F p ( ) A p ( ). F p 0( ) A p 0( ), (3.4)

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1 36 HYKEL HOSNI Opinioni rivelate. Siamo ora nella posizione di vedere come il problema di scelta di de Finetti ci permetta di definire in modo operativo i gradi di convizione di Allibratore, e successivamente di identificare le condizioni sotto le quali questi non siano ovviamente irrazionali. Scopriremo che per questo è necessario e su ciente che soddisfino (P1) e (P2). Lo schema delle scommesse, in altre parole, ci fornirà una semantica per le misure di probabilità definite 3.2. A questo scopo dobbiamo innanzitutto mostrare che la disposizione di Giocatrice a scegliere e quindi la sua preferenza 30 traf p ( )ea p ( ) rappresenti adeguatamente, la sua opinione sulla realizzazione di. Sia, come al solito, p 2 [0, 1]. Abbreviamo l espressione Giocatrice preferisce scommettere su a scommettere contro alla quota p con F p ( ) A p ( ). Segue dalla matrice rappresentata nella figura 4 che se p = 0, scommettere su consegna a Giocatrice una vincita di 1 if v( ) = 1eunaperditadi0 altrimenti. Segue quindi dall assunzione 3.11 che F p ( ) A p ( ). Analogamente, se p = 1, Giocatrice non può fare meglio che scommettere contro, cioè A p ( ) F p ( ). Supponiamo ora che 0 apple p 0 <papple 1echeF p ( ) A p ( ). Chiaramente F p 0( ) A p 0( ), (3.4) dal momento che un decremento di p può solo aumentare il guadagno di Giocatrice nel caso in cui si verifichi, lasciandolo inalterato altrimenti. Da ciò segue che i valori di p per cui F p ( ) A p ( ) formano un taglio iniziale di [0, 1]. 31 Possiamo quindi definire p 2 [0, 1] come sup {p F p ( ) A p ( )}. (3.5) 30 Il passaggio ci è familiare dalla teoria della scelta razionale. L idea, in buona sostanza, è che le preferenze (inosservabili) di un agente idealizzato siano definibili attraverso il suo comportamento di scelta (osservabile) come segue: x y, x = C({x, y}), per ogni x, y in un certo dominio X edovec è una funzione di scelta definita sui sottoinsiemi di X. Una relazione di preferenza definita in questo modo si chiama, soprattutto in microeconomia, preferenza rivelata. 31 La proprietà rilevante per noi dei tagli iniziali (o dei sottoinsiemi chiusi all insù ) [l, u] [0, 1] è che non hanno buchi : se p 2 [l, u] allora per ogni q 2 [0, 1] vale che q<p) q 2 [l, u].

2 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 37 In altre parole, p è il massimo prezzo a cui Giocatrice è disposta a comprare una scommessa su. Per costruzione possiamo dire qualcosa di più. Se Giocatrice non fosse disposta a pagare p per ricevere (1 p )sev( ) = 1, sarebbe perché la trova svantaggiosa. Ma in tal caso non può che trovare vantaggiosa la scommessa che inverte le parti, e cioè A p ( ). 32 Questo ci porta naturalmente a dire che la preferenza di Giocatrice tra F p ( ) e A p ( ) rappresenta i suoi gradi di convinzione rispetto a. Infatti Giocatrice è sempre in grado di compiere la scelta tra F p ( ) ea p ( ). Questo permette ad Allibratore di prevedere 33 il suo comportamento poiché per Giocatrice varranno F p ( ) A p ( ) sep<p (3.6) A p ( ) F p ( ) sep <p. (3.7) Sotto l ipotesi che Giocatrice scelga unicamente sulla base delle sue preferenze (catturate da ( )) concludiamo che il suo comportamento di scelta rende descrivibili operativamente le sue opinioni sul verificarsi di. Siamo ora interessati a capire come questo debba vincolare il comportamento di scelta, e quindi i gradi di convinzione, di Allibratore Ammissibilità. L identificazione dei gradi di convinzione di un agente idealizzato (Giocatrice) con la sua propensione a comprare (o vendere!) scommesse da (a!) Allibratore, è stata fin qui discussa prendendo in considerazione (essenzialmente) un unico evento. La discussione sulle condizioni generali che i gradi di convinzione devono soddisfare per non essere ovviamente irrazionali, richiede la combinazione di più eventi distinti. Siamo dunque di nuovo al problema generale di considerare schemi di scommesse S =(,!). Il nostro obiettivo, alla luce della discussione precedente, è quello di definire il concetto di assegnamento ovviamente irrazionale per S. La natura del problema di de Finetti suggerisce 34 la seguente caratterizzazione. 32 Qui si fa leva fortemente sull astrazione (2) del problema che permette a Giocatrice di pagare la scommessa A p( ) con una quantità negativa di denaro. 33 Il ruolo delle idealizzazioni qui è evidente. Se Allibratore (o Giocatrice) fossero soggetti a limitazioni computazionali non avremmo modo di compiere questo passaggio fondamentale nella costruzione del modello. 34 Nei suoi primi lavori sull argomento, de Finetti usa il termine coerenza, spesso tradotto con consistency in inglese. Nello sviluppo del suo lavoro, e in particolare con il passaggio dallo schema di scommesse a quello delle cosiddette regole di penalizzazione appropriate, de Finetti privilegia il concetto e l espressione che usiamo qui.

3 38 HYKEL HOSNI Principio 3.12 (Ammissibilità). Allibratore compie scelte ovviamente irrazionali se pubblica uno schema di scommesse che lo porterà a un saldo negativo indipendentemente da come verranno decisi gli enunciati in. Diciamo che un assegnamento di questo genere è inammissibile. Chiamiamo ammissibile un assegnamento non inammissibile. Il passo successivo consiste nel rendere matematicamente preciso il concetto di (in)ammissibilità e dimostrare che P(1) e P(2) della definizione 3.2 sono proprietà necessarie e su cienti per evitare assegnamenti inammissibili. Esempio L idea che informa il concetto di ammissibilità è semplice da a errare. Supponete che la libreria Dutch Books venda tutte le novità con il 15% di sconto il lunedì e acquisti i libri usati da non più di un giorno al 90% del prezzo di copertina. 35 Digressione 3.14 (Ammissibilità in finanza). In finanza l idea di assicurarsi un profitto sicuro contro Allibratore si chiama arbitraggio ed è senza dubbio la pietra filosofale dei matematici finanziari. C è ovviamente una di erenza importante tra il nostro concetto di ammissibilità e quello di arbitraggio: nessun operatore finanziario soddisfa le condizioni di idealizzazione Id 1 Id 4. Questo significa che l assenza di arbitraggio non è una nozione logica, ma dipende dalla capacità delle Giocatrici di borsa di scoprire eventuali possibilità di profitto sicuro permesse dal mercato. Secondo un ipotesi largamente condivisa nell area, detta ipotesi di e cienza dei mercati, tali possibilità non esistono. Per rendere matematicamente precisa la nozione di ammissibilità, ricordiamo che v 2 V = {v v : EL! {0, 1} e che secondo la discussione (informale) sugli eventi della sezione 3.1.1, 2ELè un evento per Allibratore e Giocatrice se (1) Allibratore non conoscono, al momento della scommessa, il valore che assume v( ) ma (2) sono d accordo sul fatto che esiste una v 2 V, diciamo v, che al momento opportuno permetterà ad Allibratore e Giocatrice di decidere, senza ambiguità, se si è verificato oppure no. Sotto queste condizioni, il problema prevede che Allibratore assegni a ogni evento 1,... n in un prezzo p i 2 [0, 1]. Sia!( i )=p i come sopra. Sappiamo dalla discussione precedente che per p<p Giocatrice sceglierà un positivo e quindi pagherà ad Allibratore p per garantirsi il diritto di 35 Se una libreria del genere fosse possibile risolveremmo, in un colpo solo, la crisi economica e quella culturale!

4 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 39 ricevere (v( ) w( )). Se, d altra parte p>p, allora Giocatrice sceglierà un negativo con il quale si assicurerà di ricevere (v( )!( )). E questo chiaramente vale per ogni nello schema di scommesse 1..., m. Definizione 3.15 (Ammissibilità). Sia ={ 1,..., m }. Un assegnamento! in uno schema di scommesse S = (,!) è inammissibile se per ogni valutazione v mx i(v( i )!( i ) < 0, i=1 dove i 2 R, i 2,i=1,...m. Esempio Siano 2ELe '. Supponiamo ora che Allibratore dia 1:1 36 e ' 2:1. In altre parole Allibratore pubblica lo schema Individualmente, le due quote S = {p =1/2,p ' =1/3}. e ( F p ( ) = ( F p (') = (1 p) se v( ) =1 p se v( ) =0. '(1 p) se v( ) =0 'p se v( ) =1. sono ammissibili. Se però Giocatrice scommette su entrambi gli eventi, può condurre Allibratore a perdita sicura. Per esempio, siano = 2 and ' = 3. Dalla logica degli eventi segue che esattamente uno tra v( ) = 1ev( ) = 0 è vero. Nel primo caso, F p ( ) = 4(1/2) = 2 e F q (') = 3(1/3) = 1. Nel secondo F p ( ) = 2eF q (') = 3(2/3) = 2. Giocatrice può quindi assicurarsi il guadagno di 1 euro contro Allibratore indipendentemente da come saranno decisi e '. Digressione 3.17 (Giochi equi). Segue dalla definizione 3.15 che le scelte ammissibili per Allibratore coincidono con i prezzi equi di scommessa, quelli cioè che non favoriscono apriorinessuno dei giocatori. Questo concetto ha una tradizione lunghissima e di fondamentale importanza per lo sviluppo del ragionamento incerto, e in particolare del calcolo della probabilità Si legge uno a uno. 37 Un riferimento standard è Hacking, I. (1975). The emergence of probability. Cambridge University Press.

5 40 HYKEL HOSNI Larghissima parte dei problemi che hanno portato alla sistemazione matematica del concetto di probabilità si riferiva infatti alla determinazione dei prezzi equi di una grande varietà di giochi. Questo, che ha ben poco a che vedere con il costume di scommettere, lega in modo profondo l origine di quest area della matematica alla dottrina legale dei contratti. Tra i tanti esempi notevoli, pensiamo a Leibniz che apre il suo De incerti astimatione del 1678 definendo il concetto di gioco equo, e scrive: A game is fair if there is the same proportion of hope to fear on either side. In a fair game, the hope is worth as much as it has been bought for because it is fair that a thing should be bought for what it is worth, and the fear is as great as the price of the hope. 38 Infine un brevissimo commento sulla connessione profonda tra i concetti di equità e incertezza. Il problema di de Finetti può essere visto come un istanza di uno dei problemi centrali in tutte le scienze sociali, quello dell allocazione imparziale. 39 Supponete che Allibratore e Giocatrice abbiano una pizza da dividere e supponete che valga (un opportuna formulazione de) l Assunzione Allibratore ha il coltello e a lui spetta la scelta su come dividere la pizza, sotto la condizione che sarà Giocatrice a prenderne il primo pezzo. L unica scelta ammissibile per Allibratore è dividere la pizza a metà. L idea di de Finetti 40 di introdurre il problema di scelta illustrato in dettaglio nella sezione a onda dunque le radici in qualcosa di culturalmente molto profondo. E ci giustifica ad avanzare la seguente interpretazione del concetto di ammissibilità. Definizione 3.18 (Prezzo equo di scommessa). Diciamo che p è un prezzo equo di scommessa se F p ( ) A p ( ) e A p ( ) F p ( ) Possiamo a questo punto enunciare il risultato che sostiene matematicamente tutto l argomento delle scommesse e giustifica l identificazione dei gradi di convinzione razionale con i gradi di probabilità. Teorema 3.19 (de Finetti (1931)). Sia S =(,!) uno schema di scommesse come sopra. Allora 38 Leibniz, G. W. (2004). On Estimating the Uncertain. Leibniz Review, 14, Chi volesse farsi un idea può partire da division. 40 E indipendentemente, negli stessi anni di Frank Ramsey, di cui avremo modo di parlare la prossima volta.

6 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 41 (1) se! è ammissibile, allora! soddisfa (P1) e (P2) (2) se! soddisfa (P1) e (P2) allora è ammissibile. In altre parole, i gradi di convizione di Allibratore sono ammissibili (gli evitano l esposizione alla perdita sicura) esattamente quando sono conformi a valori di probabilità sugli eventi in. L argomento per l identificazione delle opinioni razionali con i gradi di probabilità di un agente idealizzato che a ronta un problema di scelta astratto è un esempio illuminante di cosa voglia dire a rontare matematicamente un problema filosofico Probabilità condizionata. Fino a ora ci siamo occupati soltanto dell aspetto statico del ragionamento in condizioni di incertezza. Questo, chiaramente, è solo il punto di partenza dal momento che l incertezza è spesso dovuta al fatto che le informazioni a nostra disposizione cambiano continuamente. Esempio Supponete di avere insieme al vostro bagaglio di conoscenze sul mondo, l informazione che Paola è stata eletta in Senato nelle liste del Movimento 5 Stelle ( ). Per comodità identificatevi con la relazione di conseguenza, definita come =, ma senza che valgano tutte le sue proprietà. Per tutto quello che sapete della questione è ragionevole pensare che siate disposti ad accettare le seguenti relazioni (1), ' (2), dove ' sta per Paola ha più di 25 anni e sta per Paola non sa cosa prevede la dodicesima disposizione transitoria della Costituzione. Supponete ora di ricevere una nuova informazione su Paola, e cioè che ha un dottorato in diritto costituzionale ( ). Senza dubbio vogliamo che (1) continui a essere accettabile, e cioè che valga,, '. D altra parte vogliamo che che ci permetta di rivedere la nostra posizione su (2). Il carattere nonmonotono della logica dei gradi di convinzione razionali è rappresenta formalmente dal concetto di probabilità condizionata, che introduciamo ora molto brevemente. Come passo preliminare dobbiamo introdurre la logica degli eventi condizionati, una logica a tre valori rappresentata nella tabella 5. L intuizione è chiara: una semantica che renda conto della logica degli eventi condizionati non può essere bivalente. Questo è legato a doppio filo con lo schema delle scommesse di de Finetti:

7 42 HYKEL HOSNI p q p p ^ q p _ q q! p p q i i Tabella 5. La semantica dei trieventi una scommessa su condizionata dall evento ' perde di senso nel caso in cui ' non si verifichi. Questa interpretazione è su ciente a farci scartare l ipotesi che l operatore sia un connettivo composizionale. Di conseguenza non potremo interpretare la probabilità di ' dato come la probabilità di (! '). Digressione È molto interessante notare come l intuizione semantica sulla logica degli eventi condizionati di de Finetti sia a ne all analisi dei condizionali proposta da W. Quine [An] a rmation of the form if p then q is commonly felt less as an a rmation of a conditional than as a conditional a rmation of the consequent. If, after we have made such an a rmation, the antecedent turns out true, then we consider ourselves committed to the consequent, and are ready to acknowledge error if it proves false. If, on the other hand, the antecedent turns out to have been false, our conditional a rmation is as if it had never been made. 41 Definizione 3.22 (Probabilità condizionata). pr(') pr( ') =pr( ^ '). Questa definizione ci permette di aprire una finestra sull aspetto massicciamente nonmonotono della logica dei gradi di convinzione. Il risultato (matematicamente elementare) conosciuto come Teorema di Bayes costituisce uno dei pilastri del ragionamento scientifico e intuitivamente prescrive il modo in cui dobbiamo cambiare idea all arrivo di nuove informazioni. Teorema 3.23 (Il teorema di Bayes). pr( ') = pr(' )pr( ). pr(') 41 W.V. Quine. Methods of Logic. Harvard University Press, Corsivo aggiunto

8 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 43 Figura 5. Thomas Bayes ( ). La memoria sul problema delle probabilità inverse che contiene la prima dimostrazione di quello che oggi chiamiamo teorema di Bayes, non è stata scritta da Bayes, ma dall amico Price. Dimostrazione. Poiché ^ ' è vero se e solo se ' ^ è vero: pr( ^ ') =pr( ')pr(') = pr(' )pr( ) Quindi pr(' )pr( ) =pr( ')pr(') L importanza del teorema di Bayes va molto oltre la teoria della probabilità. Un area (oggi di punta) della statistica prende il nome di Bayesiana, e i metodi Bayesiani costituiscono una cornice di lavoro che attraversa molte discipline, dall intelligenza artificiale al diritto della prova, dalla biomedicina alla teoria delle assicurazioni McGrayne, S.B The Theory That Would Not Die. Yale University Press, è un avvincente biografia del teorema.