misura di Lebesgue di un aperto non vuoto e limitato con l ausilio dei plurirettangoli. Definizione della misura di Lebesgue di un chiuso non

4 4 ANALISI II, CORSO (A-Z) vuoto e limitato. Definizione di insieme limitato di R n misurabile secondo Lebesgue. Definizione di insieme generico di R n misurabile secondo Lebesgue Proprietà della misura di Lebesgue: (1) Finita additività. (2) Sottratività. (3) Monotonia. (4) Modularità. (5) Finita sub-additività. (6) σ-addtività. (7) σ-subaddtività. (8) Continuità verso il basso. (9) Continuità verso l alto. (10) Invarianza per traslazione. Esempio (Vitali): esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue. Definizione di σ-algebra. Esercizi vari σ-algebra di Borel (o boreliani). Teorema di decomposizione di Borel degli insiemi Lebesgue misurabili (non dimostrato). Integrale di Lebesgue Funzioni misurabili. Prolungamento banale. Operazioni di funzioni misurabili (combinazione lineare, inf p f p e sup p f p ). Convergenza quasi ovunque e quasi uniformemente. Ogni funzione limite-quasi ovunque di una successione di funzioni misurabili è misurabile. Convergenza quasi uniforme implica convergenza quasi ovunque. Teorema di Severini-Egoroff. Funzioni semplici. Ogni funzione misurabile può essere approssimata (quasi ovunque) attraverso una successione non decrescente di funzioni semplici (non dimostrato). Definizione di integrale di Lebesgue: (i) per funzioni misurabili, limitate definite su insiemi di misura finita a valori non-negative. (ii) per funzioni misurabili, definite su insiemi di misura finita a valori non-negative. (iii) per funzioni misurabili a valori non-negative. (iv) per funzioni misurabili a valori qualunque. Confronto con l integrale di Riemann: ogni funzione Riemann integrabile è integrabile secondo Lebesgue. Non vale il viceversa (Esempio). Teorema di Lebesgue-Vitali (non dimostrato). Esercizi Teorema della convergenza dominata di Lebesgue. Teorema di Beppo-Levi (non dimostrato). Esercizi Calcolo dell integrale di Lebesgue Teorema di Tonelli. Teorema di Fubini (non dimostrato). Formula di integrazione per sezione. Formula di integrazione per proiezione (non dimostrato). Definizione di diffeomorfismo. Teorema di cambiamento di variabile (non dimostrato). Esercizi Spazi metrici connessi. Definizioni equivalenti di spazi metrici connessi. Spazi metrici connessi per archi. Insiemi in spazi normati connessi per spezzate. Ogni conensso per segmenti è connesso per spezzate. Ogni connesso per spezzate è connesso per archi. Ogni connesso per archi è connesso. Ogni aperto in uno spazio normato è connesso se e solo se è connesso per spezzate. Teorema dell esistenza degli zeri per funzioni a più variabili. Teorema del gradiente nullo. Esercizi Curve in R n Definizione di cammino o curva in R n, curva semplice, punto iniziale e finale di una curva, rappresentazione parametrica e relazione di ammissibilità tra cammini, sostegno o traiettoria di un curva. Cammino aperto e chiuso, cammino regolare e regolare a tratti. Se due curve (entrambe aperte o chiuse) hanno lo stesso sostegno allora sono uguali (non dimostrato). Curve rettificabili e definizione di lunghezza di una curva semplice. Curve regolari. Ogni curva regolare è rettificabile e formula della lunghezza di una curva.

5 ANALISI II, CORSO (A-Z) Integrali curvilinei e forme differenziali Formula per la lunghezza del grafico di una funzione reale a variabile reale. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Proprietà. Forme differenziali associati ad un campo vettoriale. Interale curvilineo di una forma differenziale. Proprietà. Definiziane di forma differenziale esatta. Primitiva di una forma differenziale. Integrale curvilineo di una forma differenziale esatta. Forma differenziale chiusa. Ogni forma differenziale esatta è chiusa ma non vale il viceversa. Insieme stellato. Ogni forma differenziale chiusa in un insieme stellato e aperto è esatta (non dimostrato). Teorema caratteristico affinchè una forma differenziale sia esatta attraverso integrali curvilinei (non dimostrato). Domini del piano. Primo teorema di Jordan per domini limitati del piano (non dimostrato). Secondo teorema di Jordan (per l esattezza di una forma differenziale) (non dimostrato). Esercizi Insiemi semplicemente connessi. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma differenziale sia esatta su insiemi semplicemente connessi (non dimostrato). Teorema di Gauss-Green (no dimostrato). Formula per il calcolo della misura di un dominio piano regolare. Esercizi Esercizi Esercizi Simulazione Correzione simulazione e esercizi vari.