Le obbligazioni: misure di rendimento e rischio. Economia degli Intermediari Finanziari 4 maggio 2009 A.A

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1 Le obbligazioni: misure di rendimento e rischio Economia degli Intermediari Finanziari 4 maggio 009 A.A

2 Agenda 1. Introduzione ai concetti di rendimento e rischio. Il rendimento delle obbligazioni Profilo finanziario delle obbligazioni TREN (Tasso di rendimento nominale) TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) 3. Il rischio delle obbligazioni Rendimento ex post Duration Esempi A.A Economia degli Intermediari Finanziari

3 Binomio rischio-rendimento RENDIMENTO Esprime il risultato economico dell operazione redditività (per convenzione si esprime in rapporto al capitale investito e alla durata dell investimento, in genere su base annua) RISCHIO È legato all impossibilità di prevedere con certezza il risultato economico dell operazione d investimento grado di incertezza della attività finanziaria Le scelte di investimento non possono considerare uno solo di questi aspetti prescindendo dall altro: analizziamo i principali indicatori di rischio e rendimento in assenza di rischio di credito (insolvenza della controparte) e di liquidità (difficoltà di smobilizzo) A.A Economia degli Intermediari Finanziari 3

4 Agenda 1. Introduzione ai concetti di rendimento e rischio. Il rendimento delle obbligazioni Profilo finanziario delle obbligazioni TREN (Tasso di rendimento nominale) TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) 3. Il rischio delle obbligazioni Rendimento ex post Duration Esempi A.A Economia degli Intermediari Finanziari 4

5 Il profilo finanziario delle obbligazioni (1) In base alle modalità di remunerazione, è possibile distinguere i titoli obbligazionari in : TITOLI CON CEDOLA Pagano periodicamente un interesse CEDOLA FISSA L importo della cedola è predeterminato CEDOLA VARIABILE L importo della cedola è legato a variabili reali o finanziarie TITOLI ZERO COUPON Il rendimento è dato dalla differenza tra prezzo d emissione e valore di rimborso n.b. sempre emessi sotto la pari A.A Economia degli Intermediari Finanziari 5

6 Il profilo finanziario delle obbligazioni () Le obbligazioni possono essere emesse: SOTTO LA PARI Pr. di Emissione < Val. Nominale Lo scarto d emissione è una componente positiva del rendimento ALLA PARI Pr. di Emissione Val. Nominale Il rendimento sarà dato solo dal pagamento periodico di interessi PE100 PE97.5 SOPRA LA PARI Pr. di Emissione > Val. Nominale VN100 VN100 Lo scarto d emissione è una componente negativa del rendimento PE10 VN100 A.A Economia degli Intermediari Finanziari 6

7 Il profilo finanziario delle obbligazioni (3) Il rendimento può quindi essere distinto in componenti: reddito staccato, legato all importo delle cedole e ai flussi derivanti dal loro reinvestimento reddito incorporato, rappresentato dalla differenza tra valore di rimborso a scadenza (o prezzo di vendita, se l holding period non coincide con la durata residua del titolo) e prezzo d acquisto COMPONENTI CERTE cedole di obb. a tasso fisso scarto d emissione per obbligazioni non indicizzate detenute fino a scadenza COMPONENTI ALEATORIE cedole di obb. a tasso variabile reinvestimento cedole guadagni e perdite in conto capitale in caso di smobilizzo anticipato A.A Economia degli Intermediari Finanziari 7

8 Le misure di rendimento: il TREN (tasso di rendimento nominale) Fornisce esclusivamente un informazione sul livello del tasso contrattualmente dovuto dall emittente di un titolo a reddito fisso: considera solo il reddito staccato (cedole) non tiene conto né del prezzo né del profilo finanziario del titolo (es. scadenza e distribuzione temporale cedole) È il rapporto tra cedola annuale e valore nominale TREN Cedola / Valore Nominale Nel caso di titolo con cedole semestrali il TREN è generalmente indicato su base annua: l importo della cedola si calcola secondo il regime di capitalizzazione semplice es: i BTP a 5 anni con TREN del 4.5% pagano due cedole semestrali del.15% A.A Economia degli Intermediari Finanziari 8

9 Le misure di rendimento: il TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (1) Una misura più completa del rendimento (ex ante) di un titolo obbligazionario è rappresentata dal TRES Si considerano tutti i flussi finanziari, positivi (cedole e valore di rimborso) e negativi (prezzo pagato), nella loro esatta manifestazione temporale Si calcola il tasso di rendimento che soddisfa l uguaglianza tra il valore attuale dei flussi di cassa futuri e il prezzo pagato TRES? prezzo t 1 t t 3 A.A Economia degli Intermediari Finanziari 9

10 TRES (Tasso di rend.to effettivo a scadenza) () Il TRES è quindi il tasso interno di rendimento delle obbligazioni che, in regime di capitalizzazione composta, soddisfa l uguaglianza tra il prezzo di acquisto e la sommatoria dei valori attuali dei flussi di cassa Pr n FCt t (1+ TRES 1 t ) Ipotesi implicite: detenzione del titolo fino a scadenza (rimborso al valore nominale) reinvestimento dei flussi intermedi fino alla scadenza ad un tasso pari al TRES e costante per tutto il periodo (curva dei rendimenti piatta e non soggetta a variazioni nel tempo) A.A Economia degli Intermediari Finanziari 10

11 Esempi: calcolo del prezzo di un titolo (1) Se conosco: l ammontare dei flussi di cassa futuri (cedole e VN) ed il TRES posso calcolare il prezzo del titolo ES: Si determini il prezzo di un obbligazione con le seguenti caratteristiche: vita residua: 4 anni frequenza cedola: annuale TRES 5% valore di rimborso a scadenza 100 Nelle 3 seguenti ipotesi: 1. TREN 6%. TREN 5% 3. TREN 4% A.A Economia degli Intermediari Finanziari 11

12 Esempi: calcolo del prezzo di un titolo () Caso 1: importo cedola P ( 1.05) ( 1.05) ( 1.05) ( 1.05) 4 circa Caso : importo cedola 5 P ( ) ( 1.05) ( 1.05) ( 1.05) Caso 3: importo cedola P ( 1.05) ( 1.05) ( 1.05) ( 1.05) 4 circa A.A Economia degli Intermediari Finanziari 1

13 Rapporto tra TRES, TREN e prezzo del titolo Se P VN TRES TREN Se P < VN ho una componente aggiuntiva di rendimento rappresentata dallo scarto d emissione, quindi TRES > TREN Se P > VN ho una componente negativa di rendimento rappresentata dallo scarto d emissione, quindi TRES < TREN A.A Economia degli Intermediari Finanziari 13

14 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (1) Se conosco: l ammontare dei flussi di cassa futuri (cedole e VN) ed il prezzo del titolo posso calcolare il TRES Non esiste una formula chiusa in grado di esplicitare il TRES in funzione delle grandezze alle quali è legato il suo calcolo avviene attraverso un procedimento iterativo di approssimazione Sotto alcune ipotesi è peraltro possibile ricavare il TRES in modo più semplice: a) TRES di uno ZCB b) TRES di un titolo a tasso fisso che quota alla pari c) TRES di un titolo a 3 flussi d) TRES di una rendita perpetua A.A Economia degli Intermediari Finanziari 14

15 Esempi: calcolo del TRES di un titolo () a) TRES di uno ZCB è sufficiente considerare che P VN ( 1+ TRES) t t TRES VN P 1 t 1 Es. ZCB a anni P97.90, VN100 TRES % circa b) Il TRES di un titolo con cedola che quota alla pari è uguale al tasso cedolare (come abbiamo già visto) A.A Economia degli Intermediari Finanziari 15

16 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (3) c) In caso di titoli con una struttura a 3 flussi finanziari Pr98 C3 C3 t 1 t VN Tres ( 1+ Tres) ( 1+ Tres) ( 1+ Tres) 3( 1+ ) Ponendo (1+ Tres) x: 98 x 3 x Quindi un equazione di secondo grado che ammette due soluzioni ax + bx + c 0 b a A.A Economia degli Intermediari Finanziari 16 x 1, b ± 4ac

17 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (4) Risolvendo l equazione otteniamo due soluzioni per la variabile x, delle quali consideriamo solo quella positiva, altrimenti il risultato sarebbe impossibile 98 x 3 x x 1, 3 ± ± x x Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres x 1 + Tres Tres % A.A Economia degli Intermediari Finanziari 17

18 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (5) Il tasso calcolato nell esempio precedente è un tasso periodale: risulta espresso su base annua se i flussi sono annuali, su base semestrale se i flussi sono semestrali, su base mensile se i flussi sono mensili, e così via Per convertire il tasso periodale in un tasso annuale si usa la legge di capitalizzazione esponenziale: ( ) k 1+ 1 i A i k i A tasso annuo; i k tasso periodale k n di volte per cui il periodo si ripete in 1 anno Es. Calcolare il TRES di un obbligazione avente: - vita residua di un anno - prezzo d acquisto di 99 - valore nominale di rimborso tasso cedolare (annuo) 4% - frequenza della cedola semestrale A.A Economia degli Intermediari Finanziari 18

19 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (6) Pr99 C C t 1 t VN s s ( 1+ Tres ) ( 1+ Tres ) s s ( + Tres ) ( 1+ Tres ) 10 0 Ponendo (1+ Tres s ) x 99 x x 10 0 x 1, ± ± x x A.A Economia degli Intermediari Finanziari 19

20 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (7) Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres x 1 + Tres s 1.05 Tres s % 99 ( 1+ ) 1 ( 1.05) % Tres a Tres s Per ottenere direttamente il tasso annuo a.5 ( 1 + Tres ) ( 1 + Tres ) ( 1 + Tres ) ( 1 + Tres ) 10 0 a a a Ponendo (1+ Tres a ) 0.5 x 99 x x 10 0 K ( ) Tres a Tres a % A.A Economia degli Intermediari Finanziari 0

21 Esempi : calcolo del TRES di un titolo (8) d) Rendita perpetua o consol: per un obbligazione senza data di scadenza e senza rimborso del capitale, con cedola fissa pari a C, si ha C P i c c i c C P c Tale formula fornisce un approssimazione utile per il calcolo del rendimento di obbligazioni dalla scadenza molto lunga (es. 0 anni) A.A Economia degli Intermediari Finanziari 1

22 TRES di un titolo a cedola variabile La determinazione del TRES diviene più problematica, poiché non si conoscono i flussi di cassa futuri Può essere calcolato un tasso di rendimento effettivo tendenziale (TRET), dato da ( FC ) n E t VN Pr + t t (1+ TRET) (1 + TRET 1 t ) dove, nel caso di un semplice floater E ( FC ) E i ) spread t ( + rif, t valore atteso del parametro finanziario di riferimento al tempo t A.A Economia degli Intermediari Finanziari

23 Agenda 1. Introduzione ai concetti di rendimento e rischio. Il rendimento delle obbligazioni Profilo finanziario delle obbligazioni TREN (Tasso di rendimento nominale) TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) 3. Il rischio delle obbligazioni Rendimento ex post Duration Esempi A.A Economia degli Intermediari Finanziari 3

24 Tipologie di rischio sui titoli obbligazionari RISCHIO variabilità del rendimento ex post Ipotizzando assenza di rischio di credito e di liquidità, è possibile distinguere: Rischio di volatilità o di prezzo fluttuazione del valore di mercato in base all andamento dei tassi Rischio di reinvestimento legato all impossibilità di impiegare i flussi di cassa ricevuti al tasso previsto ex ante La rilevanza delle due componenti dipende dall orizzonte temporale di investimento rispetto alla durata residua del titolo. Concentriamoci sul rischio di volatilità o di prezzo A.A Economia degli Intermediari Finanziari 4

25 La variabilità del rendimento ex post (1) Il TRES è una misura di rendimento ex ante che si basa sull ipotesi di detenzione del titolo fino a scadenza Se l investitore decide di smobilizzare il titolo prima della scadenza (holding period<maturity), non riceverà il valore nominale di rimborso, ma il prezzo di mercato del titolo in quel momento In base alla variabilità dei tassi d interesse l investitore potrà avere una perdita o un guadagno in conto capitale A.A Economia degli Intermediari Finanziari 5

26 La variabilità del rendimento ex post () Il rendimento di un titolo per il periodo di detenzione che va da t a t+1 è dato da R C + P P t+ 1 t t+ 1 t P R C P t + P P t P t Rendimento corrente: rapporto tra ammontare della cedola e prezzo d acquisto Capital gain/loss: variazione del prezzo dell obbligazione rispetto al prezzo d acquisto iniziale A.A Economia degli Intermediari Finanziari 6

27 La variabilità del rendimento ex post (3) Tale formula è valida per investimenti di durata annuale. Per generalizzare, è possibile calcolare il rendimento utilizzando la formula del TRES, in cui al valore nominale di rimborso si sostituisce il prezzo del titolo al momento dello smobilizzo Sappiamo che il prezzo del titolo varia in modo inversamente proporzionale ai tassi d interesse sul mercato. Come possiamo quantificare l impatto della variazione di tasso sul prezzo di un titolo? La sensibilità del prezzo di un obbligazione alle variazioni dei tassi d interesse si misura tramite un indicatore detto DURATION A.A Economia degli Intermediari Finanziari 7

28 La Duration (1) È la media aritmetica delle scadenze dei flussi di cassa associati ad un titolo obbligazionario, in cui ogni scadenza è ponderata con il rapporto esistente tra valore attuale del flusso maturato a quella scadenza e prezzo del titolo DUR n t 1 t FCt (1+ Tres) P dove t sono le scadenze espresse coerentemente al tres! t È un indicatore di rischio completo perché considera congiuntamente: la vita residua del titolo l entità e la frequenza delle cedole NB! Per uno ZCB la duration è pari alla vita residua del titolo A.A Economia degli Intermediari Finanziari 8

29 La Duration () A parità di altre condizioni: al crescere della durata residua del titolo aumenta la duration (i titoli a più lunga scadenza sono più soggetti al rischio di tasso) al crescere dei tassi d interesse diminuisce la duration (i flussi più lontani, scontati a tassi maggiori, pesano meno) al crescere dell entità della cedola, diminuisce la duration (la cedola anticipa parte del rendimento rispetto alla scadenza) Nel caso di titoli a cedola variabile l impatto del rischio di prezzo è inferiore, poiché i flussi periodici si adeguano alle condizioni di mercato. Fanno eccezione le variazioni di tasso intervenute tra la data di fixing e quella di stacco cedola. I titoli presentano quindi la duration di uno ZCB con vita residua pari al tempo mancante allo stacco della cedola in corso di maturazione A.A Economia degli Intermediari Finanziari 9

30 La Duration (3) Es. Titolo a 3 anni TREN 4% su base annua Pr 97.8 V.N. 100 Tres 5% a a 3a ( 1.05) ( 1.05) DUR. 884a 97.8 N.B. È una grandezza temporale in questo caso è espressa in anni poiché i flussi e il tres sono su base annua (se fossero su base semestrale, sarebbe espressa in semestri, e così via) A.A Economia degli Intermediari Finanziari 30

31 Duration e rischio di tasso (1) E possibile dimostrare che ΔP P DUR 1+ Tres ΔTres Duration modificata Appare chiaro che: tra variazione dei tassi e dei prezzi esiste una relazione inversa all aumentare della duration aumenta il rischio di tasso La relazione appena vista è un approssimazione lineare, basata sul calcolo della derivata prima del prezzo rispetto al tres In realtà, la funzione del prezzo rispetto al tasso è convessa A.A Economia degli Intermediari Finanziari 31

32 Esempio di aumento dei tassi (1) Si consideri un obbligazione a 5 anni con: Frequenza cedola annuale TREN 5.5% Valore nominale a 5.5 a 5.5 3a 5.5 4a 5a TRES 6% P? CALCOLARE: a) Il prezzo del titolo P? b) La duration DUR? c) la variazione del prezzo a fronte di un aumento dei tassi dell 1% (100 b.p.) a) Il prezzo si calcola attualizzando al tempo 0 e al tasso TRES tutti i flussi finanziari 5.5 P (1.06) (1.06) 5.5 (1.06) 5.5 (1.06) (1.06) A.A Economia degli Intermediari Finanziari

33 Esempio di aumento dei tassi () b) Una volta calcolato il prezzo si può calcolare la duration del titolo (1.06) (1.06) (1.06) (1.06) (1.06) D 4. 50a P c) Per calcolare l impatto dell aumento dei tassi sul prezzo: ΔP P ΔP DUR ΔTres 1+ Tres % % Pʹ A.A Economia degli Intermediari Finanziari 33

34 Esempio di diminuzione dei tassi (1) Si consideri un obbligazione a 3 anni, avente le seguenti caratteristiche: TREN 6% Valore nominale 100 TRES (su base annua) 7% Frequenza della cedola semestrale Determinare: a) il prezzo del titolo b) la duration del titolo c) la variazione di prezzo in ipotesi di diminuzione dei tassi dell 1% a 1a 1.5a a.5a 3a P? A.A Economia degli Intermediari Finanziari 34

35 Esempio di diminuzione dei tassi () P DUR a ΔP P DUR 1 + Tres ΔTres ( 0.01 ) % ΔP.61 % Pʹ A.A Economia degli Intermediari Finanziari 35

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