Computer Graphics. Riccardo Berta. Appunti per un corso. Libro consigliato:

Transcript

1 Computer Graphics Riccaro Berta Appunti per un corso Libro consigliato: Donal Hearn M. auline Baer, Computer Graphics - C Version, rentice Hall, Secon Eition,, 997

2 rimitive Grafiche...4 Linee...4 Algoritmo DDA...5 Algoritmo i Bresenham...6 Algoritmi paralleli (parallel line)...9 Circonferene... Mipoint Circle Algorithm... Trasformaioni geometriche D...4 Traslaione...4 Rotaione...4 Scalamento...5 Coorinate omogenee...6 Trasformaioni composte...7 Trasformaione tra sistemi i coorinate...8 Aliasing & Antialiasing...9 Campionamento per punti...9 Campionamento per aree non pesato... Teoria el campionamento... Filtraggio...3 Ricostruione...6 Gupta.Sproull Antialiase Lines...9 Clipping...33 oint Clipping...33 Line Clipping...33 Cohen-Sutherlan Line Clipping...34 Liang-Bars Line Clipping D object representation...38 olgon Table...38 Equaioni el piano D Viewing...43 Winowing...43 Viewing pipeline...44 Viewing coorinates...45 Trasformaione tra le coorinate mono e le coorinate viewing...46 roieioni...47 View Volumes...5 Visible-Surface Detection...5 Classificaione egli algoritmi...5 Bac-face etection...5 A-buffer metho...53 llumination Moels...54 Sorgenti i luce...54 Luce ambiente...55 Riflessione iffusa...55 Riflessione speculare...56 Mutliple light sources...57 Warn moel...57 Attenuaione ell intensità...57 Trasparena...57 Visualiare le intensità...58

3 Gamma correction...59 Halftone patterns & Dithering Techniques...59 Surface-Renering Methos...6 Constant-ntensit Shaing (flat shaing)...6 Gourau Shaing...6 hong shaing...6 Ra-tracing methos

4 rimitive Grafiche programmi grafici forniscono elle funioni i base per escrivere una scena in termini i oggetti primitivi : punti, linee, circonferene, ellissi, Ogni output primitive sarà specificata a alcuni parametri che la iniviuano univocamente; a esempio una circonferena è iniviuata a centro e raggio. niialmente consiereremo gli algoritmi i basso livello (a livello el ispositivo raster scan) che permettono i prourre primitive biimensionali. Num i linea Num i colonna Fig. - Assumiamo i poter isporre, in ogni algoritmo, ella proceura setiel(,) che permette i caricare un eterminato colore nel frame buffer alla posiione iniviuata alla colonna e alla linea a scan e ella getiel(,). Linee l isegno i una linea si ottiene calcolano le posiioni intermeie lungo il percorso tra ue punti i iniio e i fine specificati. Num i linea Num i colonna Fig. - La iscretiaione ello spaio ell immagine implica l approssimaione elle posiioni ei punti lungo il percorso, questo fatto rene l aspetto elle linee scalinato (the jaggies); più la risoluione el ispositivo è bassa e più questo effetto risulta marcato. Esistono elle tecniche, che veremo in seguito, che permettono i nasconere all occhio la scalinatura aggiustano le intensità ei piel (a esempio in funione ella percentuale i attraversamento el piel stesso). er calcolare i punti a illuminare per il tracciamento ella linea si parte ell equaione cartesiana: m b inoltre, per iniviuare la particolare linea (sarebbe più corretto parlare i segmento), occorre fornire i punti i partena e arrivo: A(, ) e B(, ). 4

5 Num i linea Num i colonna Fig. -3 Dati i punti A e B possiamo ricavare i coefficienti m e b che caratteriano l equaione: m b m m b b m er ogni incremento siamo in grao i calcolare il rispettivo incremento m, analogamente per ogni incremento possiamo calcolare il corrisponente /m. Queste equaioni sono la base per eterminare le tensioni i eflessione in un ispositivo analogico, nei sistemi raster i valori i e evono essere multipli ella istana i separaione tra ue piel (), unque si ovrà eseguire un campionamento e una quantiaione ella linea. Facciamo una istinione in base al valore el coefficiente angolare m, per le linee con: m < si pone e si ottiene m cioè si campiona l asse e si quantia l asse m > si pone ricavano /m cioè si campiona l asse e si quantia l asse Questa istinione viene fatta per avere in ogni caso una buona istribuione ei punti lungo la linea. Algoritmo DDA Nell algoritmo Digital Differential Analer la linea viene campionata a intervalli unitari lungo una coorinata e in corrisponena si etermina l altra coorinata in moo che il piel sia il più vicino possibile alla linea. Se m < si campiona l asse a intervalli unitari e si calcolano i valori successivi i con K K m, infine viene approssimata al valore intero più vicino; Se m > si campiona lungo a intervalli unitari e si calcolano i valori successivi i con X K K (/m) n questo caso abbiamo supposto i partire al punto più a sinistra e arrivare al punto più a estra ella linea, le formule possono essere cambiate segueno la linea a estra a sinistra: m < : - e K K - m m > : - e K K - /m L algoritmo implementato in linguaggio C è il seguente: 5

6 #efine ROUND(a) ( (int) (a.5)) voi linedda (int a, int a, int b, int b) { int b -a, b -a, steps, ; float ncrement, ncrement, a, a; if (abs () > abs () ) steps abs () ; else steps abs (); ncrement / (float) steps; ncrement / (float) steps; } setiel (ROUND(), ROUND()); for (; <steps; ) { ncrement; ncrement; setiel (ROUND(), ROUND()); } L algoritmo DDA è un metoo più veloce per tracciare una linea rispetto all equaione m b, infatti si elimina la necessità ella moltiplicaione precalcolano gli incrementi appropriati per e. n realtà l accumulaione ell errore i approssimaione i ncrement e ncrement può portare l algoritmo a iscostarsi alla linea, specie se molto lunga; inoltre l aritmetica floating point usata è ispeniosa in termini i tempo. er migliorare DDA si possono separare gli incrementi nelle loro parti intere e fraionarie e conurre tutte le operaioni con numeri interi. Veiamo un moo per apportare questi miglioramenti: γ γ α K α K con β β ove α può essere o a secona el caso. L algoritmo moificato conterrà le nuove istruioni: c ; K ; for (K; K<steps; K) { c γ; if (c β) { α; c-β } } Algoritmo i Bresenham L algoritmo i Bresenham è molto efficiente e accurato in quanto usa solo calcoli interi incrementali, inoltre può essere aattato per la visualiaione i altre curve oltre che per le linee. Consieriamo una linea a visualiare e i essere arrivati a un eterminato punto: 6

7 Y4 Y3 Y Y Y X X Fig. -4 Al passo ci si pone il quesito: qual è il prossimo punto a visualiare (, ) o (, )? L algoritmo i Bresenham rispone a questo quesito testano il segno i un parametro intero, il cui valore è proporionale alla ifferena tra le separaioni ei ue piel al reale percorso ella linea. Consieriamo una linea con m>, m <, le posiioni ei piel a accenere vengono eterminate incrementalmente, parteno al punto iniiale (, ). Assumiamo i aver eterminato il piel alla posiione (, ) e i over eterminare il piel successivo (, ) o (, )? Ymb (m b) - m b Y Y X X Fig.-5 m b - La ifferena tra le ue istane: - (m b - ) ( - m b) m b - m( ) - b l parametro i ecisione ell algoritmo può essere ricavato all espressione preceente in moo a coinvolgere solo operaioni intere: ( ) b p ( ) c ove c è una costante e vale: c.5 (b-), inoltre è inipenente alla posiione attuale el piel e può essere eliminata al loop i calcolo. Nel nostro caso p ha lo stesso segno i ( - ) in quanto >: Se il piel più vicino alla linea è (, ), allora < e p < Se il piel più vicino alla linea è (, ), allora > e p > l parametro p può essere calcolato incrementalmente: p p p c p ( ) ( c ) p p ( ) 7

8 l termine ( - ) vale oppure in funione el segno i p, mentre il valore iniiale è p -. Algoritmo per passi:. mmettere i ue punti i iniio e fine el segmento e memoriare il punto più a sinistra in (, ). Visualiare il primo punto.. Calcolare i valori costanti,, ( - ) e calcolare il valore el parametro p. 3. er ogni, parteno a, eseguire il seguente test: 4. p < il punto successivo è (, ) e p p 5. p > il punto successivo è (, ) e p p - 6. Ripetere il punto 3 fino al completamento el segmento. L algoritmo implementato in linguaggio C è il seguente: #inclue evice.h voi linebres (int a, int a, int b, int b) { int abs (a -b), abs (a -b); int p * -; int twod *, twodd * (- ); int,, En; /* Determine which point to use as start, which as en */ if ( a > b) { b; b; En a; } else { a; a; En b; } setiel (, ); } while ( < En) { ; if (p < ) p twod; else { ; p twodd; } setiel (, ); } L algoritmo può essere generaliato per segmenti con valori i m qualunque utiliano le simmetrie tra i vari quaranti e ottanti el piano: per linee con m> si cambia il ruolo i con, mentre per m> bisogna solo stare attenti al fatto che una coorinata ecresce. 8

9 Algoritmi paralleli (parallel line) Disponeno i un elaboratore parallelo è possibile calcolare i piel a visualiare simultaneamente suivieno i calcoli tra i vari processori isponibili. A esempio supponiamo i avere n p processori e quini i suiviere lo schermo in n p one. f Y mb, m < La parte el segmento compresa nella ona sarà tracciata al processore, quella nella ona verrà elaborata al processore e così via. Ogni sottosegmento tracciato a un processore potrà usare uno ei vari algoitmi. n p l punto i partena per il -esimo processore sarà: p ove p è la lunghea el singolo sottosegmento p / n p f Fig.-6 n realtà per avere egli intervalli i lunghea intera e solo l ultimo più breve sarà: np p np Un altro moo i utiliare un elaboratore parallelo è quello i assegnare a ogni processore un certo insieme i piel, al limite un piel per ogni processore. A esempio per tracciare un segmento si assegna un processore a ogni piel situato nella ona i esistena el segmento, ogni processore calcola la istana el suo punto alla linea: a b a b c a b c (,) r ϕ n Fig.-7 Fig. -8 9

10 Dimostraione: r : a b c vettore n (a, b) perpenicolare a r p r n ( p p ) n ( p p ) ) b( ) [ a b c poichè r] c. v.. n ( p p ) n n n p p cosϕ a( a b a a b b a a b a b c b Un piel viene isegnato se la è minore i una certa soglia. a b c Si osservi che una volta calcolati i termini:,, relativi alla retta, ogni a b a b a b processore eve eseguire solo ue moltiplicaioni e ue somme. Questo algoritmo per processori paralleli funiona molto bene, per contro non è molto conveniente in termini i utilio i processori se vengono assegnati a un singolo piel. Circonferene Una circonferena è efinita come l insieme ei punti che si trovano a una istana r (raggio) a un punto c (centro). L equaione cartesiana ella circonferena è: ( c ) ( c) r l primo metoo che viene in mente per tracciare una circonferena è quello i risolvere l equaione: ± r ( ) calcolare il piel associato., suiviere l intervallo ( c r; c r) in vari punti e c c Y c -r c c r Questo metoo ha lo svantaggio i non avere uno spaio uniforme tra i piel lungo la coorinata in quanto sono più fitti per r e più rai per er risolvere il problema si potrebbe scambiare la coorinata con la nei punti in cui la retta tangente alla curva ha m >. Questo proceimento risolve il problema ma aumenta i calcoli a eseguire. Fig.-9 Un metoo migliore è quello i usare le coorinate c r cosϑ polari: c r senϑ La scelta el passo per ϑ è importante, a esempio con ϑ /r si ottengono punti separati i circa una unità. La computaione può essere riotta consierano le simmetrie, infatti l anamento el cerchio è simile negli ottanti:

11 (-,) (,) (-, ) (, ) (-,-) (,-) (-,-) (,-) Fig. - Con un algoritmo calcoliamo solo i punti ella circonferena nell intervallo (ϑ, ϑ45 ), tutti gli altri sono immeiatamente ientificati per simmetria. Algoritmi basati sulle equaioni cartesiana e polare sono molto lenti poiché implicano il calcolo i raici o funioni sinusoiali. migliori algoritmi sono quelli incrementali basati sulla valutaione i una funione i vicinana alla circonferena, a esempio quello i Bresenham. Mipoint Circle Algorithm Data una circonferena con centro ( c, c ) e raggio r, prima si calcolano i punti ella circonferena in (, ) e poi si traslano: Da fino a, nel quarante, la penena ella retta tangente vale m [- ; ]. Quini possiamo usare l asse come ireione a suiviere in passi. Definiamo la funione circonferena: f(, ) - r Fig. - ogni punto C soisfa f() se un punto ~ è entro C f( ~ ) < se un punto ˆ è fuori C f( ˆ ) > Assumiamo i avere tracciato il punto (, ) e i over eciere se tracciare il punto (, ) oppure (, - ): Fig.- M La ecisione viene presa consierano se il punto interme_ io tra i ue piel M si trova entro o fuori alla circonferena. Se M entro a C (, ) Se M fuori a C (, - ) l parametro i ecisione sarà quini: p f (, ) ( ) r Se p < M è entro a C (, ) Se p > M è fuori a C (, - )

12 ossiamo ottenere un espressione incrementale el parametro: p f (, ) [( ) ] r p f (, ) ( ) r p p ( ) 4 4 p p ( ) ( ) ( ) l parametro iniiale vale: p f(, r) 5/4 r r L algoritmo, come quello i Bresenham, calcola le posiioni ei piel utiliano aiioni e sottraioni intere; consieriamo i passi ell algoritmo:. Dai ati in ingresso, raggio r e centro ( c, c ), otteniamo in primo punto ella circonferena traslata (, ) (, r). Calcolare il parametro iniiale p r 3. A ogni posiione, parteno a si esegue il seguente test: se p < il prossimo punto è (, ) e p p se p il prossimo punto è (, - ) e p p 4. Determinaione ei punti simmetrici 5. Spostare i punti trovati nelle loro posiioni corrette: c e c 6. Ripetere a 3 a 5 fino a che. L algoritmo in linguaggio C è il seguente: #inclue evice.h voi circlemipoint (int Center, int Center, int raius) { int ; int raius; int p raius; voi circlelotoints (int, int int, int); } /* lot first set of points */ circlelotoints (Center, Center,, ); while ( < ) { ; if ( < O) p * else { --; p * ( ) ; } circlelotoints (Center, Center,, ); }

13 voi circlelotoints (int Center, int Center, int, int ) { setiel (Center, Center ); setiel (Center-, Center ); setiel (Center, Center- ); setiel (Center-, Center- ); setiel (Center, Center ); setiel (Center-, Center ); setiel (Center, Center- ); setiel (Center-, Center- ); } 3

14 Trasformaioni geometriche D Utiliano le primitive i output (abbiamo visto in particolare il tracciamento i linee e circonferene) siamo in grao i creare elle scene; può essere ora necessario overne alterare l aspetto ( o solo i alcuni oggetti che appartengono alla scena). n particolare in molte applicaioni è utile poter cambiare la posiione, la scala e l orientaione egli oggetti. Attuare queste trasformaioni significa effettuare elle operaioni geometriche. Traslaione Si tratta i riposiionare un oggetto in una nuova porione ella scena. Dato un punto biimensionale (,), lo possiamo traslare in una nuova posiione (, ) aggiungeno a ogni coorinata una istana i traslaione t e t. ' t ' t il vettore (t,t ) si ice shift vector Solitamente tutte le trasformaioni vengono escritte utiliano la più comoa notaione matriciale: ' ' ' T t t ' T T Fig - er traslare oggetti più complessi, si applica la traslaione a ogni punto caratteriante l oggetto: a esempio per un segmento si applica ai suoi estremi, per una speata a tutti i suoi punti, per una circonferena al centro; quini si riisegna l oggetto con i nuovi punti. Rotaione Si applica una rotaione spostano un oggetto lungo un percorso circolare. La rotaione è specificata a un angolo i rotaione θ e a un punto ( r, r ), etto pivot point, attorno al quale avviene la rotaione. (Fig -.a) Fig -.a Fig -.b (, ) r θ r θ r (,) ϕ r Calcoliamo per prima cosa le equaioni per la rotaione i un punto (,) quano il pivot point è l origine (Fig -.b). Sia r la istana el punto all origine, usano la trigonometria: () ' r cos ' r sen ( ϕ θ ) ( ϕ θ ) r cosϕ cosθ r senϕ senθ r cosϕ senθ r senϕ cosθ 4

15 Le coorinate originali el punto possono essere espresse attraverso r: () r cosϕ sostitueno la () in () r senϕ ' cosθ senθ ' senθ cosθ che in notaione matriciale iventa: ' R cosθ R senθ senθ cosθ R si ice matrice i rotaione. l caso più generale con pivot point qualsiasi è illustrato in Fig -3: Fig -3 r θ ϕ ' r ( r )cosθ ( r )senθ ' r ( r )senθ ( r )cosθ r Esistono metoi migliori per esprimere una rotaione in termini matriciali piuttosto che traurre questa formula, lo veremo in seguito. Come per la traslaione, la rotaione i un oggetto complesso avviene ruotano ogni suo punto caratteristico e riisegnano l oggetto. Scalamento Lo scalamento altera le imensioni in un oggetto; tale operaione può essere applicata a un poligono moltiplicano i suoi vertici per ue fattori i scalamento s, s. ' s ' s ' S S s s ove S si ice matrice i scalamento. Con s i < si riuce la imensione, mentre con s i > la si aumenta; con s s si ha uno scalamento uniforme che non altera l aspetto ell oggetto nel senso che mantengono le proporioni. Applicano le scalamento in questo moo si ottiene anche un riposiionamento, infatti l oggetto viene avvicinato (s i < ) o allontanato (s i > ) all origine. E possibile controllare la posiione ell oggetto efineno un punto, etto punto fisso ( f, f ), che rimane invariato urante lo scalamento. Un poligono viene unque scalato rispetto al punto fisso, scalano le istane ei suoi vertici rispetto a tale punto: ' f ( f ) s ( s) f s ' f ( f ) s ( s ) f s Anche in questo caso sarà utile la riformulaione matriciale che veremo in seguito. er oggetti iversi ai poligoni, lo scalamento si ottiene scalanone i parametri che li efiniscono: a esempio una circonferena si scala, scalano il suo raggio. 5

16 Coorinate omogenee Spesso è utile avere sequene i trasformaioni: si pensi a esempio all animaione i un oggetto in una scena che ruota e trasla. E possibile riveere la preceente formulaione matriciale in moo a renere più efficiente l elaboraione. n generale una qualsiasi elle preceenti trasformaioni può essere espressa come: M M ( ) ove M, M sono ue matrici che eterminano la trasformaione: M matrice con i fattori moltiplicativi M vettore colonna con gli elementi i traslaione er prourre una sequena i trasformaioni usano questa formula è necessario calcolare le coorinate un passo alla volta. Es. scalamento rotaione traslaione le coorinate vengono scalate, poi le coorinate scalate sono ruotate e infine traslate. Un moo più efficiente sarebbe poter ottenere le coorinate finali irettamente a quelle iniiali, eliminano i calcoli per le coorinate intermeie. er fare questo bisogna riformulare la ( ) in moo a eliminare il termine aitivo. E possibile combinare le matrici moltiplicativa e traslaionale in una sola matrice espaneno alla rappresentaione a una 3 3. Si associa a ogni punto i coorinate cartesiane (,) una rappresentaione in coorinate omogenee ( h, h,h) tale che: h h h h Con h un qualsiasi valore non nullo; una scelta conveniente h, allora la rappresentaione in coorinate omogenee el punto (,) è (,,). Altre scelte el parametro h veremo che saranno utili quano esteneremo il iscorso alle trasformaioni 3D. l termine coorinate omogenee è usato in matematica per riferirsi all effetto che tale rappresentaione ha sulle equaioni: passano a (,) a ( h, h,h) una equaione f(,) iventa omogenea nei tre parametri h, h,h. Utiliano le coorinate omogenee possiamo esprimere le trasformaioni i base come moltiplicaioni i matrici: Traslaione ' t ' t T ( t, t ) ' T ( t, t ) 6

17 7 Rotaione attorno all origine Scalamento Trasformaioni composte Con la rappresentaione omogenea possiamo costruire matrici i trasformaione calcolano il prootto elle matrici i base. Es. ue traslaioni (t, t ) e (t, t ): T(t, t ) {T(t, t ) } {T(t, t ) T(t, t )} T composta Es. rotaione attorno a un punto qualsiasi: ) Trasliamo l oggetto in moo che il pivot point coincia con l origine ) Ruotiamo l oggetto 3) Ritrasliamo l oggetto in moo che il pivot point torni al suo posto originale Se confrontate, questa rotaione matriciale, con la forma estesa trovata in preceena, si può veere che sono uguali. Alcune proprietà: A B C (A B) C A (B C) cos sen sen cos ' ' ) ( R θ θ θ θ θ R ) ( ' θ ) ( ) ( ' ' ),, ( s s s s f s s S f f s s S f ),, ( ' t t t t t t t t Fig -4 r r sen ) cos ( cos sen sen ) cos ( sen cos cos sen sen cos ), ( θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ r r r r r r r r r R

18 A B B A Trasformaione generica La trasformaione D generica è unque espressa a una matrice 3 3 ella forma: ' rs ' rs rs rs trs trs rs ij sono i termini moltiplicativi i rotaione/scalamento. trs sono i termini i traslaione contenenti combinaioni i istane i traslaione, pivot point coorinates, angoli i rotaione e parametri i scalamento. Benchè una matrice 3 3 richiea in generale nove moltiplicaioni e sei aiioni, il calcolo esplicito in questo caso: ' rs ' rs richiee solo quattro moltiplicaioni e quattro somme. Questo è il numero massimo i elaboraioni richieste per qualsiasi trasformaione una volta costruita la matrice. Sena la notaione omogenea e oveno fare tutti i calcoli uno alla volta, i tempi i elaboraione risultano incomparabilmente più elevati. Trasformaione tra sistemi i coorinate rs rs trs trs Alcune volte le escriioni egli oggetti sono ate in sistemi i coorinate non cartesiane (a esempio polari) per conveniena; per arrivare alla visualiaione è comunque necessaria una conversione. Altre volte sono necessarie trasformaioni tra ue sistemi cartesiani: a esempio un programma CAD per l arreamento può avere i singoli elementi (seie, tavoli, ) escritti in un sistema locale per ogni elemento che eve essere però trasformato in quello comune quano si costruisce la scena. Consieriamo solo le trasformaioni tra ue riferimenti cartesiani, che rappresenta il caso più semplice. v Fig -5 θ er passare alla escriione i una scena nel riferimento (,) al riferimento (, ) è necessario: ) Traslare in moo che l origine (, ) el sistema (, ) vaa a coinciere con l origine i (,) ) Ruotare in moo che l asse vaa a coinciere con l asse. M, R(-θ)T(-,- ) 8

19 Aliasing & Antialiasing Quano visualiiamo una linea sullo schermo, non veiamo un tratto continuo, ma una scalettatura quini qualsiasi immagine rappresentata su schermo non potrà essere continua, nasce unque la necessità i campionare una immagine perché questa possa essere visualiata. l segnale continuo può contenere variaioni a frequene infinite, unque nell operaione i campionamento una parte i informaione può essere persa (vei Fig. 4.8). L obbiettivo è fare in moo che la quantità i informaione persa sia la minima possibile. f(, α) CAMONAMENTO Fig 4- Campionamento per punti l metoo più immeiato per eterminare il valore i ciascun punto ello schermo è quello i seleionare un punto ell immagine per ogni piel e assegnarvi il valore el segnale. n questo moo però alcune importanti caratteristiche el segnale possono anare perse (vei Fig. 4.). Un moo per risolvere il problema è quello i aumentare il numero i campioni; comunque può accaere che qualcosa non sia assolutamente visto. Un altro moo è mantenere invariato il numero i piel, ma campionare con più punti, in moo che a ogni piel sia associato il valore ella funione in più punti, questo metoo prene il nome i sovracampionamento. Rimane comunque un problema: quanti punti si evono prenere? Come si fa a sapere che non lasciano 9

20 fuori altre caratteristiche? E necessario avere un metoo per stabilire la sufficiena el numero i punti scelto. La teoria el campionamento rispone a queste omane, purtroppo per molti segnali la risposta è: un numero infinito! Campionamento per aree non pesato L iea è i suiviere il ominio el segnale in iverse aree centrate su ogni piel, in moo a coprire l intera immagine. l segnale viene integrato su ogni area e il valore ottenuto viene associato ai piel. ntp ij f ( ) A, A A: area sottoimmagine i j Fig 4- j n questo moo ogni oggetto contenuto nell immagine, per quanto piccolo, contribuisce all intensità i almeno un piel in moo proporionale alla quantità i area el piel che copre (vei Fig. 4.); rispetto al campionamento per punti nessun oggetto è tralasciato.

21 L inconveniente i questa tecnica è che non tiene conto ella posiione ell oggetto all interno ell area el piel. Le ue figure sono rappresentate ientiche anche se nella prima l oggetto è molto più vicino al punto meio. Quini l oggetto può essere ovunque all interno ell area i campionamento sena causare cambiamenti, solo quano si trova sopra la linea i ivisione tra ue aree fa variare l intensità. E possibile allora pesare il contributo el piel Fig 4-3 secono la sua posiione all interno ell area; a esempio pesano maggiormente gli oggetti al centro rispetto a quelli che si trovano alla periferia. L effetto può essere ottenuto effettuano il campionamento con una funione piramiale (vei Fig. 4.), la misura ell intensità el piel sarà: ntpij pr ( ij, ij ) f (, ) i A A Esiste comunque un altro problema: un oggetto contribuisce all intensità el solo piel che lo contiene, sena influenare gli altri aiacenti. Le ue situaioni vengono visualiate ientiche, anche se nei ue casi l oggetto è più vicino a piel iversi, questa informaione viene persa. er eliminare il problema bisogna aumentare le aree i integraione ei piel in moo che vaano a sovrapporsi nelle periferie, in questo moo un oggetto influena simultaneamente sai il piel che lo contiene, sia gli aiacenti. Fig 4-4 Questo effetto è ottenibile impiegano una funione i campionamento conica (vei Fig. 4.3), l intensità el piel può essere espressa come: ntpij pr ( ij, ij ) f (, ) i S S

22 Teoria el campionamento l segnale nel ominio ello spaio, che abbiamo efinito per rappresentare una immagine, può essere rappresentato anche nel ominio ella frequena, possiamo unque riguarare il segnale immagine come somma i funioni sinusoiali (vei Fig. 4.4). La funione f(, ) i una immagine può essere vista come una funione che assume valori non nulli solo in una regione finita ello spaio, ma in tal caso il suo spettro sarà continuo. Oppure possiamo riguararla come un perioo i una funione perioica che si ripete sempre uguale su tutto lo spaio, in questo moo il suo spettro iviene iscreto. l passaggio al ominio el tempo a quello ella frequena, e viceversa, avviene tramite la trasformata e antitrasformata i Fourier (vei Fig. 4.5). l teorema el campionamento ice che una funione può essere completamente (sena perite i informaione) rappresentata a un insieme i suoi campioni se questi vengono rilevati con una frequena almeno oppia rispetto alla massima frequena f h el segnale: f c > f h (Nquist rate). Se si campiona a una frequena minore si hanno effetti i aliasing in cui le alte frequene vengono scambiate per basse frequene (vei Fig. 4.7).

23 Filtraggio Segnali con iscontinuità possieono uno spettro infinito, occorre quini filtrare le immagini in moo a eliminare le frequene più elevate; più frequene si eliminano e più bassa può essere la frequena i campionamento, per contro il segnale sarà meno simile all originale. L effetto el filtraggio è quello i una perita ei ettagli più fini ell immagine (vei Fig. 4.); in particolare il filtraggio nel ominio ella frequena corrispone a una moltiplicaione per un impulso, mentre nel ominio spaiale corrispone alla convoluione el segnale con la trasformata ell impulso. Tale funione è conosciuta con il nome i sinc (vei Fig. 4.3), che però è una funione non nulla in tutto lo spaio, quini è necessario un troncamento che porta al fenomeno i Gibbs (vei Fig.4.4). Un altro problema è il fatto che la sinc possiee ei lobi negativi che possono, opo la convoluione col segnale, portare a elle intensità negative nell immagine che non possono essere visualiate. Tipicamente, al posto elle sinc, si utiliano altri tipi i funione meno ispeniose come a esempio sinc e gaussiane (vei Fig. 4.5). 3

24 Quini il problema el filtraggio è stato riotto alla convoluione con un filtro e al successivo campionamento el nuovo segnale. Siccome il nostro solo uso el segnale filtrato è quello i campionarlo, è inutile eseguire tutta la convoluione e poi campionare, basta calcolare l integrale i convoluione sui punti i campionamento; questa è l operaione che abbiamo visto presentano la tecnica el campionamento per aree pesato. 4

25 5

26 Ricostruione Supponiamo i aver campionato f() con una frequena i campionamento f s e i aver ottenuto il segnale campionato f ˆ( ), la teoria el campionamento ci ice che lo spettro i f ˆ ( ) è ientico a quello i f() replicato infinite volte (vei Fig. 4.6). er ricostruire il segnale si usa un filtro che seleioni solo una elle repliche ello spettro i f() (vei Fig 4.7 e 4.8). 6

27 7

28 8

29 Gupta.Sproull Antialiase Lines L algoritmo G-S per le linee precalcola il volume i una funione filtro normaliata efinita a linee a varie istane al centro el piel e li memoria in una tabella. Usiamo un area i piel con raggio uguale a una unità (pari alla istana tra ue piel successivi). D D: istana piel-linea t: costante ella linea che ne inica lo spessore n questo moo l area i ogni piel copre in parte anche l area ei piel aiacenti. t Fig v B φ M D φ v A Fig 4-6 Si utilia la funione Filter(D, t) per trovare il valore el volume precalcolato, essa ipene alla forma el filtro scelto. Filter D, t f (, ), ( ) ( ) S f(, ): forma el filtro; (, ): immagine M: punto meio fra A eb b ossiamo riscrivere l algoritmo i Bresenham in moo a c che tenga conto ell antialiasing. D er eciere tra il punto A o il B (vei Fig 4-6) usiamo la variabile i ecisione ell algoritmo i Bresenham, t ma poi eciiamo l intansità el punto e ei suoi vicini sulla base ella loro istana alla retta. S:quarilatero abc Fig 4-7 v D vcosφ Come si può veere in Fig 4-6, v è la istana verticale tra la linea e il piel, il piel sopra quello scelto avrà una istana verticale -v, mentre quello sotto v. Non si vuole calcolare a ogni passo v, ma per risparmiare tempo tentiamo i esprimere D in funione el parametro ecisionale p. M B Q A Fig 4-8 retta: a b c Definiamo la funione i ecisione: f(,) (a b c) Dato un punto γ: f(γ) se γ è sulla linea > se γ è sopra la linea < se γ è sotto la linea L algoritmo i scelta va a calcolare il valore ella funione i ecisione nel punto meio M e utilia tale valore come parametro i ecisione. 9

30 3 c b a f M f p ) (, ) ( Se p > il prossimo punto sarà A Se p il prossimo punto sarà B Ricaviamo la versione incrementale el parametro: ) ( ) ( ) ( b a p p c b a p c b a p ( ) b a p p n particolare se al passo scegliamo il punto: A p p a B p p a b er ritrovare il risultato visto urante la spiegaione i Bresenham: a b c m (a/-b) c/-b a/-b m / a e b - m / quini se al passo si sceglie: A p p B p p - La strategia è quella i utiliare p al posto i v per il calcolo i D. ( ) ( ) v b c a bv b c b a v v è il numeratore i D, mentre la quantità fra moulo è la f(, ); ora istinguiamo in ue casi: Se il punto scelto è A: ) ( ) ( ), ( p D p b p v c b b a c b a f v

31 Se il punto scelto è B v v f (, ) a( b p p D ) b( L algoritmo scritto in linguaggio C è il seguente: voi nt_iel(int, int, float ist) { float ; ) c a( p ) b b c } Filter(ist); setiel(,, ); voi linebres_antialiasing (int a, int a, int b) { int abs (a -b), abs (a- b); int * - ; int twod *, twodd * (- ) ; int,, En; int _v_ ; float-invden /(*sqrt(* * )); float invden **invden; /* Determine which point to use as start, which as en */ if (a > b) { b; b; En a; } else { a; a; En b; } nt_iel(,, ); nt_iel(, l, invdev); nt_iel(, -l, invdev); while ( < En) { ; f (p < ) { _v_ p ; p twod; } else { ; _v_ p -; p twodvd; 3

32 } } } nt_iel (,, _v_*invden); nt_iel (,, invden _v_*invden); nt_iel (, -, invden _v_*invden); 3

33 Clipping Gli algoritmi i clipping sono quelle proceure in grao i ientificare le porioni i una immagine che si trovano entro o fuori a una etreminata regione i spaio etta clip winow. Le applicaioni el clipping sono molto importanti: ientificaione elle superfici visibili nel 3D, visualiaione in ambienti multifinestra, operaioni per cop, moving erasing, Nel winowing si usa il clipping per visualiare solo la parte i immagine nella winow. oint Clipping Supponiamo che la clip winow sia un rettangolo in posiione stanar; un punto (, ) viene salvato solo se: w,min w,ma w,min w,ma se anche una sola isuguagliana non viene soisfatta, allora il punto viene clippato (non si visualia). Non si opera punto per punto perché verrebbe un operaione troppo lunga quini si passa al: Line Clipping Una proceura i line clipping è costituita a varie parti:. Si testa se una eterminata linea è completamente contenuta nell area i clipping. Se non è completamente contenuta, allora si testa se è completamente esterna all area 3. Se non è né fuori né entro completamente, allora è necessario eseguire le operaioni per eterminare le interseioni tra linea e i bori ell area i clipping CLNG Fig 6-5 Data una linea con estremi (, ) e (, ), la sua rappresentaione parametrica è: u u ( ) ( ) con u Usano tale rappresentaione è possibile eterminare i valori i u per i quali la linea intereseca i limiti ell area i clipping, se tali valori i u [, ] allora la linea non interseca la regione i clipping, altrimenti si ientificano i lati ella regione attraversati alla linea. Questo semplice metoo richiee una grane quantità i calcoli, consieriamo quini altri metoi più veloci. 33

34 Cohen-Sutherlan Line Clipping Questo metoo velocia la proceura i clipping esegueno ei test iniiali che permettono i riurre il numero i calcoli per le interseioni. A ogni estremo i linea viene assegnato un coice binario i quattro cifre, chiamato region coe che ne ientifica la posiione rispetto ai lati ella ona i clipping: vma clipping area vmin Fig 6-6 vmin vma Ogni bit nel coice inica una elle quattro posiioni relative rispetto all area i clipping: sinistra, estra, sopra, sotto. bit4 bit3 bit bit alto basso estra sinistra valori ei bit per un estremo E (, ) vengono calcolati confrontano le sue coorinate con i lati ell area i clipping. bit se < vmin bit se > vmac bit3 se < vmin bit4 se > vma Dopo aver calcolato il region coe per ogni estremo, risulta semplice ientificare le linee completamente contenute nella regione i clipping e alcune i quelle che sono completamente fuori. Le linee che hanno un region coe per entrambi gli estremi sono quelle completamente contenute, le linee che hanno un nella stessa posiione, nel region coe, sono certamente completamente esterne all area i clipping. Tutte le linee che non appartengono a questi ue insiemi potrebbero essere parialmente interne alla regione, per esse è unque necessario eseguire il calcolo elle interseioni. er far questo si iniia confrontano uno ei suoi estremi esterni alla regione con uno ei lati ella regione per eterminare quanta linea occorre eliminare. l proceimento viene eseguito con tutti i lati con la linea resiua. Winow Fig 6-7 Consieriamo la linea - e controlliamo con i vari lati e scopriamo che si trova sotto il lato basso troviamo l interseione tra il lato basso e la linea il tratto - può essere eliminato e la linea rimanente è -. oiché è esterno alla regione, ne ientifichiamo la posiione scopreno che si trova in alto a sinistra, allora calcoliamo l interseione tra il lato sinistro e la linea. Siccome è ancora esterno alla regione e si trova in alto, troviamo l interseione tra la linea e il lato alto, Ora il tratto può essere eliminato e viene tracciato solo il segmento -. Consieriamo ora la linea 3-4 : 3 è esterno e si trova a sinistra troviamo l interseione 3 tra la linea e il lato sinistro, quini eliminiamo il tratto 3-3. L altro estremo 4 è esterno e 34

35 controllano i region coe i 3 e 4 scopriamo che il tratto è completamente esterno e unque va eliminato. Veiamo come poter calcolare i punti i interseione fra la linea a visualiare e i lati ella regione, ata la retta con estremi (, ) e (, ), il calcolo ella coorinata el punto i interseione con un lato verticale vale: m( ) Analogamente la coorinata el punto i interseione con un lato oriontale vale: m Nella seguente pagina è presente l algoritmo in linguaggio C. Liang-Bars Line Clipping L algoritmo si basa sull analisi ell equaione parametrica el segmento: u u con u scriviamo anche le coniioni i clipping in forma parametrica: v min v min u u v ma v ma che possono essere scritte anche come: u u u u v ma v min v ma v min u v ma u v u v ma u v Le relaioni hanno tutte la forma: min min ove: p - q vmin p q vma p 3 - q 3 vmin p 4 q 4 vma - up q con,, 3, 4 Ogni linea parallela a uno ei lati ell area i clipping ha p per il valore i corrisponente al lato in questione: sinistra, estra, 3 basso, 4 alto. Se inoltre, per tali, si ha q < allora la linea è completamente esterna e può essere eliminata immeiatamente, mentre se q allora la linea è interna al lato consierato. 35

36 Se p < la linea va all esterno verso l interno el lato. Se p > la linea va all interno verso l esterno el lato. Quano p possiamo calcolare il valore i u che corrispone al punto i interseione: u q /p er ogni lato calcoliamo il valore r q /p Definiamo u e u i valori che eterminano la parte i linea che si trova all interno ell area i clipping: u ma {, r q /p con p < } u min {, r q /p con p > } Esempio: (4) r 4 () u () u r r r 3 (3) u Fig 6-9 u ma {, r, r 3 } r 3 u min {, r, r 4 } r Se u > u allora la linea è completamente esterna alla regione, altrimenti i ue estremi elle linee vengono calcolati ai ue valori i u. r 4 (4) () () u r 3 r u u r u ma {, r 4, r } r u min {, r 3, r } r 3 Se u > u allora la linea è completamente esterna. Fig 6-36

37 Generalmente l algoritmo i Liang- Bars è più efficiente i quello i Cohen-Sutherlan poiché il calcolo elle interseioni è riotto. 37

38 3D object representation l metoo i rappresentaione più utiliato per escrivere oggetti 3D utilia un insieme i superfici poligonali che racchiuono l interno ell oggetto. sistemi grafici memoriano tutti gli oggetti i una scena con questo sistema che semplifica e velocia la fase i renering egli oggetti stessi, ovvero la loro immagine a un certo punto i vista, poiché si evono maneggiare sono superfici escritte a equaioni lineari. La escriione a poligoni è esatta solo in alcuni casi, come a esempio con i polieri, ma normalmente è solo una approssimaione, tanto migliore quanto più piccoli e numerosi sono i poligoni utiliati. olgon Table Un poligono viene specificato con un insieme i vertici e egli attributi. Tali informaioni sono memoriate in tabelle che vengono consultate urante le elaboraioni. Tali tabelle sono organiate in ue gruppi: geometric tables attribute tables Le prime contengono le coorinate ei vertici e i parametri pre eterminare l orientaione el poligono; le secone contengono quantità escrittive ell aspetto materiale el poligono: grao i trasparena, riflettività, teture. Una organiaione possibile è la seguente: V E6 E V5 E5 V E V3 E4 V4 Verte Table Contiene le coorinate i ogni vertice: V:,, V:,, V3: 3, 3, 3 V4: 4, 4, 4 V5: 5, 5, 5 38

39 Ege Table Contiene ei puntatori alla Verte Table per ientificare tutti i lati ei poligoni: E: V, V E: V, V3 E3: V3, V E4: V3, V4 E5: V4, V5 E6: V5, V olgon Table Contiene ei puntatori alla Ege Table per ientificare tutti i poligoni in base ai loro lati: : E, E, E3 : E3, E4, E5, E6 n questo moo si ha un comoo sistema per riferirsi alle varie sottoparti (vertici, lati e poligoni) e si evita i uplicare l informaione sulle coorinate. L informaione nelle tabelle può essere aumentata per migliorare la velocità nell estraione elle informaioni: a esempio, nella Ege Table, per ogni lato, si può aggiungere un puntatore alla olgon Table per associare ogni lato al poligono i appartenena: Ege Table E: V, V, E: V, V3, E3: V3, V,, E4: V3, V4, E5: V4, V5, E6: V5, V, Altre informaioni possono essere aggiunte per velociare la fase i renering ella scena in funione egli algoritmi utiliati. L informaione contenuta nelle tabelle eve essere consistente, per questo i programmi eseguono una serie i controlli sulle escriioni su cui evono lavorare: ogni vertice eve far parte i almeno ue lati ogni lato eve far parte almeno i un poligono ogni poligono eve essere chiuso ogni poligono eve avere almeno un lato coniviso ogni lato riferito a un poligono eve avere un puntatore a tale poligono Equaioni el piano er prourre una visualiaione i un oggetto 3D i ati ella sua rappresentaione poligonale evono essere elaborati attraverso varie proceure: 39

40 trasformaione ella escriione ell oggetto alle coorinate ella scena (coorinate mono) alle coorinate ella finestra i visualiaione (vista) trasformaione nelle coorinate el ispositivo ientificaione elle superfici visibili applicaione elle proceure i renering er questi proceimenti è necessario isporre elle informaioni sull orientaione spaiale elle superfici che compongono l oggetto. Tali informaioni si possono ottenere alle equaioni el piano i ogni poligono: A B C D valori A, B, C, D si ottengono risolveno un sistema i equaioni costruito applicano la preceente espressione a tre punti non collineari el piano che si vuole escrivere. A esempio a tre ei suoì vertici: (,, ), (,, ), (3, 3, 3). A B C D A B C D A3 B3 C3 D Tale sistema si risolve con la regola i Kramer: A, B, C, D Espaneno i eterminanti: A (-3) (3-) 3(-) B (-3) (3-) 3(-) C (-3) (3-) 3(-) D - (3-3) (3-3) 3(-) valori A, B, C, D sono calcolati per ogni poligono e memoriati nella struttura ati. Una elle quantità più importanti fornite a questi ati è il vettore normale al poligono: N (A, B, C) che può essere usato per efinire l orientaione el poligono nello spaio: 4

41 N (A, B, C) Dato che i poligoni efiniscono la superficie i un oggetto, è anche necessario poter istinguere tra le ue face el poligono: insie face e outsie face. Se i vertici el poligono sono specificati in senso antiorario, guarano la parte visibile in un sistema i coorinate estrorso, allora la ireione el vettore normale N va al lato interno a quello esterno. Veiamolo in un caso semplice: in senso orario abbiamo: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (3, 3, 3) (,, ) A (-)(-)(-) - N in senso antiorario: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (3, 3, 3) (,, ) A (-)(-)(-) N 4

42 L equaione el piano può essere usata anche per eterminare la posiione i un punto a(a, a, a) rispetto al poligono: se Aa Ba Ca D < allora a è all interno se Aa Ba Ca D > allora a è all esterno 4

43 3D Viewing Winowing Tipicamente in un pacchetto grafico l utente specifica COSA visualiare i una eterminata figura e DOVE visualiarlo. Chiamiamo winow un area a visualiare espressa in coorinate mono, mentre chiamiamo viewport l area sul ispla in cui la winow viene mappata, la winow efinisce COSA visualiare, mentre la viewport DOVE visualiarlo. Chiamiamo winowing transformation l operaione i mapping tra le coorinate mono e le coorinate el ispositivo vieo. w v w,ma v,ma w,min WNDOWNG v,min w,min w,ma w v,min v,mina v Coorinate mono Fig 6- Coorinate ispositivo niialmente si costruisce la scena in termini i coorinate mono usano le primitive grafiche, quini si efinisce un sistema i coorinate viewing nel piano elle coorinate mono (per ottenere una particolare orientaione) e si escrive la winow. Si trasforma la escriione isponibile in coorinate mono in una con le nuove coorinate, infine si può efinire la viewport in coorinate normaliate e mappare la scena nelle coorinate normaliate. Costruione scena in Conversione Mapping elle VC Mapping elle NVC MC coorinate mono WC WC VC VC in VC normaliate NVC nelle coorinate el DC uso trasformaioni uso viewing transf. ispositivo su coor. moelli Device w v winow v inipenent viewport L uso i coorinate normaliate permette i mantenere il pacchetto grafico separato al ispositivo fisico in molte elle sue parti. Dato il sistema i coorinate mono (WC) seleioniamo una origine (, ) per il sistema i coorinate i visualiaione (VC), stabiliamo inoltre l orientaione el nuovo sistema i coorinate. Un moo per farlo è quello i efinire un vettore V chiamato view up vector che 43

44 inica l asse v, ato V si calcolano le componenti el vettore normaliato v (v, v ) per l asse e el vettore normaliato u (u, u ) per l asse el sistema normaliato (NVC). Tali vettori vengono usati per costruire la matrice i rotaione R che allinea il sistema VC con il sistema MC, mentre la matrice T trasla il punto nell origine el sistema i coorinate mono. w v La trasformaione D che converte le coorinate mono nelle coorinate i visualiaione è: T M wc, vc R T v R w Nel D viewing si trasferiscono le posiioni el piano elle coorinate mono alle posiioni ei piel nel piano el ispositivo i uscita. Usano i concetti i winow e i viewport, si mappa la scena alle coorinate mono alle coorinate el ispositivo applicano i proceimenti i clipping per visualiare solo il contenuto ello viewport. Nel 3D la situaione risulta più complicata, infatti bisogna tenere conto che una scena può essere vista a molteplici punti i vista; inoltre la escriione 3D ella scena eve essere proiettata sulla superficie piana el ispositivo i uscita; infine la regione i clipping sarà un volume nello spaio. Viewing pipeline passi per ottenere la generaione i una scena 3D in un sistema computeriato sono simili alle aioni che si fanno per eseguire una fotografia. ) Si posiiona la macchina in un certo punto ello spaio ) Si ecie una certa orientaione ella macchina 3) La scena è tagliata alla apertura ell obbiettivo Consieriamo i passi generali per convertire una scena escritta in coorinate mono in una scena per le coorinate el ispositivo. Moeling Transforma tion Viewing Transforma tion rojection Transforma tion Device Transforma tion Oggetti escritti Scena escritta Scena escritta Scena escritta Scena escritta con coor. el nelle coorinate nelle coorinate nel piano i nelle coor el loro moello mono i visualiaione proieione ispositivo Fig - l sistema i coorinate i visualiaione è usato nei pacchetti grafici come riferimento per specificare la posiione ell osservatore e el piano i proieione. Gli oggetti fuori ai limiti i visualiaione vengono clipeati, mentre gli altri oggetti verranno elaborati per l ientificaione elle superfici visibili e per la creaione elle superfici (renering). 44

45 Viewing coorinates La vista i una scena 3D viene eterminata attraverso la posiione spaiale, l orientaione e l apertura ell osservatore. w v v w v er prima cosa si stabilisce il sistema i coorinate i vista, subito opo si specifica il piano i proieione come perpenicolare all asse i visualiaione; tale piano può essere riguarato come la pellicola ella macchina fotografica. w Fig - er stabilire il sistema i visualiaione si specifica un punto nello spaio mono (punto i vista ) che sarà l origine el nuovo sistema i riferimento, poi si seleiona la ireione positiva ell asse specificano la normale al piano i visualiaione N. Tale normale si inica specificano un altro punto, la normale sarà iniviuata a tale punto rispetto all origine elle coorinate mono (GKS, HGS) o rispetto all origine elle coorinate i visualiaione (GL). w w w v N v w w v w (,,) (,,) w w w loo-at-point Fig -3 può essere visto come il punto in cui si vuole fotografare (se è vicino o entro alla scena) oppure come il punto in cui si vuole porre la macchina fotografica. nfine si sceglie la ireione up specificano un vettore V chiamato view-up.vector, che efinisce la ireione positiva ell asse v. Utiliano V e N il pacchetto grafico calcola il tero vettore U, perpenicolare sia a N che a V, che efinisce l ultimo asse v. w V N v v w Solitamente, ata la ifficoltà i scegliere V perpenicolare a N, l utente specifica un V inicativo e il programma grafico aggiusta tale vettore in maniera a eterminare v nel piano perpenicolare a N. Questo è molto più semplice che richieere un V perfettamente perpenicolare a N. w Fig -4 programmi grafici permettono poi all utente i scegliere la posiione el piano i visualiaione lungo l asse v specificano una eterminata istana all origine. La proieione egli oggetti sul piano i visualiaione corrispone alla scena che verrà visualiata sul ispositivo i uscita. er ottenere una serie i viste i una scena, è possibile fissare e utiliare molte ireioni i N. Questo corrispone alla generaione i iverse scene come se noi girassimo attorno al punto i origine. 45

46 46 ( ) ( ) ( ),,,,,, n n n v v v u u u R v v v v n v u u u N V N V u n n n N N n Se invece si vuole veere l effetto i una telecamera che si muove lungo una scena obbiamo fissare N e far variare. Trasformaione tra le coorinate mono e le coorinate viewing rima i poter calcolare le proieioni egli oggetti sul piano i visualiaione, essi evono essere escritti nelle coorinate i viewing: ) Traslare il punto i vista nell origine elle coorinate mono ) Applicare una rotaione che allinei gli assi v, v, v con gli assi elle coorinate mono. Se il punto i vista è nella posiione (,, ), allora la matrice i traslaione sarà: Se N in generale non è allineata con nessuno egli assi mono, allora l operaione i rotaione ) richiee una composiione i matrici i rotaione: R R R R Alternativamente si possono calcolare i versori u, v, n e costruire irettamente la matrice i rotaione. Dati N e V: V N N N Fig -5 T w v v w w v v v w w w v v v w w w Fig -6

47 nfine la matrice i trasformaione worl-to-viewing sarà: M wc,vc R T roieioni Gli oggetti 3D ella scena evono essere proiettati nel piano i visualiaione per poter essere rappresentati su un ispositivo i uscita D. Esistono ue metoi i proieione i base: roieione parallela: le coorinate elle varie sono portate sul piano i visualiaione lungo linee parallele. piano i visualiaione Le linee possono essere perpenicolari al piano e si parla i proieione ortogonale, se invece le linee sono oblique rispetto al piano si parla i proieione obliqua. Fig -7 roieione prospettica: le coorinate elle posiioni sono portate sul piano i visualiaione lungo linee convergenti in un punto chiamato centro ella proieione. Fig -8 piano i visualia. centro ella proieione La proieione parallela mantiene le proporioni relative egli oggetti e è il metoo usato per prourre rappresentaioni in scala egli oggetti 3D, tale rappresentaione, benchè accurata, non fornisce una apparena realistica ell oggetto 3D. La proieione prospettica, invece, prouce una visualiaione realistica, ma non mantiene le proporioni. Matematica elle proieioni Assumiamo che nelle proieioni prospettiche il piano sia perpenicolare all asse nel punto e che nelle proieioni parallele il piano sia in. Entrambe le proieioni possono essere efinite a una matrice 4 4. Sia (,, ) un punto a proiettare sul piano i proieione; vogliamo calcolare (,, ) che rappresenta la proieione prospettica i sul piano. 47

48 48 ( ) ( ) / / / ' M M Moltiplicano per si ottiene: La ivisione per è la causa per cui la proieione prospettica i oggetti più istanti risulta più piccola rispetto a quella i oggetti più vicini. La trasformaione è espressa alla matrice: Una formulaione alternativa pone il piano i proieione in e il centro ella proieione in -. La proieione ortogonale in un piano è banale. piano i proieione Fig -9 / / / M - - Fig - Fig -