Dispositivi e Tecnologie Elettroniche. Trasporto nei semiconduttori

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1 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori

2 Trasporto di carica I portatori liberi nel materiale vengono accelerati dalla presenza di un campo elettrico E La presenza di cariche in moto corrisponde ad una corrente elettrica La velocità (media) di trascinamento v dei portatori è proporzionale ad E tramite la relativa mobilità µ [cm 2 V 1 s 1 ] v n = µ n E, v p = µ p E (µ n, µ p > 0) poiché le cariche negative si muovono in direzione opposta ad E, quelle positive nella stessa direzione Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 2

3 Trasporto di carica Durante il loro moto, le cariche libere urtano contro tutte le perturbazioni della periodicità spaziale dell energia potenziale nella struttura cristallina vibrazioni reticolari dovute all energia termica dei singoli atomi (fononi) atomi di impurezze presenti nel reticolo (ovvero, elementi diversi dal semiconduttore) imperfezioni reticolari Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 3

4 Trasporto di carica La mobilità µ non è costante, a causa degli urti casuali dei portatori liberi; in generale µ è costante per campi elettrici molto piccoli: il valore per E 0 viene detto mobilità di basso campo µ 0 Per campi molto elevati, v tende ad una costante, la velocità di saturazione, tipicamente dell ordine di 10 7 cm/s La curva v(e) può essere monotòna (Si, Ge) o presentare regioni a mobilità differenziale µ d = d v /de negativa (semiconduttori composti, solo per gli elettroni) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 4

5 # $ & %! " # $ Curva velocità-campo 8 A? E E J H = I? E = A J? I 6! / = ) I / A 4 A C E A = > E E E B B A H A E = A A C = J E L = 5 E / = ) I - A J J H E =? K A 4 A C E A = > E E J? I J = J A > = I I? = F + = F A A J J H E? 8? Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 5

6 & ' Curva mobilità-drogaggio I # > E E E > = I I? = F? 8 # % # # # " 6! 5 E # $ % - A J J H E =? K A, H C = C C E J J = A?! Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 6

7 $ # "! ), 6 6! Curva mobilità-temperatura I?! Al di sopra della temperatura ambiente (300 K), la mobilità di basso campo diminuisce al crescere di T > E E E > = I I? = F? 8 "!?! % %??!!! " - A J J H E =? K A 6 A F A H = J K H = Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 7

8 Legge di Ohm microscopica Consideriamo un campione drogato n, con p 0 Se si applica un campo elettrico uniforme E, si ha una corrente I: K C D A I I = dq dt = dq ds ds dt = dq dv Av n = qnav n = qnaµ n E 8 K 8 I 5 A E A ) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 8

9 Legge di Ohm microscopica La densità di corrente J = I/A [A/cm 2 ] vale J = σe, dove σ è la conducibilità elettrica dovuta agli elettroni liberi di mobilità µ n : σ = qnµ n In un campione in cui vi siano anche p lacune per unità di volume di mobilità µ p : J = J el + J lac = qnµ n E + qpµ p E e quindi: σ = qnµ n + qpµ p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 9

10 "! & Curva resistività-drogaggio 4 A I E I J E L E E > = I I? = F 9?! " 6! 5 E J E F 2 J E F F * H I " $, H C = C C E J J = A?! Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 10

11 Semiconduttore fuori equilibrio La condizione di equilibrio termodinamico corrisponde all assenza di qualunque scambio energetico con l esterno Qualunque dispositivo elettronico opera in regime di non equilibrio, dovendo dar luogo a trasformazioni di energia elettrica Simbologia: se tipo n: n n, p n ; se tipo p: n p, p p in equilibrio termodinamico: n n0, p n0, n p0, p p0 concentrazione intrinseca: n i = p i Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 11

12 Semiconduttore fuori equilibrio Fuori dall equilibrio termodinamico, le concentrazioni differiscono dal valore di equilibrio Si definiscono le concentrazioni in eccesso: { { n n = n n n n0 n p = n p n p0 p n = p n p n0 p p = p p p p0 Se n, p > 0 si ha il fenomeno della iniezione, se n, p < 0 si ha il fenomeno dello svuotamento L ipotesi di quasi neutralià implica n p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 12

13 " & $ & F F F E, Livello di iniezione Campione di Si drogato n con N D = cm 3 Basso livello di iniezione: corrisponde a n n, p n N D ; solo i portatori minoritari sentono le variazioni di conc., mentre n n N D +?? $ "! * = I I E L E E E A E A ) J E L E E E A E A Alto livello di iniezione: corrisponde a n n, p n N D ; entrambi i tipi di portatori sentono le variazioni di concentrazione Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 13

14 Variazioni di concentrazione Le concentrazioni di portatori sono, in generale, funzione della posizione e del tempo n = n(x, t), p = p(x, t) caso 1D Le loro variazioni dipendono da: moto di cariche per diffusione: corrente di diffusione moto di cariche per trascinamento (effetto di E): corrente di trascinamento corrente di spostamento dielettrico: solo in presenza di campi tempo-varianti a frequenze molto elevate fenomeni di generazione e ricombinazione (GR) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 14

15 N Corrente di diffusione Il fenomeno della diffusione corrisponde alla naturale tendenza dei gas di particelle a rendere uniforme nello spazio la loro concentrazione +? A J H = E A, E B B K I E E? = H E? D A L intensità della diffusione è proporzionale al gradiente (derivata prima) della concentrazione, il moto va in direzione opposta Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 15

16 N Corrente di diffusione Poiché in un semiconduttore le particelle sono cariche, al loro moto per diffusione corrisponde una densità di corrente +? A J H = E A - A J J H E? = H E? = G =? K A? = H E? = G Elettroni e lacune hanno carica opposta, quindi la diffusione origina correnti di verso opposto n p J n,diff = qd n J p,diff = qd p x x Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 16

17 Coefficienti di diffusione D n e D p sono i coefficienti di diffusione o diffusività [cm 2 /s] di elettroni e lacune Vicino all equilibrio termodinamico vale la relazione di Einstein D n = V T µ n, D p = V T µ p dove V T = k B T/q è l equivalente elettrico della temperatura V T = 26 mv a 300 K Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 17

18 Corrente di trascinamento La corrente di trascinamento o deriva corrisponde al moto di portatori per effetto di un campo elettrico E Si può usare la legge di Ohm microscopica J n,tr = qnµ n E J p,tr = qpµ p E Trascurando la corrente di spostamento dielettrico, la corrente totale vale J = J n,diff + J n,tr }{{} J n + J p,diff + J p,tr }{{} J p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 18

19 ? L? L - J Generazione e ricombinazione Sono fenomeni che determinano eventi di creazione e distruzione di portatori liberi meccanismi diretti: transizioni banda-banda meccanismi indiretti: transizioni assistite da centri di ricombinazione. E. E C A H E? C A H E? Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 19

20 Generazione e ricombinazione Per caratterizzare i fenomeni di GR si usano: il tasso o velocità di generazione G, ovvero il numero di portatori generati per unità di tempo e volume il tasso o velocità di ricombinazione R, ovvero il numero di portatori ricombinati per unità di tempo e volume Si definisce il tasso netto di ricombinazione: U n = R n G n U p = R p G p In equilibrio termodinamico, deve essere U n = U p = 0 Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 20

21 Generazione e ricombinazione Vi sono diverse espressioni per U, a seconda del meccanismo fisico che determina la GR In prima approssimazione, si può assumere U n n n 0 τ n = n τ n U p p p 0 τ p = p dove τ n e τ p sono detti tempo di vita medio di elettroni e lacune Per questo motivo, si parla di approssimazione di tempo di vita medio τ p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 21

22 N ) Equazione di continuità Si può ricavare una equazione per l evoluzione nello spazio e nel tempo delle concentrazioni di carica sulla base del principio di conservazione della carica N N N Consideriamo degli elettroni che attraversino un volume dv = Adx. La variazione nel tempo del numero totale di elettroni nel volume vale: n n dv = t t Adx Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 22

23 Equazione di continuità Tale variazione è dovuta a 4 contributi: (a) gli elettroni che entrano nel volume per unità di tempo (b) gli elettroni che escono dal volume per unità di tempo (c) gli elettroni generati nel volume per unità di tempo (d) gli elettroni ricombinati nel volume per unità di tempo pertanto, essendo gli elettroni cariche negative: n t Adx = J n(x) q A Jn(x + dx) A+G n Adx R n Adx }{{}} q {{}}{{}}{{} (a) (b) (c) (d) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 23

24 Equazione di continuità Usando lo sviluppo J n (x + dx) J n (x) + J n x dx e facendo tendere dx a zero, si ottiene l equazione di continuità per gli elettroni n t = 1 q J n x U n Analogamente, si ottiene l equazione di continuità per le lacune p t = 1 q J p x U p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 24

25 Equazione di continuità Nell approsimazione di tempo di vita: n t = 1 J n q x n n 0 τ n p t = 1 q J p x p p 0 τ p Per le densità di corrente, si usa il modello a deriva-diffusione (drift-diffusion): n J n = qµ n ne + qd n x p J p = qµ p pe qd p x Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 25

26 Equazione di Poisson Nelle equazioni di continuità compaiono, come incognite, n, p ed E Occorre una terza equazione per chiudere il modello, l equazione di Poisson: E x = ρ ɛ, E = ϕ x essendo ɛ la costante dielettrica del materiale [F/cm], mentre ρ [C cm 3 ] è la densità di carica netta positiva: ρ = q ( p n + N + D N A ) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 26

27 Modello matematico Le due equazioni di continuità e l equazione di Poisson costituiscono il modello matematico dei semiconduttori (caso 1D) n t = p 1 q t = 1 q 2 ϕ J n x U n J p x U p x 2 = ρ ɛ essendo E = ϕ/ x J n = qµ n ne + qd n n x J p = qµ p pe qd p p x ρ = q ( p n + N + D N A ) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 27

28 Modello matematico Una analisi semplificata dei dispositivi elettronici richiede di approssimare le equazioni del modello matematico allo scopo di arrivare ad una soluzione analitica la mobilità di elettroni e lacune è assunta costante e pari al valore di basso campo la diffusività viene valutata sulla base della relazione di Einstein (D = V T µ) i fenomeni di generazione e ricombinazione sono trattati nell approssimazione di tempo di vita la ionizzazione degli atomi droganti è completa Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 28

29 Modello matematico Le equazioni semplificate sono n t = µ (ne) n x p t = µ (pe) p x 2 ϕ + D 2 n n x 2 n n 0 τ n + D 2 p p x 2 p p 0 τ p x 2 = q ɛ (p n + N D N A ) con E = ϕ/ x Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 29

30 Regioni neutre Una regione di semiconduttore si dice quasi-neutra se in essa si può assumere ρ = 0 In molti casi pratici, alla quasi-neutralità si associa anche E = 0, e quindi J tr = 0 In questo caso, il modello matematico diviene n t = D 2 n n x 2 n n 0 τ n p t = D 2 p p x 2 p p 0 τ p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 30

31 Regioni neutre Si noti che un campione omogeneo in equilibrio termodinamico è sempre neutro, per cui p 0 n 0 = N A N D Fuori equilibrio l ipotesi di quasi-neutralità corrisponde alla condizione ρ = p 0 + p n 0 n + N D N A = 0 e quindi n = p Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 31

32 Regime stazionario Il regime stazionario corrisponde ad una soluzione del modello matematico costante nel tempo ( / t 0) d 2 ϕ 0 = µ n d(ne) dx 0 = µ p d(pe) dx + D d 2 n n dx 2 n n 0 τ n + D d 2 p p dx 2 p p 0 τ p dx 2 = q ɛ (p n + N D N A ) Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori 32