Teoria delle leggi finanziarie. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

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1 Teoria delle leggi finanziarie

2 Inensià di ineresse L inensià di ineresse relaiva al periodo da x ad y è definia come adimensionale I( xy, ) 1 ixy (, ) γ ( xy, ) = = C y x ( dimensione di empo -1 ) L inensià di scono sullo sesso periodo è daa da Dxy (, ) 1 dxy (, ) = K y x ( dimensione di empo -1 )

3 Inensià di ineresse I (, + d) = M ( + d) M () I (, + d) ΔM () i (, + d) = = M () M() se dividiamo per l ampiezza dell inervallo di empo oeniamo l inensià di ineresse: ΔM () M () d

4 La forza di ineresse se consideriamo inervalli di empo infiniesimi: lim Δ M () 1 M( + d) M() = lim M () d M () d d 0 d 0 M '( ) r'( ) = = M () r() forza di ineresse o inensià isananea di ineresse o asso isananeo di ineresse (adimensionale)

5 La forza di ineresse poniamo: r'( ) δ () = = D[log r()] r () misura la sensibilià della funzione r alle variazioni emporali espressa in ermini di variazione percenuale per unià di empo

6 La forza di ineresse ΔM () M '() d M '( ) = M () d= M () δ () d M() ineresse δ () d rappresena l ineresse prodoo da un capiale uniario nell inervallo di empo d

7 La forza di scono d d 1 log [ r ( )] = log d d ν () d d = [ log1 log ν ( ) ] = log ν ( ) d d ν '( ) d σ () = = log ν () ν () d forza di scono o asso isananeo di scono

8 La forza di ineresse nei regimi finanziari Regime dell ineresse semplice d δ () = log1 ( + i) = d 1 + Funzione decrescene Regime dello scono commerciale d 1 1 δ () = log = ( 1 d) d d 1 d ( ) 2 1 d Funzione crescene i i ( ) = d 1 d

9 La forza di ineresse nei regimi finanziari Regime dell ineresse composo δ d d () = log1 i log1 i d + = d + ( ) ( ) Funzione cosane = log 1+ i ( ) Tasso isananeo

10 La forza di ineresse d δ () = log r() d d () sds log() rs ds log rs () ds 0 0 [ ] 0 δ = = = = r r = r () log ( ) log ( 0) log r ( 0 )

11 La forza di ineresse r () log = ( s) ds r ( ) δ 0 0 r () r ( ) 0 Per 0 =0: = exp δ ( s) ds 0 r () = exp δ ( sds ) 0 r () = r ( 0)exp δ () sds 0

12 La forza di ineresse r () = exp δ () sds 0 M () = Cr() = Cexp δ () s ds 0 La forza di ineresse caraerizza la legge di capializzazione ( ) 1 ν() = r() = exp δ( s) ds 0 P () = Kν() = Kexp δ() sds 0

13 La scindibilià x rxy (, ) z SE = rxzrzy (, ) (, ) y la legge di capializzazione si dice scindibile

14 Scindibilià Regime ineresse semplice rxy (, ) = 1 + iy ( x) rxz (, ) = 1 + iz ( x) rzy (, ) = 1 + iy ( z) [ 1 + iy ( x) ] [ 1 + iz ( x) ][ 1 + iy ( z) ] Legge NON scindibile NOTA: il faore di capializzazione dipende dalla duraa dell inervallo di empo

15 Scindibilià Regime di scono commerciale 1 rxy (, ) = 1 d( y x) 1 rxz (, ) = 1 d( z x) rzy (, ) Legge NON scindibile 1 = 1 d( y z) d( y x) 1 d( z x)1 d( y z) NOTA: il faore di capializzazione dipende dalla duraa dell inervallo di empo

16 Scindibilià Regime di capializzazione composa (, ) (1 ) y rxy = + i x (, ) (1 ) z rxz = + i x (, ) (1 ) y rzy = + i z y x y z+ z x y z (1 + i) = (1 + i) = (1 + i) (1 + i) rxy (, ) = rxzrzy (, ) (, ) Legge scindibile z x NOTA: il faore di capializzazione dipende dalla duraa dell inervallo di empo

17 Osservazione Una legge di capializzazione è uniforme se il faore di capializzazione (scono) dipende dalla duraa dell inervallo di empo, non dalla scela paricolare dell isane iniziale e di quello finale. In queso caso, se :=y-x, poniamo Tale legge è scindibile se f():=r(x,y) f ( s ) f ( ) = f ( s + )

18 Osservazione Le sole funzioni soddisfaceni l equazione funzionale di Cauchy sono le funzioni esponenziali. In paricolare, l unica soluzione del problema è la funzione esponenziale con δ reale. f ( s ) f ( ) = f ( s + ) f ( s ) f ( ) = f ( s + ) f (0) = 1 f ( ) = e δ

19 Osservazione La funzione f ( ) = e δ se δ è posiivo, rappresena il faore di scono nel regime esponenziale. Per quano osservao, la legge di capializzazione esponenziale è l unica legge uniforme e scindibile.

20 Monane di invesimeno e di proseguimeno x y z monane di invesimeno monane di proseguimeno Cν ( x, y) = C rxy (, ) Valore auale in x del capiale C disponibile in y Cr( y, z) C rxy (, ) rxz (, )

21 Monane di invesimeno e di proseguimeno Affinchè i due monani siano uguali deve essere: C Cr( y, z) = r( x, z) rxy (, ) rxyryz (, ) (, ) = rxz (, ) La legge di capializzazione è scindibile

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