3^A - MATEMATICA compito n b. le coordinate del vertice V, dei punti A e B in cui la parabola p interseca l'asse x (con x A

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1 3^ - MTEMTIC compito n Dati il punto F 3, 3/4 e la retta d di equazione y= 5/4, determina: a l'equazione della parabola p avente fuoco F e direttrice d; b le coordinate del vertice V, dei punti e in cui la parabola p interseca l'asse x (con x x ) e del punto C in cui essa interseca l'asse y; c l'ascissa (approssimata a meno di un centesimo) del punto D sull'arco C della parabola p tale che il triangolo CD sia isoscele sulla base C; d l'ascissa (approssimata a meno di un centesimo) del punto E sull'arco C della parabola p tale che il triangolo CE sia rettangolo in E; e le coordinate del baricentro G del triangolo PHF (dove P è un punto generico della parabola p ed H è il simmetrico di F rispetto a V) e l equazione del luogo geometrico k descritto dal punto G al variare di P su p Descrivi la curva k e tracciane il grafico f le equazioni delle rette t e t tangenti alla parabola nei punti e e le coordinate del loro punto di intersezione T Dove si trova il punto T? g l'area della regione piana limitata compresa tra l'arco V della parabola e le rette t e t ; h l'equazione della circonferenza g passante per i punti, V, ; i l'area (approssimata a meno di un centesimo) di ciascuna delle tre regioni piane in cui la parabola p divide la circonferenza g; j le coordinate del punto I sull'arco C della parabola p tale che l'area del triangolo CI sia massima, ed il valore di tale area; k l'equazione della parabola q con asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate e tangente alla parabola p nel punto (due curve si dicono tangenti in un punto se in tale punto hanno la stessa retta tangente)

2 3^ - Correzione compito n 4 a La parabola è il luogo dei punti P x, y equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: C k PF =Pd x 3 2 y 3 4 2= y 5 4 p x 2 6 x 9 y y 9 16 = y y 2 16 D Equazione parabola p: y=x 2 6 x 8 b x V = b 2 a =3 y V = f x V =9 18 8= 1 ; y=0 x 2 6 x 8=0 2,0 ; 4,0 ; x=0 C 0,8 c Essendo D=DC, il punto D dovrà appartenere all'asse del segmento C: m C = 2 m asse = 1 2 y 4= 1 2 x 2 y= 1 2 x 3 E V y=x2 6 x 8 y=1/2 x 3 x 2 6 x 8= 1 2 x 3 2 x2 13 x 10=0 x D = ,89 4 L'altra soluzione non è accettabile, perché non corrisponde ad un punto sull'arco C d Poniamo E t,t 2 6t 8 Se il triangolo CE è rettangolo in E: m E m CE = 1 t 2 6 t 8 t 2 6 t t 4 t = 1 t 2 t 6 = 1 t 2 8t 13=0 x E =4 3 2,27 nche in questo caso, l'altra soluzione non corrisponde ad un punto sull'arco C In alternativa, possiamo osservare che il punto E appartiene alla circonferenza di diametro C e determinare le intersezioni tra parabola e circonferenza e bbiamo H 3, 5/4, in quanto H è l'intersezione tra l'asse e la direttrice della parabola Ponendo P t,t 2 6t 8 : x G = x x x P H F = t Eliminiamo il parametro t tra le due equazioni: t=3 x 6 y= 3 x x 6 6 =3 x 2 18 x 26 3, y G = y y y P H F = t 2 6t Il luogo k è una parabola avente asse di simmetria e vertice V 3, 1 coincidenti con p, ma apertura più stretta rispetto a p f m =2 ax b=2 2 6= 2 y= 2 x 2 = 2 x 4 ; m =2 ax b=2 4 6=2 y=2 x 4 =2 x 8 ;

3 y= 2 x 4 y=2 x 8 2 x 8= 2 x 4 4 x=12 x=3 T 3, 2 Il punto T appartiene all'asse di simmetria della parabola p H g rea del triangolo T: S tr = TH /2=2 rea del segmento parabolico di base : S par =2/3 VH =4/3 T rea richiesta: S 0 =S tr S par =2 4/3=2/3 h Poiché il triangolo V è rettangolo in V, la circonferenza ad esso circoscritta ha diametro, e quindi centro H 3,0 e raggio r=1 : x 3 2 y 2 =1 x 2 y 2 6 x 8=0 S 3 i La circonferenza g ha lo stesso asse di simmetria di p, quindi: S 1 =S 2 = 1 2 S circ S par : 2= ,12 ; S 1 S 2 S 3 = 1 2 S circ S par = ,90 j l variare del punto I sull'arco C, il triangolo CI ha base costante C= =4 5 L'area del triangolo sarà quindi massima quando il punto I avrà distanza massima dalla corda C, ovvero quando si troverà sulla tangente alla parabola parallela a C Imponiamo perciò: m tg =2 ax I b=m C 2 x I 6= 2 x I =2 I 2,0 La retta C ha equazione: y= 2 x 8 2 x y 8=0 d, C = = 4 5 S = 1 4 C =8 k Consideriamo una parabola q di equazione generica y=ax 2 bx c Imponiamo: che l'asse di simmetria coincida con l'asse y: b=0 ; t C p la condizione di tangenza: 2 ax b= 2 a= 1/2 ; q il passaggio per : 4 a c=0 c=2 La parabola q ha quindi equazione: y= 1/2 x 2 2

4 3^C PNI MTEMTIC compito n Dati i punti 2,0 e 1, 2, determina: a le coordinate del punto D in cui la retta interseca l'asse delle ordinate; b le coordinate del punto E sull'asse delle ascisse tale che il triangolo DE sia rettangolo in D; c l'equazione della circonferenza g circoscritta al triangolo DE; d l'equazione della parabola p con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e passante per i punti, D, E; e le coordinate dei punti di intersezione tra la circonferenza g e la parabola p (spiega perché tali punti possono essere determinati senza svolgere alcun calcolo; svolgi, comunque la verifica algebrica; è fortemente consigliato l'uso del metodo di riduzione); f le soluzioni della disequazione 16 6 x x x2 3 x 4 (se hai svolto correttamente 2 i punti precedenti, la soluzione grafica è immediata; prova a svolgere comunque la risoluzione algebrica, che è decisamente più laboriosa); g le equazioni delle rette tangenti t 1 e t 2 alla parabola nei punti ed E e le coordinate del loro punto di intersezione T (purtroppo, è consigliabile l'uso del metodo di sdoppiamento ); h l'area della regione piana finita situata nel semipiano delle ordinate positive e compresa tra le tangenti t 1 e t 2 e l'arco di parabola DVE (dove V è il vertice di p) 2 Determina l'equazione delle parabole aventi asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, passanti per i punti 1,0 e 0,5 e tangenti alla retta di equazione y= 5 x 13

5 3^C - Correzione compito n 4 1 a Equazione retta : 2 m q=0 m q=2 m= 2 q=4 b La retta DE passa per D ed è perpendicolare ad D, quindi ha equazione y=1/2 x 4 bbiamo quindi: E 8,0 c L'ipotenusa E è un diametro della circonferenza circoscritta, che ha centro C 3,0 e raggio r=5 Equazione circonferenza g: x 3 2 y 2 =25 x 2 y 2 6 x 16=0 4 a 2b c=0 b= 2a 2 d 64 a 8b c=0 64 a 16 a 16 4=0 c=4 y= 2 x 4 D 0, 4 g E p F T V D Ricaviamo: a= 1 4 ; b= 3 2 ; c=4 Equazione parabola p: y= 1 4 x2 3 2 x 4 x2 6 x 4 y 16=0 e Sia la circonferenza che la parabola passano per, D, E per costruzione Poiché entrambe sono simmetriche rispetto alla retta di equazione x= 3, che è l'asse di simmetria della parabola e un diametro della circonferenza, il quarto punto di intersezione sarà F 6, 4, simmetrico di D rispetto all'asse lgebricamente risulta: x2 y 2 6 x 16=0 x 2 6 x 4 y 16=0 y2 4 y=0 y 1 =0 ; y 2 =4 Per y 1 =0 x 2 6 x 16=0 x 1 = 8 ; x 2 =2 E 8,0 ; 2,0 Per y 2 =4 x 2 6 x=0 x 1 = 6 ; x 2 =0 F 6, 4 ; D 0, 4 f Pongo y= 16 6 x x 2 y 0 x 2 y 2 6 x 16=0 Ottengo così la semicirconferenza corrispondente alla metà superiore di g L'equazione y= 1 4 x2 3 2 x 4 rappresenta invece la parabola p La disequazione ci chiede quindi per quali valori di x la semicirconferenza sta sopra la parabola E' evidente dal grafico che questo avviene negli archi F e D, ovvero per 8 x 6 0 x 2 Con metodo algebrico, considero i due casi:

6 16 6 x x2 0 8 x x2 3 2 x 4 0 x2 6 x 16 0 x 8 x 2 ; 1 4 x2 3 2 x 4 0 x2 6 x x x x 2 x 2 6 x 16 2 x 4 12 x 3 20 x 2 96 x 0 Scomponendo con Ruffini: x x 2 x 6 x x 6 0 x 2, che resta la soluzione anche considerando intersezione e unione degli intervalli trovati g Ricordiamo che, per il metodo di sdoppiamento, il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola in P x 0, y 0 è dato da m=2 ax 0 b Quindi: m = = 5 2 e m E = = 5 2 Le equazioni delle tangenti sono pertanto: y= 5 2 x 2 y= 5 2 x 5 e y= 5 2 x 8 y= 5 2 x 20 Esse si intersecano per: 5 2 x 20= 5 25 x 5 5 x= 15 x= 3 T 3, 2 2 Ovviamente, il punto T si trova sull'asse di simmetria della parabola h L'area richiesta è data dalla differenza tra l'area del triangolo TE e quella del segmento parabolico di base E rea triangolo = 1 2 E TH = =125 2 Poiché il vertice della parabola ha coordinate V 3, 25, per il teorema di rchimede: 4 rea segm par = 2 3 E VH = =125 L'area richiesta misura: 3 a b c=0 b=a 5 2 Impongo il passaggio per i punti e : c=5 L'equazione della parabola è quindi del tipo y=ax 2 a 5 x =125 6 Impongo la condizione di tangenza: y=ax2 a 5 x 5 y= 5 x 13 ax 2 a 10 x 8=0 = a a=0 a 2 52 a 100=0 a 1 = 50 ; a 2 = 2 Per a 1 = 50 b 1 = 45, ottengo la parabola y= 50 x 2 45 x 5 Per a 2 = 2 b 2 =3, ottengo la parabola y= 2 x 2 3 x 5

7 3^C - MTEMTIC compito n Data la parabola p di equazione y= 2 x 2 8 x 6, determina: a le coordinate del vertice V, la distanza focale f, l'equazione della direttrice d, le coordinate del fuoco F, dei punti e (con x x ) di intersezione con l'asse delle ascisse e del punto C di intersezione con l'asse delle ordinate Disegna la parabola b le coordinate del punto D appartenente all'arco C della parabola p tale che il triangolo CD sia isoscele sulla base C; c le equazioni delle rette t e t tangenti alla parabola nei punti e e le coordinate del loro punto di intersezione T Spiega dove si trova il punto T e perché d l'area della regione piana limitata compresa tra l'arco V della parabola e le rette t e t ; e le coordinate del punto E sull'arco C della parabola p tale che l'area del triangolo CE sia massima, ed il valore di tale area; f l'equazione della parabola q con asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate e tangente alla parabola p nel punto (due curve si dicono tangenti in un punto se in tale punto hanno la stessa retta tangente) Verifica che le parabole p e q sono corrispondenti in una simmetria di centro e spiega se tali parabole sono congruenti g le coordinate del baricentro G del triangolo PKF (dove P è un punto generico della parabola p e K è il simmetrico di F rispetto a V) e l equazione del luogo geometrico g descritto dal punto G al variare di P su p Descrivi la curva g ottenuta e tracciane il grafico h l'equazione della retta r parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante che taglia sulla parabola p una corda di lunghezza l=5/ 2

8 3^C - Correzione compito n 3 a V 2,2 ; f = 1 4 a = 1 8 ; d : y= y f =17 V 8 ; F 2, y 15 V f = 2, 8 ; y= 2 x 2 8 x 6 1,0 ; 3,0 ; C 0, 6 y=0 b Poiché D=DC, il punto D dovrà appartenere all'asse del segmento C: D p m C =2 m asse = 1 2 y y M =m asse x x M y 3= 1 2 x 3 2 y= 1 2 x 9 (eq asse C) 4 y= 2 x 2 8 x 6 y= 1/2 x 9/4 8 x2 34 x 15=0 C x= 17± = 17± x 1 = 1 2 ; x 2 =15 4 D 1 2, 5 2 La seconda soluzione non è accettabile, in quanto non corrisponde ad un punto appartenente all'arco C c Tg in : m =2 a x b= 4 8=4 y=4 x 1 y=4 x 4 ; T tg in : m =2 a x b= 12 8= 4 y= 4 x 3 y= 4 x 12 y=4 x 4 y= 4 x 12 4 x 4= 4 x 12 x=2 T 2, 4 V Poiché le tangenti in e in sono simmetriche rispetto all'asse di simmetria della parabola, il punto P appartiene a tale asse H d rea triangolo T: 1 =1/2 TH =4 rea segmento parabolico di base : 2 =2/3 VH =8/3 (per il teorema di rchimede) rea richiesta: 1 2 =4 8 3 = 4 3 e Primo metodo Il triangolo CE ha base costante C= =3 5 L'area del triangolo sarà quindi massima quando il punto E avrà distanza massima dalla corda C, ovvero quando si troverà sulla tangente alla parabola parallela a C Imponiamo quindi: m tg =2 ax E b=m C 4 x E 8=2 x E = 3 2 E 3 2, 3 2 E La retta C ha equazione: y=2 x 6 2 x y 6=0 d E, C = 2 3/2 3/2 6 = rea EC= = 27 4 Secondo metodo Poniamo P t, 2t 2 8t 6 con 0 t 3 C

9 d E, C = 2t 2t 2 8t 6 6 = 2t 2 6t 5 5 La distanza è massima nel vertice della parabola di eq y=2t 2 6t, e quindi per t=3/2 f Consideriamo una parabola q di equazione generica y=ax 2 bx c e imponiamo: che l'asse di simmetria coincida con l'asse y: b=0 ; la condizione di tangenza: 2 ax b=4 2 a=4 a=2 ; il passaggio per : a c=0 c= 2 La parabola q ha quindi equazione: y=2 x 2 2 La simmetria di centro è descritta dalle equazioni: x ' =2 x x=2 x y '=2 y y= y x=2 x ' y= y ' pplichiamo le equazioni della simmetria centrale all'equazione della parabola p: y= 2 x 2 8 x 6 y '= 2 2 x ' x ' 6 q g p r y= 8 8 x 2 x x 6 y=2 x 2 2 bbiamo ottenuto l'equazione della parabola q; quindi le due curve sono congruenti in quanto si corrispondono in una isometria (la simmetria di centro ) g K è il punto di intersezione tra l'asse e la direttrice della parabola: K 2, 17 8 Poniamo P t, 2t 2 8t 6 : x G = x x x P F K = t Eliminiamo il parametro t tra le due equazioni: t=3 x 4 y= 2 3 x x 4 2 = 6 x 2 24 x 22 3 ; y G = y y y P F K = 2t 2 8t Osserviamo che l'equazione del luogo g descrive ancora una parabola che ha lo stesso asse di simmetria e lo stesso vertice V 2,2 della parabola p, ma una distanza focale minore, e quindi una apertura più stretta rispetto a p h La retta r appartiene al fascio improprio di equazione y=x q y=x q y= 2 x 2 8 x 6 2 x2 7 x 6 q=0 x= 7± 1 8 k 4 l= x 2 y 2 = 1 8 q = L'equazione della retta r è quindi: y=x 3 1 8q=25 q= 3 x= y= 1 8 k 2

10 3^F - MTEMTIC compito n Determina l'equazione della parabola avente fuoco F 2,5/4 e direttrice d : y=13/4 e tracciane il grafico Scrivi l'equazione della tangente t alla parabola nel suo punto di ascissa x =3 Determina le coordinate del punto K in cui la tangente t interseca l'asse della parabola e del punto R in cui la tangente t interseca la tangente nel vertice Verifica che il punto R è equidistante da e da K e che la perpendicolare condotta dal punto R alla tangente t passa per il fuoco F 2 Determina l'equazione della parabola avente asse di simmetria di equazione x=2 e tangente nel punto 4,0 alla retta r, parallela alla retta di equazione 4 x y 10=0 Traccia il grafico della parabola Conduci una retta s parallela all'asse delle ascisse che interseca nei punti e C l'arco di parabola giacente nel primo quadrante e, dai punti e C, traccia le perpendicolari all'asse delle ascisse che lo intersecano nei punti ' e C' Determina l'equazione della retta s in modo che il perimetro del rettangolo 'C'C abbia misura uguale a 10 Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola in e in C e calcola l'area della regione finita di piano compresa tra le tangenti e la parabola 3 Data la parabola di equazione y=x 2 2 x 2,conduci per il suo punto di ascissa x =3 la tangente t alla curva e indica con il punto in cui la tangente interseca l'asse della parabola Conduci poi la normale n alla curva (ovvero, la retta perpendicolare alla tangente) passante per e indica con C il punto in cui la normale interseca l'asse della parabola Determina l'equazione della circonferenza passante per i punti,, C Con quale punto coincide il centro della circonferenza?

11 3^F - Correzione compito n 4 1 La parabola è il luogo dei punti P x, y equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: K R d PF =Pd x 2 2 y 5 4 2= y 13 4 F x 2 4 x 4 y y = y y equazione parabola: y= 1 4 x2 x 5 4 y = f x = =2 3,2 m t =2 ax b= = 1 2 Equazione tangente t: y 2= 1 2 x 3 y= 1 2 x 7 2 y= 1/2 x 7/2 x=2 Poiché il vertice è equidistante da fuoco e direttrice: y= 1/2 x 7/2 y=9/4 Punto medio M del segmento K: y V = 5/4 13/4 = = 1 2 x 7 2 9= 2 x 14 x= 5 2 R 5 2, 9 4 x M = = 5 2 ; y = 2 5/2 M = M R cvd K 2, 5 2 Retta per R perpendicolare a t: y 9 4 =2 x 5 2 y=2 x 11 4 Sostituiamo le coordinate di F: 5 4 = vera! cvd 2 Consideriamo una parabola generica di equazione y=ax 2 bx c e imponiamo: asse di simmetria: b/ 2 a=2 b= 4 a ; tangenza: 2 ax b=m tg 8a b= 4 4 a= 4 a= 1 b=4 ; passaggio per : 16 a 4b c= c=0 c=0 La condizione su c era ovvia, in quanto il simmetrico del punto rispetto all'asse della parabola è l'origine L'equazione della parabola è quindi: y= x 2 4 x Consideriamo una retta s di equazione y=k : T r y= x2 4 x y=k x 2 4 x k=0 x=2± 4 k s H C Quindi: 2 4 k, k, C 2 4 k, k Imponiamo la condizione sul perimetro del rettangolo 'C'C: 2 C 2 '= k 2 k= k=5 k Possiamo elevare al quadrato entrambi i membri in quanto, ' C '

12 perché la retta s intersechi la parabola nel primo quadrante, deve rispettare la condizione 0 k 4 : 16 4 k=25 10 k k 2 k 2 6 k 9=0 k=3 Quindi la retta s ha equazione y=3 e i punti e C hanno coordinate 1,3, C 4,3 Determiniamo le rette tangenti alla parabola in e in C: m =2 ax b= 2 1 4=2 y 3=2 x 1 y=2 x 1 ; m C =2 ax C b= 2 3 4= 2 y 3= 2 x 3 y= 2 x 9 Le due tangenti si intersecano sull'asse della parabola, nel punto T 2,5 rea del triangolo CT: S tr =C TH /2=2 rea del segmento parabolico di base C: S par =2/3 C VH =4/3 rea richiesta: S=S tr S par =2 4/3=2/3 3 y = f x =9 6 2=1 3,1 ; m =2 ax b= =4 C n La tangente in ha equazione: y 1=4 x 3 y=4 x 11 x =1 y =4 11= 7 1, 7 La normale in ha equazione: t y 1= 1 4 x 3 y= 1 4 x 7 4 x C =1 y C = = 3 2 C 1, 3 2 Poiché il triangolo C è rettangolo in per costruzione, la circonferenza ad esso circoscritta ha centro nel punto medio dell'ipotenusa C: M 1, 11/4 e raggio r=cm =17/4 Equazione della circonferenza circoscritta al triangolo C: x 1 2 y = x 2 y 2 2 x 11 2 y 19 2 =0 Poiché y F = y V f = =11 4, il centro della circonferenza coincide con il fuoco della parabola