dz dx + dy y x x y se z e una funzione di due generiche variabili x ed y ossia se z= a prescindere dal fatto che le variabili x ed y

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1 Richiami matematici se z e una funzione di due generiche variabili x ed y ossia se z= zxy (, ) a rescindere dal fatto che le variabili x ed y siamo indiendenti o siano diendenti da altre variabili il differenziale dz della funzione z er definizione e lemma di Schwarz ossia z xy 2 2 = z z x y dz dx + dy y x z z = y x x y z yx y x x y Nota Bene: di solito z e trattata come una variable indiendente come lo sono la x e la y, ma se vi e una relazione del tio z = z(x,y) allora z deve essere considerata una variabile diendente a condizioni di continuita e derivabilita delle derivate rime arziali

2 se f(z) e una generica funzione di z e se a sua volta z e una generica funzione di x, y ossia se z = z(x,y) si ha : f df z = x dz x y z= zxy (, ) y vale la relazione: z x = x z y 1 y

3 se tre variabili x, y, z sono legate da una relazione funzionale del tio f(x,y,z) = 0 significa che non sono indiendenti tra loro una qualsiasi delle tre variabili uo essere esressa in funzione delle due rimanenti variabili y = y(x,z) o x = x(y,z) o anche z = z(x,y)

4 differenziando la z = z(x,y) 0 z z = dx + z z dz = dx + dy x y y x dy z z dx = xy yx xy yx z z dy = x y dx y x x z y = 1 zy y xz x x dy z z y = xy y x z se ci si sostasse lungo una curva di livello z = cost dato che si deve calcolare z x = x z y dividendo er dx ambo i membri la derivata di y fatta risetto ad x oerando a z costante e iu corretto scrivere y come x z dato che vale semre la relazione 1 y dy dx

5 Esemio alicativo : gas erfetti er n moli di gas ideale ( con n fisso) si ha: = nr nr = 0 ossia f(,, ) = 0 eslicitandola si hanno tre ossibili relazioni funzionali: = (, ) = (, ) = (, ) differenziando arzialmente d d + d d d + d d d + d ma solamente due variabili sono indiendenti tra loro sono indiendenti tra loro solamente due delle sei derivate arziali

6 dimostrazione: d d + d d = d lungo una trasformazione isobara d = 0 0 = d + d d d er d = = = 1 dividendo ambo i membri d d = 1 / = 1 d d d d er d = e dato che gli incrementi ma in generale = (, ) e = (, ) ercio occorre usare le derivate arziali in questo caso sono stati fatti a ressione costante d e d

7 e analogamente oerando lungo una trasformazione isocora e isoterma ricaitolando: isobara isocora isoterma = 1 / = 1/ = 1/

8 dunque : d d + d d d + d d d + d sei derivate arziali, sembrerebbero essere indiendenti ma = 1/ etc. ercio 6 3 = 3 tre derivate arziali sembrerebbero essere indiendenti ad es: ma vale anche la = 1 solo due derivate sono indiendenti tra loro

9 Ris: le derivate arziali sono direttamente legate a grandezze misurabili serimentalmente si utilizzano le seguenti grandezze misurate serimentalmente: coefficiente di dilatazione cubica modulo di comressibilità (o di comrimibilità, o modulo di bulk ) 1 α = k = = o equivalentemente k = ρ ρ

10 dimostrazione: k = ρ ρ ercio ma = ( ρ) M = ρ e e chiaramente la massa rimane costante durante la comressione = k = ρ ρ ρ ρ da ( ρ) = M 1 ρ = ρ M 2 ρ k= ρ M 2 ρ in conclusione M M = 2 M 2 k = ρ ρ 2 M = 1 M 2 2 =

11 Modulo di comressibilita nei gas nei gas il modulo di comressibilità diende sensibilmente dal tio di trasformazione ercio in caso si oeri isotermicamente occorre utilizzare il modulo di comressibilità a temeratura costante oure, il modulo di comressibilita a entroia costante in caso di trasformazione adiabatica, modulo di comressibilita isoterma k modulo di comressibilita isoentroica k S 1 1 = k 1 1 = k in un gas il modulo di comressibilità e la densità di massa determinano S la velocità v s del suono secondo la relazione v s = k ρ er un gas erfetto ks = γ dove il coefficiente di dilatazione adiabatica γ è il raorto tra il calore secifico a ressione costante c ed il calore secifico a volume costante c v del gas

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