APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA ALL ECONOMIA LEZIONE GLI AMMORTAMENTI. Autore. Francesca Miglietta

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1 APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA ALL ECONOMIA LEZIONE GLI AMMORTAMENTI Autore Francesca Miglietta 1

2 Che cosa si intende per ammortamento? L ammortamento non è altro che il rimborso di un prestito. Il rimborso può avvenire in diversi modi: 1. Pagando alla scadenza il capitale e l interesse, cioè il montante. Se il debito è A, al tasso i, alla scadenza t, il debitore verserà M=A(1+it) se l interesse è semplice. M=A(1+i) t se l interesse è composto. 2. Pagando l interesse periodicamente e il capitale alla scadenza. 3. Pagando periodicamente gli interessi e rimborsando gradualmente anche il capitale. In questo caso parliamo di Ammortamento. Il debitore concorda con il creditore di estinguere il debito con una successione di versamenti parziali, chiamate Rate, in diversi tempi in modo che il valore attuale complessivo dei versamenti sia uguale all ammontare del debito A. Prendiamo in considerazione due tipi di ammortamento: il sistema francese o progressivo, che è quello più usato, e l ammortamento a quote costanti di capitale o uniforme o italiano. Particolarità dell ammortamento progressivo: Rata costante Pagamento ad intervalli costanti Pagamento posticipato. Se la rata è costante, allora, il valore del debito A non è altro che il Valore Attuale di una rendita formata da n rate posticipate. 2

3 A= R*a n i A=R*(1-(1+i)) -n /i R=A/a n i R=A*i/(1-(1+i) -n Esaminiamo un esempio. Il sig. Martelli ha richiesto ad una banca un prestito di Euro concordando che il rimborso debba avvenire in 9 anni, ad un tasso i=0,12. Predisponiamo, quindi, un piano di ammortamento, con il sistema progressivo, per vedere quanto alla fine di ogni periodo il sig. Martinelli deve restituire. Definiamo alcune grandezze: una quota capitale, C, una quota interessi, I, indica quanta parte di capitale restituisce indica la parte di interessi che paga periodicamente sul capitale residuo. Il primo anno sarà = A*i. La Rata,R, somma da pagare alla fine di ciascun periodo ed è uguale alla quota capitale + la quota interessi. Debito residuo,d r, Debito estinto, D e, n indica quanta parte di debito rimane da pagare. indica quanta parte di debito ha già pagato. anni in cui deve estinguere il debito 3

4 Piano Ammortamento: n R Quota C Quota I D e D r , , ,94 46,616, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ammortamento Costante. Questo metodo, consiste nel restituire, ad ogni scadenza, quote di capitale tutte uguali ed interessi maturati durante il periodo trascorso. Calcoliamo la quota Capitale costante C=A/n Particolarità: 4 La quota di capitale C è costante. Calcoliamo la quota Capitale costante C=A/n. Il primo periodo: C=50.000/9 I=A*i =50.000*0.12 R= C+I D r = A-C D e =C 1 Il secondo periodo: C=A/n I k = D r *i

5 R k = C+I k D r =D k-1 -C D e =K*A/n Predisponiamo il piano di ammortamento con il sistema costante, facendo riferimento all esercizio precedente. n R Quota C Quota I D e D r , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,56 666, ,00 0 Osserviamo che le quote di interessi decrescono in progressione aritmetica di ragione = -A*i/n. 5

6 Esercizio AMMORTAMENTO FRANCESE O A RATA COSTANTE Il Sig.re Rossi Mario chiede ed ottiene un prestito dalla Finanziaria Alfa il cui ammontare è pari a un rimborsabile a rata costante della durata di 9 anni al tasso del 12%. Redigiamo il piano di ammortamento con ambiente Maple Prevede lo sviluppo di un piano di ammortamento con il metodo francese o a rate costanti con programmazione del software Maple con il comando seq Abbiamo definito le grandezze: A ammontare del debito i tasso di interesse n numero degli anni di restituzione del debito C (quota capitale): indica quanta parte di capitale restituire I (quota di interessi): indica la parte di interessi calcolata per un anno sul debito residuo dell'anno precedente R (la rata): indica la somma da pagare alla fine di ciascun periodo E (debito estinto): indica quanta parte del debito è stato pagato nell'anno k-esimo ed è dato dalla somma delle quote capitale pagate fino a quel momento D (debito residuo): indica il debito che rimane da pagare ed è dato dalla differenza tra il debito iniziale e quello estinto. Dopo aver assegnato alle variabili A, i ed n dei valori numerici abbiamo predisposto il seguente piano di ammortamento: All'anno 0 tutte le variabili considerate assumo valore 0. Il debito è ancora tutto da estinguere e quindi sarà pari a Con il comando seq abbiamo costruito la sequenza di valori "pianoammortamento" ed ottenuto i valori numerici corrispondenti Per i successivi anni alle singole variabili sono state assegnate di volta in volta le formule necessarie per il calcolo del piano di ammortamento. L'utilizzo del comando seq ha permesso di creare una sequenza di formule che hanno consentito il calcolo dei risultati richiesti. 6

7 7 (vedere documento in PdF Ammortamento.)