Corso di Comunicazioni Elettriche. 2 RICHIAMI DI TEORIA DEI SEGNALI Prof. Giovanni Schembra TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI

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1 Corso di Comunicazioni Eleriche RICHIAMI DI TEORIA DEI SEGNALI Pro. Giovanni Schembra Richiami di Teoria dei segnali TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI

2 Richiami di Teoria dei segnali Valori caraerisici di un segnale Valore medio emporale (o componene coninua): T Wm Wdc w lim wd T T T Poenza media normalizzaa P T w lim T T Poenza di picco P maxv i( picco W e P w( T w( Valore eicace (r m s) d Energia E lim T P inia T T Noare che: w( E E inia P 0 d 3 Richiami di Teoria dei segnali Trasormaa di Fourier e speri di un segnale Trasormaa e anirasormaa di Fourier j W ( ) w w( e d dea anche spero bilaero di w( j w W ( ) e d w W ( ) 4

3 Richiami di Teoria dei segnali Teorema di Raileigh e densià sperale di energia (DSE) Teorema di Raileigh Permee di E w d W ( ) d calcolare l energia di un segnale nel dominio della requenza Deinizione: densià sperale di energia (DSE) per segnali ad energia inia E( ) W ( ) E E( ) d Deinizione: densià sperale di poenza (DSP) per segnali a poenza inia WT ( ) P w( ) lim T T dove: w T w( T P Pw ( ) d 5 Richiami di Teoria dei segnali Funzione di auocorrelazione Deinizione [per un segnale complesso]: T R ( ) w*( w( ) lim w*( w( d ww T T ) T Teorema di Wiener-Khinchine: R ( ) P ( ) Diversi modi per calcolare la poenza media normalizzaa: ww w P w( W e P ( ) d w R ww (0) 6 3

4 Richiami di Teoria dei segnali Alcuni segnali noevoli Dela di Dirac Gradino uniario Segno Sinusoide Impulso reangolare Impulso riangolare Seno cardinale (sinc) Coseno rialzao Peine 7 Richiami di Teoria dei segnali Segnali noevoli Funzione dela di Dirac, (x) E una unzione generalizzaa, che viene sudiaa in maemaica nella eoria delle disribuzioni Deinizione : w( x) ( x) dx w(0) Deinizione : ( x) dx ( x) 0 se se x 0 x 0 Deinizione 3: ( x) e jxy dy Proprieà campionarice della unzione (x): w( x) ( x x0) dx w( x0) 8 4

5 Richiami di Teoria dei segnali Sinusoide Spero bilaero 9 Richiami di Teoria dei segnali Segnali noevoli Funzione impulso reangolare, ( Deinizione: T 0 se se T T Funzione impulso riangolare, ( Deinizione: T 0 T se se T T 0 5

6 Richiami di Teoria dei segnali IMPORTANTISSIMA Segnali noevoli: SENO CARDINALE Segnale SENO CARDINALE, sinc(x) Deinizione: sin x sinc( x) x sin x sinc( x) x x( Asinc T x( P E x x 0 0 A T Il seno cardinale è un segnale di energia Richiami di Teoria dei segnali IMPORTANTISSIMA Segnali noevoli: COSENO RIALZATO Deinizione in requenza: 0 : banda a - 6 db W ) cos 0 ( W ( ) B B r 0 B : banda occupaa B 0 0 Faore di decadimeno oppure rollo 0 r 6

7 Richiami di Teoria dei segnali IMPORTANTISSIMA Segnali noevoli: COSENO RIALZATO Deinizione in requenza: W ( ) r 0 Impulso reangolare in requenza Occupazione minima di banda: B 0 3 Richiami di Teoria dei segnali IMPORTANTISSIMA Segnali noevoli: COSENO RIALZATO Deinizione nel empo: w( sinc 0 0 cos 4 w( r 0 Coincide con un sinc( 0 4 7

8 Richiami di Teoria dei segnali Segnali noevoli: SEGNALE PETTINE SEGNALE PETTINE Deinizione nel empo: pet 0 nt n 0 Deinizione in requenza: n pet 0 0 n 0 pet pe ( ) dove: 0 T 0 Richiami di Teoria dei segnali Spero bilaero di un impulso reangolare: Speri di un impulso reangolare e di un impulso riangolare T T sinct Spero bilaero di un impulso riangolare: w T sinc T T 6 8

9 Richiami di Teoria dei segnali Banda di un segnale Deinizione: SEGNALE IN BANDA BASE W ( ) W ( ) 0 Deinizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE W ( ) 7 Richiami di Teoria dei segnali Banda di un segnale Deinizione: SEGNALE IN BANDA BASE W ( ) W ( ) 0 Deinizione: Banda Assolua B 8 9

10 Richiami di Teoria dei segnali Banda di un segnale Deinizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE W ( ) Deinizione: Banda Assolua B 9 Richiami di Teoria dei segnali Segnali a banda limiaa Deinizione: un segnale è a banda rigorosamene limiaa B se: W ( ) 0 per B dove B è la banda del segnale Deinizione: un segnale è a duraa rigorosamene limiaa T se: w( 0 per 0 ale che : 0, 0 T dove T è la duraa del segnale Teorema: un segnale a BANDA LIMITATA non può essere a DURATA LIMITATA un segnale a DURATA LIMITATA non può essere a BANDA LIMITATA 0 0

11 Richiami di Teoria dei segnali Banda limiaa in requenza Duraa limiaa nel empo Osserviamo che: La Banda di un segnale si misura solo sulle requenze posiive La Duraa di un segnale si misura su uo l asse emporale w( W ( ) T T B B Segnale di duraa T Segnale di banda B Richiami di Teoria dei segnali Banda "ingegnerisica" di un segnale Deinizione ingegnerisica di banda per: segnali non rigorosamene limiai in banda W ( ) B oppure segnali con spero rascurabile per requenze superiori ad una soglia: W ( ) B

12 Richiami di Teoria dei segnali Banda "ingegnerisica" di un segnale BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base): W ( ) B 3 0log0 BANDA A 3 db: B dove W ( ) maxw ( ) W ( ) maxw ( ) per per e 3 Richiami di Teoria dei segnali Banda di un segnale Deinizione di banda di un segnale: BANDA A x db: B W ( ) x db del max W ( ) W ( ) x db del max W ( ) per per e BANDA AL 99%: B dove e delimiano l inervallo in cui viene a rovarsi il 99% della poenza oale del segnale BANDA NULLO-NULLO (per i segnali passa-banda): B 4

13 Richiami di Teoria dei segnali TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI SERIE DI FOURIER E APPLICAZIONE AI SEGNALI PERIODICI 5 Richiami di Teoria dei segnali Spero a righe di un segnale periodico Per un segnale periodico la rappresenazione mediane serie di Fourier è deinia su uo l asse emporale Teorema: se un segnale è periodico di periodo T 0, il suo spero è: dove W ( ) cn n 0 n 0 T 0 c n : coeicieni dello sviluppo in serie di Fourier del segnale c n H ( n ) 0 0 con w( h( 0 T 0 se alrimeni 6 3

14 Richiami di Teoria dei segnali Poenza normalizzaa e Densià sperale di poenza per un segnale periodico Poenza di un segnale periodico: per un segnale periodico w(, la poenza normalizzaa è pari a: P w ( ) cn n w Densià sperale di poenza w( ) P cn n 0 n 7 Richiami di Teoria dei segnali IMPORTANTISSIMA RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE DEI SEGNALI 8 4

15 Richiami di Teoria dei segnali Rappresenazione veoriale dei segnali Sia T il empo richieso per rasmeere un simbolo Consideriamo un segnale s i ( deinio sull'inervallo [0, T] Il segnale s i ( viene uilizzao per rasmeere nel canale di comunicazione il simbolo a i Energia del segnale s i (: T Ei si d 0 DEFINIZIONE: Prodoo scalare ra due segnali reali 9 Richiami di Teoria dei segnali Funzioni orogonali Deinizione: m ( n ( complesse SONO ORTOGONALI sull inervallo a b se:, n m b a * d 0 n m n m L insieme di quese unzioni ha quindi elemeni ali che: b * 0 se n m n m( d Kn dove: nm Dela di Kronecker nm a se n m Se: K n n l insieme n ( è un insieme di unzioni oronormali K n è l energia del segnale n 30 5

16 Richiami di Teoria dei segnali Rappresenazione di un segnale su base oronormale Un qualunque segnale s i ( può essere espresso in modo univoco mediane un insieme di unzioni oronormali, ramie uno sviluppo in serie: s i m s i, m m Ogni ermine s i,m rappresena la componene di s i ( proieaa sul versore m (. Può essere ricavaa come segue: Prodoo scalare ra il segnale s i ( e il generico m-esimo versore 3 Richiami di Teoria dei segnali Energia di un segnale mulidimensionale Dao un segnale x( rappresenao su una base oronormale ha energia: cioè Cioè: l energia di x( corrisponde alla disanza al quadrao del puno x dall origine degli assi M E x x k k 3 6

17 Richiami di Teoria dei segnali Rappresenazione di un segnale su base oronormale L'insieme delle componeni s i,m rappresena in maniera univoca il segnale s i ( s i ( Analogamene a quano ao per il calcolo dell'energia, si può dimosrare che: Il prodoo scalare ra due segnali può essere oenuo come la somma dei prodoi delle loro componeni 33 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid Obieivo: cosruire un insieme di unzioni oronormali che rappresenino un insieme qualsiasi di unzioni s i ( Applicazione: cosruzione di una base di unzioni oronormali adaa per descrivere le orme d onda uilizzae per rasmeere gli N simboli di un alabeo discreo Consideriamo N segnali: N deinii nell inervallo [0,T] nulli alrove 34 7

18 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid Deerminare: un insieme di M unzioni oronormali deinie sull'inervallo [0,T] ali che ui gli N segnali s i ( possano essere espressi come combinazione lineare di ali unzioni Cardinalià dello spazio di ali unzioni oronormali: M N con N: cardinalià dello spazio dei simboli (numero di segnali) M: cardinalià dello spazio oronormale 35 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid s Operaivamene: Si deermina la prima unzione oronormale dove E v è l energia del segnale v ( Proiezione di s ( lungo ( Il segnale v ( è orogonale a ( cioè Si deermina la seconda unzione oronormale v ( ) s 36 ( ) 8

19 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid Si coninua analogamene con le alre componeni: Si deermina la i-esima unzione oronormale Caso possibile: i ale che v 0 0 j j i i M N 37 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid ESEMPIO : Segnali anipodali s s ( ) È suiciene una base con un solo segnale: N M ( Se i due segnali hanno la sessa energia, E s E ( ) s E ( ) ( ( s s T T s ( E s E ( s ( ) 0 s ( ) 38 9

20 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid ESEMPIO : Segnali orogonali s, s 0 i j i, j, con i j N Esempio: N s s T T È vero che sono orogonali? s ( ) 0 s ( ) 39 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid ESEMPIO 3: Segnali biorogonali s s 3 s s 4 s ed s orogonali N 4 M Nel caso in cui i quaro segnali abbiano la sessa energia E, possono essere rappresenai nello spazio bidimensionale come Dea anche modulazione 4-PSK 40 0

21 Richiami di Teoria dei segnali Procedimeno di orogonalizzazione di Gram-Schmid ESEMPIO 3: Segnali biorogonali s s 3 s s 4 s ed s orogonali 4 Richiami di Teoria dei segnali TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI (LTI) E DISTORSIONE 4

22 Richiami di Teoria dei segnali Sisemi lineari empo-invariani (LTI) IMPORTANTE perché ci permeeranno di modellare: Un canale di comunicazione I ilri di rasmissione e ricezione. 43 Richiami di Teoria dei segnali Caraerizzazione di un sisema lineare I sisemi lineari sazionari sono caraerizzai dalla conoscenza della risposa impulsiva: Se x( Risposa in requenza: y( h( H ( ) Y ( ) X ( ) Risposa in poenza: Py ( ) Gh ( ) H ( P ( ) x ) 44

23 Richiami di Teoria dei segnali Trasmissione senza disorsione Canale di comunicazione ideale: canale che non inroduce disorsione cioè, se il segnale all uscia del canale è una versione riardaa dell ingresso Condizioni equivaleni di assenza di disorsione: y( A x Tˆ d Y ( ) A X ( ) e j Tˆ d H ( ) Ae jtˆ d H ( ) cosane H ( ) T ˆ d non c è disorsione di ampiezza non c è disorsione di ase (ase lineare con la requenza) 45 Richiami di Teoria dei segnali Disorsione in casi reali Inervallo in cui il canale non disorce in ampiezza Inervallo in cui il canale non disorce in ase 46 3

24 Richiami di Teoria dei segnali TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE 47 Richiami di Teoria dei segnali Teorema del campionameno Un segnale w( a banda rigorosamene limiaa, B, può essere ricosruio esaamene a parire dai propri campioni, purchè la requenza di campionameno sia s B Condizione di Nyquis Ricosruzione nel dominio della requenza: W ( ) W ( ) ( ) H r H r ( ) Ts B T s Ricosruzione nel dominio empo: Formula di nts w w * hr w( nts ) sinc inerpolazione cardinale n Ts s 48 4

25 Richiami di Teoria dei segnali VARIABILI ALEATORIE 49 Richiami di Teoria dei segnali Indici caraerisici di una variabile aleaoria per v.a. CONTINUA E x dx x per v.a. CONTINUA m E x xdx Valore medio Valore quadraico medio m Varianza m k E p k x E per v.a. DISCRETA p k x k k k per v.a. DISCRETA 5

26 Richiami di Teoria dei segnali La variabile aleaoria uniorme Graici e parameri caraerisici: F x x 0 x a b a df dx b a se x a se a x b se x b se a x b alrove /(b-a) a b (y) Y Y F (y) x x x y a b m a b ab 3 b a = 5 Richiami di Teoria dei segnali Variabile aleaoria gaussiana o normale Una variabile aleaoria coninua è gaussiana o normale se: x x e caraerizzaa da varianza valor medio x x 5 6

27 Richiami di Teoria dei segnali Variabile aleaoria normale sandard Una variabile aleaoria coninua è normale sandard se: è normale con valor medio: e varianza: 0..0 QQ(n) ( x) Q( x) ( x) x ) ( N ) x F(n) ( x Funzione densià di probabilià ( N ) x e Funzione disribuzione cumulaiva x ( N ) x / x F ( x) e dx x ( N ) N (n) x n x non esprimibile in orma chiusa 53 Richiami di Teoria dei segnali Funzioni er(x) ed erc(x) er ( x) 0 x e d Funzione error uncion erc( x) er ( x) x e d Funzione error uncion complemenare Legame ra v.a. normale sandard unzione er ( x) er ( x) erc x x 54 7

28 8 Richiami di Teoria dei segnali 55 Calcolo della probabilià di un inervallo Variabile aleaoria normale caraerizzaa da valor medio e varianza generici, N x x F ) ( Probabilià che una v.a. Gaussiana assuma valori in un inervallo [a,b] a b b a Pr erc erc Pr b a b a b Q a Q b a Pr ) ( ) ( Pr a F b F b a 0 ) ( ) ( F ) ( ) ( erc Q NOTA (per calcolare ) b Pr a Richiami di Teoria dei segnali Calcolo della probabilià di un inervallo

29 Richiami di Teoria dei segnali Calcolo della probabilià di un inervallo Esempio: Gaussiana con media 5 e varianza 0 x Tabella 0 ( x) 0.5 Tabella dove 0 5 F N x (5,0) 0 0 Richiami di Teoria dei segnali Calcolo della probabilià di un inervallo Esempio: Gaussiana con media 5 e varianza 0 x Tabella 0 F N (5,0) ( x) dove x Tabella 0 0 Per esempio: 5 x. 0 Pr x 0.5 Tabella(.)

30 Richiami di Teoria dei segnali Calcolo della probabilià di un inervallo Esempio: Gaussiana con media 5 e varianza 0 x Tabella 0 ( x) 0.5 Tabella dove 0 5 F N x (5,0) 0 0 Per esempio: 5 x. 0 Pr x 0.5 Tabella(.) NOTA: Prx Prx Richiami di Teoria dei segnali Alra abella uile DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD E COMPLEMENTARE x (x) Q(x) x (x) Q(x) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-00.86e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+000.5e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

31 Richiami di Teoria dei segnali Alra abella uile e e e e e e e e e e e-00.59e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+000.5e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-00.86e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-00 6 Richiami di Teoria dei segnali Alro graico uile 6 3

32 Richiami di Teoria dei segnali PROCESSI ALEATORI 63 Richiami di Teoria dei segnali Processi aleaori Segnali aleaori: spesso dei segnali x( raai, elaborai, o ricevui non si conosce a priori la orma d onda nel empo Processi aleaori: un processo aleaorio è un modello maemaico per i segnali aleaori Processo aleaorio: deinizione collezione di un numero inio o ininio di unzioni del empo (segnali deerminai) corrispondeni a diversi risulai di un esperimeno aleaorio 64 3

33 Richiami di Teoria dei segnali Processi aleaori X(,) è il processo aleaorio x(, i ) unzione campione X( i,) variabile aleaoria x( j, i ) numero L aleaorieà del processo sa nel ao che a priori non è possibile sapere quale sarà il segnale Eseguio l esperimeno, il processo divena a poseriori un segnale deerminao x(, i ), deo unzione campione o realizzazione 65 Richiami di Teoria dei segnali Indici saisici di un processo aleaorio Valor medio (ordine ) EX i x ( x; dx ( X x P( X x ) i i proc. coninuo proc. discreo Funzione di auocorrelazione (ordine ) x x X ( x, x;, dxdx Processo coninuo R XX (, E X X xi x jp{ X xi, X x j} Processo discreo i j 66 33

34 Richiami di Teoria dei segnali Processi sazionari in senso lao Un processo si dice sazionario in senso lao (SSL) se: E R XX non dipende dal empo, RX con X( 67 Richiami di Teoria dei segnali PROCESSI ALEATORI PROCESSI ALEATORI NOTEVOLI 68 34

35 Richiami di Teoria dei segnali Deinizione: IMPORTANTISSIMA Processi aleaori Gaussiani un processo aleaorio X( è Gaussiano se le n variabili aleaorie [X( ),, X( n )] da esso esrae agli isani [,, n ] risulano congiunamene Gaussiane per ogni n, e per qualunque n-upla di isani Proprieà ondamenali: DA IMPARARE A MEMORIA se un processo Gaussiano è sazionario in senso lao, allora è anche sazionario in senso sreo due processi gaussiani, se incorrelai, sono anche indipendeni NON CONFONDERE I PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI CON LE VARIABILI ALEATORIE GAUSSIANE 69 Rumore bianco Richiami di Teoria dei segnali IMPORTANTISSIMA Il rumore bianco è un processo aleaorio (cioè un modello maemaico asrao) caraerizzao da: N0 S X ( ) e X 0 ( ) R XX S X ( ) N 0 N 0 Media nulla Poenza inina 70 35

36 Richiami di Teoria dei segnali Rumore bianco R XX () è un impulso. Quindi, presi due isani anche vicinissimi, i valori assuni dal processo nei due isani sono incorrelai Il rumore bianco non esise nella realà poiché risula a poenza ininia Esso serve come modello di un ampia gamma di segnali, per i quali si può assumere che non ci sia correlazione ra i valori assuni dal segnale in empi diversi Tra i rumori bianchi un caso paricolare è cosiuio dal rumore ermico dovuo all agiazione ermica degli eleroni 7 Richiami di Teoria dei segnali Filraggio di processi aleaori Gaussiani Conservazione della Gaussianià Processo di ingresso: Gaussiano Sazionario in senso lao (e quindi anche in senso sreo) Processo di ingresso: Gaussiano Sazionario in senso lao (e quindi anche in senso sreo) Sisema: Lineare Sazionario Sisema: Lineare NON Sazionario Processo di uscia: Gaussiano Sazionario in senso lao (e quindi anche in senso sreo) Processo di uscia: Gaussiano 7 36

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