LEGENDA: [A]: aritmetica - [G]: geometria [L]: logica [PSI]: Probabilità, Statistica e Informatica

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1 LEZIONE del Argomento: CONTO, VEDO E PREVEDO Riferimenti ai materiali IL GIORNO DELLA NASCITA, CERTO, INCERTO: RIFLESSIONE SUL MONDO DELLA PROBABILITA, elaborato da "Matematica2001", Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola elementare e scuola media), Riferimenti al programma ministeriale [A] eseguire per iscritto le quattro operazioni aritmetiche con i numeri naturali e decimali, comprendendo il significato dei procedimenti di calcolo; [L] scoprire e verbalizzare regolarità e ritmi in successioni date di oggetti, di immagini, di suoni e, viceversa, seguire regole - proposte oralmente o per iscritto - per costruire tali successioni (2^); [L] rappresentare con schematizzazioni elementari (ad esempio, con frecce) successioni spazio-temporali, relazioni d'ordine, corrispondenze, riferite a situazioni concrete (2^); [L] classificare oggetti secondo due o più attributi e realizzare adeguate rappresentazioni delle stesse classificazioni mediante diagrammi di Venn, di Carroll, ad albero, con tabelle, con schede a bordo perforato...; [PSI] In situazioni problematiche tratte dalla vita reale e dal gioco, usare in modo significativo e coerente le espressioni: forse, è possibile, è sicuro, non so, è impossibile, ecc. (2^); [PSI] Compiere osservazioni e rilevamenti statistici semplici; tracciare diagrammi a barre, istogrammi, areogrammi...; [PSI] calcolare medie aritmetiche e percentuali, usando, se ritenuto opportuno, calcolatrici tascabili; viceversa, interpretare rappresentazioni e calcoli fatti da altri; [PSI] confrontare in situazioni di gioco le probabilità dei vari eventi mediante l'uso di rappresentazioni opportune. LEGENDA: [A]: aritmetica - [G]: geometria [L]: logica [PSI]: Probabilità, Statistica e Informatica Classi sulle quali intervenire: 3^ - 4^ LOG PSI classificare oggetti con attenzione alle caratteristiche individuazione di regolarità rimettere in gioco la logica della certezza rappresentare raccolte di oggetti secondo regole di riferimento individuare indicatori di comportamenti di gruppi di oggetti legare l osservazione alla previsione walter manzon Pagina 1 di 12

2 MATERIALI Riferimento: IL GIORNO DELLA NASCITA Livello scolare: 3^ elementare Competenze e interessate Contenuti Nuclei coinvolti Collegamenti esterni Raccogliere dati mediante osservazioni e questionari Diagrammi di vario tipo I dati e le previsioni Lingua italiana Classificare i dati Moda Il numero Rappresentare i dati con tabelle e grafici Osservare e descrivere un grafico usando moda, mediana e media aritmetica Relazioni Risolvere e porsi problemi Misurare Riconoscere eventi certi, possibili,impossibili, equiprobabili, più probabili, meno probabili. Argomentare e congetturare Contesto extramatematico: il vissuto dell alunno Commento Questa attività vuole approfondire alcuni contenuti relativi ai dati e alle previsioni rilevando sempre caratteri appartenenti ai bambini della classe. Dopo avere attuato delle semplici rilevazioni di dati con caratteri le cui modalità venivano espresse da un attributo, si cominciano ad utilizzare dati espressi con numeri. È importante tenere conto che nell attività proposta i dati sono numeri ordinali, che indicano l ordine progressivo dei giorni (non godono pertanto della proprietà della somma). Il carattere cui la rilevazione si riferisce è ancora qualitativo, ma esso è ora ordinabile. Inoltre si utilizza questa rilevazione per introdurre la rappresentazione grafica del diagramma ramo-foglia particolarmente significativa ed utile per rappresentare dati di questo tipo e non solo. L attività permetterà poi di introdurre semplici previsioni basate sulle conoscenze possedute dai bambini. Punti di attenzione: Gestione della discussione Rapporto tra la realtà e sue forme di rappresentazione Simbolizzazione Nella proposta di attività si trovano i seguenti elementi concettuali statistici: ELEMENTI CONCETTUALI ESPLICITAZIONE DEGLI ELEMENTI CONCETTUALI 1. Fenomeno collettivo 1. Informazione sulla composizione di un collettivo rispetto al giorno di nascita walter manzon Pagina 2 di 12

3 2. Collettivo statistico 2. Classe 3. Unità statistica 3. Ogni singolo alunno 4. Carattere 4. Giorno del mese di nascita 5. Modalità 5. 1,2, Strumento di rilevazione 6. Domanda posta oralmente 7. Raccolta dei dati 7. I bambini e le bambine rispondono attraverso una rappresentazione materiale 8. Classificazione del collettivo statistico 8. La classificazione si attua raggruppando gli alunni secondo la decade di nascita 9. Rappresentazione ramo foglia 9. Rappresentazione di ramo corrispondente alle decine (0, 1, 2, 3) e di foglie corrispondenti alle unità (0, 1,., 9) La descrizione analitica che segue riporta, a sinistra, la sequenza delle attività in classe e, a destra, alcune indicazioni metodologico-operative: l insegnante, attraverso la sua esperienza, saprà adattare i suggerimenti alla situazione-classe nella quale si trova ad operare. ATTIVITA DIDATTICHE INDICAZIONI METODOLOGICO-OPERATIVE OPERATIVE L insegnante, attraverso una conversazione, fa emergere l esigenza di conoscere come si distribuisce la classe rispetto al giorno di nascita. L insegnante mette a disposizione dei bambini i cartellini preparati e li invita a scrivere il proprio giorno di nascita, apponendo nella parte sinistra la decina e a destra l unità. Preparare dei cartellini rettangolari uguali divisi verticalmente a metà da una riga colorata. I bambini\e se nati nella prima decade del mese potranno chiedere se devono scrivere al posto delle decine 0 o se possono non scrivere nulla. E conveniente per costruire il ramo apporre lo zero (anche di uso comune nelle date). Tale richiesta potrà essere anche utilizzata per un ripasso relativo alla scrittura dei numeri e al sistema posizionale. L insegnante chiede: secondo voi ci sarà una decina che risulterà perdente? Questa domanda fatta prima della rilevazione dovrebbe indurre, attraverso una conversazione, alla consapevolezza che la decina del 3 ha, nel caso dei giorni dei mesi, solo due modalità per essere presente: 0, 1. L insegnante predispone un cartellone diviso in due parti: sopra a quella di sinistra appone la scritta decine, sopra quella di destra unità walter manzon Pagina 3 di 12

4 L insegnante invita i bambini a dividere secondo la riga il proprio cartellino e ad apporre la prima parte sotto alle decine, sovrapponendo i vari cartellini, e ad apporre la seconda sotto le unità, giustapponendo i cartellini individuali. Esempio di rappresentazione che si potrà ottenere: L insegnante chiede ai bambini se la congettura del punto (1) può essere confermata osservando la rappresentazione ottenuta. L insegnante avvia una discussione per giungere alla opportunità dell ordinamento delle foglie della rappresentazione. L insegnante fa controllare se, per ogni ramo, il numero dei foglietti relativi alle decine, sovrapposti tra loro, corrisponde al numero delle foglie. Esempio di diagramma ordinato per foglie: Ordinato, controllato e intitolato il digramma ramo foglia i bambini vengono invitati a fare le loro osservazioni, esprimendo quali informazioni possono essere ricavate dal diagramma costruito. Domande che l insegnante può porre ai bambini (oralmente o per iscritto) o far nascere conversando con la classe: - Quanti sono i rami? - Quale ramo ha più foglie (vince)? - Il primo ramo a quale decina corrisponde? - Nella prima decina (ramo dello 0) puoi trovare il valore 0 delle unità? Perché? - Nella quarta decina (ramo del 3) puoi trovare la foglia 6? Perché? E quella del 2? -.. L insegnante ruota il cartellone di 90 e chiede ai bambini di fare le loro osservazioni. La classe dovrebbe notare come la rappresentazione corrisponda ad un grafico a barre verticali, nel quale al posto delle crocette vi sono i singoli valori. Si otterrà un diagramma del tipo: Si noti che in questo grafico si mantengono tutte le informazioni di un diagramma a barre verticali, ma senza perdere l informazione sulle singole unità statistiche. Valutare l opportunità di sostituire, ordinatamente, all etichetta : decina 0, decina 1, decina 2, decina 3, l espressione ordinale: 1 decina, 2 decina, 3 decina, 4 decina walter manzon Pagina 4 di 12

5 L attività si può concludere trasformando il diagramma in una tabella di frequenze e denominando moda la decade che vince, cioè che ha frequenza assoluta maggiore come già si poteva osservare nel diagramma ramofoglia (colonnina di foglie più alta) VERIFICA Viene presentato all alunno il seguente diagramma ramo-foglia sull età delle mamme di una classe. Si chiede quindi di rispondere alle seguenti domande: - Qual è il ramo con più foglie? - Ci sono mamme che hanno 30 anni? E 31 anni? - Qual è il ramo con meno foglie? - Qual è l età della mamma più giovane? - Ci sono delle mamme che hanno la stessa età? - Qual è l età che si presenta il maggior numero di volte? Trasforma il diagramma in una tabella di frequenze walter manzon Pagina 5 di 12

6 Riferimento: CERTO E INCERTO: riflessione linguistica sul mondo della probabilità Livello scolare: 4^ elementare Competenze interessate Contenuti Nuclei coinvolti Collegamenti esterni Riconoscere gli eventi certi, possibili, impossibili, equiprobabili, meno probabili Evento certo, possibile, impossibile. Valutazione di probabilità in casi elementari I dati e le previsioni Argomentare e congetturare Lingua italiana Contesto extra-matematico: esperienze dell alunno descritte mediante la lingua italiana Descrizione dell attività L attività si propone di indurre negli allievi una riflessione linguistica sul mondo della probabilità. Si intende far acquisire la consapevolezza che la varietà e la ricchezza dei termini che si incontrano nel linguaggio ordinario per esprimere l incerto, il probabile, il verosimile, fanno riferimento ad un ampio ventaglio di contesti e situazioni che si presentano nella vita quotidiana; quando, invece, si passa all uso formale dei termini in campo scientifico, nasce la necessità di definire in maniera precisa e in termini quantitativi la nozione di probabilità. L attività è corredata da prova di verifica. Situazione-problem problema Elementi concettuali: Certezza e incertezza basata sulla totalità/non totalità di informazioni Declinazione del certo (vero = certamente certo / falso = certamente impossibile) Espressione dell incerto Declinazione dell incerto, di tipo qualitativo La descrizione analitica che segue riporta, a sinistra, la sequenza delle attività in classe e, a destra, alcune indicazioni metodologico-operative: l insegnante, attraverso la sua esperienza, saprà adattare i suggerimenti alla situazione-classe nella quale si trova ad operare. ATTIVITA DIDATTICHE L insegnante può proporre agli alunni/e una frase del tipo: Oggi siamo tutti presenti Gli alunni possono attribuire immediatamente un valore di verità/falsità all affermazione dell insegnante. INDICAZIONI METODOLOGICO-OPERATIVE OPERATIVE E bene che l insegnante affermi il falso, in modo da provocare una discussione sulla possibilità o meno di attribuzione del valore di verità e in base a cosa ciò sia possibile. L insegnante, successivamente, fa una seconda affermazione relativa ad un altra classe: walter manzon Pagina 6 di 12

7 Nella classe oggi gli alunni sono tutti presenti Gli alunni si rendono conto che a questa seconda affermazione non è possibile attribuire immediatamente un valore di verità: si può attivare una ricerca di informazioni. Ad es: due rappresentanti della classe si recano nella classe e acquisiscono l informazione che permette di attribuire il valore di verità alla seconda affermazione. L insegnante chiede, ora, di riformulare le frasi predette supportate dalle informazioni note e raccolte. Le frasi potrebbero essere: certamente oggi sicuramente oggi è certo che Una riflessione su queste espressioni dovrebbe far emergere come alcuni termini hanno arricchito la frase iniziale di un nuovo elemento (indicazione di certezza) L insegnante fa una nuova affermazione seguita da una domanda-stimolo: Domani saremo tutti presenti è vero? La domanda stimolo indurrà gli alunni a riflettere sul fatto che non è possibile attribuire un valore di verità all affermazione, dal momento che per quante informazioni si reperiscano esse non saranno comunque sufficienti per permettere di attribuire un valore di verità o di falsità alla frase. Difatti non siamo in grado di conoscere tutto ciò che, da oggi a domani, potrebbe portare ad un cambiamento della situazione odierna. A questo punto l insegnante chiede di riformulare la frase. Le frasi riformulate potrebbero essere: - Forse domani saremo tutti presenti - E quasi sicuro che domani saremo tutti presenti - E facile che - E probabile che - E possibile che - E molto probabile - E poco probabile - E abbastanza probabile La discussione delle nuove frasi farà emergere quanto esse siano adatte a descrivere la situazione di domani che è incerta: difatti qualunque enunciato, del tipo vero o falso, potrà essere smentito o reso vero solo nel manifestarsi dell evento, l indomani. Si propone, poi, un confronto tra le frasi: - E poco probabile Queste frasi esprimono non solo l incertezza della situazione, ma la qualificano, nel senso che ne walter manzon Pagina 7 di 12

8 - E probabile - E molto probabile esprimono un certo grado. Esse rappresentano, tramite il linguaggio, situazioni che, pur sempre incerte,hanno maggiori possibilità di manifestarsi verso il certo (vero) o verso l impossibile (falso) A questo punto l insegnante può proporre una ricerca linguistica sul vocabolario di termini del tipo: casuale, accidentale, fortuito, eventuale, impensabile, imprevedibile, insperato, occasionale Gli alunni sono guidati a cogliere la varietà e la ricchezza di termini del linguaggio ordinario e a metterli in relazione ad eventi o situazioni concrete. Possibili sviluppi dell attività sopra descritta. 1. Per stimolare ulteriormente la riflessione linguistica, l insegnante può utilizzare altre affermazioni del tipo: Forse domani pioverà - incertezza espressa dalla parola forse - necessità di attivare una ricerca di informazioni tramite previsioni metereologiche E molto probabile che l attaccante della mia squadra del cuore non giochi domenica, poiché, durante l allenamento di oggi, si è infortunato - incertezza espressa in modo qualificativo verso il certo - necessità di reperire ulteriori informazioni tramite il bollettino medico della squadra Sto rientrando dal week-end in automobile, presumibilmente arriverò entro due ore - incertezza espressa dalla parola presumibilmente - necessità di reperire informazioni sulla viabilità, sul tempo atmosferico, sull esperienza dei week-end precedenti È poco probabile che riesca a finire questo lavoro entro stasera - incertezza espressa in modo qualificativo verso l impossibile - necessità di interrogarsi sulla quantità di lavoro che rimane da svolgere, sull impegno che si è disposti a mettere, sul proprio grado di stanchezza, 2. La proposta che segue può essere svolta nel momento in cui siano state consolidate le competenze linguistiche precedentemente acquisite, sia perché risulta più articolata, sia perché implica il passaggio dalla descrizione intuitiva e qualitativa delle situazioni incerte ad una valutazione quantitativa. Tale passaggio è in qualche modo facilitato dalla visualizzazione, sotto riportata, dei giorni dell anno. La proposta si basa sull attività descritta per la terza classe elementare, denominata GIORNO DI NASCITA ampliandola. L insegnante chiede nuovamente alla classe: Secondo voi, è più probabile che un giorno di compleanno cada nella prima decade nella seconda decade nella terza decade nella quarta decade? Dopo una prima risposta, ragionevolmente argomentata( le foglie del ramo 3 sono poche, il ramo della terza decina non può avere il 2, il 3 ) Si proporrà la costruzione o si presenterà la seguente rappresentazione dei giorni dell anno : walter manzon Pagina 8 di 12

9 Gli alunni potranno mettere ora in atto diverse strategie di soluzione per calcolare quanti giorni fanno parte della prima decade (108), della seconda decade (120), della terza (119), della quarta (18) per pervenire ad una di probabilità dell evento essere nati in una certa decade supportata da un calcolo. Elementi di prove di verifica Verifica 1 a. Si propone la seguente frase: Penso che domani tutti i bambini della quarta avranno il merendino Si chiede quindi all alunno di riformulare questa frase con altre modalità linguistiche, mantenendo sempre la stessa valenza di significato. b. Si chiede di formulare alcune frasi con valore di incertezza, esplicitando gli elementi contenuti: - frase: - valore di incertezza dato dalla parola: walter manzon Pagina 9 di 12

10 - raccolta di informazioni e conoscenze che danno significato alla previsione:.. c. Le frasi che seguono descrivono la stessa situazione: cancella quelle che non ti sembrano linguisticamente coerenti con il valore di certezza: - penso che domani andrò a comprare un paio di scarpe nuove - probabilmente domani andrò a comprare un paio di scarpe nuove - sicuramente domani andrò a comprare un paio di scarpe nuove - è poco probabile che domani andrò a comprare un paio di scarpe nuove - domani, è certo, andrò a comprare un paio di scarpe nuove - domani, sicuramente non andrò a comprare un paio di scarpe nuove walter manzon Pagina 10 di 12

11 Proposta di attività: QUALI SONO LE SCARPE CHE PREFERISCE IL MIO PAPA? Livello scolare: 4^ elementare Competenze interessate Contenuti Nuclei coinvolti Collegamenti esterni Raccogliere dati mediante osservazioni e questionari Diagrammi di vario tipo I dati e le previsioni Lingua italiana Classificare i dati Moda Il numero Rappresentare i dati con tabelle e grafici Probabilità Risolvere e porsi problemi Osservare e descrivere un grafico usando moda Riconoscere eventi più probabili Misurare Argomentare e congetturare Contesto extramatematico: le abitudini a casa dell alunno Commento Questa attività vuole approfondire su un piano molto particolare gli effetti che dall osservazione statistica portano alla previsione probabilistica e da questa ritornano alla statistica. L obiettivo suggerito è in effetti quello di arrivare a prevedere la modalità di utilizzo dei paia di scarpe da parte del papà, il quale tende ad affezionarsi in modo più marcato ad un proprio paio di scarpe: la riflessione che si cerca di stimolare può indurre a valutazioni significative in merito alla necessità di porre particolare attenzione alla selezione del campione, nel momento in cui si ritenga di dover fare la previsione. Situazione-problema Si suggerisce agli alunni di dotarsi di un taccuino e di annotare giorno per giorno, anche di sabato e domenica, il tipo di scarpe che il padre indossa quando esce al mattino e anche le condizioni meteorologiche della giornata, invitandoli a descriverle con sufficiente dovizia di particolari. L attività va proposta con un buon anticipo rispetto al periodo in cui si ritiene di analizzarla. Dopo un paio di mesi, con una ricostruzione di colonne riportanti la frequenza assoluta dei vari tipi di scarpe (categorie statistiche) che può svilupparsi con continuità giorno per giorno, si possono trarre delle conclusioni: + quali sono le scarpe usate di più in assoluto (la moda); + quali sono le scarpe più usate nelle varie condizioni meteorologiche (la moda condizionata); + qualche tipo di scarpe viene usato anche in condizioni meteorologiche avverse? + facciamo da questo momento in poi le previsioni: possiamo capire con che scarpe uscirà domani mattina il papà? +.. e se è una giornata di pioggia, saranno le stesse? Successivamente alla ricostruzione della statistica della scelta viene la ricostruzione della probabilità di scegliere l uno o l altro paio di scarpe. E poi passerò alla valutazione sui gusti del papà: Al mio papà piacciono le scarpe nere con le suole di gomma: è un papà alla moda oppure no? walter manzon Pagina 11 di 12

12 Questa domanda darà il via alla ricerca delle abitudini di preferenza degli altri papà e al confronto di questo campione con le scarpe che vengono (venivano) pubblicizzate nei giornali di questi giorni (degli anni passati). Questo punto porterà a ridiscutere il significato della parola moda : si tratterà di quello che viene più usato o di ciò che viene maggiormente pubblicizzato? In ogni caso il passaggio STATISTICA -> PROBABILITA e il ritorno alla STATISTICA e la profonda relazione tra dati, loro elaborazione, la previsione che si può ricostruire e la riscoperta etimologica del sostantivo moda si sarà aperta la strada per i prossimi passaggi cognitivi nel calcolo della probabilità e dell inferenza statistica walter manzon Pagina 12 di 12