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1 Universià di Napoli Parenope Facolà di Ingegneria Corso di Comunicazioni Elerice docene: Prof. Vio Pascazio a Lezione: 7/04/003

2 Sommario Caraerizzazione energeica di processi aleaori Processi aleaori nel dominio della frequenza Densià sperale di poenza di un p.a. eorema di Wiener-Kincin Processi aleaori e sisemi LI

3 Caraerizzazione energeica dei segnali aleaori orniamo sulla definizione di poenza (o conenuo di poenza) di un segnale aleaorio sazionario () P E lim 444 E () d 4443 ( ) P E lim [ () ] ed esendiamola al caso di segnali aleaori arbirari: E [ () ] d lim (, ) Se il processo () è sazionario, allora (,) (0), quindi: P lim 0 ( 0) d ( ) d 3

4 Caraerizzazione energeica dei segnali aleaori Se inolre il processo aleaorio () olre ce sazionario è ance ergodico, allora si a ce ( ) Pi P 0 dove P i è la poenza calcolaa come media emporale di una generica funzione realizzazione del processo aleaorio. Quano deerminao per il calcolo della poenza di un segnale aleaorio, può essere eseso, con le opporune differenziazioni, al caso del calcolo dell energia di un segnale aleaorio. 4

5 Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza Nel coneso dei segnali deerminisici è sao già osservao ce l uso di ecnice ce operino nel dominio della frequenza, soprauo nel caso di inerazione degli sessi con sisemi LI, semplifica noevolmene la raazione. Inolre, la rappresenazione nel dominio della frequenza, di per sé, permee di inrodurre alri concei fondamenali come il conceo di banda, di aenuazione, ec. Ora cerciamo di esendere quesi concei ai segnali aleaori. 5

6 Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza Si porebbe cominciare definendo la rasformaa di Fourier di ogni funzione campione del processo: x F () x ( f ) k funzione campione del processo nel d.. ~ k funzione campione del processo nel d.f. inroducendo quindi un nuovo processo aleaorio ce descriva la rasformaa di Fourier del processo. Un problema nasce dalla impossibilià di garanire ce ogni funzione campione abbia una rasformaa di Fourier. 6

7 Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza Un approccio alernaivo consise nel definire le densià sperali di poenza. Per la verià, ance per le densià sperali di poenza, oenue dall esensione della definizione daa nel caso di segnali deerminisici, si anno problemi legai all impossibilià di calcolare per ogni funzione campione la loro espressione. Dobbiamo allora definire in maniera appropriaa una densià sperale nel caso dei segnali aleaori. 7

8 Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza Sia () un processo aleaorio, e sia x k () (,ζ k ) una sua realizzazione. Per definire la densià sperale di quesa funzione campione del processo, ne definiamo un roncameno: x k () xk 0, (), alrove In queso modo siamo sicuri ce il segnale roncao sia un segnale di energia per cui è possibile calcolare la rasformaa di Fourier. 8

9 x k roncameno della funzione campione del processo nel d.. Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza ~ F () x ( f ) k rasformaa di Fourier del roncameno della funzione campione del processo Sia x (), sia ~ k x k ( f ) sono funzioni campione dei rispeivi ~ processi aleaori e f () ( ). La corrispondene densià sperale di energia è daa da: ~ f x k ( ) Una vola noa la densià sperale di energia, possiamo definire la densià sperale di poenza del roncameno della funzione campione del processo aleaorio: ~ x k ( f ) 9

10 Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza Ora, facendo endere ad infinio, possiamo definire la densià sperale di poenza della funzione campione del processo S x k ( f ) lim ~ x k ( f ) Ques ulima, a sua vola, descrive un processo aleaorio, cioè per ogni funzione campione del processo abbiamo una funzione campione della sua densià sperale di poenza, o deo in alro modo, per ogni f abbiamo una variabile aleaoria legaa alla quanià di poenza associaa al processo a quella frequenza. 0

11 Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza Definiamo allora densià sperale di poenza del processo aleaorio la seguene quanià: S ( f ) E lim ~ ( f ) ( f ) ~ lim E Ce è una esensione al caso aleaorio della definizione daa nel caso di segnali deerminisici.

12 Esempio Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza x () (,ζ ) () A A variabile aleaorie A U[-,] x () (,ζ ) Processo aleaorio a empo coninuo e a valori coninui x k () (,ζ k )

13 Esempio (coninua) Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza x () (,ζ ) ~ () AΠ F ( f ) Asinc( f ) x () (,ζ ) x k () (,ζ k ) 3

14 Esempio (coninua) x () (,ζ ) Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza F ~ x ( f ) f x () (,ζ ) F ~ x ( f ) f x k () (,ζ k ) F ~ x 3 ( f ) f 4

15 Esempio (coninua) Processi Aleaori nel Dominio della Frequenza A queso puno possiamo calcolare la densià sperale di poenza sfruando la definizione: S ( f ) ( f ) ~ lim E ( f ) Asinc( f ) ~ con S ( ) [ ] f lim E A sinc ( f ) limsinc ( ) ( ) [ f δ f, E A ] 3 ce alla fine divena: S 3 ( f ) δ ( f ) 5

16 eorema di Wiener-Kincin È un imporanissimo eorema ce lega la densià sperale di poenza di un processo aleaorio con la sua funzione di auocorrelazione. eorema di W-K Sia () un processo aleaorio e sia (+,)E[( +)()] la sua funzione di auocorrelazione. Se per ogni valore finio, e per ogni inervallo I di duraa si a ce: I ( +, ) d <, allora la densià sperale di poenza S (f) di () è la rasformaa di Fourier di: + (, ) lim ( +, ) d s ( ) 6

17 eorema di Wiener-Kincin Corollario del eorema di W-K Sia () un processo aleaorio sazionario per cui () assuma valori finii per ogni valore finio. Allora S ( f ) F [ ( )] La cui dimosrazione deriva direamene dal eorema precedene. Infai: + (, ) ( ) lim ( ) d ( ) 7

18 eorema di Wiener-Kincin icordiamo la definizione di poenza di un segnale aleaorio daa precedenemene: [ () ] P E E () d lim Calcoliamo ora la poenza seguendo un alra via, inegrando cioè la densià sperale di poenza appena inrodoa: S 0 0 jπf ( f ) df S ( f ) e df ( +, ) lim E lim [ ( + ) ( ) ] d E () d P 0 8

19 eorema di Wiener-Kincin Consideriamo un generico processo aleaorio sazionario ed ergodico. Consideriamo una sua funzione campione x k (), e ne calcoliamo dapprima la funzione di auocorrelazione deerminisica r x k ( ) lim x () x ( )d e poi la funzione densià sperale di poenza: k k S x k ( f ) r ( ) e d j π f x k 9

20 eorema di Wiener-Kincin Ora, dao ce il processo è ergodico, la auocorrelazione deerminisica della generica funzione campione coincide con la auocorrelazione saisica del processo: m. q. ( ) E[ ( ) ( )] lim x () x ( ) d r ( ), k k k x k Di conseguenza, rasformando secondo Fourier: E applicando il eorema di W-K nelle due forme: F [ ( )] F r ( ) [ ], k aleaorio e deerminisico S ( f ) ( f ), k Sx k x k 0

21 eorema di Wiener-Kincin E cioè, per processi aleaori sazionari ed ergodici, la densià sperale di poenza di ogni funzione campione del processo è uguale alla densià sperale di poenza del processo. Come commeno finale alla densià sperale di poenza, va soolineao ce è una funzione reale, non negaiva, ed è una funzione pari della frequenza.

22 Processi aleaori e sisemi LI Consideriamo un processo sazionario (), e supponiamo di meerlo in ingresso ad un sisema lineare empo invariane (LI) la cui risposa impulsiva sia (). Sisema LI () () Y() Ci poniamo il problema di caraerizzare l uscia Y(). È ciaramene a sua vola un processo aleaorio. Ma di ce ipo? E quali sono i suoi momeni? Ec

23 Processi aleaori e sisemi LI eorema Supponiamo ce il processo aleaorio sazionario () abbia media m e funzione di auocorrelazione (). Allora, se facciamo passare () araverso un sisema LI di risposa impulsiva (), il processo in ingresso () e il corrispondene processo in uscia Y() saranno congiunamene sazionari, e inolre a: b: Y m Y m ()d ( ) ( ) ( ) c: Y ( ) ( ) ( ) ( ) 3

24 Processi aleaori e sisemi LI 4 () ( ) ( ) d Y a: Incominciamo con il noare ce Quindi: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) du u m d m d E d E m u Y Cioè m Y non dipende dal empo.

25 Processi aleaori e sisemi LI 5 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y s- u Y du u u du u u ds s s ds s s E ds s s E Y E, b: icordando ce è sazionario, bisogna dimosrare ce e Y sono congiunamene sazionari, e ce Y è dao dalla convoluzione ra e ribalao sull asse dei empi.

26 Processi aleaori e sisemi LI c: Dimosriamo quesa erza pare seguendo una srada simile a quella uilizzaa per dimosrare il puno b. 6 ( ) ( ) ( ) [ ] ()( ) ( ) ()( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y Y s- u Y Y du u u ds s s ds s Y s E Y ds s s E Y E Y,

27 Processi aleaori e sisemi LI: Dominio della frequenza Consideriamo un processo sazionario (), e supponiamo di meerlo in ingresso ad un sisema lineare empoinvariane (LI) la cui risposa impulsiva sia (). Ci poniamo il problema di caraerizzare l uscia Y() nel dominio della frequenza, di rovare cioè le relazioni corrispondeni a quelle dimosrae nel dominio del empo. a: b: Y m Y m ()d ( ) ( ) ( ) c: Y ( ) ( ) ( ) ( ) 7

28 Processi aleaori e sisemi LI: DF a: Pariamo da: m Y m ()d da cui si oiene m Y m j πf () d m () e d m H ( f ) f 0 f 0 m H ( 0) 8

29 Processi aleaori e sisemi LI: DF b: Pariamo da F[(- )] H * ( f), e definiamo le densià sperali muue di poenza: Y ( f ) F[ ( )] S ( f ) F[ ( )] S Y A queso puno possiamo rasformare secondo Fourier la relazione Y () ()*(- ) oenendo: Y Y S Y * ( f ) F[ ( )] F[ ( ) ( )] S ( f ) H ( f ) Y Inolre, poicé Y () Y (-) si oiene facilmene ce: S ( f ) S * ( f ) S ( f ) H ( f ) Y Y S Y (f)s Y (-f) sono, in generale, funzioni complesse. 9

30 Processi aleaori e sisemi LI: DF c: Ance in queso caso possiamo rasformare secondo Fourier la relazione Y () () *()*(- ) oenendo: S ( f ) F[ ( )] F[ ( ) ( ) ( )] S ( f ) H ( f ) Y Y Quando si a a ce fare con le densià sperali di poenza a imporanza solo l ampiezza della risposa in frequenza del sisema, la sua fase non a alcun effeo. 30

31 Processi aleaori e sisemi LI: DF Le rappresenazioni grafice delle relazioni ingresso-uscia nel dominio della frequenza sono: H * ( f ) S Y ( f ) S ( f ) H ( f ) S Y ( f ) H ( f ) S Y ( f ) 3

32 Fine a Lezione

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