Studio delle relazioni statistiche (bivariate) Trattazione generale. Dipendenza statistica

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1 Studio dee eazioni statistihe (bivaiate) Pobema_1: è possibie sapee he suede aa Y se vaia a X (in modo spontaneo o indotto)? X Pobema_2: si itiene i sia un egame ta a Y e a X. E possibie dimostae i ontaio? Y Daa matie dei dati aa tabea doppia Opeaio Impoto Liveo Opeaio Impoto Liveo Opeaio Impoto Liveo A B A D C A B B F F F A A B B B C A B B A C F C A B A F B B B A D A A A B B C E B A C A B D F B B B D D C A C E B E E B C B D D D A A C F D E D D A C E E B A D A B C D D C D A C B A E D A F A B A A B Count of Opeaio Su n=100 opeai è stato ievato impoto deo staodinaio settimanae e a asse stipendiae. In questa foma i dati non sono eggibii; Oganizziamo gi impoti in assi: Liveo Exe: Tabea pivot Imp.MGL A B C D E F Gand Tota < > Gand Tota La tabea ivea he i 41 si ooa nea 4ª asse; he i 12 si tova nea ombinazione (4,B) e he i iveo A fa più staodinai (27) ispetto a tutti gi ati. Dipendenza statistia Tattazione geneae Riguada anaisi dea eazione ta due vaiabii Patiamo daa vaaibie doppia: ( X i,y i ); i =1,2,,n Supponiamo he siano state oganizzate in una tabea on modaità distinte pe a vaiabie sue ighe (X) e modaità pe a vaiabie sue oonne (Y) Se e vaiabii sono entambe QUANTITATIVE o studio dà oigine aa anaisi dea CORRELAZIONE Se ameno una dee due è QUALITATIVA è tattata ome tae aoa si paa di CONNESSIONE o ASSOCIAZIONE Si paeà di dipendenza statistia divesa da quea matematia se a modifiasi deuna si modifia un aspetto dea DISTRUBUIONE deata Y 1 Y 2 Y X 1 n 11 n 12 n 1 n 1. X 2 n 21 n 22 n 2 n 2. M X n 1 n 2 n n. n.1 n.2 n. n i punto india indie ispetto a ui si è sommato Dove n i. = i. n ij = ij n i1 + i1 n i2 + i2 + + n i = i totae di di iga iga n..j j = n ij = ij n j1 + j1 n j2 + j 2 + n j = j totae di di oonna n = n i. = n.j = n ij

2 Effetti dea mutidimensionaità Oupati pe settoi di attività eonomia (media annua). Dati in migiaia Sesso Settoi Mashi Femmine Totae Agiotua Industia Teziaio Totae Fequeny La pesentazione ongiunta dee due vaiabii ivea aspetti he imangono osuati nea appesentazione sepaata dei due aspetti. 20 =3; =2; n=20743 La divesa stuttua dee due omponenti è evidente da gafio SETTORE 10 0 Ate attività Industia Agiotua Femmine SESSO Mashi Lo sattepot india a pesenza di un guppo di soggetti (in ato a sinista) divesi da esto. Ripeso più avanti Distibuzione ongiunta di due vaiabii Anhe nea tabea doppia possiamo usae e fequenze eative: Distibuzioni maginai A patie daa distibuzione ongiunta si definisono e distibuzioni pe iasuna dee vaiabii a pesindee daata Y 1 Y 2 Y X 1 f 11 f 12 f 1 f 1. X 2 f 21 f 22 f 2 f 2. ; : X f 1 f 2 f f. f.1 f.2 f. 1 0 f ij 1 f i. = f. j = " " f ij = 1 " f ij " f ij Le f ij sono dette fequenze eative ongiunte; Le f i. e e f.j sono e fequenze eative maginai. f( X = x i )= f( X = x i,y = y j )= f ij = f i. ; i =1,2,, f( Y = y j )= f( X = x i,y = y j )= f ij = f. j ; j = 1,2,, Linsieme dee oppie (X i, Y i ) e dee ispettive fequenze eative f ij ostituise a distibuzione ongiunta dee vaiabii X ed Y; Essa assoia ad ogni ombinazione di modaità (X i,y j ) un numeo in (0,1) e a ui somma è pai ad uno Pe ottenee a distibuzione maginae si somma ispetto aa vaiabie he NON inteessa

3 Distibuzioni ondizionate Pe studiae i ompotamento dea "Y" ispetto aa "X" dividiamo a distibuzione Congiunta in tante sottodistibuzioni ( ) f( Y = y j X = x i )= f X = x i,y = y j ; j = 1,2,, f( Y = y j ) Distibuzione ongiunta Sesso Settoi Mashi Femmine Totae Agiotua 7,16 3,91 11,07 Industia 25,41 7,84 33,24 Teziaio 34,86 20,82 55,68 Totae 67,43 32,57 100,00 0,7 Agiotua Distibuzione maginae Donne Settoi Femmine Agiotua 12,02 Industia 24,07 Teziaio 63,91 Totae 100,00 0,6 Industia ioè un isaamento po-quota dee ighe dea tabea pe assiuae a somma unitaia Anaogamente, a distibuzione dea X dato he Y è ad un iveo pefissato è: ( ) f( X = x i Y = y j )= f X = x i,y = y j ; i = 1,2,, f( X = x i ) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Mashi Femmine Teziaio Distibuzione maginae mashi Settoi Mashi Agiotua 10,62 Industia 37,68 Teziaio 51,71 Totae 100,00 Mutipot Studio ongiunto o sepaato Pehé abbia senso o studio CONGIUNTO esso deve essee più infomativo deo studio SEPARATO dee due omponenti Se a "X" assume vaoi in eazione ad eventi indipendenti da quei he geneano i vaoi dea "Y" non esiste aun egame statistio inteessante ESEMPIO Lanio di due dadi di diveso ooe X: punteggio de dado osso; Y: punteggio de dado bù; Pe ogni modaità dea Y è appesentato i oispondente istogamma dea X CONDIZIONATO ai vai vaoi dea Y Ovviamente i uoo dee vaiabii può essee sambiato Sapee he aniando i due dadi, X= 4 e, ontempoaneamente, Y= 3 è ome sapee he X=4 (ignoando "Y") e he Y=3 (ignoando "X")

4 Indipendenza in distibuzione Se a ondizionata di Y X non ambia a vaiae di X aoa Y è INDIPENDENTE IN DISTRIBUZIONE da X. Rappesentazione gafia Campione di famigie assifiato pe attenzione ai pogammi teevisivi f( X = x i,y = y j )= f ( X i ); i = 1, 2,, ; j = 1,2,, Lindipendenza è una eazione simmetia: Se X è indipendente da Y anhe Y è indipendente da X Se fa e due vaiabii è indipendenza, e fequenze assoute sono pai a podotto dee fequenze maginai diviso pe i totae fequenze: f( X = x i,y = y j )= f ( X i ) n ij = n i. n. j n n ij = n i. * n. j n " n i. # n = " n. j &# n & = f i. * f. j 1 Indipendenza signifia he si guadano on a stessa fequenza tutti i netwok ovveo a fequenza on ui si guada a TV pesinde da netwok Conseguenza dea definizione Reddito famiiae e endimento soastio Rendimento Ato Medio Basso Totae Ottimo Suffiiente Saso Totae Reddito famiiae Rendimento Ato Medio Basso Totae Ottimo 0,3333 0,3333 0,3333 0,3333 Suffiiente 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 Saso 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 Totae 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Se fa e due vaiabii è indipendenza, a fequenze ongiunta è pai a podotto dee fequenze maginai diviso pe i totae fequenze: f( X = x i,y = y j )= f ( X i ) n ij = n i. n. j n n ij = n i. * n. j n Le fequenze assoute sono divese, ma quee eative oinidono pe ogni distibuzione ondizionata de endimento. 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 Ottimo Suffiiente Saso " n i. # n f ij = " n. j &# n & = f i. * f. j 1 Veifia: 40 = 88*120 44* 96 ; 16 = ,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Ato Medio Basso Questa eazione ostituise una definizione atenativa dea eazione di indipendenza Soo in aso di indipendenza statistia a fequenza ongiunta è iavabie daa onosenza dee fequenze maginai (è pai a oo podotto)

5 Veifiae se fa Y ed X è indipendenza Ossevazioni La ondizione di indipendenza è moto stingente: è suffiiente he si veifihi disasia in una soa ee (ad esempio uno zeo) pehé i sia dipendenza. Infatti, è diffiie tovae asi in ui si sia pefetta indipendenza, anhe pe vaiabii moto emote e ogiamente non oegate Ne onsegue he ne vautae i gado di dipendenza dovemo guadai dai distubi dovuti a Eoi di misuazione Futtuazioni ampionaie Le fequenze ipotate sono identihe a quee ottenibii in aso di indipendenza e he non dipende da un nesso di ausaità. Le ontingenze La misua de gado di dipendenza si basa suo sato ta fequenza ossevata in una ea e a fequenza teoia he si osseveebbe se fa e vaiabii i fosse pefetta indipendenza ij = nij - n, ij dove n, ij = ni. * n.j n he è detta CONTINGENZA (assouta o eativa seondo e fequenze utiizzate) In aso di indipendenza e ontingenze sono tutte nue pe ui se si ha ij > 0 ij < 0 nea ea "i,j" si isonta un addensamento di fequenze ispetto aa situazione di indipendenza dei due fenomeni. nea ea "i,j" si isonta una aefazione di fequenze ispetto aa situazione di indipendenza dei due fenomeni. Pazienti assifiati pe duata deo stato febbie e pe i tipo di tattamento subito Fequenze ossevate Duata dea febbe (ingg) Tattam A B C onidono i totai di oonna Fequenze teoihe onidono i totai di iga Duata dea febbe (ingg) Tattam A B C

6 Tabea dee ontingenze (ontinua) Duata dea febbe (ingg) Tattam A B C Massimo sostamento negativo Massimo sostamento positivo La somma pe oonne dee ontingenze è sempe nua La somma pe ighe dee ontingenze è sempe nua Popietà dea tabea di ontingenza PROPRIETA: La somma dee ontingenze di iga o di oonna è pai a zeo. Dimostazione pe e ontingenze di iga " ij = n ij n i.n. j n ( ( i. n.j = n # n & ij = n n. j n.j ( ( ( n n i. = n.j n. j = 0 Dimostazione pe e ontingenze di oonna " ij = n ij n i.n. j n ( ( i. n. j = n # n & ij = n n i. n j i. ( ( ( n n.j = n i. n i. = 0 j =1 j =1 Connessione ta vaiabii In questo ambito gi eventuai egami di dipendenza si ifettono esusivamente nea assifiazione dee unità. Se si sambiano ta di oo e ihe o e oonne, assoiazione non ambia Una vaiabie è onnessa ad unata se, a modifiasi dee sue modaità, ambia a popozione on ui si veifiano e modaità di quea ondizionata. Unimpesa ommeiaizza 4 bibite tipo oa in divese aee geogafihe Podotto Aea Moka-Coa Neoafé Aabeia Deaf Totae Sud Nod Cento Totae La diffomità dea o dee paziai ispetto aa maginae può veifiasi pe una soa modaità o pe tutte; può inote essee di poo onto oppue di gande entità. Esiste una gaduaità dea onnessione he poede da un minimo (a ondizione di indipendenza) ad un massimo. Luffiio maketing si domanda se è un egame ta i tipo onsumato e aea di esidenza de onsumatoe. La tabea assifia e unità di assaggio - simutaneamente- pe egione e pe podotto pefeito. La isposta deve essee data usando in modo effiae e infomazioni osì aote

7 Connessione massima Ta Y ed X esiste a massima onnessione se nota una quasiasi modaità di X è univoamente deteminata a modaità di Y ad essa oispondente Se a tabea è ettangoae non è possibie a eipoità dea dipendenza massima < s y 1 y 2 y 3 y 4 x x > s y 1 y 2 y 3 x x x x Se si fissa a Y, diiamo a iveo y 2, a modaità di X è neessaiamente x 2. Ogni vota he si segie Y isuta subito seta anhe X. I ontaio non è veo. Anaoga situazione, ma on uoi invetiti. Una vota seta X isuta automatiamente seta anhe Y, ma non vievesa. Misue sintetihe dea Connessione La ontingenza è un indiatoe, in vaoe ed in segno, deo sostamento ta e fequenze ossevate e quee attese ne aso di indipendenza dee due vaiabii. Possiamo onsideae i appoti di ontingenza ( ) ij = f ij " f ij = f ij n ij n " n i.n. j n 2 n i. n. j n 2 he misuano o sato peentuae dee fequenze (assoute o eative) ossevate ispetto ae teoihe Pe misuae i gado di onnessione useemo medie aitmetihe dei appoti di ontingenza. = n ij " n i. n.j n n i. n. j n Statistia de Motaa E una media pondeata dei appoti di ontingenza pesi in vaoe assouto s f ij f i. f. j M = " " f f i. f i. f. j = 1 s " ". j n e oisponde aa media aitmetia sempie dee ontingenze in vaoe assouto Lindie de Motaa è nomaizzato: 0"M"2. C ij s f ij f i. f. j s s s s M = " " f f i. f i. f. j = " " f ij f i. f. j # " " f ij + f i. f.j # " " f ij + " " f i. f. j = 2. j i =1 j =1 i =1 j =1 Ha vaoe nuo se e soo se e ontingenze sono tutte nue ovveo se è pefetta indipendenza. Ha vaoe massimo in aso di pefetta dipendenza (he di soito è <2) di aoo di M Y1 Y2 Y3 Y4 X X Fequenze attese in aso di indipendenza Vaoe assouto dee ontingenze Y1 Y2 Y3 Y4 X X Y1 Y2 Y3 Y4 X X M = = 0.232

8 Statistia 2 (hi quadato) Questo indie si basa sua media pondeata dei appoti di ontingenza a quadato 2 s # f ij " f i. f &. j = ) ) f i. f (.j 2 * s # 2 f & - * ij f i. f.j =, ) ) /, f i. f ( / +. j "1 = n s # 2 n & -, ij ) ). n i. n (. j "1 /, / +. I hi-quado è nuo se e soo se è pefetta indipendenza ta e due vaiabii. Aumenta se aumenta a diffeenza ta fequenze teoihe ed ossevate. Lindie, pe ome è definito, può un vaoe vaoi abitaiamente gandi. Vaoi estemi de 2 Se e vaiabii fosseo indipendenti aoa f ij =(f i. )(f.j ) e quindi ) 2 s " 2 f, ) " = + ij. ( + ( ( # f i. f. *. j & /1 = f i. f.j ) 2, + s. + ( (. - f i. f #.j * + &-. /1 = ) s f, + ( ( i. f. j. * + j =1 -. /1 " " s = ( f # i. ( f &.j /1 = (1)(1) /1 = 0 # & In aso di pefetta dipendenza saebbeo nue tutte e ee fuoi diagonae., " 2 n " 2 ii 2 # n i. n.i & + n. s ( j () j * * # n ( j ( ). n (1 se ) s. j= +1. j & = n-. " 2 n 2 s jj # n j. n. j & + " n. i( i( s) * * # n i. n ( 1 se + s /. i= s+1.( i(s) & I massimo ambia da tabea a tabea. Poduzione di paoni di uoio. Pe i ontoo dea quaità i podotti sono assifiati ispetto a: X=pessione intena e Y=supefiie estena. Unindagine ha assifiato i idenditoi di hadwae di una egione seondo i tipo di soietà ed i tipo di ooazione Tipoogia soietà Negozio Pesone Coopeativa Impesa Totae Autonomo Supemeato Misto popio Misto ati Totae M = = , 2 = I vaoe deindie semba basso, ma è abbastanza basso? Dovemo ioee ainfeenza statistia pe stabiie se i toviamo di fonte ad una assoiazione signifiativa

9 Eseizio (Exe) Indagine sua mobiità di voto. Uso deo stumento PivotTabe Soggetto Ha votato Voteà Count Voteà Adua Cento Desta Iis Cento Cento Ha votato Cento Desta Sinista Totae Aida Sinista Sinista Ima Desta Desta Cento Ada Desta Desta Jua Sinista Cento Desta Aea Cento Cento Kaa Sinista Desta Sinista Afa Desta Cento Laa Desta Sinista Totae Anna Sinista Sinista Leda Cento Cento Asia Cento Desta Lena Sinista Sinista =I3*F6/I6 Atte Sinista Cento Lisa Cento Cento Beba Sinista Sinista Loy Sinista Cento Bie Cento Desta Maa Cento Desta Cia Cento Sinista Mena Cento Sinista Ceo Desta Desta Mina Sinista Sinista =(F3-F8)^2/F8 Coa Sinista Desta Mia Sinista Sinista Demi Cento Desta Oga Cento Desta Dina Cento Cento Pina Cento Cento C hi-quadato Doa Desta Desta Rina Desta Cento Gd 4 =(3-1)(3-1) Edda Cento Desta Rita Desta Desta p-vaue =Distib.Chi(I16;I17) Esa Desta Sinista Rosa Sinista Sinista Emma Sinista Sinista Saa Desta Desta Enza Cento Desta Teti Cento Desta Etta Cento Cento Tina Sinista Sinista Chiaite più avanti Fede Desta Desta Vega Sinista Sinista Gina Sinista Cento Vea Cento Desta Gisa Cento Desta Zita Desta Desta Ines Desta Desta Zoa Cento Cento Rappoto di veosimigianza Sono oinvoti i ogaitmi natuai dee fequenze ossevate e teoihe G 2 s = 2 n ij Log n ij # " n & ij I G-quado è nuo se e soo se è pefetta indipendenza ta e due vaiabii. Aumenta se aumenta a diffeenza ta fequenze teoihe ed ossevate. Lindie, pe ome è definito, può un vaoe vaoi abitaiamente gandi. Eseizio Otite Peggio Uguae Megio Peggio Bohite Uguae Megio Otite Peggio Uguae Megio Peggio 7,2 9,6 7,2 24 Bohite Uguae 7,2 9,6 7,2 24 Megio 3,6 4,8 3, Rievazione deeffetto di un antibiotio su pazienti affetti sia da bonhite he da otite deoehio medio Una iea sua disponibiità ad andae in vaanza da soe pe un ampione di donne ha podotto i seguenti isutati Ceto he no Fose no Non sa Fose si Ceto he si Totae Laueata Semiaueata Dipomata Suoa sup Li.Media Otite Peggio Uguae Megio Peggio 7,6813-3,2616-1,0939 3,3257 Bohite Uguae -1, ,9708-2,3511 8,6456 Megio 0,4214 0,0000 6,3881 6, ,5617 I vaoe deindie semba eevato, ma o è abbastanza pe onudee su doppio spetto de famao? Caoae i Motaa, i 2 ed i appoto di veosimigianza.

10 Anaisi dea media Questo tipo di studio si attiva se una dee vaiabii è metia ed unata è quaitativa oppue quantitativa, ma on modaità non metihe Costo di un appatamento e zona di esidenza Quantità di pinipio attivo e stadio dea maattia Si paeà di dipendenza o indipendenza in media faendo ifeimento a modifihe più o meno ievanti dea media di una vaiabie se ata subise dee vaiazioni (indotte o spontanee) Vaoe atteso dea maginae Le distibuzioni maginai sono dee vee e popie distibuzioni univaiate. In patioae, i inteessa i vaoe atteso (o media aitmetia) dea vaiabie metia. Supponiamo sia a Y E Y " Y X A B C # & ( ) = Y j f. j = µ y " µ y =1 10 " = = 2 La saa dea X è tae da non onsentie i aoo ogio dea media aitmetia Vaoe atteso dee ondizionate Anhe e distibuzioni ondizonate sono dee distibuzioni univaiate. Pe aoae i vaoe atteso dea vaiabie metia, fissata a modaità dea vaiabie di ontoo, abbiamo E Y X = x i " Y X A B C # & ( ) = Y j f ij = µ y x i f i. ( ) =1 4 # 8 µ y A µ y B µ y C ( ) =1 2 3 ( ) =1 4 9 ( ) Cè una media di Y pe ogni fissata X " & + 3 " 4 # 8 = 20 & 8 = 2.5 " # & + 3 " 1 # 3 = 5 & 3 = " # & + 3 " 5 # 9 = 24 & 9 = Reazione ta i vaoi attesi A vaiae dea vaiabie ondizionante a ondizionata assume un eto vaoe atteso. Quindi E( Y X ) = funzione ( x) I vao atteso dea Y è una funzione dee modaità dea X. Quaè a media dea Y se vogiamo pesindee dai vaoi dea X? " f E( Y X = x i )* f i. = Y ij j # j =1 & * f " i. = Y j f ij i =1 # & f i. " = Y j f ij = Y j f. j = E( Y) # & j =1 La maginae dea Y oinide on a media pondeata dee medie paziai dea stessa Y.

11 Campione di ontibuenti assifiato pe iveo di eddito e tipoogia di eddito. Caoo di medie ondizionate e media maginae Yi < >81 Ci Totae Lav.Dip Lav.Aut Red.Imm Red.Mob Red.Est E(y/X) Una vaiabie è indipendente in media da unata se e sue medie ondizionai sono tutte uguai aa media maginae. In questo aso non i inteessa se a vaiae di un aattee si modifihi o esti onstante intea distibuzione. La nosta attenzione è imitata aa media. Indipendenza in media Categ. E(y/X) fx E(y X)*fx Lav.Dip Lav.Aut Red.Imm Red.Mob Red.Est Magin Lav.Dip Lav.Aut Red.Imm Red.Mob. Red.Est. Magin. Te divese distibuzioni paziai he hanno a stessa media Y1 Y2 Y3 2 0, indipendenza in media non impia indipendenza distibutiva Consideazioni aggiuntive 1) Lindipendenza in media non neessaiamente è simmetia, ioè se a "Y" è indipendente in media daa "X" nua si può affemae sua dipendenza in media dea X ispetto aa Y Sintesi dee medie ondizionai Le medie ondizionai "Y/x i " e e fequenze maginai f i. fomano una distibuzione di fequenza: 2) Lindipendenza in distibuzione impia indipendenza in media ovveo se fa a "Y" e a "X" si isonta indipendenza assouta aoa i saà anhe indipendenza in media. 3) Lindipendenza in media non può impiae indipendenza assouta dato he o stessa media può essee assoiata a distibuzioni moto divese pe ati aspetti Modaità µ y x 1 µ y x 2 L µ y x i L µ y x ( ) f 1. ( ) f 2. Fequenza L ( ) f i. L ( ) f. 1 Pe a quae possiamo aoae gi usuai indiatoi di sintesi: media e vaianza in patioae. [ ( X) ] = µ Y E µ Y Ad esempio a media di questa distibuzione è data daa media dea maginae dea Y he non dipende più daa X.

12 Vaianza dee medie ondizionai [ ] = "[ µ y ( x i ) µ y ] 2 f i. Va E( y X) Rappesentazione gafia Questo tipo di gafio può subito suggeie esistenza o meno dea dipendenza in media ta e due vaiabii Espime i vaoe medio deo sato a quadato ta e medie ondizionai e quea maginae. Misua a distanza ta e medie ondizionai ossevate ed i vaoe (ostante) he esse avebbeo in aso di indipendenza in media La vaianza dee medie ondizionai è nua se fa i aattei è indipendenza in distibuzione. Infatti si ha µ y ( x i ) µ y = 0 pe i = 1,2,, Anoa su vaoe atteso ondizionae i vaoe atteso dea distibuzione ondizionae è in genee funzione dea vaiabie he ondiziona. Ne onsegue he on Vediamo i vaoe atteso dee distibuzioni ondizionai Che, ome si vede, è funzione de vaoe di X 1 : ambiando questutimo si atea a distibuzione ondizionae e peiò dovebbe ambiane i vaoe atteso. Se questo non suede è INDIPENDENZA IN MEDIA. Misua dea dipendenza in media La misua più ovvia è a VARIANZA dee medie paziai. Si annua soo ne aso di indipendenza in media ed aumenta aaumentae de gado di dipendenza in media. E massima se fissata una quaunque dea ondizionante si può isaie on etezza aa media dea ondizionata. Questo suede soo quando pe ogni iga o oonna dea tabea doppia entata è una soa ea divesa da zeo. y 1 y 2 y 3 x x x x La paziae di Y x oinide on a modaità di Y oispondente ad x. La vaianza dee medie ondizionai oinide on a vaianza maginae dea Y

13 I appoto di oeazione di K. Peason Soaità e eddito in un ampione di soggetti Soaità Reddito y/ x = # [ µ y ( x i ) " µ y ] 2 f i. #[ y i " µ y ] 2 f i. I deponente segnaa he indie è ostuito pe a Y dato he è a X a ondizionae x M(y x) f(y x) m.magin Lindie eta mette a onfonto a vaiabiità ta e medie ondizionai on a vaiabiità maginae de aattee ondizionato. Poihè eta è ostuito ome appoto di una quantità positiva a suo massimo avà vaoi ompesi neintevao [0, 1] Lindie è invaiante ispetto a tasfomazioni ineai dea vaiabie ondizionata Va[ E( y x) ] = , Va( y) = y/ x = = Esiste una dipendenza in media di tipo dietto: aaumentae dea X aumenta, in media, anhe a y. Senza uteioi sviuppi infeenziai non possiamo stabiie fino a he punto iò he si è isontato ne ampione sia veo pe intea popoazione Casi patioai Eseizio Peentuae di inemento degi inentivi pe un un ampione di avoatoi a pogetto assifiati in base a iveo di speiaizzazione L L L L L L Aaumentae dea x i iveo medio dea y Aaumentae dea x i iveo medio dea y ha ese in modo ineae esatto un andamento paaboio: ese fino ad un eto iveo pe poi diminuie Caoae i appoto di oeazione.

14 Due vaiabii metihe Entambe e vaiabii ievate sue unità sono misuate on saa metia Sebbene sia possibie effettuae o studio dea onnessione o queo dea dipendenza in media questo è sonsigiato. Diagamma di dispesione (Sattepot) Su due assi oodinati ed in saa oppotuna si ipotano i vaoi dee due vaiabii ed ogni ombinazione (X,Y) è appesentata da un punto. Pe ogni ombinazione (X,Y) si visuaizza a fequenza eativa ad essa assegnata daa distibuzione ongiunta on ehi di aggio ad essa popozionai Ne pimo aso si pedono tutte e infomazioni eative ae modaità dee vaiabii. Ne seondo si tasua gan pate dee infomazioni ontenute nee modaità dea vaiabie ondizionante. Questo speo è inoppotuno, a meno he e misuazioni sua ondizionante o su entambe e vaiabii non siano tanto ontaminate da eoi da ostingee ad ignoae a oo saa. Questo è i gafio più noto ed è di eaizzazione e ettua moto sempie evidenziando La tendenza ad abbinasi dee due vaiabii. Una ettua attenta pemette anhe di stabiie, on buona appossimazione, i Tipo di egame ta a Y e a X. Tabea a doppia entata Exe Coeazione Eseizio in asse (sattepot) Sviuppo in oppie di vaoi X Y fequenze Coeazione Costuite o sattepot NB: pe a appesentazione gafia adopeate una ombinazione de gafio a giasoe (pe e unità) e dei ehi di aggio popozionae (pe e deine)

15 Vaoe atteso dee maginai In questo aso possiamo onsideae i vaoe atteso di entambe e vaiabii Vaoi attesi nee distibuzioni doppie Ne aso di vaiabii quantitative metihe siamo inteessati anhe a ( ) = X i f i, E X " = µ x ; E Y " Y X # & " = µ y ( ) = Y j f. j " µ x = 2 8 " " = = 4.1 " µ y =1 10 " = = 2 Media o vaoe atteso dea somma Media o vaoe atteso dea somma ( ) = X i + Y j E X + Y "( ) Media o vaoe atteso de podotto E XY " f ij "( ) ( ) = X i Y j " f ij Media o vaoe atteso de podotto ( ) = X i E X + Y "" f ij + " Y j " f ij = " X i " f ij + " Y j " f ij = " X i f i + " Y j f. j = µ x + µ y " 4 " 2 " 4 E( X + Y) = ( 2 +1) + ( 4 +1) + ( 6 +1) + # " Y X & " 4 " 1 " ( 2 + 3) + ( 4 + 3) + ( 6 + 3) = = = # & µ x + µ y = = 6.1 ( ) = X i Y j E XY " Y X # & "" f ij E( XY) = ( 2) = " 4 " 2 " 4 + ( 4) + ( 6) + " 4 " 1 " ( 12) + ( 18) ( ) = 8.3

16 E XY E(XY) in aso di indipendenza ( ) = X i Y j "" f i. f. j = X i f i. " Y j " f.j = µ x µ y f ij = f i. f. j Se non sono dipendenti si ha E(X*Y)#E(X)*E(Y) In questo aso, a media dei podotti è pai a podotto dee medie. " Y X # & " 3 " 3 " 6 E( XY) = ( 2) + ( 4) + ( 6) + " 2 " 2 " 4 ( 6) + ( 12) + ( 18) = = " 5 " 5 " µ x = ( 2) + ( 4) + ( 6) 10 = 4.5 " µ y = ( 1) 12 " 8 + ( 3) =1.8; µ x µ y = 4.5*1.8 = 8.1 E(y*X)=9.1 Moto viina, ma omunque divesa La onodanza Un aspetto essenziae dea dipendenza ta due vaiabii su saa ameno intevaae è a onodanza, ioè a iea dea diezione dea dipendenza ta Y ed X. Ci si hiede se vaoi infeioi (supeioi) aa media si aompagnino on vaoi infeioi (supeioi) aa media neata Pe ognuna dee ombinazione di possibii vaoi si può avene una indiazione dagi SCARTI MISTI: S ij = ( X i µ x )( Y j µ y ) Signifiato dea onodanza I segno degi sati è utie pe sapee se, pe a ombinazione dei vaoi X i " e Y i " andamento dee due vaiabii è onode oppue disode: CONCORDANZA S ij > 0 ( X i > µ x ) e ( Y j > µ y ) oppue ( X i < µ x ) e ( Y j < µ y ) DISCORDANZA S ij > 0 ( X i > µ x ) e ( Y j < µ y ) oppue ( X i < µ x ) e ( Y j > µ y ) E diffiie ogiee i senso dea onodanza anaizzando uno pe uno TUTTI gi sati misti.

17 La ovaianza La sintesi più sempie di tutti gi sati misti è i oo vaoe atteso he ostituise a ovaianza ta Y ed X di aoo dea ovaianza Cov(X, Y) = i =1 ( ) ( ) f ij " " X i µ x Y j µ y Se Cov(Y,X)>0; Pedominano gi sati di segno onode. Ci si aspetta X e Y tendano a ambiae nea stessa diezione Se Cov(Y,X)<0; Pedominano gi sati di segno disode. Ci si aspetta X e Y tendano a ambiae in diezioni opposte Se Cov(Y,X)=0; e foze di disodanza e di onodanza sono bianiate e e due vaiabii si diono INCORRELATE Dominano gi sati disodi pe dati in assi Fomua sempifiata pe a ovaianza E(X) 2.56 Cov(X,Y)= E(Y)= 3.60 Usando e popietà dee sommatoie si ottiene Cov(X, Y) = " "( X i µ x ) Y j µ y = " "( X i µ x )Y j f ij " "( X i µ x )µ y f ij i =1 ( ) f ij j =1 # & # = " Y j "( X i µ x ) f ij ( µ y " " X i µ x j =1 ( ) f ij & ( = " " X i Y j f ij µ x " Y j f.j = " " X i Y j f ij µ x µ y = E( XY) µ x µ y i =1 i =1 In questi asi si utiizzano i vaoi entai dee assi, ma on isutati più appossimati he sempifia i aoo e sopattutto intepetazione dea ovaianza Se è indipendenza a ovaianza è zeo dato he in questo aso si ha E(XY)=µ x µ y

18 Supponiamo he due vaiabii abbiano fequenze ongiunte date da /2 Supponiamo he e fequenze ongiunte siano date da Con distibuzioni maginai he hanno medie: Dato he si possono pesentae soo e quatto oppie ui è assoiata una fequenza positiva a X e a Y sono dipendenti in senso funzionae Noto he X=4 soo Y=-1 è possibie (fequenza positiva) Data pate si ha La ovaianza è: In medie e due vaiabi sono disodi Quindi, e due vaiabii pu essendo dipendenti (in senso funzionae) isutano inoeate Eseizi Covaianza e tasfomazioni ineai W i = a + bx i ; Z j = + dy j Cov(W,Z) = " " W i Z j f ij # µ w µ z = " " a + bx i # a + bµ x [ ] f ij ( ) f ij ( ) + dy j [ ] [ ] + dµ y = " " a + bx i + ady j + bdx i Y j # a + adµ y + bµ x + bdµ x µ y [ ] f ij [ ] = a " " 1 + b " " X i " " Y j + bd " " X i Y j # a # adµ y # bµ x # bdµ x µ y [ ] f ij + ad [ ] f ij [ ] f ij Ripetee gi stessi aoi deeseizio peedente [ ] f ij = a + bµ x + adµ y + bd " " X i Y j # a # adµ y # bµ x # bdµ x µ y [ ] f ij = bd " " X i Y j # bdµ x µ y = bdcov(x,y) i paameti additivi a" e " sono sompasi, quei motipiativi sono dei fattoi

19 Disuguagianza Cauhy-Shwatz Consideiamo una eazione he ega ineamente gi sati medi di Y agi sati medi di X [( Y j " µ y ) " b( X i " µ x )] 2 # # f ij = ( Y j " µ y ) 2 + b 2 ( X i " µ x ) 2 # # " 2b( Y j " µ y )( X i " µ x ) & () f ij * 0 = Va(Y) + b 2 Va X ( ) " 2bCov(X,Y) * 0 Cov(X,Y) " # (Y)# ( X) Pehè tae disequazione di 2 gado in b" sia sempe soddisfatta, i disiminante NON deve essee positivo e ioè: [ 2Cov(X,Y) ] 2 " 4Va(Y)Va( X) # 0 [ Cov(X,Y )] 2 # Va(Y)Va( X) La ovaianza, a quadato, è infeioe o uguae a podotto dee vaianze dee distibuzioni maginai Cov(X *,Y * ) = # ) ) X i µ x " x &# Y i µ & y ( " ( y f ij Coeffiiente di oeazione E nomaizzzato ioè ompeso ta -1 e +1 pehé espesso ome appoto a ovaianza a suo massimo (in vaoe assouto) E standadizzato. Se una o entambe e vaiabii subisono una tasfomazione ineae i oeffiiente imane o stesso: (a+bx,+dy) = (X,Y) Coeffiiente di oeazione/2 Assume i vaoi estemi soo in aso di eazione ineae esatta 2 Cov(X, a + bx ) = " "[ X i ( a + bx j ) µ x ( a + bµ x )]f ij = " " ax j f ij + b " " X i X j f ij aµ x bµ x Ne onsegue he j =1 2 = " " ax j f ij + b " " X i X j f ij aµ x bµ x i =1 i =1 i =1 2 = a " µ x f. j + b " X j f. j aµ x bµ 2 x = bva( X) j =1 j =1 i =1 = aµ x aµ x + b[ Va( x) ] Y j =0seI"j E simmetio ispetto ae due vaiabii: (Y,X)=(X,Y) (X,a + bx) = bva( x) Va( x)va a + bx ( ) = bva(x) Va( x)b 2 Va( x) = b b #"1 se b < 0 = +1 se b > 0 E uguae a zeo se è indipendenza ta e due vaiabii (i numeatoe in questo aso è infatti zeo) i oeffiiente di oeazione misua, quindi, intensità de egame ineae he sussiste ta e due vaiabii.

20 Sempifiazioni pe oppie di vaoi Consideiamo a distibuzione ongiunta: Non sempe è oppotuno e onveniente oganizzae a vaiabie doppia in una tabea sopattutto se e oppie hanno a stessa pobabiità. Con Quando pe e due v.. siano ossevabii "n" oppie di vaoi, iasuna on fequenza pai a (1/n) i oeffiiente di oeazione è Che un quahe egame di dipendenza i fosse ea hiao da fatto he f(x 1,X 2 )f(x 1 )*f(x 2 ) i vaoe di (X 1, X 2 ) onfema he è i vaoi dee vaiabii sono disodi e i egame ineae è moto tenue Sattepot (vaoi singoi) Su due assi oodinati ed in saa oppotuna si ipotano i vaoi dee due vaiabii ed ogni ombinazione (X,Y) è appesentata da un punto. Sattepot/2 Lo sattepot offe una omoda appesentazione dee possibii eazioni ta due vaiabii quantitative. I gafio evidenzia i gadiente dei dati, intensità de egame nonhé i possibii vaoi anomai (outies) ioè ossevazioni ontane, a pima vista, da ento dea eazione.

21 Ce una eazione ta i tasso di esita dee mangovie e a sainità de suoo? Caoo di (x,y) pe oppie di vaoi Peievi Sainity Cesita Sainità Reazione ta sainità e esita piante Cesita Appae evidente una eazione dietta i aoo è moto sempie puhé oppotunamente oganizzato. µ x µ y Le due vaiabii pesentano una oeazione positiva tendendo a pesentae insieme i vaoi più gandi Sattepot e oeazione Sattepot e oeazione/2 Lo sattepot fonise una idea immediata dea intensità de egame he vige ta e due vaiabii Si eaizza ipotando -in saa oppotuna- e ombinazioni ossevate dei vaoi La eazione ta due vaiabii tende a divenie più stetta ma mano he a nube di punti passa daa foma ioae, aa eisse ed aa etta

22 Assenza di egami ineai Signifiato di (x,y) Quanto più i suoi vaoi si avviinano, in moduo, ad uno tanto più i vaoi dee vaiabii isutano oegabii on una etta. Data pate, quanto più "" è viino a "±1" tanto più a onosenza di una dee vaiabii pemette, attaveso a eazione ineae, di onosee ata. In questo senso "" è una misua de gado di onodanza ta i vaoi dea vaiabie doppia (X,Y) In temini di vaiabii standadizzate (x,y) misua anhe a somigianza/distanza ta i due fenomeni. INTENSITA DEL LEGAME LINEARE PREVEDIBILITA DI UNA VARIABIULE CONOSCENDO LALta GRADO DI CONCORDANZA SOMIGLIANZA TRA LE DUE VARIABILI Coeazione e somigianza Coeazione unitaia non signifia identità ta e due vaiabii ( X,Y ) = 1" [ Z x,i " Z y,i ] 2 n + n x i " µ ( x # *" x i " µ (. y #- & 0 x ) & *, - y )/ 0 = 1" 2n 2n = 1" n x i " µ (. -# x * 0 2n, - & x ) / 0 " y i " µ (. n - y # 2n 0 - & *, y ) n # n / & = 1" 1 2 " n x i " µ # x n & x ( y i " µ ( y * )& * = X,Y y ) ( ) 2 x i " µ x x ( y i " µ ( y * )& * y ) Se i punteggi Z dea Y si sovappongo a quei dea X aoa i oeffiiente di oeazione è pai ad uno. Se Invene ne sono opposto aoa (X,Y)=-1 Se sono inoeate aoa Cov(X,y)=0 e (X,Y)=1-(1+1)/2=0. Coeazione e ausa-effetto Lesistenza di oeazione, pe quanto intensa, non impia una eazione di ausa ed effetto. LEGAME PLAUSIBILE I tasso di iminaità è fotemente egato a tasso di disoupazione. LEGAME SPURIO Nei bambini, a misua dee sape è moto oeata on a apaità di ettua. La oeazione india soo he andamento di una vaiabie tende a disposi seondo una etta se appesentato insieme aata. I "pehè?" di questa tendenza vanno eati a di fuoi dea statistia. I oeffiiente di oeazione misua soo a o-vaiazione ta vaoi standadizzati

23 Anno Nidi di iogne Nati vivi In una zona de Nod Euopa è stato monitoato i numeo di nidi ostuiti dae iogne ed i numeo di nati vivi ne oo peiodo di pemanenza. Da punto di vista dea oeazione e ipotesi he siano e iogne a potae i bambini o he siano i bambini a potae e iogne sono equivaenti. Coeazione spuia Spesso, i vaoe di (y,x) ato non è he appaenza di un egame a ui sostanza è invee dovuta a fenomeni esteni. La situazione di ausaità ta X e Y: Non è distinguibie da egame spuio he fa di esse si pone a ausa dea omune dipendenza da una teza vaiabie Z L#appendimento di nuove paoe non ende i piedi più gandi ovveo avee piedi più gandi non aiuta a onosee nuove paoe. C#è un tezo fattoe nasosto dieto a oeazione: #età Questo si veifia spesso a ausa deesistenza di fenomeni tendenziai di ungo peiodo he inidono ao stesso modo su vaiabii divese (vintage) Pezzo de gano e tasso di matimoniaità. E evidente un andamento sinono he indue una oeazione moto eevata. La spiegazione è sempie: un omune fattoe esteno Ci si sposa quando e ondizioni eonomihe sono bianti: è un aumento degi sambi e quindi dee impotazioni Se e impotazioni aumentano tendono ad aumentae I noi ed I dazi. Questo si ifette sui pezzi de gano he tendono aumentae (Oge, 1890). Dipendenza dei anghi Riguada e vaiabii ipotate in saa quantitativa odinae. > Pehé non esiste una vea misua, ma soo un punteggio o vautazione > Pehé e misuazioni su sono impeise o viziate da eoe > Pehé sono pesenti dei vaoi emoti Le modaità sono poste in oispondenza on dei numei natuai (anghi) Pe ogni unità si osseva una oppia di modaità he si tasfoma poi in una oppia di anghi

24 Un guppo di ienti di una bana assifiato pe eddito e pe impoto de pestito. Convetiamo i vaoi ossevati in anghi. Misua dea dipendenza nei anghi Oganizziamo e oppie di anghi in modo he a pima si tovi in odine natuae Le misue di oeazione di ango espimono i gado di onodanza o disodanza ta due gaduatoie E evidente a pedita di infomazione. Lo sato ta i anghi in X pe i ienti H ed I è 9-7=3 e saebbe questo pe quaunque oppia di vaoi ompesi ta e In beve, onosee i anghi poo i die sui vaoi oiginai La pima è usata ome ifeimento pe a seonda I vaoi dovebbeo vaiae ta -1 e 1 on o zeo ottenuto in aso di assenza di assoiazione ta e due gaduatoie ho di Speaman La misua fose più popoae dea dipendenza ta i anghi è a seguente S = n # i " n +1 &# ) ( s 2 i " n +1 & ( 2 n ) # i " n +1 & ( 2 2 n ) # s i " n +1 & ( 2 2 detto ho di Speaman Caso dee n oppie di vaoi senza posizioni di paità. La definizione di S è a stessa de oeffiiente di oeazione. Comunque i patioae tipo di dati oinvoti onsente dee sempifiazioni ( ) 2 6 i " s i S =1" n n 2 "1 n # ( )

25 Consideazione su ho di Speaman X Y Unità Peosi Vendite Rank(X) Rank(Y) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y W Z ho= gd= 25 t= p-vaue E-08 Rango vendite Venditoi pota-a-pota pe vendite e km peosi Coeazione di ango Rango peosi La oeazione è eevata sebbene si notino divesi distubi Rievazione dietta dei anghi Un eto insieme di n oggetti o situazioni sono odinate seondo i gado on ui pesentano una eta aatteistia X. Supponiamo Che a aatteistia sia un mix di immateiaità gaduabie, ma non misuabie. Che e vautazioni siano espesse on i voti {1,2,,n} osì ottenendo a pemutazione {s 1, s 2,,s n } Ripetiamo a ievazione pe una Y ievata ao stesso modo e he podue a pemutazione: { 1, 2,, n } Condizione di ansia e stess Pima e dopo una sepaazione I ho di Speaman ea di quantifiae intensità de egame ta i due insiemi di giudizi

26 : giudizi degi espeti Eseizio Ad un espeto è stato hiesto di ponuniasi sua posizione he e 20 squade di un ampionato di aio oupeanno aa fine: {s 1, s 2,,s 20 }. Aa fine dea stagione i giudizi sono ompaati on e posizioni eai: { 1, 2,, 20 }. Pe sempifiae i aoo possiamo dispoe e due seie di posizioni seondo odine esente dea pima S q u a d a A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Totae P i m a Dopo Ad un ampione di onsumatoi è stato hiesto di giudiae a quaità di un sevizio on un voto da 0 a 12. E anhe stato hiesto di vautae on un voto da 0 a 12 a eputazione deazienda he foniva i sevizio Azienda Rating sevizio Reputazione azienda Afa Afa Afa Afa Afa Afa Afa Afa Afa Afa Afa Afa Afa "=0.87 (p-vaue ). L espeto ha dato un buon giudizio sebbene sembi più in gado di indovinae e squade he avanno una attiva stagione ispetto a quee he avanno buona Vi semba he i sia un egame ta e due vautazioni? Rho-Speaman= T= p-vaue tau di Kenda E una misua atenativa di dipendenza ineae ta anghi = 1" 4C n( n "1) on " 1# #1 1 2 L i L n s 1 s 2 L s i L s n N=12 dishi hanno nuane de bu disposte seondo un ooimeto ed una andidata designe è hiamata a iostuie a gaduatoia Cooimeto C è i numeo minimo di sambi neessai pe tasfomae una gaduatoia neata. Gi estemi sono intepetabii ome ne ho di Speaman ESEMPIO Caoo on i netodo di Homes (1920) Le inee he ongiungono I anghi nee due gaduatoie si inoiano C vote = 1" 4(13) 7( 6) =1 " = " Designe = 1" 4(14) 12( 11) =1 " = Seondo i ooimeto è oeazione positiva ed abbastanza gande, ma he sia signifiativa dovà essee stabiito on infeenza

27 Pesenza di vaoi uguai Fomua di ho in aso di paità n 3 n 2 1 *, n x # ( " 3) " 6 d i " x ( t 2 j ) 3 x & n y # y ) + ) " ( t j )( + ) t j -, j =1 S = # ( n 3 n x # x "3)" ( t j ) 3 x &&# ) " ( t j )( ( n 3 n y # y ( " 3)" ) t ( j ( ) 3 y "( t j ) ( ) 3 y " ( t j ) &., (/ 0, && (( ( dove * n x = numeo di guppi di X on paità, x, t j = numeo di vaoi uguai pe a j " esima paità in X +, n y = numeo di guppi di Y on paità, y - t j = numeo di vaoi uguai pe a j " esima paità in Y S Aetamento di una eazione dodine ta i tasso di inteesse effettivo "E" dei BOT timestai e indie di bosa "B" P-vaue Distanza da un punto inquinante e onentazione deagente neaia Distanza (X) Conen. (Y) anghi(x) anghi (Y) d(x,y) { [ ]} 1725" 3327" 0.5 [ 8 " 2 S = ( ) + ( 27" 3) ]+ ( 8 " 2)+ ( 8 " 2) [ 1725" 30]1725" [ 12] = "

28 Voti in due disipine pe un ampione di studenti. Cè un egame ta i due voti? ho-speaman T p-vaue Eseizio Matioa Disipina A Disipina B Fomua di tau in aso di paità S b = * " n n x " x # 2& ( t -*, ) j / " n n y " y +, # 2 &./ # 2& ( t -, ) j 2 / +, j =1# &./ 0 n x = numeo di guppi di X on paità 2 t x j = numeo di vaoi uguai pe a j ( esima paità in X 2 dove 1 n y = numeo di guppi di Y on paità 2 2 t y j = numeo di vaoi uguai pe a j ( esima paità in Y 32 s = numeo minimo di intesambi he tasfoma X in Y n1 i # S = " " sgn( i j )sgn( s i s j ) dove sgn(x) = 1 0 se se x x > = 0 0 & 1 se x < 0 Caoo de tau-b di Kenda Una dee gaduatoie è disposta in odine asendente (on eventuai paità). Lata segue pe abbinamento. Pe ogni ango de seondo si ontano quanti, ta quei aa sua desta, ne sono supeioi I totae di questi onteggi daà i vaoe di S ne numeatoe de tau. ESEMPIO A B C D E F G H I J SIGN(B2-A2)*SIGN(B3-A3) " b = [ 45# ( 6 + 3) ] 45# ( ) [ ] = 33 41* 36 = Esito test Duata Esito Duata ed esito di un test Peason = Speaman = Kenda = Duata

29 Eseizio Quaità e osto dei sevizi di un esot seondo i giudizio onode dea oppia più faotosa. Riespimete I giudizi in anghi b) Caoate i tau di Kenda Quaita Costo Tabee doppie ed odinamenti Quando a ievazione di gaduatoie si ipete pe un numeo eevato di asi i vaoi sono aoti in una tabea a doppia entata on modaità odinate ESEMPIO: apaità visiva Ohio sinisto Ohio desto 1 gado 2 gado 3 gado Infeioe 1 gado gado gado Infeioe Ai fini de numeatoe S de tau-b avemo ontibuti positivi da ee he stanno sotto e a desta di quea onsideata Inote, avemo ontibuti negativi da ee he stanno sotto e a sinista di quea onsideata 112( ) =112 *1048 = Continua Ohio sinisto Ohio desto 1 gado 2 gado 3 gado Infeioe 1 gado gado gado Infeioe Pe i denominatoe i ontibuti veanno da ( 3242)3241 ( 1053)1052 ( 782)781 ( 893)892 ( 514)513 = ( 3242)3241 ( 1052)1051 ( 791)790 ( 919)918 ( 480)479 = b = ( ) = Tau- I tau-b ha i difetto di non aggiungee i vaoe massimo se a tabea è ettangoae. In questi asi Kenda popone di usae 2S = n 2 ( m " 1) m ESEMPIO: Competenza e stipendio Entambi gi indii isontano assenza di egame. Non vi peoupate. E un esempio ipotetio dove m = Min(, s) Casse stipendiae Competenza Tau-b Tau = 2 m= 2 s= 4

30 Goodmam-Kuska E un indie in gado di aggiugee i vaoe massimo anhe pe tabee ettangoai = N " N d N + N d dove # N ontibuti positivi N d ontibuti negativi Goodman-Kuska/2 Casse stipendiae Competenza Pe ostuzione 1 " # "1 Ohio sinisto Ohio desto 1 gado 2 gado 3 gado Infeioe 1 gado gado gado Infeioe Gamma= I numeatoe è o stesso de Tau-b. Conviene omunque sepaae i aoo dee oppie disodi e di quee onodi Gamma Lindie espime a iduzione deeoe he si ommette ne pevedee ome una oppia di unità si odineà ispetto ad una vaiabie aohé si appende ome sia odinata ispetto aata. Essendo possimo ao zeo iò impia he onosendo a asse stipendiae non si può essee onusivi ispetto aa ompetenza. Eseizio #= Come si intepeta?

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