Meccanica Gravitazione

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1 Meccanica Gavitazione 4

2 Newton m m F G u egge di gavitazione univesale E una foza centale F ± F( ) u. Il momento angolae si conseva. a taiettoia si mantiene sullo stesso piano. a velocità aeale è costante 4. Foza consevativa Campo gavitazionale m η ( ) G u Teoema di Gauss Flusso del campo gavitazionale geneato da una massa m attaveso una qualunque supeficie chiusa : Φ η d 4π Gm

3 Campo di una distibuzione di massa a simmetia sfeica m η M Φ Campo η Φ 4π GM sulla supeficie della sfea? Conseguenza del Teoema di Gauss: Pe agioni di simmetia: η( ) η ( ) u η η( ) u d η ( ) d Costante sulla supeficie della sfea di aggio Ma sappiamo che pe il teoema di Gauss: - E dietto adialmente - Ha la stessa ampiezza in ogni diezione Flusso totale del campo attaveso la sfea : η d Vettoi paalleli π η 4 ( ) Φ 4π GM GM 4 π η( ) 4π GM η ( ) GMm F η( ) mu u Una massa m a distanza subisce una foza: Una massa M distibuita con simmetia sfeica genea lo stesso campo gavitazionale di un punto mateiale di massa M posto al suo cento

4 Gavitazione: foza centale Enegia potenziale avoo infinitesimo: A d m ds F u A m B Enegia potenziale gavitazionale B dw consevativa m m m F ds G u m ds G d B Gmm d Gm A + m E B P A mm EP G Enegia potenziale gavitazionale, EP 0, E ( enegia di legame cesce) W Pe due masse molto distanti: 0 Masse vicine: Velocità di fuga Velocità iniziale necessaia pe sfuggie al campo gavitazionale (teeste) Consevazione dell enegia v f GmT T g T g Gm T / T m m 0 T mv f G T.km/s P E P + E v K c Caso limite: f (velocità della luce) Nessuna paticella può sfuggie al campo gavitazionale Buco neo Costante Mm GM mc G 0 c Raggio di chwazschild

5 enti gavitazionali Effetto ealtivistico del «campo gavitazionale» Relatività Geneale: Il gadiente del campo gavitazionale cuva la taiettoia della luce α M b tella al bodo del ole: α α.8acsec 4GM c b R b Raggio di chwazschild 99: Pima confema della Relatività (A. Eddington) Gavitational lensing(imulation)

6 Enegia potenziale gavitazionale Enegia potenziale di una massa sfeica omogenea Pe due masse geneiche a distanza m m EP G ρ ρ R 0 Contibuto infinitesimo all enegia potenziale: guscio infinitesimo vs. massa intena de P M ( ) dm G 4π ( ) dep G ρ0 4π dρ0 6π 4 G ρ d 0 d dm M 4π dρ0 4π ρ0 6π R 4 EP G ρ 0 d 0 E P 6π G 5 R 5 9m 6π R 6π G ρ 6 5 Gm R R m ρ 0 V m 4πR

7 Coniche: () P F fuoco Taiettoie nel campo gavitazionale ε < ε > ε d diettice Q ellisse ipebole paabola Eccenticità (costante) ε PF PQ d + cos d cos ε + cos εd d ε Il valoe di detemina il tipo di conica. d è un fattoe di scala Foza gavitazionale ta due masse isolate m e M in un sistema ineziale: F ma m a am am + F F F Ma M Acceleazione m M µ elativa F µ a µ m + M massa idotta equazione del moto elativo di m ispetto a M coincide con quella valida in un sistema ineziale, semplicemente sostituendo al posto di. µ m

8 Taiettoie nel campo gavitazionale F G u F µ a d G + µ d + x Acos + Gµ oluzione:, dove è una soluzione paticolae oluzione: Equazione geneale di una conica: d x a Equazione amonica non omogenea x / x costante + Acos + Gµ cos + d d d u + µ a taiettoia di un punto mateiale soggetto a campo gavitazionale è una conica ε Acceleazione di una foza centale in coodinate polai (Fomula di Binet) Gµ costante

9 Taiettoie nel campo gavitazionale Acos + Gµ cos + d εd Dal confonto otteniamo una elazione pe il momento angolae: Gµ εd i dimosta che dalla consevazione dell enegia si icava: Mm E G ε ε d ( ) Gµ Mmε d I valoi costanti ε,d fissano il momento angolae e l enegia Vicevesa, noti E ed si possono icavae i paameti obitali ε,d Dall enegia si ottiene: ε < E < 0 obita ellittica ε > E > 0 obita ipebolica ε E 0 obita paabolica ε / m E < 0 E 0 ε E > 0 ε

10 y O Acceleazione pe foze centali: fomula di Binet Gavità : foza centale vogliamo espimee l acceleazione in coodinate polai v u a v u x d ( u ) dt dv dt d d u componente + u dt dt dt adiale e tasvesa d d d d du u u d d du u dt dt dt dt dt dt dt dt du du Deivata dei vesoi u u dt dt dt dt d d d d u + u + u + u u dt dt dt dt dt dt dt dt d d d u u u u + + dt dt dt dt dt d d a u + u dt dt dt dt a a Cosa succede se la foza è Centale? Acceleazione in coodinate polai

11 Acceleazione pe foze centali: fomula di Binet a d dt dt Foze centali: d d d dt dt dt 0 d m d a a dt dt a d d dt dt m a d dt d d dt m Acceleazione pe foze centali in funzione di, d ( ) cost. + u m d dt Vogliamo aivae alla taiettoia : Eliminiamo dipendenza dal tempo d d dt dt d m m d m d m d m Fomula di Binet a Acceleazione pe foze centali

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