Sistemi energetici. 1 Esercitazioni SISTEMI ENERGETICI

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1 Esercitazioni SISTEMI ENERGETICI Sistemi ed nità di misra Il sistema di misra tilizzato è il Sistema Internazionale (S.I.). Le grandezze fisiche che in esso sono assnte come fondamentali sono: Grandezza Unità di misra Simbolo temo Secondo s massa Chilogrammo kg lnghezza Metri m temeratra Gradi Kelvin K Le altre grandezze fisiche sono misrate tilizzando nità di misra derivate dalle fondamentali slla base delle varie leggi che governano la Fisica. Ad esemio la forza, data dalla seconda legge della dinamica F = m a, è esressa in newton [N]. Se consideriamo n coro di [kg] sottoosto all accelerazione di [m/s²] si ha che s qesto agisce na forza: [ ] [ ] [ ] [ ] N = kg m s = kg m s. Un sistema di misra ancora molto tilizzato in camo tecnico è il Sistema Tecnico (S.T.). Le grandezze fisiche che in esso sono assnte come fondamentali sono: Grandezza Unità di misra Simbolo temo Secondo s forza Chilogrammo kg lnghezza Metri m temeratra Gradi centigradi C Talvolta, er maggiore chiarezza, il simbolo tilizzato er esrimere la forza nel S.T. è il kg. Il camione tilizzato er qantificare la massa nel S.I. è lo stesso camione tilizzato er identificare la forza eso nel S.T.. Da qesta condizione è ossibile ricavare la relazione tra kg e N. Infatti, in base alla seconda legge della dinamica, considerando n coro avente massa di kg immerso nel camo gravitazionale terrestre, sottoosto qindi all accelerazione di gravità ari a 9.8 m/s, si ha che s qesto agisce na forza: F = [kg] 9.8[m/s kgm ] = 9.8 s = 9.8[N] ari ad kg. Nel segito, vista l identificazione tra il camione di massa e di eso, indicheremo il chilogrammo massa e qello eso con lo stesso simbolo kg. Unità di misra della ressione Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

2 Esercitazioni Dal nto di vista dimensionale la ressione è il raorto tra na forza ed na serficie. Nel S.I. è misrata in Pascal ([Pa]), dove [Pa] = [N/m ] Poichè il Pa raresenta na ressione di entità esiga, nel camo dei sistemi energetici vengono correntemente tilizzati dei soi mltili come kpa = 3 Pa; MPa = 6 Pa ed bar = 5 Pa La ressione, erò, viene misrata tilizzando anche altre nità di misra, alcne in disso, come l atmosfera tecnica [ata] e l atmosfera normale [atm], altre in articolari cami e/o sitazioni, come i millimetri di colonna di mercrio [mm Hg ]ed i millimetri di colonna d acqa [mm HO ]. I fattori di conversione tra qeste nità di misra sono: [ata] = 9866,5 [Pa] [atm] = 35 [Pa] [mm Hg ] = 33,3 [Pa] [mm HO ] = 9,8665 [Pa] Nella tabella UNI allegata sono riortate le nità di misra, relativamente al S.I., delle rinciali grandezze fisiche e i relativi fattori di conversione er le corrisondenti nità di misra nei rinciali sistemi di misra. Rieilogo delle rinciali esressioni necessarie er la risolzione degli esercizi alicativi. Primo rinciio della termodinamica. Forma sostanziale (Sistemi chisi) dove: dq e +dl=de (Lez.3-4) energia del sistema chiso: E = U+E c +E b +E ω +... (Lez.3-4) energia interna: U = U T +U ch +... (Lez.3-4) energia cinetica: E c = c / (Lez.3-4) energia otenziale ( g r ): E g =gz (Lez.3-4) energia dovta al c.f.c.: E ω = -rω / (Lez.3-4) e sostitendo i vari termini si ottiene: dq ( ) + dl = du + dec + deg de ω (Lez.3-4) e + Conservazione dell energia in forma meccanica ( ) dl = dv + dec + deg + dlw + de ω (Lez.3-4) Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

3 Esercitazioni altra forma del rimo rinciio della termodinamica: dq e + dl = du + dv = di vd (Lez.3-4) w Forma Eleriana (Sistemi aerti) Q de + L & = E & f (Lez.5-6) dt & + energia immagazzinata in n sistema aerto: c E = U + + gz de dt = d dt V EñdV c energia di corrente: E f = E + v = i + + gz r r E & f = E & f,i = f A E ñc nda i i (Lez.5-6) (Lez.5-6) (Lez.5-6) (Lez.5-6) In condizioni stazionarie: dq + dl = di + de + de + ( de ) (Lez.5-6) e i c g ω Conservazione dell energia in forma meccanica dl = vd + de + de + ( deω ) + dl (Lez.5-6) i c g w Secondo rinciio della termodinamica TdS = dq = dq + dq = dq + dl (Lez.) e w e w Modelli di gas Gas erfetto v = RT R = cost dq c = dt = costante P dq cv = dt = costante v Politecnico di Torino Pagina 3 di 5 Data ltima revisione 5/6/

4 Esercitazioni R = c - c v Gas qasi erfetto v = RT R = cost dq c = dt c = dq = dt v v = R = c - c v f (T ) f (T ) Gas reale v = z(,t ) RT Fnzioni di stato dei gas erfetti energia interna: du = cv dt entalia: di = cdt entroia: ds c dt = R dv c dt R d v T + v = T Leggi di trasformazioni er n gas trasformazion eqazione m c e isobara = costante T/v = cost c isoterma T = costante v = cost isocora v = costante T/ = cost c v adiabatica reversibile olitroica dq e = dl w = c = costante v k = cost k v m = cost m c m k v m Politecnico di Torino Pagina 4 di 5 Data ltima revisione 5/6/

5 Esercitazioni Esercizi alicativi del rinciio di conservazione dell energia ) Una macchina esande 3 kg/s di gas da bar e 5 C sino ad bar, secondo na olitroica con esonente m=.5. Si conosce L w =6 kj/kg e si vol saere la otenza interna della macchina, nonché, eventalmente, se qesta scambia calore con l eterno e qanto comlessivamente. (c =5 J/kg/K, R=87 J/kg/K, energie cinetiche trascrabili all ingresso e all scita). ) In n imianto er riscaldare n ambiente il ventilatore asira.5 m 3 /s di aria dall esterno nelle condizioni di bar, 5 C e la manda in na tbazione in ci è inserito n riscaldatore elettrico che le fornisce calore. L aria efflisce nell ambiente ad na ressione ari a qella esterna con velocità trascrabile. Saendo che il ventilatore è azionato da n motore che eroga na otenza di 3.7 kw (con n rendimento meccanico della trasmissione meccanica motore-ventilatore ari a.97), valtare la otenza termica richiesta al riscaldatore affinché l aria efflisca nell ambiente ad na temeratra di 35 C. (c =5 J/kg/K, R=87 J/kg/K). 3) In n riscaldatore entra aria nelle condizioni di.5 MPa, C con na velocità di 5 m/s ed esce nelle condizioni di.45 MPa, 85 C con na velocità di m/s. Saendo che il regime di fnzionamento è stazionario e che l evolzione del flido nel riscaldatore è arossimabile con na olitroica di esonente m, si valti l esonente m, il calore massico fornito al flido nonchè l entità delle erdite er resistenze assive L w drante la trasformazione. (c =5 J/kg/K, R=87 J/kg/K). 4) Una trbooma deve sollevare acqa da n ozzo in n serbatoio er n altezza di m. Il condotto in ci è inserita la oma ha n diametro costante ari a cm. Le erdite er resistenze assive nel condotto e nella oma sono valtabili in n 5% del lavoro massico comito dalla oma. Calcolare la otenza del motore che aziona la oma in tali condizioni saendo che l acqa efflisce all atmosfera con velocità di m/s. Si assma n rendimento meccanico nell accoiamento motore-oma ari a.97. 5) Una trbina a vaore riceve na otenza di MW dal vaore che la attraversa. Le condizioni del vaore all ingresso sono ari a 3 bar, 45 C e la velocità del vaore è ari a m/s. Il vaore viene scaricato dalla macchina con na velocità di 4 m/s ad na temeratra di 33 C in n ambiente ove regna na ressione di MPa. Determinare la ortata di vaore che attraversa la macchina. 6) In na trbina a gas diabatica i gas si esandono a artire dalla temeratra di 8 C segendo na linea di esansione di esonente m =.3. Saendo che il raorto di esansione (raorto tra la ressione all ammissione e qella allo scarico della trbina) è ari a 4 e che il calore introdotto dall esterno drante l esansione ammonta a 3 kj/kg, determinare la temeratra alla fine dell esansione ed il lavoro di esansione. (c =5 J/kg/K, R=87 J/kg/K). Politecnico di Torino Pagina 5 di 5 Data ltima revisione 5/6/

6 Esercitazioni 7) Una bombola della caacità di 5 litri, contenente aria nelle condizioni ambiente di bar e 3 K, è collegata tramite na valvola ad n grande serbatoio contenente aria alla ressione di 5 bar ed alla temeratra di 3 K. Arendo la valvola nella bombola entra aria fino a ortare la ressione interna a 5 bar. Trascrando gli scambi di calore con l esterno drante il rocesso di riemimento, determinare la massa di aria che entra e la temeratra media dell aria nella bombola al termine del riemimento. (c =4.5 J/kg/K, R=87 J/kg/K). Politecnico di Torino Pagina 6 di 5 Data ltima revisione 5/6/

7 Esercitazioni Solzioni esercizi alicativi I rinciio della termodinamica ) La macchina lavora in condizioni stazionarie. Alicando il rinciio di conservazione dell energia in forma eleriana tra le sezioni di ingresso () e di scita () della macchina, sosta motrice, ossiamo scrivere: Q e - L i = i + E c + dove: E c i = c(t -T ) La temeratra T è determinabile tramite l esressione della olitroica che nisce gli stati e del flido: m m T = T = (73+5)*(/)^(,5/,5) = 358,79 K i = c(t -T ) =,5*(358,79-773)= - 434,9 kj/kg Il lavoro che il flido esercita sgli organi mobili della macchina ò essere determinato dall eqazione dell energia in forma meccanica: L i = vd Ec Lw vd L L integrale definito tra e ha solzione: vd m m = v = RT m = m m m m m β = (,5/,5)*87*773*(-/(^(,5/,5)))/ 3 = 356,63 kj/kg L i = = kj/kg P i = m& L i = 3*356,63 = 883,9 kw Il calore massico scambiato con l esterno rislta qindi: w Q e = L i + i = 94,63-434,9 = -4,8 kj/kg (negativo in qanto sottratto al flido che si esande attraverso la macchina). ) Con riferimento allo schema raresentato a lato, alichiamo il rinciio di conservazione dell energia, nella forma tilizzata er sistemi aerti: Q& e + L& i = m& ( i + Ec ) dove: E c i = c(t -T ) =,5*(35-5) = 3,5 kj/kg L& = ml & = P = η P =,97*3,7 = 3,59 kw i i i m a Politecnico di Torino Pagina 7 di 5 Data ltima revisione 5/6/

8 Esercitazioni La ortata in massa che attraversa il sistema si determina moltilicando la ortata in volme (V & ), nota nella sezione di ingresso, er la densità massica nella stessa sezione. ρ = = 5 /(87*78) =,53 kg/m 3 RT m & = ρ V& =,53*,5=,88 kg/s La otenza termica richiesta dal riscaldatore è qindi data da: Q& = m& i η P =,88*3,5-3,59=53,9 kw e m a 3) L evolzione del flido nel riscaldatore è arossimabile con na olitroica e ertanto, indicando con i edici e risettivamente le condizioni del flido all ingresso e all scita, si ha: m m T = da ci si ottiene: T m ln( ) = = ln(,45/,5)/ln(3/483) = -,5; m =, m ln T T ( ) Il calore massico fornito al flido si determina tramite l esressione del I rinciio, scritto secondo il criterio di stdio eleriano: Q e - L i = i + E c + con L i = in qanto non ci sono organi mobili che scambiano lavoro con il flido Q e = c(t -T )+(c -c )/ =,5*(3-483)+( -5 )// 3 = 677,95 kj/kg Il lavoro delle resistenze assive drante la trasformazione è determinabile tramite l esressione del I rinciio in forma meccanica L i = vd Ec L w = ; da ci m m m ( c c ) Lw = vd Ec = RT + m = = -,/(-,889)*87*483*((,45/,5)^(-,889/,)-) +(5 - )/ = = 6987 J/kg = 6,99 kj/kg 4) Alichiamo il rinciio di conservazione dell energia in forma meccanica tra il elo libero del serbatoio di asirazione della oma (edice a) e l scita del condotto di mandata (edice ), tenendo resente che il flido di lavoro è acqa, che considereremo incomrimibile. L i = vd+ Ec + E g + Lw = + Ec + E g + Lw = g( H Ha ) + Lw ρ Politecnico di Torino Pagina 8 di 5 Data ltima revisione 5/6/

9 Esercitazioni dove, nell ltima esressione, si è tilizzata la definizione di carico totale c H = + + z ρg g atm c Nella sezione di scita il carico totale è H = + + z ρg g atm al elo libero del serbatoio di asirazione è H a = + za ρ g sostitendo qeste esressioni nell eqazione di artenza si ottiene: c L i Lw = g( z za ) + = 9,8*+ / = 98 J/kg L i = 98/,85 = 3,94 J/kg Per calcolare la otenza del motore che aziona la oma occorre darima determinare la ortata in massa che manda la oma: φ m& = ρπ c = *3,4*(*- ) /4* = 5,7 kg/s 4 La otenza richiesta dal motore rislta essere Pi ml & i PM = = = 5,7*3,94/,97/ 3 = 3,77 kw η η m m 5) Alichiamo il rimo rinciio della termodinamica in forma eleriana tra ingresso () e scita () della trbina a vaore, tilizzando la convenzione delle macchine motrici: Q e - L i = i + E c + con Q e = erchè la macchina è adiabatica. Dal diagramma di Mollier è ossibile determinare l entalia del vaore in, intersecando l isobara di 3 bar con l isoterma di 45 C; si ottiene i = 3344 kj/kg. Analogamente, le condizioni del vaore all scita della trbina sono determinabili tramite l isobara a bar e l isoterma a 33 C: i = 35 kj/kg. c c L i = i i + = ( -4 )// 3 = 4, kj/kg m & = Pi = * 3 /4, = 44,6 kg/s = 6,6 t/h L i 6) La temeratra di scarico dei gas dalla trbina è determinabile tilizzando l eqazione della trasformazione olitroica tra ingresso (3) e scita (4) della macchina: Politecnico di Torino Pagina 9 di 5 Data ltima revisione 5/6/

10 Esercitazioni T3 T3 T4 = = m m = 73/4^(,3/,3) = 779, K m m 3 β 4 Il lavoro massico è dato dall esressione ( E ): ( T3 T ) Qe L i = i3 i4 + Qe = c 4 + =,5*(73-779,)+3 = 338,46 kj/kg c 7) Con riferimento allo schema raresentato a lato, alichiamo il rinciio di conservazione dell energia in forma lagrangiana al sistema costitito dalla massa m, inizialmente resente nella bombola rima dell aertra della valvola, e dalla massa m che, resente inizialmente nel serbatoio, sarà introdotta nella bombola al termine del riemimento. Pertanto la massa che comlessivamente sarà resente nella bombola al termine del riemimento varrà m + m. dq e +dl=de=du+de c +... Trascrando gli scambi di calore drante il rocesso di riemimento ed integrando l esressione tra l istante immediatamente rima dell aertra della valvola e l istante in ci ha termine il riemimento si ottiene: L = U + E c U =(m +m) U f -m U -m U S in qanto la variazione di energia cinetica è trascrabile tra l istante di fine e l istante di inizio riemimento. Il lavoro effettato dalle forze esterne sl sistema è dato da: L = dv = dv = V S Sm S + m m+ m S avendo indicato con S m +m la serficie che delimita il sistema con l esterno, e con V il volme occato dalla massa m nel serbatoio rima del rocesso di riemimento. Alicando qindi l eqazione di stato dei gas erfetti alle masse m e m all inizio del rocesso e a m +m al termine del riemimento, ossiamo scrivere: SV m = RTS V m = RT V f SV m + m = = RT RT f f ed esrimendo le energie interne er l aria, considerata come n gas erfetto, U = c v T + cost = c v T Sostitendo le esressioni determinate nella seconda eqazione si ottiene: Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

11 Esercitazioni mrt V S S = cvt m cvt f RT f mc T c c c v S R R R cv V V m = ( ) = ( S ) =,639 kg Rc T krt v v v da ci: m( R + c ) T = V V = V ( ) S S V m = = 5,8* -3 kg RT SV T = = 45, K f R( m+ m ) v S S S S Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

12 Esercitazioni Esercizi sgli imianti a ciclo Rankine 8) Un imianto termoelettrico con trbina a vaore, rigenerativo, consma 63 t/h di combstibile avente otere calorifico inferiore a ressione costante H i = 4 MJ/kg e richiede er la condensazione 665 m 3 /h di acqa che si riscalda di C nel assaggio attraverso il condensatore. Il rendimento del generatore di vaore vale η b =.9; gli asiliari assorbono na otenza di MW, le erdite meccaniche della trbina ammontano a 5 MW. Calcolare la otenza tile dell imianto ed il rendimento globale. 9) Nell imianto a vaore a ricero arziale schematizzato nelle condizioni nominali di fnzionamento si domandano: la otenza tile; il rendimento globale; la ortata di combstibile (avendo esso n otere calorifico inferiore H i = 4 kj/kg). (I calcoli vengano effettati iotizzando che il liqido sia restitito dall tilizzazione termica nelle condizioni di satrazione alla ressione di 5kPa, e che all scita del degasatorerigeneratore l acqa si trovi nelle condizioni di satrazione a kpa. Si noti che qest ltima iotesi è sale in robemi di qesto tio a meno che il liqido non sia sottoraffreddato. In qesto caso sarà indicata la temeratra dell acqa all scita dello scambiatore. Per determinare le condizioni del vaore sillato nella trbina di bassa ressione (BP) si ò iotizzare che: a) l esansione sia raresentata da na retta sl diagramma di Mollier; b) il rendimento termodinamico tra ingresso trbina e nto di estrazione sia ari a qello dell intero coro della trbina. Le de iotesi, entrambe arossimate, comortano risltati lievemente diversi. L imianto in esame è di tio cogenerativo, atto cioè alla rodzione conginta di lavoro e calore, e ertanto la definizione di rendimento globale che occorre adottare è di tio economico). ) Un imianto convenzionale a vaore ha le segenti caratteristiche in condizioni nominali: ressione all scita del generatore di vaore O = bar; temeratra all scita del generatore di vaore t O = 55 C; ressione al condensatore k =,5 bar: rendimento termodinamico interno della trbina η θ =.8. Calcolare il rendimento tile del ciclo assmendo n rendimento organico η =.96. Determinare inoltre il rendimento tile qalora si renda l imianto rigenerativo. Sorre che lo sillamento rigenerativo venga effettato alla ressione di 3 bar e che la frazione sillata, desrriscaldata e condensata, serva a ortare, in n condensatore a miscela, Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

13 Esercitazioni l acqa all scita dal condensatore alla temeratra corrisondente alle condizioni di satrazione alla ressione di 3 bar. ) In n imianto a recero arziale le condizioni del vaore all ingresso della trbina sono: 6 bar e 5 C. Le condizioni del vaore all estrazione sono ari a 3 bar e 9 C. La trbina di bassa ressione ha rendimento termodinamico interno η θ =.8, e la ressione al condensatore vale.6 bar. In tali condizioni il generatore di vaore rodce na ortata di vaore ari a 6 t/h (η b =,9) e l imianto svila na otenza di 35 MW (η =,95). Determinare la ortata estratta ed il rendimento globale dell imianto nell iotesi che la ortata estratta venga reintegrata alla stessa temeratra della condensa roveniente dal condensatore. Politecnico di Torino Pagina 3 di 5 Data ltima revisione 5/6/

14 Esercitazioni Solzione esercizi sgli imianti a ciclo Rankine 8) La otenza termica fornita al flido nel generatore di vaore è data dall esressione: Q & bm& = η bhi =,9*63/3,6*4 = 63 MW La otenza termica sottratta al flido nel condensatore vale: Q& = c m& h h Th = chρhqh T = 4,868**665/36** -3 = 37,93 MW La otenza tile dell imianto vale: P = Pi Pax Pm = Q& Q& Pax Pm = 63-37,93--5 = 4,7 MW e il rendimento globale: P η g = ηb & =,9*4,7/63 =,344 9) Q Con riferimento alla simbologia indicata sllo schema dell imianto, dal diagramma di Mollier si ricava: i O = 374,3 kj/kg i His = 637,3 kj/kg i Q = 37, kj/kg i Kis = 4,6 kj/kg dalla definizione di rendimento isoentroico in trbina abbiamo: ih = io η ϑ ( i ) AP O ih is = 764,7 kj/kg i i η i i = 53, kj/kg ( ) K = Q ϑbp Q K is Dalle tabelle delle crve limiti del vaore si determina inoltre - liqido scita condensatore i L = 5,5 kj/kg - liqido satro scita tenza termica i U = 64, kj/kg Per determinare le condizioni del vaore sillato a bar (nto E) drante l esansione nella trbina BP iotizziamo che il rendimento termodinamico tra Q ed E valga,85, lo stesso valore che viene fornito er ttto il coro di BP (è qesta n iotesi di lavoro in mancanza di dati iù recisi relativi alle condizioni del vaore sillato). i Eis = 36,8 kj/kg i i η i i = 355, kj/kg ( ) E = Q ϑ BP Q E is La ortata estratta drante l esansione nella BP si determina mediante n bilancio allo scambiatore a miscela: ( m & BP δm& ) il + δmi & E = m& BPiR da ci Politecnico di Torino Pagina 4 di 5 Data ltima revisione 5/6/

15 Esercitazioni ir il δ& m = m& BP ie i L l entalia del nto R si determina dalle tabelle delle crve limiti alla ressione di bar: i R = 54,7 kj/kg rislta qindi ir il δ m& = m& BP = *(54,7-5,5)/(355,-5,5) =,6 t/h = 3.38 kg/s i i E L La otenza tile fornita dall imianto è data dall esressione: P = η m& i i + m& i i + m& δm& i i = [ ( ) ( ) ( )( )] AP O H BP Q E BP =,96*[*(374,3-764,7)+*(37,-355,)+(-,6)*(355,-53,)]/3,6/ 3 = 45, MW mentre la otenza termica che viene fornita al flido nel generatore vale: Q = m& i i + m& i i & AP ( ) ( ) O M BP Q H E dove i M raresenta l entalia del liqido rima dell ingresso nel generatore di vaore. Per determinare qesto valore occorre effettare n bilancio energetico al nodo di conflenza tenza termica liqido scita dal degasatore-rigeneratore: ( m& AP m& BP ) iu + m& BPiR im = = (*64,+*54,7)/ = 57,4 kj/kg m& AP AP ( i i ) + m ( i i ) Q& = m& & = O M BP Q H =[*(374,3-57,4)+*(37,-764,7)]/3,6/ 3 = 64, MW La ortata di combstibile si determina dalla definizione di rendimento del generatore di vaore: Q& m& b = = 64,/(,9*4) = 4,56 kg/s η H b i Il rendimento globale del ciclo è definito dall esressione: P ηg = ηb Q& Q& U la otenza termica fornita all tenza termica è Q& = m& m& i i = *(764,7-64,)/3,6/ 3 = 59, MW U ( )( ) AP P BP H U η g = ηb Q& Q& =,9*45,/(64,-59,) =,387 U K Politecnico di Torino Pagina 5 di 5 Data ltima revisione 5/6/

16 Esercitazioni ) Con riferimento al ciclo Rankine indicato a lato, dal diagramma di Mollier si ricava: i O = 3499,8 kj/kg i Kis = 59,8 kj/kg e dalla definizione di rendimento isoentroico: i i η i i = 347,8 kj/kg K = O ϑ ( ) O K is Dalle tabelle delle crve limiti del vaore si determina inoltre er il liqido all scita del condensatore i L = 37,77 kj/kg Il rendimento tile del ciclo base è dato dalla relazione: P L Li io ik η = Q& = = η = η =,96*(3499,8-347,8)/(3499,8-37,77) = =,39 Q Q io i L Nel caso di ciclo reso rigenerativo, le condizioni del vaore sillato alla ressione di 3 bar (nto E) sono determinate in modo analogo a qanto fatto nell esercizio 9). i Eis = 69,3 kj/kg i i η i i = 83,4 kj/kg E = O ϑ ( ) O E is Per la resenza dello sillamento rigenerativo la definizione del rendimento tile deve tener conto del fatto che la ortata in massa attraverso la trbina non è costante, e qindi: δm& ( io ie ) ( ie ik ) P + m& ( io ie ) + ( m& δm& )( ie ik ) m& η = = η = η Q& m& ( i ) ( ) O ir io i R dove i R raresenta l entalia di satrazione del liqido a 3 bar; dalle crve limiti i R = 56,4 kj/kg Dal bilancio del rigeneratore a miscela si ha: δm & ie + ( m& δm& ) il = m& ir δ& m ir il da ci = = (56,4-37,77)/(83,4- m& i i E L 37,77) =,59 δ& m ( io ie ) + ( ie ik ) m η = η & =,96*[3499,8-83,4+(-,59)*(83,4- ( i ) O ir 347,8)]/(3499,8-56,4) =,353 Politecnico di Torino Pagina 6 di 5 Data ltima revisione 5/6/

17 Esercitazioni ) Con riferimento al ciclo Rankine indicato a lato, mediante il diagramma di Mollier si ricavano le segenti entalie er il vaore: i O = 34, kj/kg i H = 845, kj/kg i Kis = 38,6 kj/kg dalla definizione di rendimento isoentroico nella trbina BP: i i η i i = 359,9 kj/kg ( ) K = H ϑbp H K is Le tabelle delle crve limiti del vaore danno, er l scita dal condensatore i L = 5,5 kj/kg La ortata estratta er l tenza termica è determinabile dall esressione di otenza tile dell imianto: [ m& AP( io i H ) + ( m& AP mu )( ih ik )] AP ( io ik ) P η ( i i ) P = η & m& m& = = [6/3,6*(34,-359,9)-35* 3 /,95]/(845,-359,9) =,38 U H K kg/s La otenza termica fornita all tenza rislta: Q & = m& i i =,38*(845,-5,5)/ 3 = 57,59 MW U U ( ) H L Al generatore di vaore si fornisce: Q & = m& i i = 6*(34,-5,5)/3,6/ 3 = 45,36 MW AP ( ) O L Il rendimento globale dell imianto a ricero arziale vale qindi: P η g = ηb Q& Q& =,9*35/(45,36-57,59) =,359 U Politecnico di Torino Pagina 7 di 5 Data ltima revisione 5/6/

18 Esercitazioni Esercizi sgli gelli ) Un gello isoentroico ed adiabatico riceve aria a 7 C ed alla ressione di 6 bar e la scarica alla ressione di bar; la velocità del flido nella sezione d ingresso dell gello è ari a m/s. Saendo che l area della sezione di scita vale A = 3 cm, calcolare la la ortata in massa e la velocità all scita. 3) Un gello diabatico riceve del vaore a bar, 4 C con velocità ari a m/s. Le condizioni del vaore nella sezione di scita dell gello (A = cm ) sono di 3 bar e 5 C. Saendo che drante l esansione il vaore riceve n calore massico ari a 4 kj/kg, si determini la velocità del vaore all scita dell gello e la ortata in massa. 4) Un gello convergente-divergente, adiabatico, esande aria dalle condizioni di monte, T (c ) sino alla ressione di bar. Nella sezione ristretta, di area ari a cm, si ha na ressione di 3 bar ed na temeratra di 5 K. Nella sezione di scita si rileva na temeratra di 35 K. Considerando l esansione isoentroica nel tratto convergente dell gello, si determinino la ortata d aria che attraversa l gello, la velocità dell aria nella sezione d scita, l area della sezione d scita e le condizioni (ressione e temeratra) nell ambiente di monte. (L esansione è isoentroica nel solo tratto convergente dell gello e ertanto le relazioni ricavate er il dimensionamento ideale di n gello sono alicabili al solo tratto convergente. Si noti inoltre che l esansione contina nel tratto divergente dell gello e qesto ermette di caire se l efflsso è critico o sbritico) 5) Un gello convergente-divergente esande aria da n ambiente a ressione di.5 bar, temeratra di 543 K e velocità trascrabile, sino ad n ambiente ove regna la ressione di bar. L gello è caratterizzato da na sezione di scita di 5,493 cm ed n raorto delle ressioni in condizioni di adattamento ari a.. Per le condizioni di lavoro indicate, valtare la ortata d aria che attraversa l gello e la velocità di efflsso del flido nella sezione di scita. (L gello non lavora sicramente in condizioni di adattamento, ma, ricordando il significato di raorto critico delle ressioni, è ossibile dire che l efflsso è critico). 6) Un gello De Laval, isoentroico, è rogettato er ricevere na ortata di kg/s di vaore a 6 bar e 5 C con velocità di 5 m/s e ressione di scarico ari a bar. Calcolare la ortata di vaore che attraversa l gello qando qesto è alimentato con vaore a 5 bar, 4 C e velocità trascrabile, mentre la ressione nell ambiente di valle è stata variata in modo da mantenere l gello adattato. Si determini anche il valore della ressione nell ambiente di scarico. (La ressione di scarico dell gello in condizioni di rogetto è anche la sa ressione di adattamento; è noto qindi il raorto di adattamento dell gello, che raresenta na caratteristica dell gello diendente dalla sa geometria e dal flido di lavoro (k). L inflenza della variabilità dell esonente k sl valore del raorto di adattamento si ò normalmente trascrare). Politecnico di Torino Pagina 8 di 5 Data ltima revisione 5/6/

19 Esercitazioni Solzioni esercizi sgli gelli ) Indichiamo le condizioni del flido nell ambiente di monte e nell ambiente di valle dell gello risettivamente con i edici e. La temeratra del flido all scita dell gello è data dall eqazione dell isoentroica alicata tra ambiente di monte ed scita: k k T = T * = (7+73)*(/6)^(,4/,4) = 583,5 K ρ = = RT RT = 5 /(87*583,5) =,597 kg/m 3 La velocità all scita si determina alicando il rinciio di conservazione dell energia in forma eleriana tra ambiente di monte e sezione di scita dell gello: Q + L = i + E = i e i c Nel caso di gello L i = (non ci sono organi mobili che scambiano lavoro con il flido); inoltre la trasformazione è adiabatica, e qindi Q e =. Rislta qindi: i = da ci c c ( T T ) = c + c ( T T ) = = = ( +*4,5*( ,5)) / = 89,6 m/s La ortata d aria smaltita dall gello vale: m& = ρ A c =,597*3* -4 *89,6 =,6 kg/s. 3) Poichè l gello è diabatico, occorre alicare il I rinciio, scritto secondo il criterio di stdio eleriano, in forma comleta: Qe + Li = Qe = i + Ec = i Si ottiene: c = Qe + c + ( i i ) I valori di entalia si determinano tramite il diagramma di Mollier, oichè sono noti, er entrambi i nti, i valori di ressione e temeratra: i = 347,5 kj/kg i = 967, kj/kg c = Qe + c + ( i i ) = (*4* 3 + +*(347,5-967,)* 3 ) / = = 89, m/s La ortata di vaore smaltita dall gello si determina mediante l eqazione di continità: Ac m & = v dove il volme massico si ricava dal diagramma di Mollier nell intersezione tra l isobara e l isoterma in : v =,796 m 3 /kg Politecnico di Torino Pagina 9 di 5 Data ltima revisione 5/6/

20 Esercitazioni A c m = v 4) & = (* -4 *89,)/,796 =, kg/s. L esansione del flido avviene anche lngo il tratto divergente dell gello e ertanto il De Laval lavora in condizioni critiche. Calcoliamo la ortata in massa con riferimento alle condizioni nella sezione ristretta: m& = ρr Ar cr r ρ r = = 3* 5 /(87*5) =,9 kg/m 3 RTr Nelle condizioni di fnzionamento indicate, la velocità nella sezione ristretta è ari alla velocità del sono: cr = cs = krt r r = (,4*87*5) / = 448, m/s m& = ρr Ar cr =,9** -4 *448, = 9,37 kg/s Poichè l evolzione del flido è isoentroica nel tratto convergente dell gello, è ossibile calcolare le condizioni nell ambiente di monte tramite la definizione di ressione critica e di temeratra critica: r = = 3/((/,4)^(,4/,4)) = 5,68 bar k k k + Tr T T = = 5/(/,4) = 6 K k + Per determinare la velocità c ossiamo alicare il rinciio di conservazione dell energia tra sezione ristretta e sezione di scita: c ( T T ) = c ( T T ) c ( T T ) = c r = (*4,5*(6-35)) / = = 78,7 m/s e l area della sezione di scita si ricava dall eqazione di continità m& A = ρ c La densità nella sezione di scita è data dall eqazione di stato: ρ = = = 5 /(87*35) =,996 kg/m 3 RT RT Si è osto l gaglianza tra e in qanto, qalnqe sia il tio di trasformazione segita dal flido nell gello, la ressione slla sezione di scita si dovrà comnqe ortare al valore di ressione dell ambiente di valle. Qesto otrà avvenire tramite l evolzione isoentroica (gello adattato) ore il rieqilibrio della ressione avverrà o tramite n rto flidodinamico (er > ad ), retto o oblico, che otrà verificarsi o all interno o nella sezione di scita dell gello, o tramite na ostesansione (er < ad ), che avverrà semre nella sezione di scita. Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

21 Esercitazioni A m& = = 9,37/(,996*78,7) = 3,7* -4 m ρ c 5) Il raorto tra ressione di valle (edice ) e ressione totale di monte (edice ) nel fnzionamento del De Laval vale: k =,4 < r = =,58 k + cr k Pertanto, essendo il raorto discriminante seriore al raorto critico delle discr ressioni che si verifica nella sezione ristretta dell gello, ossiamo affermare che il fnzionamento dell gello è critico. Saremmo otti gingere alla stessa conclsione, senza effettare nessn calcolo, in base all osservazione che nel tratto divergente si ha n esansione del flido, e qesto è ossibile solo in camo sersonico. La ortata ò essere determinata in condizioni di adattamento, in qanto a arità di condizioni di monte, la ortata rimane costante er gello critico, indiendentemente dal raorto di esansione. m& = A k k ρ k ad ρ = =,5* 5 /(87*543) =,6 kg/m 3 RT RT k + k ad Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/ m& = 5,493* -4 *((*,4/,4)*,5* 5 *,6*[,^(/,4)-,^(,4/,4)]) / = =,3 kg/s Per determinare la velocità nella sezione di scita non è ossibile tilizzare le esressioni di c ricavate er le condizioni di rogetto in qanto la trasformazione non è isoentroica nel tratto divergente dell gello. Le eqazioni tilizzabili sono: conservazione dell energia tra sezione di monte e sezione di scita; eqazione di continità ed eqazione di stato dei gas erfetti. c = c ( T T ) m& = ρ A c ρ = = RT RT Posto =, con le motivazioni viste nell esercizio recedente, si hanno tre eqazioni in tre incognite. Da qesto sistema è ossibile, er sostitzione, ricavare la segente esressione di secondo grado in ρ. k ρ k ρ k k m& ρ = A

22 Esercitazioni Delle de solzioni ossibili, na è negativa, e qindi la sola solzione fisicamente accettabile è raresentata dal valore: ρ =,74 kg/m 3 La temeratra nella sezione di scita si ricava dall eqazione di stato: T = = 488,3 K Rρ La velocità di efflsso vale: c c T T = (*4,5*( ,3)) / = 33,5 m/s = ( ) E ossibile calcolare la velocità del sono nella sezione di scita cs = krt = (,4*87*488,3) / = 44,94 m/s Dai valori determinati si dedce che il flsso è sbsonico in scita, ovvero l adattamento della ressione nella sezione di scita è stato effettato tramite n rto flidodinamico. 6) Le rorietà del flido in ingresso all gello si determinano tramite il diagramma di Mollier: = 6 bar; t = 5 C: v =,93 m 3 /kg; i = 395,7 kj/kg Dalla definizione di entalia totale c i = i + = 336,96 kj/kg si ricavano le condizioni totali a monte dell gello: La ressione e il volme totali si ottengono, tramite il diagramma di Mollier, considerando la trasformazione isoentroica dallo stato fino al livello di entalia totale i. = 65,9 bar v =,88 m 3 /kg Il raorto di adattamento dell gello vale = /65,9 =, ad e, oichè il raorto di adattamento diende sostanzialmente dalla sola geometria dell gello, la nova ressione nell ambiente di valle è: ' = ' = 6,3 bar ad avendo indicato con l aice le grandezze relative alle nove condizioni. Per determinare la ortata che attraversa l gello qando si modificano le condizioni di monte del flido di lavoro occorre considerare la relazione della ortata valida in condizioni di efflsso isoentroico nell gello De Laval: m& = A v k k k ad k+ k ad v f k, v f ( k ) Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

23 Esercitazioni In condizioni di criticità er n determinato gello la ortata in massa diende dalle condizioni di monte e da na fnzione relativamente comlessa di k. Trascrando l inflenza della iccola variazione di k si ottiene: m& v si ha qindi: m& = m& ' v = ' v ' ' v v ' Le nove condizioni totali a monte dell gello coincidono con le condizioni statiche in qanto la velocità del flido in ingresso è trascrabile. Le rorietà si determinano dal Mollier: i = 395,5 kj/kg v =,578 m 3 /kg Si ottiene qindi: ' v m& = m& = *((5*,88)/(65,9*,578)) / = *,33 = 3,3 kg/s v ' E ossibile determinare il valore medio dell esonente k nel camo di lavoro dell gello. Per le condizioni nominali si consideri l isoentroica dalle condizioni di monte alla ressione di scarico. Tramite il diagramma di Mollier si determina: = bar: i is = 78,38 kj/kg; v =,986 m 3 /kg Il valore di k deve soddisfare la relazione: k k v = v da ci si ottiene k ln ln ( ) ( v v ) = =,75 Nelle nove condizioni di fnzionamento, dal Mollier si ricava: = 6,3 bar: i is = 78,7 kj/kg; v =,37 m 3 /kg e qindi k' ln ln ( ' ' ) ( v ' v ') = =,67 Se non si fosse trascrata l inflenza della variabilità di k, tilizzando l esressione comleta della ortata in condizioni di adattamento, tento conto dell inflenza dell esonente k sl valore di adattamento, si sarebbe ottento m & = m& ' v v ' f ( k', ' ') f ( k, ) = 3,3*(,355/,355) = 3, kg/s con n errore relativo, in modlo, inferiore al %. Politecnico di Torino Pagina 3 di 5 Data ltima revisione 5/6/

24 Esercitazioni Esercizi slla regolazione di imianti a vaore 7) Un imianto a vaore a recero arziale è stato rogettato er le segenti condizioni di fnzionamento: -vaore rodotto dal generatore di vaore: t/h a 4 bar e 4 C; -trbina di alta ressione (AP): rendimento termodinamico interno 4 bar; -trbina di bassa ressione (BP): rendimento termodinamico interno η =.785, ( k,crit ) AP = ϑ AP η ϑ =.8, ( BP k,crit ) BP =. bar; -condensatore: ressione k =. bar; -tenza termica: 7 t/h di vaore a 5 C. Al fine di otenziare l imianto, il generatore di vaore viene sostitito con n generatore in grado di fornire il vaore a 5 bar e 45 C. Mantenendo costanti la ressione di estrazione e qella di condensazione, calcolare la ortata di vaore rodotta dal novo generatore, la nova ortata inviata all tenza termica e la otenza erogata dall imianto. (Il dato k,crit indica il valore di ressione allo scarico discriminante er ci la trbina in esame, con le assegnate condizioni di fnzionamento, inizia a lavorare in camo critico. E qindi ossibile determinare se le de trbine lavorano in camo critico o in camo sbcritico. Per la trbina BP il raorto di esansione in condizioni nominali di fnzionamento è immediatamente determinabile, mentre er la trbina AP è necessario valtare darima la ressione allo scarico. Tale ressione ò essere ricavata, mediante calcolo iterativo, imonendo che il rendimento isoentroico di esansione sia ari al valore fornito e che la temeratra del vaore allo scarico della trbina sia di 5 C. Nell imianto otenziato occorrerà calcolare i novi raorti di esansione er verificare se il novo camo di lavoro delle de trbine è critico o sbcritico. Per la trbina BP, oichè le ressioni di monte e di valle rimangono costanti, non cambia il camo di lavoro risetto alle condizioni nominali, mentre er la trbina di AP il raorto delle ressioni diminisce e ertanto il camo di lavoro otrebbe essere diverso da qello nominale). 8) In condizioni di rogetto, n imianto di trbina a vaore consma t/h di combstibile (H i = 4 MJ/kg) rodcendo vaore a 5 C e 3 bar (η b =.88). Al condensatore viene mantenta na ressione ari a. bar e la trbina ha n rendimento termodinamico interno ari a.8 e k,crit =.3 bar Regolando l imianto er laminazione all ammissione della trbina, la ortata di combstibile viene ridotta a 5 t/h. Sosti costanti il rendimento del generatore, qello della trbina, la ressione al generatore e qella al condensatore, calcolare la otenza fornita dall imianto nelle nove condizioni di lavoro (η η = 95). 9) Una trbina mltistadio revede n rimo stadio ad azione, regolato er arzializzazione, ed na sccessione di stadi a reazione. Le condizioni nominali di fnzionamento revedono: - stadio ad azione: grado di arzializzazione nllo, condizioni del vaore all ammissione di bar e 4 C, ressione del vaore allo scarico 4 bar, rendimento termodinamico interno η θ =.7, ortata m& = t/h; Politecnico di Torino Pagina 4 di 5 Data ltima revisione 5/6/

25 Esercitazioni - gro a reazione: ressione allo scarico.5 bar, rendimento termodinamico interno η θ =.8, k,crit =.8 bar. Si determini la ressione di scarico dello stadio ad azione, a arità di condizioni del vaore a monte e di ressione allo scarico dell intera trbina, qando il grado di arzializzazione dello stadio ad azione viene ortato a.3. Si calcoli inoltre la otenza della trbina nelle nove condizioni, sonendo invariati i rendimenti termodinamici delle trbine ed il rendimento organico (η o =.96). (Si noti che il raorto di ressioni critico dello stadio ad azione è qello del solo distribtore. Esso sarà qindi rossimo a.5 essendo il distribtore schematizzabile come n insieme di gelli osti in arallelo) ) Una trbina a vaore mltistadio in condizioni di rogetto ha le segenti caratteristiche: - condizioni del vaore all ammissione: 5 bar, 45 C e velocità trascrabile; - condizioni del vaore allo scarico: k =. bar e k,crit = bar; - ortata di vaore: t/h. Calcolare la ortata di vaore che attraversa la trbina qalora le condizioni del vaore all ammissione divengano ari a 3 bar e 35 C e la ressione al condensatore sia di bar. Politecnico di Torino Pagina 5 di 5 Data ltima revisione 5/6/

26 Sistemi Energetici Esercitazioni Esercizi si Trbocomressori centrifghi ) Un trbocomressore resenta la caratteristica di fnzionamento riortata in figra, costrita con riferimento alle condizioni ambiente T, = 3K e, = bar ed alla velocità di rotazione n = giri/min. Nel caso in esame il trbocomressore asira aria dall ambiente (T = T, e =, ) ed i soi arametri di fnzionamento corrisondono al nto A della caratteristica. Mantenendo invariate le condizioni all asirazione, la ortata mandata dal comressore viene ridotta sino al limite di omaggio. Determinare la otenza interna e le nove condizioni di fnzionamento qalora il comressore venga regolato nei segenti modi: a) variazione del nmero di giri; b) laminazione alla mandata; c) laminazione all asirazione. 6 β c 8 4 n T n, T C A m& T T,, 9. kg s. ) Un comressore centrifgo è caratterizzato dalla caratteristica manometrica indicata a lato dove il nto A indica le condizioni di fnzionamento del comressore. Note le condizioni all asirazione della macchina ( = = kpa, T = T = 88K), calcolare la otenza assorbita dal comressore in tali condizioni (η m =,95). Calcolare inoltre la otenza assorbita dal comressore qalora si effetti la regolazione er laminazione all asirazione in modo da ridrre la ortata in massa a 3 kg/s, sonendo costanti la ressione nell ambiente di mandata e la velocità di rotazione. Calcolare inoltre la temeratra dell aria mandata dal comressore nelle de condizioni di fnzionamento. A m& T / T [Kg/s] / Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

27 Sistemi Energetici Esercitazioni 3) Si consideri n trbocomressore bistadio in ci ciascno degli stadi resenta la caratteristica manometrica di figra. Tale caratteristica è stata costrita con riferimento alle condizioni ambiente di T = 3 K e = bar che coincidono con le condizioni a ci asira il rimo stadio. I valori di normalizzazione della caratteristica sono: η =,78; β = 3; m & = 5 kg/s. Saendo che il rimo stadio fnziona con i segenti arametri: * n T = ; * n T m& T ' m' & T ' = e che le velocità angolari dei de stadi coincidono, si determini il resmibile nto di fnzionamento del secondo stadio. β β ' η η' n T ' n ' T m& T ' m& ' T ' Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ltima revisione 5/6/

28 Sistemi Energetici Esercitazioni ) 6 β c C 8 A 4 n T n, T m& T T,, 9. kg s. Politecnico di Torino Pagina 3 di 5 Data ltima revisione 5/6/

29 Sistemi Energetici Esercitazioni ) A m& T / T / [Kg/s] Politecnico di Torino Pagina 4 di 5 Data ltima revisione 5/6/

30 Sistemi Energetici Esercitazioni 3) β β ' n T ' n ' T η η' m& T ' m& ' T ' Politecnico di Torino Pagina 5 di 5 Data ltima revisione 5/6/

31 Sistemi Energetici 3 Esercitazioni Esercizi slle trboome. 4) Una trbooma, ro-tando 5,, alla velocità di 5 giri/min, H [m] η η resenta la caratteristica mano-metrica indicata a 4,,8 fianco. Essa viene imiegata er trasferire acqa tra de H 3, serbatoi i ci eli liberi sono,6 osti ad na differenza di qota ari a 5 m. Si calcoli a qale velocità di rotazione la oma dovrà rotare affinchè la ortata d acqa da essa inviata si annlli.,,,4, Facendo rotare la oma a,, tale velocità angolare, si,,, 3, 4, 5, 6, determini la ortata che la Q [m3/h] oma è in grado di mandare qalora la revalenza manometrica richiesta si ridca a m. (La condizione di fnzionamento indicata nella seconda arte dell esercizio revede ovviamente che la trbooma venga installata in n altro circito, in qanto in n circito aerto la revalenza manometrica è ari alla somma della revalenza geodetica e delle erdite di carico nel circito mentre la sola revalenza geodetica del rimo circito è di 5 m). 5) Una oma idralica centrifga, alla velocità di rotazione di 45 giri/min, lavora in condizioni di massimo rendimento con revalenza H = 8 m e ortata Q = m 3 /s. Si vole tilizzare tale oma, facendola fnzionare in condizioni di massimo rendimento, tra de serbatoi i ci eli liberi sono osti ad n dislivello Hg = 6 m. La tbazione tilizzata dà logo ad na erdita di carico (erdite concentrate + erdite distribite) di m qando è attraversata da na ortata di m 3 /s. Calcolare la velocità a ci far rotare la oma e la ortata che essa invia. (Si noti che il nto di fnzionamento della oma dovrà giacere sia slla arabola che assa er l origine ed il nto (Q, H ), in modo da garantire il fnzionamento in similitdine con il nto a massimo rendimento a n = 45 giri/min, sia slla arabola che raresenta la caratteristica esterna H g +kq ). 6) Una oma centrifga monostadio deve far circolare 8 l/s di acqa in n circito che richiede na revalenza di m. La oma rescelta ha n diametro della bocca di asirazione di 8 cm e fnziona a 6 giri/min con rendimento η y =.8. Calcolare la otenza assorbita dalla oma (η m =.97) ed il nmero di giri caratteristico. Saendo che la temeratra dell acqa di asirazione è di 4 C e che, er le condizioni di fnzionamento indicate, il costrttore assegna n NPSH min = 6.5 m, calcolare la ressione minima all ingresso della oma affinchè qesta non caviti. (Per determinare la condizione limite di cavitazione occorre conoscere la tensione di Politecnico di Torino Pagina di 4 Data ltima revisione 5/6/

32 Sistemi Energetici 3 Esercitazioni vaore dell acqa nelle condizioni di fnzionamento (4 C). Occorrerà qindi tilizzare le tabelle delle crve limiti del vaore, ed in articolare i dati relativi alla crva limite inferiore). 4) 5, H [m] η, η 4,,8 3, H,6,,4,,,,,,, 3, 4, 5, 6, Q [m3/h] Politecnico di Torino Pagina di 4 Data ltima revisione 5/6/

33 Sistemi Energetici 3 Esercitazioni Esercizi sgli imianti di trbine a gas. 7) Un imianto di trbina a gas a ciclo chiso rigenerativo della otenza tile di kw (η m =,97) tilizza come flido l argon (µ = 4 kg/kmole; k =.67). La otenza termica comlessivamente fornita al flido dall esterno ammonta a 57,8 kw. Sono note le temeratre estreme del ciclo: ingresso comressore t = C, scita dal comressore t = 3 C, ingresso in trbina t 3 = 795 C ed scita dalla trbina t 4 = 639 C. Determinare la ortata di gas, l efficacia del rigeneratore ed il rendimento tile dell imianto. Si determinino inoltre i rendimenti isoentroici del comressore e della trbina saendo che il raorto di comressione è β c =.7 e che il raorto di esansione si ridce a β t =.95β c a casa delle cadte di ressione negli scambiatori di calore. 8) Calcolare il lavoro massico ed il rendimento globale di n ciclo di trbina a gas, reale, rigenerativo, che in condizioni ambiente standard ( C e 76 mmhg) resenta le segenti caratteristiche: β c = 5; T 3 = 5 K, η yc = η yt =,85; η πs =,97; η πb =,98; η b =,98; η =,96; R s =,8 Si assma: otere calorifico inferiore del combstibile H i = 4.7 MJ/kg, caacità termica massica media dei reagenti c = 46.5 J/kgK, costante elastica dei reagenti R = 87. J/kgK, caacità termica massica media dei gas combsti c =7. J/kgK e costante elastica dei gas combsti R = 88.8 J/kgK. 9) Un imianto di trbina a gas a ciclo aerto con comressione interrefrigerata niforme resente in condizioni ambiente standard le segenti caratteristiche: β c = 3; T 3 = 35 K, η yc = η yt =,86; η πb =,97; η b =,96; η =,97 Si determini il rendimento del ciclo assmendo er semlicità: cadte di ressioni trascrabili negli scambiatori di calore e ( + α ) / α. Determinare infine l amento del rendimento del ciclo qalora si introdca la rigenerazione con R s =.7. (c = 5 J/kgK, R = 87. J/kgK, c = 8 J/kgK, R =88.8 J/kgK) 3) Un imianto di trbina a gas a ciclo semlice aerto fnziona con le segenti caratteristiche: = bar; T = 3 K; β c = 8; T 3 = K, η yc =,85; η tis =,88; η πb = ; η b =,97; η m =,97; H i = 4,7 MJ/kg Calcolare la ortata di aria necessaria er na otenza tile di MW ed il rendimento globale dell imianto. Ridcendo er laminazione la ressione alla bocca di asirazione del comressore al valore di.7 bar, mantenendo invariato il raorto di comressione e la temeratra di ingresso alla trbina, calcolare la nova otenza ed il novo rendimento globale dell imianto sonendo invariati i vari rendimenti. Politecnico di Torino Pagina 3 di 4 Data ltima revisione 5/6/

34 Sistemi Energetici 3 Esercitazioni Esercizi si motori a combstione interna 3) Un motore a carbrazione 4T, avente cilindrata totale iv = 8 cm 3, resenta a 45 giri/min in condizioni ambiente standard ( C e 76 mm Hg ) le segenti caratteristiche: otenza tile P = 89.3 CV, ressione media indicata mi =.4 kg/cm, consmo secifico q b = 7 g/cvh, raorto aria-combstibile α =3, rendimento del ciclo limite η lim =.39. Valtare il coefficiente di riemimento λ v ed il rendimento termodinamico interno η θi del motore in tali condizioni. Si valti inoltre il coefficiente di riemimento e la otenza fornita nelle condizioni ambiente di. bar e 3 C, assmendo in rima arossimazione il consmo secifico costante (otere calorifico inferiore del combstibile H i = 44 MJ/kg). 3) Un motore atomobilistico a qattro temi ad accensione comandata fornisce a ieno carico e in condizioni ambiente standard na otenza tile di 5 kw alla velocità di rotazione di 4 giri/min. In tali condizioni il motore resenta n consmo secifico di combstibile di 85 g/kwh. Saendo che il coefficiente di riemimento vale.8, e che a 3 giri/min il so valore sale a.85 mentre il consmo secifico si ridce a 75 g/kwh, determinare otenza e coia del motore, semre a ieno carico, nelle nove condizioni di fnzionamento, nonchè il valore della ortata in massa di combstibile. 33) Dalle rove effettate al banco s n motore alternativo 4T ad accensione comandata di cilindrata comlessiva iv = cm 3 è stata misrata na coia all albero di 79.7 Nm a 495 giri/min. Il temo necessario al motore er consmare n volme V b =5 cm 3 di benzina è risltato essere di.534 min. Saendo che la densità massica del combstibile è ari a.739 kg/dm 3, determinare la otenza erogata dal motore nelle condizioni di rova, la ressione media effettiva ed il consmo secifico del motore. Determinare inoltre la otenza fornita ed il consmo secifico nelle condizioni ambiente standard saendo che le rove sono state condotte in n ambiente a 4 C e 744 mm Hg. Politecnico di Torino Pagina 4 di 4 Data ltima revisione 5/6/

35 Sistemi Energetici 4 Esercitazioni 7) m& AP = 4.6 kg/s m& U = 6.58 kg/s P i = 6.6 MW 8) P i = 4.34 MW 9) H =.7 bar P i = 5.6 MW ) m& = 7.5 kg/s Risltati esercizi slla regolazione di imianti a vaore Risltati esercizi si trbocomressori centrifghi ) a) m& = 6.8 kg/s, P i = 5.6 kw b) m& = 6.94 kg/s, P i = kw c) m& = 6.7 kg/s, P i = 34.8 kw ) P a = kw P a = 4783 kw T = K 3) Il secondo stadio è in omaggio. 4) n = giri/min Q = 37.5 m 3 /h 5) n = 3.9 giri/min Q =.9m 3 /s Risltati esercizi slle trboome Politecnico di Torino Pagina di 3 Data ltima revisione 5/6/

36 Sistemi Energetici 4 Esercitazioni 6) P a =. kw n c = 98.3 giri/min min =.66 bar 7) m& =.463 kg/s R s =.8 η =.73 η c =.783 η t =.835 8) L = 89.3 η g =.368 9) η g =.33 η g =.45 3) m& = 58.5 kg/s η g =.74 P = kw η g =.76 3) λ v =.9 η θi =.849 λ v =.95 P =64.5 kw 3) P = kw C = 3.7 Nm m& b = 3.* -3 kg/s Risltati esercizi sgli imianti di trbine a gas Risltati esercizi si motori a combstione interna Politecnico di Torino Pagina di 3 Data ltima revisione 5/6/

37 Sistemi Energetici 4 Esercitazioni 33) P = 4.3 kw me = 8.35 bar q b = 3.48 g/cvh P = 4.49 kw q b = 3.48 g/cvh Politecnico di Torino Pagina 3 di 3 Data ltima revisione 5/6/

38 Esercizi s regolazione di imianti di trbina a vaore 7. Sl diagramma di Mollier si trova il nto O, a 4 bar e 4 gradi C, e si legge i O = 35.7 kj/kg e v O =.734 m 3 /kg. Scelta n isobara di tentativo con ressione H, si legge, slla verticale di O, il valore di i His. Si calcola i H = i O η AP (i O i His ), ed individato il corrisondante nto sl diagramma di Mollier, note l entalia e la ressione, si legge la temeratra t H. Se qesta rislta maggiore della temeratra rescritta di 5 C si sceglie na ressione di tentativo minore (e viceversa) fino a trovare la ressione che orta ad avere t H = 5 C. Ciò avviene er H = 3 bar, con v H =.634 m 3 /kg e i H = kj/kg. Sl diagramma di Mollier, slla verticale di H a K =. bar si legge i Kis = 4.4 kj/kg da ci si ricava i K = i H η BP (i H i Kis ) = 346. kj/kg Si verifica che le de trbine siano critiche rima del cambio del generatore: H / O = 3/4 < ( H / O ) critico = 4/4 e qindi AP è critica: K / H =./3 < ( K / H ) critico =./3 e qindi BP è critica. Indicando con l aice le condizioni doo il cambio del generatore, sl diagramma di Mollier si trova il nto O, note temeratra e ressione, e si legge i O = kj/kg e v o =.63 m 3 /kg. La trbina di AP è ancora critica, essendo H / O = 3/5 < ( H / O ) critico = 4/4 e qindi la nova ortata della trbina di alta ressione è ṁ AP = ṁ AP O / O v O /v O = 44.6 t/h. Slla verticale di O alla ressione H = 3 bar si legge i His = kj/kg e con la stessa esressione tilizzata er il calcolo di i H si determina i H = 798. kj/kg. Trovato il nto H sl diagramma di Mollier si legge v H =.663 m3 /kg. La trbina di BP è ancora critica (le ressioni da ammissione e scarico non cambiano) e qindi ṁ BP = ṁ BP H / H v H /v H = 48.9 t/h. La ortata all tenza termina è ṁ = ṁ AP ṁ BP = 95.7 t/h. Doo aver letto sl diagramma di Mollier i Kis = 7. kj/kg e trovato come in recedenza il valore di i K = kj/kg, si determina la otenza dell imianto con il novo generatore P = ṁ AP (i O i H ) + ṁ BP (i H i K ) = 6.6 MW 4 bar?. bar 4 o C O H 5 o C His Kis K

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