Nozioni e Richiami di Algebra Lineare

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1 Nozioni e Richiami di Algebra Lineare Chiara Giusy Genovese Università di Bologna Scuola di Economia, Management e Statistica CLAMEP Statistica per l analisi dei dati 11 Novembre 2014

2 Indice Introduzione Vettori e Matrici - notazione e esempi Operazioni su Matrici Determinante, rango di una matrice e singolarità Invertibilitá

3 Vettori e Matrici - notazione e esempi Introduzione Uno degli strumenti matematici più potenti ed utilizzato nei più svariati campi di tutte le Scienze è rappresentato dal Calcolo Matriciale Gli elementi di base dei quali ci si serve sono vettori e matrici, strutture ordinate entro le quali possiamo riportare i nostri dati In generale supporremo sempre di trovarci nel campo reale R, in quanto nelle applicazioni di nostro interesse i coefficienti e le variabili che considereremo saranno numeri reali

4 Vettori e matrici - notazione e esempi Vettori e matrici VETTORE pr, 1q b 1 b 2 b b r Dimensione di un generico vettore: (r 1) quindi si hanno r = numero di righe per una sola colonna Per tenere conto dell ordine gli elementi del vettore sono indicizzati in modo da individuarne la posizione L elemento generico di b sarà l elemento b i dove 1 i r Quindi b i sarà l elemento corrispondente alla i-esima riga

5 Vettori e matrici - notazione e esempi Vettori e Matrici MATRICE di tipo pr, kq a 11 a 12 a 1k a 21 a 22 a 2k A a r1 a r2 a rk Dimensione di una generica matrice: (r k) dove r = numero di righe e k = numero di colonne Per tenere conto dell ordine gli elementi sono doppiamente indicizzati in modo da individuare la posizione nella tabella L elemento generico di A sarà l elemento a ij dove 1 i r e 1 j k, dove a ij sarà l elemento corrispondente alla i-esima riga ed alla j-esima colonna Si definisce diagonale principale l insieme gli elementi a 11, a 22,, a rk

6 Vettori e matrici - notazione e esempi Osservazioni Due vettori o matrici sono uguali quando hanno la stessa dimensione pr, kq (stesso tipo) e sono formate dagli stessi elementi nelle stesse posizioni Ad esempio preso un vettore b possiamo dire che b c se e solo se b i c Vettori e matrici sono generalmente indicati rispettivamente con lettere minuscole e maiuscole scritte in grassetto In maniera alternativa a volte i vettori sono indicati con lettere sottosegnate come b Generalmente i vettori sono in forma colonna Il vettore in forma di riga è segnalato come b T b 1 rb 1, b 2,, b rs e avrà dimensione p1 rq

7 Vettori e matrici - notazione e esempi Alcuni Esempi - La matrice trasposta Presa come riferimento la generica matrice A indica con A T la matrice alla quale viene applicata la trasposizione delle righe e delle colonne, ovvero vengono scambiate le righe con le colonne) Dal punta di vista pratico: a 11 a 12 a 1k a 11 a 21 a r1 a 21 a 22 a 2k A Ñ A T a 12 a 22 a r2 a r1 a r2 a rk a 1k a 2k a rk

8 Vettori e matrici - notazione e esempi Alcuni Esempi - Matrice trasposta e matrice simmetrica A Ñ A? T 3 6 2? Qual è la dimensione della matrice che otteniamo? A è una matrice di tipo p3, 3q ovvero con r 3 e k 3 e allo stesso modo anche A T Questo dipende dal fatto che la matrice che consideriamo è quadrata

9 Vettori e matrici - notazione e esempi Alcuni Esempi - Matrici quadrate e rettangolari Una matrice si dice quadrata quando il numero di righe r è pari al numero di colonne k Quindi andare a ricercare la matrice trasposta della matrice di partenza non modifica la dimensione della matrice ottenuta Un caso particolare di matrice quadrata è la matrice simmetrica, matrice per la quale si ha A A T Diversamente accade quando si considerano matrici rettangolari, vale a dire con numero di righe r k A Ñ A T 3 6 2?? E evidente che Ap3, 4q ha tipo differente rispetto alla trasposta A T p4, 3q

10 Vettori e matrici - notazione e esempi Alcuni Esempi - La matrice nulla Si dice matrice nulla e si indica con 0 qualunque matrice di ordine pr, kq contenente tutti zeri Analogamente all operazione aritmetica classica di somma, la matrice nulla rappresenta l elemento neutro per le operazioni di somma tra matrici

11 Vettori e matrici - notazione e esempi Alcuni Esempi - Matrice diagonale e identità Una matrice diagonale è una matrice quadrata di ordine k in cui solamente i valori della diagonale principale possono assumere valori diversi da 0 ESEMPI A diagpa 1, a 2,, a k q a a a k M diagp1, 6q

12 Vettori e matrici - notazione e esempi Alcuni Esempi - Matrice diagonale e identità Una configurazione notevole della matrice diagonale è quello della matrice identità, indicata con I k e avente solo elementi unitari sulla diagonale I k diagp1, 1,, 1q Un altro caso particolare della matrice diagonale è quello della matrice quadrata nulla 0 k

13 Operazioni su matrici Somma tra matrici Siano A ra ij s e M rm ij s due matrici dello stesso tipo pr, kq Si definisce la matrice S rs ij s anche questa di dimensione pr, kq come la somma delle due matrici A e M se ogni elemento in S corrisponde alla somma degli elementi dei singoli elementi in posizioni corrispondenti di A e M A M A M S Alcune proprietà: Proprietà associativa Ñ pa Mq S A pm Sq Proprietà commutativa Ñ A M M A S

14 Operazioni su matrici Somma tra matrici Inoltre è possibile verificare: Esistenza dell opposto Ñ M p Mq 0 Esistenza dell elemento neutro Ñ M 0 M Proprietà della trasposizione della somma Ñ pa Mq T A T M T ESEMPIO Verifichiamo ad esempio l ultima proprietà, vale a dire che S T A T M T A T M T

15 Vettori e Matrici - notazione e esempi Somma tra matrici - Esempio A T M T A T M T S T Questa concide con la matrice S ottenuta come somma di A e M e successivamente trasposta S Ñ S T

16 Operazioni su matrici Moltiplicazione per uno scalare Preso uno scalare λ ed una matrice M rm ij s si definisce prodotto per uno scalare (da non confondere con prodotto scalare che vedremo dopo) la matrice risultante A λm tale j gli elementi di a ij λm ij Consideriamo adesso due scalari λ e γ e due matrici dello stesso tipo pr, kq A, M possiamo richiamare alcune proprietà: λ0 0 pλ γqm λm γm pλγqm λpγmq γpλmq λpa Mq λa λm

17 Operazioni su matrici Prodotto tra matrici Rispetto alle operazioni che abbiamo visto finora è quella meno intuitiva Si considerino due matrici Apr, mq e Mpm, kq dove rispettivamente r e m sono le righe e le colonne di A, mentre m e k rappresentano le righe e le colonne di M Prese le matrici nell ordine dato, la matrice risultante P AM AM rp ij s sarà del tipo pr, kq e il generico elemento p ij è la somma dei prodotti degli elementi della i esima riga di A per gli elementi della j esima colonna di M ESEMPIO A a c b d M e g f h P AM a e b g a f b h c e d g c f d h

18 Operazioni su matrici Prodotto tra matrici ESEMPIO A M P AM E fondamentale svolgere l operazione prodotto mantenendo l ordine dato; Prese due matrici qualsiasi A e M generalmente si ha che AM MA (non sempre le dimensioni consentono l operazione inversa) A M P MA

19 Operazioni su matrici Prodotto tra matrici Vediamo alcune delle proprietà fondamentali del prodotto tra matrici Consideriamo delle matrici con diverse dimensioni Mpr, kq,bpk, hq,cph, zq e uno scalare λ A I=I A Associativa Ñ MpBCq pmbqc Associativa mista Ñ λpmbq pλmqb pmbqλ NBSi ricorda che per poter moltiplicare delle matrici il numero di colonne della matrice di partenza deve corrispondere al numero di righe della seconda matrice

20 Determinante, rango di una matrice e singolarità Sottomatrici e determinante All interno di ogni matrice è possibile identificare delle sottomatrici andando a rimuove delle righe e/o delle colonne M M Teniamo presente questo concetto per definire quello di determinate o detpmq o M, ovvero una quantità/numero reale che possiamo associare ad ogni matrici quadrata di ordine k (numero di righe e colonne) ESEMPIO M m11 m 12 m 21 m 22 a c b d detpmq pm 11 m 22 q pm 21 m 12 q a d c b

21 Determinante, rango di una matrice e singolarità Determinante, rango di una matrice e singolarità All aumentare dell ordine della matrice il calcolo del determinante si complica Vediamo l esempio di una matrice quadrata M di ordine k 3 m 11 m 12 m 13 a b c M m 21 m 22 m 23 d e f m 31 m 32 m 33 g h i detpmq a det e h f d b det i g f i c det d g e h

22 Determinante, rango di una matrice e singolarità Determinante, rango di una matrice e singolarità All aumentare dell ordine della matrice il calcolo del determinante si complica Vediamo l esempio di una matrice quadrata M di ordine k 3 m 11 m 12 m 13 a b c M m 21 m 22 m 23 d e f m 31 m 32 m 33 g h i detpmq a det e h f d b det i g f i c det d g e h

23 Determinante, rango di una matrice e singolarità Determinante, rango di una matrice e singolarità ESEMPI A detpaq detpbq 2 det B det det 2 1 2p9 1q 1p0 2q 4p0 6q

24 La matrice inversa La matrice inversa Sia M una matrice quadrata di ordine k Si definisce matrice inversa di M e si indica con il simbolo M 1 la matrice quadrata, se esiste, di ordine k tale che: MM 1 M 1 M I M risulta invertibile se e solo se il determinante detpmq 0q Se l inversa di M esiste, essa è unica

25 La matrice inversa La matrice inversa Passaggi per il calcolo dell inversa: 1 Si calcola detpmq e si richiede che sia 0 2 Si calcola la matrice trasposta M T 3 Per ogni elemento della matrice si calcola il complemento algebrico e si trova una nuova matrice M 1 che prende il nome di matrice aggiunta 4 Si calcola 1 detpmq M1 e così si ottiene la matrice inversa M 1

26 La matrice inversa La matrice inversa Sia M una matrice quadrata di ordine k Si definisce matrice inversa di M e si indica con il simbolo M 1 la matrice quadrata, se esiste, di ordine k tale che: MM 1 M 1 M I M risulta invertibile se e solo se il determinante detpmq 0q Se l inversa di M esiste, essa è unica

27 La matrice inversa La matrice inversa ESEMPIO - per una matrice di ordine k = 2 M a c b d 1 Si calcola detpmq ad cb e si richiede che sia 0 2 Si traspone M e si ricava M 1 M T a b c d Ñ M 1 d b c a 3 Dividendo per 1 si ottiene la matrice inversa M 1 detpmq M 1 1 detpmq d b c a

28 La matrice inversa La matrice inversa ESEMPIO - per una matrice di ordine k = 3 a b c M d e f g h i Si calcola detpmq=a(ei-hf)-b(di-gf)+c(dh-ge) e si richiede che sia 0 Si traspone la matrice, M T a d g M T b e h c f i

29 La matrice inversa La matrice inversa Per ogni elemento della matrice si calcola il complemento algebrico e si trova una nuova matrice M 1 che prende il nome di matrice aggiunta C 1,1 det e f h i C 1,2 det b c h i C 1,3 det b c e f C 2,1 det d f g i C 2,2 det a c g i C 2,3 det a c d f C 3,1 det d e g h C 3,2 det a b g h C 3,3 det a b d e

30 La matrice inversa La matrice inversa Calcolando tutti i complementi algebrici e tenendo conto dell alternanza dei segni, la matrice aggiunta risulta la seguente: C 1,1 C 1,2 C 1,3 M 1 C 2,1 C 2,2 C 2,3 C 3,1 C 3,2 C 3,3 Dividendo ciascun elemento in M 1 per il determinante si ottiene la matrice inversa M 1 M 1 1 detpmq C 1,1 C 1,2 C 1,3 C 2,1 C 2,2 C 2,3 C 3,1 C 3,2 C 3,3