Laboratorio di Strumentazione e Misura. Cesare Bini

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1 Laboratoro d Strumentazone e Msura Cesare Bn Corso d laurea n Fsca Anno Accademco

2 Quest appunt sono basat sulle lezon del modulo d Laboratoro d Strumentazone e Msura del prmo anno delle lauree trennale n Fsca, Fsca e Astrofsca e Fsca e Tecnologe Informatche da me tenute negl ann accademc a partre dal all Unverstà La Sapenza d Roma. S tratta del prmo modulo d laboratoro, al quale seguono ne trmestr successv altr quattro modul d laboratoro con contenut pù specfc Meccanca, Termodnamca, Elettromagnetsmo e Ottca. Il modulo s propone d fornre agl student gl strument d base per la comprensone del lnguaggo della fsca spermentale con partcolare rfermento al problema dell elaborazone e dell anals de dat spermental. In quest appunt, dopo una breve ntroduzone sul sgnfcato del metodo spermentale, c s concentra nel prmo captolo sul concetto elementare d msura n fsca. In questo prmo captolo le dee e le nozon sono fornte esclusvamente su base ntutva, senza formalsm matematc e senza alcuna pretesa d completezza e d esaustvtà. el secondo captolo s entra nella teora della probabltà, o meglo, n quella parte della teora della probabltà e delle varabl casual che rsulta fondamentale per la comprensone de rsultat degl esperment d fsca. Gl argoment d questa parte sono trattat con maggor rgore, e vengono utlzzat alcun formalsm matematc pù evolut che gl student stanno apprendendo ne cors parallel d matematca. In alcun cas, dove é necessaro, sono fornt de semplc complement d matematca, trattat però sempre con l atttudne del fsco spermentale che, come lo studente avrà modo d vedere é dversa da quella del matematco. el terzo captolo nfne con l auslo degl strument d teora della probabltà e delle varabl casual trattat n precedenza, vengono rpres problem mpostat all nzo del corso per fornre de metod statstc d rsoluzone d cu sarà ora charo l fondamento. L obettvo é acqusre l modo d analzzare dat degl esperment per trarne delle concluson scentfcamente ben fondate. Cascuno de tre captol é corredato da una sere d esercz per qual alla fne sono llustrate e dscusse le soluzon. S tratta d esercz n tutto analogh a quell che vengono dat sa nella prova scrtta fnale che nelle cosddette prove n tnere, e costtuscono una parte fondamentale del corso. La conoscenza e la padronanza de metod d anals de dat spermental costtusce non solo un bagaglo fondamentale per quegl student che s avveranno alla rcerca scentfca, ma é anche estremamente mportante per tutt que laureat che s avveranno al lavoro nell ndustra o n altr settor, per qual comunque sarà crucale la capactà d trarre delle concluson fondate a partre da un nseme d dat qualunque sa l orgne d quest.

3 0 Il metodo scentfco...5 La msura d una grandezza fsca...9. Grandezze fsche, untà d msura e dmenson fsche L untà d tempo L untà d lunghezza L untà d massa Sstem d untà d msura.... Il concetto d ncertezza d msura Esemp d valutazon qualtatve d ncertezza Caso n cu la msura s rconduce alla lettura d uno strumento Caso de contegg Caso d msure rpetute che danno dvers valor: la sequenza d numer Anals grafca della sequenza d numer Caratterstche rassuntve d una sequenza d numer Stma d ntervall Error sstematc Sequenze d coppe d msure Termnologa Cfre sgnfcatve Caso d msure ndrette: cenn alla propagazone ozone d sgnfcatvtà Ulteror consderazon su grafc: scale lnear e scale non lnear La scala quadratca La scala logartmca...38 Esercz relatv al Captolo...4 La probabltà e le varabl casual Concetto d probabltà Alcun metod d calcolo Regole della teora delle probabltà Spazo degl event Event compost Defnzone assomatca della probabltà Probabltà condzonata Alcune propretà delle probabltà Il teorema d Bayes Il Calcolo Combnatoro Varabl casual Consderazon general Dstrbuzon d probabltà d varabl casual Varabl dscrete Varabl contnue Moment d una dstrbuzone Denstà d probabltà d una funzone d varable casuale La meda e la devazone standard come varabl casual Varabl casual notevol Dstrbuzone unforme La dstrbuzone bnomale Il processo d Posson: lmte del processo d Bernoull Il processo d Posson: defnzone generale La dstrbuzone d Gauss Dstrbuzon d varabl casual dervate dalla dstrbuzone d Gauss

4 .7 Propretà notevol delle varabl casual Contenuto d probabltà d ntervall d varabl casual Il teorema del lmte centrale Lmte gaussano Varabl casual multple Impostazone del problema Probabltà congunta e covaranza Calcolo d Ey] e Vary] Propagazone delle ncertezze...84 Esercz relatv al Captolo Introduzone all nferenza Introduzone formale all nferenza Consderazon general L nferenza bayesana Il prncpo d massma verosmglanza Inferenza sul valore vero Caso d una sngola msura Caso d una msura rpetuta volte Caso de contegg possonan Caso de contegg bnomal La barra d ncertezza Msure ndrette: la propagazone delle ncertezze Rformulazone del problema Propagazone delle ncertezze ozone d consstenza e sgnfcatvtà: test d potes Consstenza tra rsultat d esperment Consstenza tra espermento e modello Combnazone d dverse msure: la meda pesata Anals delle dpendenze funzonal: l ft Il ft: formulazone del problema Ipotes d lavoro Il ft: dervazone delle formule per le stme de parametr Il ft: calcolo delle varanze de parametr e della loro covaranza Valutazone della bontà del ft: test del χ Caso partcolare: test della consstenza tra msure ndpendent Il ft: come farlo operatvamente Caso n cu non conosco le ncertezze sulle y: l metodo de resdu...7 Esercz relatv al Captolo Soluzone degl esercz propost

5 0 Il metodo scentfco Qual é l oggetto della scenza naturale? La scenza s occupa de fenomen natural vale a dre d tutte quelle cose che osservamo accadere, d quelle manfestazon della natura, che entrano n relazone con nostr sens, e che no consderamo rlevant e degne d essere studate. In partcolare, anche la fsca studa tal manfestazon. E dffcle crcoscrvere con charezza l campo d ndagne della fsca rspetto ad altre dscplne qual la chmca o la bologa e n effett esstono dscplne d confne qual la chmca fsca e la bofsca. In modo generale e forse dscutble, s può dre che la fsca s dstngue dagl altr settor d ndagne, per l fatto d studare fenomen nelle loro manfestazon pù elementar o fondamental, ovvero per l fatto d occupars de sstem pù semplc esstent n natura. Il metodo con cu n fsca vengono studat fenomen natural s colloca entro l quadro pù vasto del metodo scentfco, una grande costruzone d pensero e d esperenza svluppata nel corso degl ultm secol. La fsca fa propro l metodo scentfco, con alcune specfctà dovute al tpo d problem che devono essere affrontat. A cosa serve dunque l corso d laurea n fsca? La cosa prncpale che gl student d fsca mparano é propro l metodo della fsca, l apprendmento del quale é n un certo senso ancora pù mportante della conoscenza delle legg fsche stesse. Il metodo fornsce, nfatt, l atteggamento con cu l fsco s pone nello studo de fenomen natural, costtusce un modo d ndagne della realtà, un approcco a problem. Vedamo qual sono gl aspett caratterstc d questo metodo. ella stora del pensero c sono stat due atteggament d fronte alla complesstà della realtà fsca: a L Emprsmo l cu metodo d ndagne caratterstco é detto nduzone e b l Razonalsmo per l quale s ha l metodo detto della deduzone. Per esemplfcare quest approcc prendamo un esempo preso a prestto dalla vta quotdana. Tutt no sceglamo d comportarc n un certo modo n base alle nformazon che abbamo. A che ora uscamo d casa la mattna per arrvare all unverstà prma delle 9? Lo studente affronta l problema con l seguente approcco. Fa dverse prove: un gorno esce alle 7 un gorno alle 7:30 po alle 8 ed nfne alle 8:30. Rpete n gorn dvers queste prove e alla fne osserva che se esce alle 7:30 mpega 5 mnut, se esce alle 8 mpega d pù e così va. Da tal osservazon conclude che l oraro mglore per uscre é uno de tant provat. Da cò trae n defntva la sua regola d comportamento. Lo studente nvece sulla base del fatto che le scuole aprono alle 8, gl uffc alle 9 deduce che é meglo uscre alle 7:30 senza mpegare dverse settmane a fare delle prove. E charo che s tratta d un esempo d emprsta lo studente e d razonalsta lo studente. Quale de due approcc é quello propro del metodo scentfco? In realtà non lo é nessuno de due, o meglo, lo scenzato usa ambedue metod, l combna. In questo consste la sntes propra del metodo scentfco, che s suole anche ndcare come sntes galleana rcordando l nome d Galleo che fu l prmo a formularne gl aspett salent ne suo scrtt: osservazone e teora sono ntmamente legate tra loro, n un certo senso s gudano a vcenda. Il metodo scentfco moderno nasce da questa sntes. L osservazone della natura non é un puro e semplce catalogare fatt o fenomen che é vceversa propro dell emprsmo puro. Attraverso l osservazone lo scenzato vuole n realtà coglere l meccansmo che regola fenomen e pertanto tende a selezonare le osservazon da fare e, al tempo stesso, tende ad nventare un lnguaggo con l quale resce a parlare n modo charo de fenomen natural che osserva. La comprensone de meccansm della natura é nfatt molto pù potente della pura e semplce osservazone d come s svolgono le cose. on solo, tale comprensone spnge ad altre osservazon e pertanto la conoscenza che s acqussce dventa la base per acquszon d conoscenze successve. 5

6 Gl ngredent fondamental del metodo scentfco sono dunque da un lato gl esperment e dall altro modell teorc. Sono due element che s muovono d par passo condzonandos a vcenda. Vedamo d charrne l sgnfcato. - Fare un espermento sgnfca fare una domanda alla natura. S not la dfferenza che c è tra espermento processo attvo e semplce osservazone processo passvo. La domanda che l espermento pone, deve essere ben posta. Quello dell espermento é un procedmento charamente nduttvo. Sul pano logco l processo é l seguente: se osservo che una cosa s svolge n un certo modo n una data crcostanza, passo dal partcolare al generale: quella cosa n quelle condzon s svolge sempre n quel modo. Per esempo se o osservo che un dato materale ha una certa propretà esempo, l rame é conduttore, o nduco che tutto l rame é conduttore. Per dre questo dovre prendere tutto l rame del mondo anz dell unverso e msurarlo. Ma non é necessaro farlo. Faccamo un osservazone: l fatto che la rpetzone d un dato espermento fatto da persone dverse n temp dvers con apparat dvers port a rsultat che sono tutt generalmente compatble, é un fatto per nulla banale, ma é cò che effettvamente accade. In altre parole la atura rsponde allo stesso modo ad osservator dvers, quando la domanda é posta ugualmente bene. Quando cò accade, s dce che samo n condzon d rproducbltà. Quando non accade normalmente vuol dre che la domanda é mal posta, l espermento é fatto male. In questo, trovamo un prmo aspetto dell oggettvtà che rende fattble l ndagne scentfca. - Che cos è nvece un modello teorco? Il modello s svluppa quando vengono ndvduat termn che descrvono l fenomeno gl element del lnguaggo e le relazon che l collegano. A questo punto posso dedurre le caratterstche d altr fenomen. Posso coè fare predzon. S tratta d un procedmento charamente deduttvo. Da assom general deduco conseguenze osservabl. Un modello, potremmo dre, nventa un lnguaggo con l quale é possble parlare d quel fenomeno e predre le propretà d altr fenomen a questo collegat. Seconda osservazone: l fatto che nostr modell descrvono bene rsultat degl esperment é un secondo fatto per nulla ovvo, ma é anch esso vero. S tratta d un altro aspetto dell oggettvtà d cu s dceva. Gl uomn rescono a creare un lnguaggo comune per descrvere la natura. Una persona ntellgente resce a capre questo lnguaggo, e s rende conto presto che funzona. Per poter apprezzare l modo con cu la scenza s svluppa, é fondamentale vedere tant esemp che la stora della scenza c fornsce. Tra tant che saranno dscuss n tutt cors del seguto degl stud, accennamo solo brevemente al caso della meccanca: dall osservazone de corp n moto d alcun corp n moto non d tutt mot possbl ewton nduce la legge del moto che costtusce la regola fondamentale del lnguaggo de fenomen d corp n moto. Una volta stablto l lnguaggo della meccanca fu possble dedurre predzon d altr fenomen che n seguto, esperment tecnologcamente sempre pù evolut hanno sottoposto a test sempre pù accurat. Questo progresso nell accuratezza degl esperment ha portato nfne a mostrare che l lnguaggo della meccanca doveva essere modfcato per poter descrvere fenomen n certe partcolar condzon. La forza del metodo scentfco sta essenzalmente nel suo successo. Il successo della meccanca, della termodnamca e dell elettromagnetsmo nell arco d meno d 3 secol sono una testmonanza straordnara d cò. Faccamo ora un passo avant. Infatt fnora abbamo parlato n modo generco d osservazon e modell. In realtà sappamo bene che sa gl esperment che modell hanno a che fare con numer e pù n generale con le regole della matematca. D altra parte gl student del prmo anno sanno bene che sono nvtat a studare la matematca. Cerchamo d capre l perché. ell espermento le sensazon umane sono quantfcate. In altre parole sono sosttute da numer che appunto rendono quanttatva una sensazone che altrment sarebbe solo qualtatva. Dre che un corpo é pù caldo d un altro costtusce una affermazone ben defnta e non ambgua. Tuttava é 6

7 un affermazone povera d contenuto. Per rendere pù effcace la sensazone s mette n atto un processo d quantfcazone che chamamo processo d msura d una grandezza fsca. Al termne dell espermento ho dunque un nseme d numer, che rappresentano rsultat delle msure della o delle grandezze fsche rlevant per la descrzone del fenomeno che sto studando. Il modello esprme relazon tra tal grandezze fsche. S tratta delle legg fsche. Il confronto tra rsultat delle msure e tal legge permette d stablre se l modello descrve correttamente l fenomeno. el contesto del metodo scentfco l ruolo della matematca rsulta decsvo sa negl esperment che nella teora. Infatt: La usamo per svluppare modell e defnre l lnguaggo per la loro caratterzzazone. Il dedurre é matematco. Il settore prncpe della matematca applcata alla fsca é l anals calcolo nfntesmale che, nfatt, nacque propro dall esgenza d fornre uno strumento d calcolo adeguato alla descrzone della fsca. Ma la dobbamo usare per trattare n modo coerente rsultat delle msure che compongono qualsas espermento. In questo caso l concetto d probabltà dventa molto mportante perché s vede che gl esperment s lascano descrvere da teore probablstche. Accanto alla teora della probabltà s colloca la statstca la dscplna che studa da un lato, le modaltà con cu descrvere le propretà d un nseme d dat statstca descrttva e dall altro come a partre da dat s può trarre concluson su valor delle grandezze fsche statstca nferenzale. Cosa faccamo no n questo corso? ell ambto de cors d laurea n fsca, l corso d laboratoro ha un ruolo estremamente rlevante. S tratta nfatt d mparare un mestere : l mestere dello spermentatore. E un lavoro ben defnto con le sue caratterstche. Schematzzando potremmo dre che l lavoro dello spermentatore s svluppa ne seguent pass, cascuno del qual rchede una certa propensone: pensare a quale é l espermento gusto da fare domanda alla natura; conoscere la fsca pensare a come farlo; conoscere la tecnologa 3 montarlo e mettere n funzone l apparato d msura; abltà manuale e organzzatva 4 fare la msura con tutt controll essenzal; attenzone e cura 5 analzzare rsultat e trarne delle concluson; usare metod della statstca 6 comuncare queste concluson al mondo scentfco; charezza e sntes comuncatva. È mportante sottolneare la varetà e la complesstà del lavoro dello spermentatore, per l quale sono necessare atttudne normalmente consderate molto dverse per esempo la manualtà e l atttudne all astrazone. S tratta d un lavoro molto bello per l quale vale la pena mpegnars ma questa é una ma valutazone personale. In questo corso nzeremo un percorso artcolato n pù modul per mparare a fare tutte queste cose -6. In questo modulo c occuperemo prevalentemente de punt 5-6 dscutendo metod d anals de dat ma anche un po 3 e 4 quando andremo n laboratoro. e modul successv vedremo meglo ha a che fare con la conoscenza della fsca e dunque ha a che fare con tutto cò che sarà dscusso nel corso d laurea n Fsca. Alcune consderazon pratche: Ruolo del Calcolatore: per un prmo approcco effcace all attvtà spermentale é meglo usarlo l meno possble. Il calcolatore é nfatt uno strumento essenzale ma spesso fnsce per mpedre una comprensone profonda d quello che s sta facendo. Bsogna sempre evtare d fare le cose ad occh chus, fdandos cecamente d un programma che qualcun altro ha fatto. Almeno una volta bsogna aver fatto un anals con carta e penna per poter usare n modo crtco ed effcace un prodotto nformatco. 7

8 Ruolo della Calcolatrce: sapere usarla al meglo una calcolatrce scentfca con le operazon matematche fondamental come le funzon trgonometrche, logartm, la notazone esponenzale. Ruolo della matematca: ad un certo punto dovremo usare alcune nozon elementar d anals qual la dervata e l ntegrale. Per l resto s cercherà d rendere var concett n modo semplce ed ntutvo. Ruolo del log-book quaderno e delle relazon: é molto mportante mparare a descrvere quello che s sta facendo e che s é fatto n modo utle e charo. el log-book é bene rportare sempre tutto quello che s fa. Il suo ruolo é quello d poter sempre rcostrure quello che s é fatto n quel dato gorno. Le relazon devono nvece essere sntetche e devono dare al lettore le nformazon rlevant e non dare quelle rrlevant. Lavoro d gruppo: é mportante mparare a lavorare n gruppo collaborando. Sono sempre pù rar coloro che fanno rcerca scentfca da sol. Quas sempre la rcerca, ed n partcolare quella spermentale é un lavoro d gruppo. 8

9 La msura d una grandezza fsca Abbamo vsto che un espermento é rconducble ad una o pù msure. Vedamo ora d delneare la logca del processo d msura. Indvduamo seguent pass logc. 0 Assoco ad ogn elemento potremmo anche dre sensazone che partecpa al fenomeno una grandezza fsca; chamo temperatura la sensazone d caldo/freddo, tempo la sensazone d event che s succedono, lunghezza la sensazone d spazatura tra poszon, corrente la sensazone d scossa elettrca stablsco come assocare un numero a tale grandezza; questo processo costtusce la defnzone operatva della grandezza, coè lo stablre l prncpo ed l metodo della msura; nfne effettuo la msura e dunque ottengo l numero. La defnzone operatva presuppone un prncpo d msura coè l esstenza d un fenomeno fsco e d un modello teorco che usamo per trattare questo fenomeno. S tratta pertanto d msure che hanno sgnfcato solo nell ambto d un modello. Anche la msura del peso con una blanca, apparentemente elementare, s fonda sul fatto che s ha equlbro statco tra la forza d rchamo d una molla e la forza peso; l funzonamento del termometro s fonda sulla nostra descrzone della dlatazone termca de corp e così va. In altr cas l prncpo d msura é pù elementare. Per esempo se s tratta d contare l numero d oggett o l numero d volte n cu é accaduta una certa cosa, la msura fa rfermento alla nozone d numerabltà degl oggett, così come la msura d lunghezza effettuata con un metro s basa sul confronto tra oggett, l tavolo ed l metro. S tratta d operazon che fanno rfermento a procedment elementar la numerabltà, l confronto che sono nst nella nostra ntellgenza. Tutt gl esemp fatt appartengono alla classe delle msure drette coè d msure d una grandezza fsca che s fanno con un metodo d msura ben defnto per quanto complcato. Esstono po le msure ndrette che s hanno quando combno, secondo una relazone che appartene al mo modello, dverse msure drette d grandezze dverse. el caso della veloctà nella maggoranza de cas facco v s / t non msuro drettamente v, anche se uso un tachmetro: vengono msurate separatamente s e t e po vene fatto l rapporto. Oppure posso usare uno strumento per msurare una grandezza e po rcavarne un altra moltplcandola per de numer not da msure precedent. In ogn caso le msure vengono effettuat con gl strument d msura, che possono essere acqustat ed utlzzat chav n mano preva lettura del lbretto d struzon, oppure possono essere preparat dallo spermentatore cò é quanto n genere fanno o preferrebbero fare la gran parte de fsc. In ogn caso é molto mportante conoscere le caratterstche degl strument che s utlzzano.. Grandezze fsche, untà d msura e dmenson fsche. Consderamo le msure drette: s tratta d confrontare la cosa che msuramo, che chameremo n generale l msurando, con un esemplare della stessa grandezza d cu conoscamo l valore numerco. Esempo: quando msuro la temperatura con l termometro, la scala del termometro é graduata n grad centgrad dett Celsus o scala Celsus. Sappamo che quando la colonnna del mercuro raggunge una certa poszone, quella condzone corrsponde ad una data temperatura. Quella condzone é l esemplare con cu m confronto. Il grado centgrado é nvece l untà d msura della grandezza n esame la temperatura n questo caso. Analogamente la poszone dell ago della blanca o l numero sul dsplay d un cronometro dgtale, costtuscono gl esemplar delle grandezze con cu confronto l msurando, mentre l kg e l secondo sono le untà d msura che compaono nelle scale degl strument. Specfchamo ora che cos è un untà d msura. Cosa vuol dre esprmere un peso n kg? Sgnfca assumere che da qualche parte esste un msurando partcolare arbtraramente detto klogrammo, che tale msurando partcolare é stable e ben defnto, e che qund no esprmamo tutt nostr pes come multpl o sottomultpl d quel msurando partcolare. aturalmente per una data grandezza posso usare untà dverse. Per esempo le lunghezze sono n km n Europa e n mgla negl USA. Le 9

10 temperature sono n grad Celsus n Europa e n grad Fahrenhet negl USA. E fondamentale metters d accordo sulle untà d msura. Dall 800 s procede verso la standardzzazone delle untà s tratta d una delle poche eredtà utl del postvsmo ottocentesco. V é una branca molto mportante della fsca che s chama metrologa che fa questo lavoro. Per procedere alla standardzzazone d cu s é detto, é fondamentale dsporre d campon d rfermento msurand partcolar d cu s é detto sopra appunto nternazonalmente rconoscut delle vare grandezze che sano sempre meglo defnt. Una volta creat quest campon, l uso d uno strumento sarà possble solo dopo che lo strumento stesso sarà stato applcato al campone d rfermento. Qund per esempo supponamo che da qualche parte v sa l campone d lunghezza metro. Devo portare lì l mo regolo o rghello o metro da sarta o calbro o qualunque altro strumento per msure d lunghezza e fare n modo che applcato al campone d rfermento ndch. Analogamente per temp, per le masse e per qualunque altra grandezza. Questa operazone che s chama calbrazone o taratura dello strumento, é un operazone che faccamo spesso per esempo con l nostro orologo quando lo rmettamo sentendo l segnale alla rado o al telefono. S tratta d una operazone che rchede a la fduca che l rfermento sa mglore della nostra msura e b che su quel rfermento s sa d accordo tra tutt. aturalmente non é possble che v sa un unco campone d rfermento al mondo e che tutt debbano andare lì a fare la calbrazone. Questo campone deve essere dstrbuto, ma n ogn caso, n lnea d prncpo deve essere possble fare questa operazone d taratura. Vedamo ora qual sono campon d rfermento per le grandezze d uso pù comune: l tempo, la lunghezza e la massa... L untà d tempo. È dffcle dare una defnzone della varable tempo. Il punto d partenza é la percezone che n natura v sono event che s rpetono n un modo che no percepamo come regolare. I prm esemp sono l gorno e le stagon. E, n effett, la prma defnzone prma n senso storco d untà d tempo s basa su questo: l secondo s é /86400 del gorno solare medo. S tratta d una msura basata sulla rproducbltà d fenomen astronomc, n questo caso l moto d rotazone della terra su sé stessa. Ben presto c s accorse che n realtà l gorno solare medo non é sempre uguale, o, detto n altre parole, che v sono de meccansm astronomc che rendono rregolar mot de panet. Confrontato con altr fenomen perodc dfferent, s vde che c erano varazon secolar legat a mot compless della terra. D qu l esgenza d rferrs non a fenomen astronomc ma a qualcosa che fosse fsso e ben rproducble: apparve allora naturale rferrs a fenomen che fossero caratterstc d un certo materale e che pertanto fossero nvarabl nel tempo. Fenomen d questo tpo sono dat dalla vasta gamma d emssone d radazone elettromagnetca da parte d cert materal e dalle loro frequenze. L attuale defnzone d secondo é la seguente: é la durata d perod della radazone corrspondente alla transzone tra lvell perfn dello stato fondamentale dell atomo d Ceso Cs. Qund occorre un campone d 33 Cs per produrre l campone d rfermento. La ragone d questo numero così bzzarro rsede nell esgenza d mantenere una untà sostanzalmente equvalente al veccho secondo così radcato nella socetà. S not che n questo modo l valore del perodo d quella partcolare radazone del Ceso 33é una quanttà nota esattamente, non affetta da ncertezza ved prossmo paragrafo... L untà d lunghezza. el caso della lunghezza, la cosa pù naturale da fare é prendere un asta e vedere quante aste é lungo l mo msurando. aturalmente devo sceglere un asta opportuna usare l palmo della propra mano comporta evdent problem. Allora s dsse: prendamo una cosa fssa e tutt c rferamo a quella. Insorsero però de problem. Infatt s vde che la lunghezza d questo campone varava al varare della temperatura. Allora s dsse: prendamo un campone d un 0

11 materale opportuno l platno-rdo é una lega d straordnare propretà meccanche e chmche lo mettamo n un posto fsso a rparo dalle ntempere e lo termostatamo. La prma defnzone d untà d lunghezza fu questa. Po s vde che non s resce a termostatarlo perfettamente e po che c sono de fenomen chmc d corrosone, nsomma che la barretta d platno-rdo non é mmutable. Devo rferrm ad un fenomeno fsco pù soldo. In analoga a quanto fatto per la varable tempo s decse d usare l fenomeno dell emssone d una spece atomca: l metro m é pertanto par a lunghezze d onda nel vuoto della radazone corrspondente alla transzone tra lvell p 0 5 d 5 dell atomo d Krpton Kr. Da alcun ann tuttava metrolog s sono accort d sapere msurare la veloctà della luce nel vuoto la quanttà c che costtusce anche l lmte superore d ogn veloctà meglo d qualunque altra cosa. D qu la defnzone attuale del campone d rfermento della lunghezza: l metro é lo spazo percorso da un raggo d luce nel vuoto n un tempo d / s. S not che s tratta d una defnzone che rchede la defnzone del secondo. In defntva sgnfca che ora c la veloctà della luce nel vuoto é fssa nota esattamente. E dunque una dstanza é quanto mpega la luce a percorrerla. L esempo dell untà della lunghezza é partcolarmente struttvo. Infatt, c mostra quello che accade quando msurando la veloctà della luce nel vuoto sempre meglo, s arrva al punto n cu a lmtare la precsone della msura é propro la defnzone dell untà d lunghezza. A questo punto é evdente che convene prendere questa cosa che so msurare così bene come nuova untà. S tratta d un procedmento generale. Se msurando sempre meglo un msurando m accorgo che la precsone della msura é orma lmtata dalla bontà del campone d rfermento, allora questo msurando ha tutt drtt d dventare l nuovo campone. Lo fsso ad un valore arbtraro e d ora n avant m rfersco ad esso...3 L untà d massa. Il klogrammo kg era e rmane l peso d un campone d platno-rdo conservato n un sttuto metrologco ne press d Parg. on é cambato, perché ancora non é stato trovato un campone mglore d questo c sono delle proposte d cambamento, ma per ora l Sstema Internazonale ved seguto mantene questo campone d rfermento...4 Sstem d untà d msura. Tra le vare grandezze che s possono defnre per descrvere fenomen fsc, possamo ndvduarne alcune che chameremo fondamental ed altre che nvece chameremo grandezze dervate. S tratta d una dstnzone arbtrara. E nutle defnre un campone per ogn grandezza: esempo v s /t, E / mv. Per questo s defnsce un nseme d grandezze fondamental da cu le altre sono dervate secondo le loro defnzon. Come s scelgono le grandezze fondamental? Quelle per cu s trovano campon d rfermento mglor. Ogg s ha l sstema detto S.I. sstema nternazonale. Questo s defnsce con l nseme delle grandezze fondamental. S not che la scelta del S.I. non é unvoca. S possono sceglere e c sono altr sstem anche con un dverso numero d untà fondamental. S può dmostrare che una sola grandezza fondamentale é suffcente. Per fare un esempo, nella fsca delle partcelle elementar s usa l energa come grandezza fondamentale, e tutte le altre grandezze altro non sono che potenze postve, negatve o nulle dell energa. ella tabella che segue sono rportate le untà fondamental del sstema nternazonale cascuna con la defnzone del campone che la defnsce. S può notare che alcune delle defnzon fanno rfermento ad altre untà che sono defnte ndpendentemente. Tempo secondo s Durata d perod d una radazone dal 33 Cs Lunghezza metro m Spazo percorso da un raggo d luce nel vuoto n un tempo d / s

12 Massa klogrammo kg Massa del prototpo campone realzzato n lega 90% platno e 0% rdo e conservato al BIPM Parg Intenstà d corrente ampere A Quella corrente tale che conduttor parallel e rettlne d sezone costante a m d dstanza sono attratt da 0-7 /m Temperatura kelvn K /73.5 della temperatura del punto trplo dell acqua Intenstà lumnosa candela cd Intenstà emessa da un corpo nero d superfce / m posto a pressone 035 Pa e alla temperatura d soldfcazone del platno Quanttà d matera mole mol Quanttà d matera che contene tant element quant ne contengono 0.0 kg d carbono Assocato alla nozone d grandezze fondamental e dervate, v é l concetto d dmenson fsche: ogn grandezza ha una dmensone fsca. Le grandezze fondamental hanno come dmenson la grandezza stessa. Quelle dervate, che sono defnte da una formula, hanno come dmensone la combnazone delle grandezze fondamental che s desume dalla formula stessa. Per ndcare le dmenson d una grandezza s usano n genere le notazon l], m], t] rspettvamente una lunghezza, una massa, un tempo. Faccamo alcun esemp d grandezze dervate. La formula per l energa cnetca é E ½ mv, d altro canto v s / t, qund mettendo nseme: E] m] l] t] -. Il momento angolare é dato da L r mv pertanto le sue dmenson sono L] m]l] t] -. Infne un angolo é l rapporto tra l arco d cercho l] e l raggo l]. In tal caso s dce che la grandezza é admensonale. Le dmenson non sono da confondere con le untà d msura. Le regole sulle dmenson che sono del tutto natural non sono altro che l prolungamento delle regole vste alle scuole elementar, quando c dcevano che non s possono sommare mele con arance. Qund n una formula se compare una somma o una dfferenza, gl addend devono avere le stesse dmenson, così come n un equazone due membr devono avere le stesse dmenson. Inoltre n espresson contenent esponenzal o logartm, gl argoment d tal funzon devono essere admensonal. Quanto alle untà delle grandezze non elementar, s usano le combnazon delle untà delle grandezze elementar corrspondent. Ad esempo per la veloctà s userà m/s. In alcun cas sì da anche un nome all untà. Per esempo per la forza, le cu dmenson sono massa accelerazone e dunque m] l] t] - vene ntrodotto l ewton che é equvalente a dre kg m s -. Andando avant nel corso ntrodurremo le vare untà. Vale la pena rcordare che per alcune grandezze restano n uso untà al d fuor del sstema nternazonale, che sono d uso comune. E l caso dell atmosfera per la pressone, della calora per l energa e cos va. Infne é anche mportante conoscere l uso de multpl e de sottomultpl, per evtare d avere a che fare con numer troppo grand o troppo pccol. In tabella d seguto é rportato l elenco d multpl e sottomultpl con loro smbol.

13 0 Tera T 0 9 Gga G 0 6 Mega M 0 3 Chlo k 0 Etto h 0 Deca da 0 - Dec d 0 - Cent c 0-3 Mll m 0-6 Mcro μ 0-9 ano n 0 - Pco p 0-5 Femto f 0-8 Atto a. Il concetto d ncertezza d msura Fn qu tutto semplce. Ma c è un fatto n pù che rende l mestere dello spermentatore pù complesso ed nteressante. C è una caratterstca fondamentale: la msura fornsce una conoscenza ntrnsecamente ncerta. Cò può apparre contraddttoro. Infatt rguardo alla Scenza s usano spesso espresson del tpo Scenza Esatta, o fras del tpo è scentfcamente provato o sml. Qu occorre sgomberare l campo da equvoc. Scenza Esatta non sgnfca fare affermazon assolutamente precse e ndscutbl. Sgnfca puttosto fare affermazon nelle qual é ndcato n modo charo l lmte d attendbltà dell affermazone stessa. Attenzone alle parole e a luogh comun dunque.. In che senso la msura, come s é appena detto, fornsce una conoscenza ntrnsecamente ncerta? Vedamo alcun esemp d sorgent d ncertezza. Msuramo la lunghezza del tavolo. Con un regolo un metro nel lnguaggo comune posso dre che l rsultato é tra qu e qu,.3 e.4 cm per esempo; basta che stablsco tra qual dvson dette anche tacche dello strumento s stua la ma msura. Allora prendo uno strumento molto pù precso le cu dvson sono d 0 mcron per esempo un calbro palmer d quell che vedremo n laboratoro e ottengo che la msura s stua tra cm; certo ho rstretto l ntervallo, ma sempre d un ntervallo s tratta; M chedo allora c è modo d arrvare a dre: l tavolo é lungo.346 cm? Oppure ntrnsecamente posso solo dare un ntervallo? Evdentemente s. Qualsas strumento darà un ntervallo. Ma c è d pù. 3 Se rpeto la msura un po pù n là ottengo una cosa dversa. Quant è lungo l tavolo? Qu samo d fronte ad una carenza nella defnzone d quello che voglo msurare. Voglo msurare l tavolo s, ma n che punto? 4 Rpeto po la msura facendola nello stesso punto, ma la sera. Trovo che l ntervallo ora é.37 e.38. Che succede? Evdentemente l tavolo sta soffrendo d effett d dlatazone termca. Pertanto d nuovo la defnzone é manchevole. La domanda gusta da porre é quant è lungo l tavolo a quella temperatura? Ma c è d pù ancora. 5 Prendo un altro strumento uguale un altro esemplare dello stesso strumento e msuro sullo stesso punto alla stessa ora: ottengo l ntervallo.39 e.30. Allora? Probablmente é accaduto che gl esemplar de due strument sono scalbrat. Il valore vero d questa grandezza lunghezza del tavolo é dunque elusvo per tante ragon. Che cos è l valor vero? La defnzone metrologca é: valore vero un valore compatble con la defnzone della grandezza. Come abbamo vsto, affnché sa unvoco, deve essere ben defnto. Rcaptolamo le vare ragon d ncertezza che abbamo ncontrato nell esempo vsto. 3

14 a Lmtazone dello strumento che rmane anche quando prendo uno strumento molto mglore dovuta alla spazatura tra le dvson. b Problema della calbrazone nfatt devo aver confrontato l mo regolo con l campone d rfermento n qualche modo. Ma se non l ho fatto? O se nel frattempo qualcosa del mo strumento é cambato? c Cattva defnzone d quello che msuro lunghezza del tavolo dove?, a che ora? d Effett non consderat che alterano la cosa che sto msurando dlatazone termca del tavolo. e f S not che tra le ragon d ncertezza elencate, la c s applca non a tutte le grandezze fsche. Alcune grandezze nfatt hanno un carattere unversale e sono perfettamente defnte: la veloctà della luce nel vuoto, la massa del protone, la costante d Planck etc.. La msura d queste grandezze é dunque affetta da error d msura tutt nerent l metodo d msura nteso n senso lato ma non é affetta da error d msura relatv alla defnzone della grandezza. Per ora concludamo questa prma anals delle ncertezze accennando al fatto che c possono essere altre cause. Tra queste: Lmtazone nella conoscenza d altre cose che m servono per arrvare al mo rsultato per esempo alcune costant fondamental, o l rsultato d altre msure. Lmtatezza del campone qu la parole campone ha un sgnfcato dverso da quella d untà campone, coè lmtatezza delle nformazon dsponbl è l dscorso de contegg cu abbamo gà accennato. In ogn caso l esto del processo d msura é un numero: l valore msurato μ. el nostro caso sarà per esempo l centro dell ntervallo tra gl estrem del quale cade la msura. Ma per quanto detto fnora l rsultato non può lmtars a quel numero propro perché la ma conoscenza é comunque ncerta. Sembra dagl esemp vst molto pù sensato dare un ntervallo d valor che n sostanza m dce entro qual valor o penso sa l valore vero. Damo allora le seguent defnzon: L Incertezza, é la stma data dallo spermentatore della larghezza dell ntervallo nel quale lu crede debba essere l valor vero. Qu l termne crede é ambguo ma verrà precsato n seguto. In genere vene data come metà dell ntervallo. La Stma del valor vero mglor valore, valore centrale é l valore centrale, quello che m convnce d pù. In genere é l centro dell ntervallo per cu l modo pù tpco d dare l rsultato sarà: valore centrale ± ncertezza. L Errore d Msura é nvece la dfferenza tra valor vero e valore msurato: non accessble spermentalmente se lo sapess sapre l valor vero S not la dfferenza tra termn errore ed ncertezza che spesso nell uso comune sono ugualmente usat. Usando correttamente termn dcamo: n vrtù dell esstenza d error d msura, lo spermentatore deve valutare l ncertezza d msura e dare l rsultato della sua msura come ntervallo tra due valor della grandezza. L errore d msura n generale ha tant contrbut con caratterstche dverse alcun che posso far dmnure quando aumento le nformazon a ma dsposzone, altr no. L ncertezza deve stmare tutt contrbut possbl. el caso della msura della lunghezza del tavolo fatta con l calbro avente una dvsone mnma d 0 μm, v sono 4 contrbut: l ncertezza dovuta alla lmtazone della lettura ~ 0 μm, quella dovuta alla calbrazone assoluta dello strumento una stma é la dfferenza tra la msura fatta da esemplar dello stesso strumento ~ 40 μm, 3 quella dovuta all effetto della temperatura ~ 30 μm ed nfne 4 quella dovuta alla defnzone del msurando n che punto msuro ~ 30 μm. S tratta come s vede d un caso complesso n cu convvono dverse sorgent d ncertezza dello stesso ordne d grandezza, nessuna veramente trascurable. 4

15 Rcaptolando: poché le msure sono affette da error d msura occorre stmarne le ncertezze. on s può ma dare un solo numero come rsultato, occorre dare un ntervallo nel quale o dco debba cadere l valore vero. E la determnazone d tale ntervallo deve contenere una stma d tutte le possbl sorgent d errore che posso pensare. Fare un espermento sgnfca essenzalmente fare questo. La bravura dello spermentatore consste nel progettare l espermento e nel realzzarlo n modo che le ncertezze sano pccole rspetto alla precedente conoscenza della grandezza n msura. Accennamo qu al fatto che n molt cas é opportuno utlzzare l ncertezza relatva, coè l rapporto tra la larghezza dell ntervallo, ovvero l ncertezza ed l valore centrale dell ntervallo. L ncertezza relatva ha l prego d permettere un confronto tra le ncertezze d msure dverse. Per esempo se o msuro una con una ncertezza d un mcron una lunghezza d 00 mcron ho una msura al percento, perché l rapporto μm / 00 μm 0.0 %. Se nvece msuro sempre con una ncertezza d un mcron una lunghezza d m, ho una ncertezza relatva d 0-6 m / m 0-6, coè sto msurando una lunghezza con una ncertezza d una parte su un mlone. e due cas llustrat le ncertezze assolute sono le stesse μm ma le ncertezze relatve sono molto dverse d ben 4 ordn d grandezza. el gergo de fsc s usano spesso espresson del tpo, msura al percento oppure al permlle. Con tal espresson s ndca l ncertezza relatva della msura..3 Esemp d valutazon qualtatve d ncertezza Vedamo ora alcun semplc esemp d stma dell ncertezza nel caso d msure drette. on s tratta d apprendere regole da applcare ma d mparare l metodo con cu fsc generalmente dscutono var cas che s presentano..3. Caso n cu la msura s rconduce alla lettura d uno strumento In molt cas fare una msura s rconduce alla lettura o d un dsplay lettura dgtale o della poszone d un ago su una scala graduata lettura analogca. In cosa s dstnguono l dgtale e l analogco parole, la prma n partcolare, usate anz abusate ogg. In generale uno strumento che dà una rsposta dgtale é uno strumento che fornsce solo un nseme dscreto d possbl rsposte; lo strumento analogco dà un nseme contnuo d possbl rsposte. Consderamo separatamente due cas: Lettura d un dsplay. Se leggo un numero e questo numero é stable le cfre non cambano nel tempo l unca conclusone che posso trarre é che l valore della msura sarà compreso tra e Infatt se fosse stato sarebbe stato approssmato a e cos va. Posso dre nente d pù? Dre d no. on so per esempo se é pù ragonevole o per me sono tutt ugualmente plausbl e ragonevol. Dunque posso dare un ntervallo ± S not che talun strument possono usare dvers tp d approssmazon. Per esempo possono approssmare all ntero nferore. In tal caso l nostro sarebbe equvalente ad un ntervallo compreso tra e e l rsultato potrebbe scrvers come ± Lettura d un ago fsso su una scala graduata. C sono ntanto alcune cose da defnre. La dvsone é la dstanza tra tacche contgue; l fondo scala é l valore n corrspondenza del quale l ago s porta all estremo della scala. Pù n là non s può andare. Provamo a leggere la msura n questo caso. Devo dare una nterpolazone tra dvson; fno a che punto c s può spngere? Se do come ntervallo le tacche ntorno all ago certamente do un ntervallo corretto. Sono certo che la msura sta l. Tuttava n questo caso posso fare meglo. Posso stablre a quale delle dvson l ago s é avvcnato d pù, c sono delle zone n cu é pù plausble stuare l valore vero. Posso provare a stmare l pù pccolo ntervallo nel quale s stua con certezza l valore della msura. el corso della Eserctazone cercheremo d stmare la capactà d nterpolare tra le dvson. Per ora c lmtamo a stmare la capactà d nterpolazone guardando 5 esemp d Fg... 5

16 Fg.. Esemp d agh analogc su scale graduate. Lo studente può tentare una prma nterpolazone a occho e po controllare con valor ver dat qu d seguto sarebbe bene coprre quest numer mentre s nterpola con lo stesso metodo della prma eserctazone d laboratoro. valor ver:.0 /.7087 /.3500 /.5840 /.8630 ] In generale fn qu ho stmato un ntervallo massmo ovvero l pù pccolo ntervallo tale che sono scuro che l valor vero della msura sa là dentro. on ho specfcato se alcune part dell ntervallo sono pù plausbl d altre. el caso del dsplay dgtale come abbamo vsto non c è modo d fare d pù. el caso della scala analogca nvece posso fare qualcosa d pù. Infatt ad alcune zone dell ntervallo credo d pù che ad altre. Posso per esempo dre che la msura non é sulla dvsone, oppure che é nella prma o nella seconda metà dello spazo tra le due dvson..3. Caso de contegg. V é un tpo d msura d grandssmo nteresse ma che sfugge a schem presentat nel precedente paragrafo. E l caso del conteggo coè d una msura che s rconduce alla conta d un numero d volte n cu v é una certa cosa. Appartengono alla classe de contegg seguent fenomen: msure d radoattvtà conto l numero d event radoattv n un dato tempo, msure d concentrazone d una data spece, ncdenza d una malatta n una popolazone, sondagg e tutto l resto delle msurazon socologche. S tratta d tutt que fenomen n cu sono nteressato al numero d occorrenze ndpendentemente dall ordne con cu queste s presentano. Possono essere nel domno del tempo o dello spazo o d qualsas altra varable. In ogn caso l rsultato del conteggo é un numero ntero la varable é dunque dscreta non contnua. Supponamo d voler sapere quant student s scrvono al corso d laurea n fsca nella nostra Unverstà. L contamo e trovamo 06. Cosa posso dre d questo numero? Uno potrebbe dre che essendo un numero ntero vale la regola del dgt e dre 06.0 ± 0.5 ma evdentemente drebbe una scocchezza. In realtà se la domanda che c ponamo é quant student s sono scrtt a fsca la rsposta é 06 con ncertezza nulla a meno d non aver banalmente sbaglato l conteggo. Il problema sorge se voglamo usare questo numero per stablre quant student n meda s scrvono a fsca n quest ann, oppure quant possamo prevedere se ne scrveranno l anno prossmo. Anche supponendo che le condzon socal non cambno e che gl orentament studentesch rmangano mmutat, nessuno drebbe ma che se ne scrveranno d nuovo esattamente 06, ma tutt sappamo che questo numero é destnato a fluttuare. Ma a fluttuare quanto?é ragonevole supporre che se ne 6

17 scrveranno 50 o 000? Intutvamente dre d no. La teora della probabltà e la statstca permettono n effett d trattare le modaltà d fluttuazone de contegg quando certe condzon molto general sono verfcate. Le vedremo con un certo dettaglo ne prossm captol..3.3 Caso d msure rpetute che danno dvers valor: la sequenza d numer. Supponamo ora che l dsplay o l ago non sono fss ma s muovono, magar vbrano come spesso accade. Samo n presenza d fluttuazon, coè del fatto che per certe ragon, l rsultato della msura presenta una varazone casuale e non predcble nel tempo Lettura dsplay con una o pù cfre che cambano le cfre d destra evdentemente cambano pù rapdamente d quelle d snstra, la cfra che s trova all estrema destra é anche detta dgt meno sgnfcatvo. In tal caso s cerca d capre quant è l massmo e quant è l mnmo assunt dal dsplay al passare del tempo. Tal due valor cos ottenut fornscono un rudmentale ntervallo massmo. S not però che se o aspetto un po per trovare massmo e mnmo nessuno m garantsce che aspettando un po d pù o non trov un numero fuor dall ntervallo. Coè non sono completamente certo n questo caso che la msura sa là dentro. Anz, l estensone dell ntervallo é qualcosa che n generale cresce al passare del tempo scuramente non decresce, e dpende anche da fluttuazon anomale per esempo uno sbalzo della rete può dare un valore completamente sbaglato che non ha molto sgnfcato ncludere nella ma valutazone. Fatte salve queste consderazon, l centro dell ntervallo ± la sua semampezza é comunque una stma ragonevole. Lettura d un ago che vbra su una scala graduata. S può applcare lo stesso metodo dscusso sopra per l dsplay dgtale con le stesse crtche fatte. 3 el caso n cu sono n condzon d rpetere la msura naturalmente devono essere mmutate le condzon e se ogn volta ottengo un numero dverso per esempo fotografo ad ntervall regolar l mo ago che vbra, oppure leggo l dsplay ad ntervall regolar o acqussco suo valor tramte calcolatore posso usare tutto l complesso d numer ottenuto per tentare una stma un po pù approfondta d come vanno le cose. I dat che ho ottenuto costtuscono una sequenza d numer regstrat su computer o scrtt su logbook, coè una tabella tempo-valore, n cu l valore s può rferre a qualunque grandezza fsca una massa, un numero d persone... Approfondamo con l prossmo paragrafo cosa s può fare n questo caso..3.4 Anals grafca della sequenza d numer. Intanto chamamo campone l nseme de dat ottenuto. Questo termne ha qu un sgnfcato dverso da quello che abbamo usato n metrologa. Sta ad ndcare semplcemente un nseme d dat spermental. Vedamo come rappresentare e descrvere l campone, utlzzando de metod grafc. S tratta d rdurre una sequenza d tant numer a quelle nformazon che sono rlevant a fn della comprensone del problema. C accorgamo subto che a tale scopo la rappresentazone grafca é estremamente effcace. Una prma cosa da fare é un grafco del rsultato n funzone del tempo o d altre varabl rlevant. Questo grafco nfatt permette d fare una anals delle fluttuazon e d cheders n partcolare se queste sono casual o se c è puttosto una tendenza. Qu s può fare una prma anals a occho per capre. In generale l occho tende a confrontare la varazone della grandezza con le dmenson delle fluttuazon e tende a gudcare se una tendenza n un grafco é o no sgnfcatva. In altre parole l nostro occho tende a dstnguere tra un andamento che é la cosa sgnfcatva che voglamo studare e una sere d fluttuazon casual che semplcemente rendono valor msurat pù dspers. Per questo confrontamo le Fg.. e Fg..3. In entrambe le fgure sono rportate sequenze d 0 msure. el prmo caso non s osserva alcun andamento ma solo delle 7

18 fluttuazon. el secondo caso nvece, s ha una chara tendenza all aumento, sebbene sovrapposta ad una banda d fluttuazon. In entrambe le fgure sono dsegnate due tp d curve: delle spezzate coè de segment che unscono var punt, ed un unca curva contnua che dà l dea dell andamento medo. S not che mentre le spezzate non hanno molto sgnfcato nfatt non fanno altro che segure delle fluttuazon rrlevant, le curve contnue danno una dea chara dell andamento de dat che n un caso Fg.. é patto, nell altro Fg..3 é nvece a crescere. Un secondo tpo d grafco é l stogramma delle msure. Vedamo come s costrusce l stogramma de valor. S dvde l ntervallo d valor possbl n sottontervall vengono dett bn. Po s conta l numero d valor che cadono n cascun sottontervallo contenuto del bn e s fa una barra per cascun ntervallo d altezza proporzonale al contenuto del bn. La scelta del bnnng coè delle dmenson del bn deve essere ben calbrata. C sono nfatt estrem da evtare, ambedue sbaglat: bn troppo pccolo e bn troppo grande. Cò é esemplfcato dalle Fg..4 e.5 dove uno stesso campone d dat é rappresentato con bnnagg molto dvers. La scelta del bnnaggo dpende essenzalmente dalle seguent 3 consderazon: dalla dspersone delle msure coè da quanto é largo l ntervallo nel quale sono dstrbute; dal numero d valor che s ha nella sequenza: se valor sono tant uno tende a restrngere l bn, n caso contraro bn troppo strett alzano le fluttuazon tra contenut de sottontervall; 3 dalla scala delle varazon della grandezza a cu sono nteressato. La Fg..5 llustra un caso n cu la consderazone 3 goca un ruolo molto rlevante. E utle dscutere quale bnnaggo sa l mglore tra quell provat alla luce delle consderazon svolte sopra. In generale nel passare dal grafco dell andamento all stogramma ho perso nformazon. Infatt una volta mess valor ne bn non so pù con che sequenza sono arrvat. Inoltre tutt valor che cadono n un bn a questo punto sono ugual assocabl al centro del bn. Fg..: Grafco della varable n funzone del tempo per una sequenza d 0 msure. a grafco semplce, b grafco con una spezzata coè con una lnea che unsce punt e c grafco con sovrapposta una retta che esprme un andamento patto medo de punt. 8

19 Fg..3: Come per la fgura. solo che stavolta s ha un andamento molto charo e n c tale andamento é ndcato con una retta d coeffcente angolare postvo. Fg..4 Campone d 000 valor stogrammato n 3 mod dvers con dversa scelta del bnnng. S not come sono dverse le nformazon che s hanno a occho. Il caso ntermedo sembra comunque costture la scelta pù sensata. 9

20 Mππ MeV Mππ MeV Fg..5. Esempo d uno stesso stogramma n due dvers bnnagg. ella fgura n alto l stogramma ha un bnnaggo d. MeV, nel secondo d MeV. S tratta d un caso n cu l stogramma con bnnaggo pù largo non permette d evdenzare delle strutture fn come pcch alla destra della dstrbuzone, che nvece sono evdenzat dal prmo bnnaggo. L stogramma s chama anche dstrbuzone delle msure. Se anzché rportare l numero d event per bn rporto l numero d event nel bn dvso per l numero totale d event, sto facendo una dstrbuzone d frequenze. S defnsce frequenza nfatt la frazone d volte n cu un evento cade n un dato sottontervallo. E un numero che m dce quanto spesso, se rpeto la msura, questa cadrà all nterno d quel bn. E qualcosa che può fornre ndcazon per eventualmente scommettere su dove fnrà la msura. S not che ne cas dscuss sopra dgt o ago ferm grafc non autavano molto: avremmo avuto un unco bn e una sequenza d numer tutt ugual. Faccamo ora alcune consderazon su grafc. A cosa serve un grafco? In generale serve per far capre bene una certa cosa. Qund la sua prncpale propretà deve nevtablmente essere la charezza. Orgnaramente grafc venvano fatt a mano utlzzando la carta mllmetrata. Ogg l uso de computer rende la carta mllmetrata obsoleta. Tuttava fdars solo de computer é per molt vers percoloso come abbamo gà vsto. Per questo é opportuno usare come prmo approcco a grafc propro la carta mllmetrata. D cosa dobbamo preoccuparc quando faccamo un grafco: - sapere qual sono la/le grandezze ne ass e qual sono le eventual untà d msura; - ruscre a capre qual sono le scale; la scala defnsce l massmo ed l mnmo d cascun asse coordnato e le loro dvson. Deve essere ndcata n modo che sa comprensble. A tale scopo é opportuno mettere numer semplc sugl ass, non numer stran vedremo meglo questo nelle eserctazon; - punt spermental devono essere charamente vsbl e deve essere facle ndvduarne valor numerc usando la scala. 0