Interesse, sconto, ratei e risconti

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1 TXT HTM PDF pdf P1 P2 P3 P4 293 Interesse, sconto, ratei e risconti Capitolo Interesse semplice Esercizio per il calcolo dell interesse semplice Verifica Formule inverse dell interesse Verifica Formule inverse del montante Verifica Sconto semplice» Sconto razionale Sconto commerciale Formule inverse dello sconto commerciale Verifica Confronto tra interesse e sconto semplici Ratei e risconti a2» anteprima --- Copyright Daniele Giacomini -- appunti2 ( ad) gmail com Edizione di prova Calcolo di un rateo Esercizio sul calcolo di un rateo Calcolo di un risconto Esercizio sul calcolo di un risconto Interesse semplice Quella che segue è la formula per il calcolo dell interesse semplice, dove C è il capitale investito, i è il tasso percentuale, t è l unità di tempo e I è l interesse maturato: Il tasso percentuale è riferito all unità di tempo: se si tratta di unità di un anno, il tasso deve essere annuo. Per esempio, un capitale di 1000,00 e, investito a un tasso annuo del 1 %, rende 10,00 e all anno. Si osservi che qui, un valore percentuale, si intende pari al valore numerico visibile, diviso 100. Pertanto, 1 % è pari a 0,01. Per calcolare l interesse semplice con un tasso di interesse che si riferisce a unità di tempo più grandi di quelle che si vogliono considerare, occorre tradurre il tempo in tali unità di misura. Per esempio, disponendo di un tasso di interesse annuo, si può calcolare l interesse di un certo numero di mesi dividendo il tempo per 12. Nella formula seguente, utilizzando un tasso annuo, il tempo esprime una quantità di mesi:

2 294 volume VIII Didattica in laboratorio Nella formula seguente, invece, utilizzando un tasso annuo, il tempo esprime una quantità di giorni e si intende che l anno sia composto da 365 giorni: Il montante, ovvero il valore futuro, è costituito dalla somma tra il capitale e gli interessi maturati alla fine del periodo; nella formula seguente viene rappresentato con la lettera M: Esercizio per il calcolo dell interesse semplice Si realizzi un foglio strutturato come si vede nella figura successiva, con gli stessi dati: Per il calcolo dell interesse, nella colonna E, la formula deve adattarsi al tipo di unità di misura usato per il tempo: nella colonna C appare la durata, ma nella colonna D appare una lettera che consente di determinarne l unità di misura. In pratica, si usa la lettera a» per indicare un

3 Interesse, sconto, ratei e risconti 295 tempo in anni, la lettera m» per indicare un tempo in mesi e la lettera g» per un tempo in giorni. Evidentemente, se il tempo è espresso in mesi, utilizzando un tasso di interesse annuo, il tempo corrispondente in anni si ottiene dividendolo per 12; nello stesso modo, se il tempo è espresso in giorni, il tempo corrispondente in anni lo si ottiene dividendolo per 365. È possibile fare questi calcoli sottoponendoli al controllo di una condizione: se nella colonna D appare la lettera a», il tempo rimane tale e quale; se appare la lettera m» il tempo va diviso per 12; se appare la lettera g» il tempo va diviso per 365. Ecco l espressione che potrebbe apparire nella cella E2: A2*B2*SE(D2="a";C2;SE(D2="m";C2/12;SE(D2="g";C2/365;0))) La funzione SE() si utilizza con la sintassi seguente: SE(condizione;valore_se_vero;valore_se_falso) Nell esempio mostrato vengono usate più funzioni SE() annidate, per valutare diverse condizioni assieme. Si può osservare che se nella colonna D non appare alcun contenuto previsto, il risultato complessivo dell espressione è zero Verifica Una volta concluso e salvato il lavoro descritto nella sezione precedente, lo si salvi nuovamente con un altro nome e lo si modifichi in modo da calcolare il montante alla fine del periodo: Una volta apportate le modifiche e salvato il file, si deve stampare il prospetto in forma normale, poi, lo si deve ristampare visualizzando le formule, la griglia delle celle, assieme alle intestazioni di riga e di colonna, per la correzione. Prima di stampare il prospetto con le formule in evidenza, si deve verificare nell anteprima di stampa che le formule inserite siano visibili, altrimenti è bene ridurre il carattere, fare andare a capo il testo o allargare le colonne.

4 296 volume VIII Didattica in laboratorio Formule inverse dell interesse Quando si cerca di trasformare le formule legate al calcolo dell interesse, per determinare altre componenti (diverse dall interesse o dal montante), conviene considerare il tempo come se fosse espresso sempre nella stessa unità prevista per il tasso di interesse: Se invece si vuole considerare il tempo in modo diverso rispetto al tasso di interesse, occorre moltiplicare o dividere t di conseguenza. Considerato che generalmente il tasso di interesse è annuale, se il tempo viene espresso in mesi o in giorni, la variabile t va divisa rispettivamente per 12 o per 365. Seguono le stesse formule inverse per un tasso annuale e un tempo espresso in mesi: Seguono le stesse formule inverse per un tasso annuale e un tempo espresso in giorni: Verifica Si realizzi un foglio simile a quello che appare nella figura successiva, dove la colonna E deve contenere delle formule per calcolare, rispettivamente, il capitale originale e il tasso di interesse annuo:

5 Interesse, sconto, ratei e risconti 297 Una volta salvato il file, si deve stampare il prospetto in forma normale, poi, lo si deve ristampare visualizzando le formule, la griglia delle celle, assieme alle intestazioni di riga e di colonna, per la correzione. Prima di stampare il prospetto con le formule in evidenza, si deve verificare nell anteprima di stampa che le formule inserite siano visibili, altrimenti è bene ridurre il carattere, fare andare a capo il testo o allargare le colonne Formule inverse del montante Valgono le stesse considerazioni fatte a proposito del tempo quando viene espresso in frazioni rispetto all unità usata per il tasso di interesse. Pertanto, se il tasso è annuo e il tempo si esprime in mesi o in giorni, la variabile t va divisa rispettivamente per 12 o per 365. Seguono le stesse formule inverse per un tasso annuale e un tempo espresso in mesi: Seguono le stesse formule inverse per un tasso annuale e un tempo espresso in giorni:

6 298 volume VIII Didattica in laboratorio Verifica Si realizzi un foglio simile a quello che appare nella figura successiva, dove la colonna E deve contenere delle formule per calcolare il capitale originale: Una volta salvato il file, si deve stampare il prospetto in forma normale, poi, lo si deve ristampare visualizzando le formule, la griglia delle celle, assieme alle intestazioni di riga e di colonna, per la correzione. Prima di stampare il prospetto con le formule in evidenza, si deve verificare nell anteprima di stampa che le formule inserite siano visibili, altrimenti è bene ridurre il carattere, fare andare a capo il testo o allargare le colonne Sconto semplice» Lo sconto rappresenta una somma da sottrarre a un certo valore futuro per determinarne il valore corrispondente nel presente. Lo sconto semplice» può essere calcolato in due modi: sconto razionale o sconto commerciale Sconto razionale Per il calcolo dello sconto razionale, si considera normalmente che la lettera C rappresenti il valore del capitale in un momento futuro; inoltre, la lettera V rappresenta il valore attuale razionale, che, se investito al tasso i percentuale per il tempo t che rimane fino al momento futuro in questione, genererebbe un montante pari a C stesso. Pertanto: Se lo sconto si indica con la lettera S, si ottiene che:

7 Interesse, sconto, ratei e risconti 299 Si ribadisce che lo sconto del valore futuro è pari all interesse semplice del valore attuale razionale: Se il tasso di sconto è annuo, ma il tempo considerato si riferisce a frazioni inferiori, occorre dividere il tempo in proporzione. Per esempio, le equazioni principali relative allo sconto razionale, con un tasso di sconto annuo e un tempo in mesi si trasformano così: Quando il tasso di sconto è annuo e il tempo è in giorni:

8 300 volume VIII Didattica in laboratorio Esercizio per il calcolo dello sconto razionale Si realizzi un foglio strutturato come si vede nella figura successiva, con gli stessi dati: Per il calcolo dello sconto razionale, nella colonna E, la formula deve adattarsi al tipo di unità di misura usato per il tempo: nella colonna C appare la durata, ma nella colonna D appare una lettera che consente di determinarne l unità di misura. In pratica, si usa la lettera a» per indicare un tempo in anni, la lettera m» per indicare un tempo in mesi e la lettera g» per un tempo in giorni. Evidentemente, se il tempo è espresso in mesi, utilizzando un tasso di interesse annuo, il tempo corrispondente in anni si ottiene dividendolo per 12; nello stesso modo, se il tempo è espresso in giorni, il tempo corrispondente in anni lo si ottiene dividendolo per 365. È possibile fare questi calcoli sottoponendoli al controllo di una condizione: se nella colonna D appare la lettera a», il tempo rimane tale e quale; se appare la lettera m» il tempo va diviso per 12; se appare la lettera g» il tempo va diviso per 365. Ecco l espressione che potrebbe apparire nella cella E2: (A2/(1+B2*SE(D2="a";C2;SE(D2="m";C2/12;SE(D2="g";C2/365;0)))))* B2 *SE(D2="a";C2;SE(D2="m";C2/12;SE(D2="g";C2/365;0))) La funzione SE() si utilizza con la sintassi seguente: SE(condizione;valore_se_vero;valore_se_falso) Nell esempio mostrato vengono usate più funzioni SE() annidate, per valutare diverse condizioni assieme. Si può osservare che se nella colonna D non appare alcun contenuto previsto, il risultato complessivo dell espressione è zero Verifica Una volta concluso e salvato il lavoro descritto nella sezione precedente, lo si salvi nuovamente con un altro nome e lo si modifichi in modo da calcolare il valore attuale razionale:

9 Interesse, sconto, ratei e risconti 301 Una volta apportate le modifiche e salvato il file, si deve stampare il prospetto in forma normale, poi, lo si deve ristampare visualizzando le formule, la griglia delle celle, assieme alle intestazioni di riga e di colonna, per la correzione. Prima di stampare il prospetto con le formule in evidenza, si deve verificare nell anteprima di stampa che le formule inserite siano visibili, altrimenti è bene ridurre il carattere, fare andare a capo il testo o allargare le colonne Sconto commerciale Lo sconto commerciale serve a determinare la riduzione di un valore futuro, in base a un tasso, per il tempo di anticipazione di tale valore. Il calcolo dello sconto commerciale avviene in modo diverso rispetto allo sconto razionale e il tasso di sconto ha così un significato differente rispetto a quello che si calcola invece per l interesse. Nella formule seguenti: C è il valore finale; Vc è il valore attuale commerciale; s è il tasso di sconto percentuale; Sc è lo sconto commerciale; t è il tempo di anticipazione. Se il tasso di sconto è annuo, ma il tempo considerato si riferisce a frazioni inferiori, occorre dividere il tempo in proporzione. Per esempio, le equazioni principali relative allo sconto commerciale, con un tasso di sconto annuo e un tempo in mesi si trasformano così:

10 302 volume VIII Didattica in laboratorio Quando il tasso di sconto è annuo e il tempo è in giorni: Esercizio per il calcolo dello sconto commerciale Si realizzi un foglio strutturato come si vede nella figura successiva, con gli stessi dati: Per il calcolo dello sconto commerciale, nella colonna E, la formula deve adattarsi al tipo di unità di misura usato per il tempo: nella colonna C appare la durata, ma nella colonna D appare una lettera che consente di determinarne l unità di misura. In pratica, si usa la lettera a» per indicare un tempo in anni, la lettera m» per indicare un tempo in mesi e la lettera g» per un tempo in giorni. Evidentemente, se il tempo è espresso in mesi, utilizzando un tasso di interesse annuo, il tempo corrispondente in anni si ottiene dividendolo per 12; nello stesso modo, se il tempo è espresso in giorni, il tempo corrispondente in anni lo si ottiene dividendolo per 365. È possibile fare questi calcoli sottoponendoli al controllo di una condizione: se nella colonna D appare la lettera a», il tempo rimane tale e quale; se appare la lettera m» il tempo va diviso per 12; se appare la lettera g» il tempo va diviso per 365. Ecco l espressione che potrebbe apparire nella cella E2: A2*B2*SE(D2="a";C2;SE(D2="m";C2/12;SE(D2="g";C2/365;0))) La funzione SE() si utilizza con la sintassi seguente: SE(condizione;valore_se_vero;valore_se_falso) Nell esempio mostrato vengono usate più funzioni SE() annidate, per valutare diverse condizioni assieme. Si può osservare che se nella colonna D non appare alcun contenuto previsto, il risultato complessivo dell espressione è zero.

11 Interesse, sconto, ratei e risconti Verifica Una volta concluso e salvato il lavoro descritto nella sezione precedente, lo si salvi nuovamente con un altro nome e lo si modifichi in modo da calcolare valore attuale commerciale: Una volta apportate le modifiche e salvato il file, si deve stampare il prospetto in forma normale, poi, lo si deve ristampare visualizzando le formule, la griglia delle celle, assieme alle intestazioni di riga e di colonna, per la correzione. Prima di stampare il prospetto con le formule in evidenza, si deve verificare nell anteprima di stampa che le formule inserite siano visibili, altrimenti è bene ridurre il carattere, fare andare a capo il testo o allargare le colonne Formule inverse dello sconto commerciale Quando si cerca di trasformare le formule legate al calcolo dello sconto commerciale, per determinare altre componenti (diverse dallo sconto o dal valore attuale), conviene considerare il tempo come se fosse espresso sempre nella stessa unità prevista per il tasso di sconto: Se invece si vuole considerare il tempo in modo diverso rispetto al tasso di interesse, occorre moltiplicare o dividere t di conseguenza. Considerato che generalmente il tasso di interesse è annuale, se il tempo viene espresso in mesi o in giorni, la variabile t va divisa rispettivamente per 12 o per 365. Seguono le stesse formule inverse per un tasso annuale e un tempo espresso in mesi: Seguono le stesse formule inverse per un tasso annuale e un tempo espresso in giorni:

12 304 volume VIII Didattica in laboratorio Verifica Si realizzi un foglio simile a quello che appare nella figura successiva, dove la colonna E deve contenere delle formule per calcolare, rispettivamente, il valore finale e il tasso di sconto annuo: Una volta salvato il file, si deve stampare il prospetto in forma normale, poi, lo si deve ristampare visualizzando le formule, la griglia delle celle, assieme alle intestazioni di riga e di colonna, per la correzione. Prima di stampare il prospetto con le formule in evidenza, si deve verificare nell anteprima di stampa che le formule inserite siano visibili, altrimenti è bene ridurre il carattere, fare andare a capo il testo o allargare le colonne Confronto tra interesse e sconto semplici Per mettere a confronto l andamento dell interesse semplice e quello dello sconto commerciale e razionale, si può realizzare uno schema come quello successivo, in cui le celle che producono un risultato attraverso delle formule hanno uno sfondo azzurro per essere riconoscibili. Si tratta del calcolo del montante nell arco di un anno; sul valore finale ottenuto si calcola il valore attuale, a ritroso, secondo la modalità dello sconto commerciale e di quello razionale. Utilizzando un tasso di interesse e di sconto esageratamente elevato, si mettono in evidenza le differenze tra i valori che si ottengono.

13 Interesse, sconto, ratei e risconti 305 Il montante, ovvero il valore futuro, è costituito dalla somma tra il capitale e gli interessi maturati alla fine del periodo; nella formula seguente viene rappresentato con la lettera M: Nella cella C3 si scrive una formula per calcolare il montante ottenibile nel primo mese, avendo cura di bloccare la riga nelle coordinate relative al capitale iniziale e al tasso, in modo da poter copiare tale formula nelle celle successive. L espressione da scrivere nella cella C3 è pertanto la seguente: =C$2+C$2*B$2*B3/12 Per il calcolo del valore attuale razionale, si considera normalmente che la lettera C rappresenti il valore del capitale in un momento futuro e la lettera V il valore attuale razionale, che, se investito al tasso i percentuale per il tempo t che rimane fino al momento futuro in questione, genererebbe un montante pari a C stesso. Pertanto:

14 306 volume VIII Didattica in laboratorio Nella cella D14 si mette la prima formula per il calcolo del valore attuale razionale, partendo dal montante ottenuto alla fine dell anno. Anche in questo caso, il riferimento al valore finale da attualizzare (il montante) e al tasso di sconto devono rimanere fissi, in modo da poter copiare la formula trascinandola in alto per le altre celle. Per il calcolo del tempo, a ritroso, si sottrae il valore della cella B14 da 12, così che copiando la formula si arrivi progressivamente a fare lo sconto dei mesi di differenza (logicamente, la prima volta si ottiene un tempo pari a zero, pertanto il valore attuale alla fine del periodo è uguale al montante che si sta scontando). =C$14/(1+A$2*(12-B14)/12) Il calcolo del valore attuale commerciale avviene in modo diverso rispetto allo sconto razionale e il tasso di sconto ha così un significato differente rispetto a quello che si calcola invece per l interesse. Nella formule seguenti: C è il valore finale; Vc è il valore attuale commerciale; s è il tasso di sconto percentuale; Sc è lo sconto commerciale; t è il tempo di anticipazione. Si procede in modo analogo compilando la formula del valore attuale commerciale nella cella E14, secondo la stessa modalità vista a proposito del valore attuale razionale: =C$14-C$14*(12-B14)/12*A$2 Dai valori calcolati con le formule si può osservare che il valore attuale razionale produce effettivamente un risultato inverso, ma solo all inizio del periodo complessivo preso in considerazione, mentre con il valore attuale commerciale si produce un valore inferiore al capitale originale, a parità di tasso. Con l aiuto di un grafico lineare è possibile evidenziare le differenze tra i due tipi di attualizzazione. Per produrre tale grafico occorre selezionare l area della zona B1:E14, quindi occorre specificare che la prima riga e la prima colonna della zona sono da utilizzare come didascalie.

15 Interesse, sconto, ratei e risconti Ratei e risconti Il rateo è la rilevazione (anticipazione) di una parte di costo o di ricavo di competenza dell esercizio che si chiude, quando questo si deve manifestare in un momento successivo. Sono ratei attivi le anticipazioni di ricavi che si manifestano successivamente alla chiusura dell esercizio; sono ratei passivi le anticipazioni di costi. Il risconto è la sospensione di una parte di costo o di ricavo di competenza dell esercizio successivo a quello che si chiude, quando questo si è già manifestato per intero in modo anticipato. Sono risconti attivi le sospensioni di costi per la quota che compete all esercizio successivo; sono risconti passivi le sospensioni di ricavi Calcolo di un rateo Nelle figure successive si descrive intuitivamente il calcolo di un rateo.

16 308 volume VIII Didattica in laboratorio Figura Un costo o un ricavo che riguarda un periodo a cavallo tra due esercizi, si manifesta in modo posticipato. Figura Manifestazione posticipata del costo o del ricavo. Figura Suddivisione del valore su tutto il suo periodo di competenza. Figura Determinazione del costo o del ricavo di competenza fino alla fine dell esercizio, in proporzione. Per calcolare un rateo occorre conoscere il valore che si manifesta posticipatamente, la durata

17 Interesse, sconto, ratei e risconti 309 di tempo a cui si riferisce tale valore, il periodo di competenza dell esercizio che si chiude. Figura Suddivisione delle durate in base alle competenze. Se D è la durata di tempo alla quale compete il valore che si manifesta posticipatamente, se d 1 è la porzione di competenza dell esercizio in chiusura, il valore del rateo si ottiene moltiplicando al valore in questione il rapporto d 1 /D: Per esempio, se un costo di 1000,00 e si manifesta posticipatamente il giorno 15 febbraio, ma riguarda un periodo che va dal 16 ottobre incluso, per determinare il rateo passivo di competenza dell esercizio che si chiude il 31 dicembre, occorre calcolare: la durata del periodo complessivo (123 giorni); il periodo di competenza dell esercizio che si chiude (77 giorni); il rapporto tra il tempo che compete all esercizio in chiusura e la durata di competenza del costo che si manifesta in forma posticipata (77/123). Il rateo si ottiene moltiplicando il rapporto trovato per il valore del costo posticipato: Esercizio sul calcolo di un rateo Un capitale di ,00 e è stato investito a un tasso annuo del 5 % che matura con rate quadrimestrali (posticipate), il giorno 17 di ottobre, di febbraio e di giugno. Si vuole sapere qual è il rateo attivo di competenza dell esercizio in chiusura al 31 dicembre, rispetto alla rata che vi si trova a cavallo: quella dal 18 ottobre (incluso) al 17 febbraio. Si eseguano i calcoli con l ausilio del foglio elettronico, rispettando il modello seguente, dove le cifre in corsivo rappresentano valori ottenuti attraverso delle formule:

18 310 volume VIII Didattica in laboratorio Calcolo di un risconto Nelle figure successive si descrive intuitivamente il calcolo di un risconto. Figura Un costo o un ricavo che riguarda un periodo a cavallo tra due esercizi, si manifesta in modo anticipato. Figura Manifestazione anticipata del costo o del ricavo.

19 Interesse, sconto, ratei e risconti 311 Figura Suddivisione del valore su tutto il suo periodo di competenza. Figura Determinazione del costo o del ricavo di competenza dell esercizio successivo, in proporzione. Per calcolare un risconto occorre conoscere il valore che si manifesta anticipatamente, la durata di tempo a cui si riferisce tale valore, il periodo di competenza dell esercizio successivo a quello che si chiude. Figura Suddivisione delle durate in base alle competenze. Se D è la durata di tempo alla quale compete il valore che si manifesta anticipatamente, se d 2 è la porzione di competenza dell esercizio successivo a quello in chiusura, il valore del risconto si ottiene moltiplicando al valore in questione il rapporto d 2 /D: Per esempio, se un costo di 1000,00 e si manifesta anticipatamente il giorno 16 ottobre, ma riguarda un periodo che va fino al 15 febbraio incluso, per determinare il risconto attivo di competenza dell esercizio successivo a quello che si chiude il 31 dicembre, occorre calcolare: la durata del periodo complessivo (123 giorni); il periodo di competenza dell esercizio successivo a quello che si chiude (46 giorni); il rapporto tra il tempo che compete all esercizio successivo a quello in chiusura e la durata di competenza del costo che si manifesta in forma anticipata (46/123). Il risconto si ottiene moltiplicando il rapporto trovato per il valore del costo anticipato:

20 312 volume VIII Didattica in laboratorio Esercizio sul calcolo di un risconto Un fitto passivo di 5000,00 e viene pagato anticipatamente il giorno 18 di ottobre, di febbraio e di giugno. Si vuole sapere qual è il risconto attivo, corrispondente alla quota di costo che, nell esercizio in chiusura al 31 dicembre, viene sospesa in quanto di competenza dell esercizio successivo. La rata in questione è quella che si trova a cavallo della chiusura: dal 18 ottobre al 17 febbraio (incluso). Si eseguano i calcoli con l ausilio del foglio elettronico, rispettando il modello seguente, dove le cifre in corsivo rappresentano valori ottenuti attraverso delle formule: