Geometria A. Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 2017/ Maggio 2018 Prova Intermedia

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1 Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 7/8 Maggio 8 Prova Intermedia Il tempo per la prova è di ore. Durante la prova non è permesso l uso di appunti e libri. Esercizio Sia Q k (x,, z) la forma quadratica definita sullo spazio vettoriale R dalla matrice al variare di k R. A k = k k k + (i) Si scriva esplicitamente un espressione analitica per Q k (x,, z) al variare di k R. Per quali valori di k R la forma quadratica Q k risulta definita positiva? (ii) Per k =, esibire una base diagonalizzante ortonormale rispetto al prodotto scalare standard. (iii) Trovare una base B dello spazio R, B = {v, v, v }, dove v = e tale che B sia ortogonale rispetto al prodotto scalare indotto dalla forma quadratica definita da A., Esercizio Si consideri in A (R) la famiglia di coniche piane C k : kx + x + (k + ) =. (i) Si determini al variare di k in R di quale conica affine si tratta. Per i valori di k R per cui C k è degenere si calcolino le sue rette componenti. (ii) Si scriva l affinità che porta in forma canonica C per k =. (iii) Si calcolino con il metodo del risultante le intersezioni di C e C.

2 Soluzione dell esercizio quadratica che è: (i) Dalla matrice possiamo ricavare la formula esplicita per la forma Q k (x,, z) = x + kx 6xz + + 6z + (k + )z. Invece per trovare per quali valori di k la matrice A k è definita positiva, basta considerare i minori principali e porli tutti maggiori di : = > k R. k k = k > < k <. k k k + = (k + 9) k(k + k + 9) (k + ) = = k + 9 k k 9k 9k 9 = = k k + 8k 8 > (k )(k 8)(k + ) > k < < k < 8. Affinché tutte queste relazioni valgano contemporaneamente, si ha che < k < 8. Quind in corrispondenza di tali valori di k, la matrice A k è definita positiva. (ii) Dobbiamo considerare la matrice A = e calcolarne il polinomio caratteristico per trovare gli autovalori. Allora λ P A (λ) = A λi = λ λ = = ( λ)( λ + λ 9) ( λ + 9) ( + λ) = = λ + λ λ = λ(λ λ + ) = = λ(λ ). Quindi questa matrice ha due autovalori reali λ = e λ =, inoltre siccome la matrice è simmetrica sappiamo che esiste sempre una base ortogonale formata da autovettori. Troviamo, allora, questi autovettori: per quanto riguarda λ =, dobbiamo calcolare semplicemente un vettore che generi il nucleo, cioè risolvere il sistema omogeneo con l algoritmo di Gauss-Jordan, 99 quindi una base per l autospazio V è V =. Per quanto riguarda l autospazio V, otteniamo che una base per esso è dato dal nucleo di A I, cioè, 9

3 che corrisponde all equazione x = z +. Quindi una base per V è data da: V = t, t =,. Sappiamo già che autovettori relativi a diversi autospazi sono ortogonali, mentre per quanto riguarda V abbiamo bisogno di una base ortogonale, che possiamo trovare con l algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt sui due vettori che abbiamo trovato: w = t = w = t t, w w, w w = Quindi una base ortonormale diagonalizzante è data dai vettori: u =, u =, u = (iii) Consideriamo lo spazio ortogonale rispetto v, che sarà dato dal prodotto. x (,, )A = 7x + 5 =. z Quindi prendiamo come v un vettore che soddisfi questa equazione, ad esempio: v =. Troviamo quindi adesso un equazione per lo spazio perpendicolare a v nello stesso modo di prima: x (,, )A = x + + z =. z Quindi il terzo vettore v dovrà essere preso necessariamente nello spazio v, v, cioè che soddisfi il sistema { 7x + 5 = x z = 5 Quindi v = 7. Sappiamo che i tre vettori sono automaticamente indipendenti perché il prodotto scalare rispetto A è definito positivo e quindi vale la relazione che preso W un sottospazio vettoriale di R, allora R = W W. Quindi i vettori cercati sono 5 B =,, 7..

4 Soluzione dell esercizio (i) La matrice che rappresenta la famiglia di coniche C k è A = k. k + Una conica è degenere se il suo determinante è nullo, quindi calcoliamo il determinante di A e notiamo che esso è k, che è uguale a se e solo se k =. In questo caso la conica corrispondente ha come equazione C : x + = (x + ) =, quindi le sue due rette componenti sono: = e x + =. Per capire il tipo di conica è sufficiente considerare il segno del determinante della matrice ( ) k A =, k + che è uguale a k + k, questo si annulla solo per k = ±. Le informazioni sul segno ci dicono che: Se k < e k > + : In questo caso è sicuramente un ellisse. Per verificare quando è a punti reali o non reali calcoliamo il segno della seguente quantità T r(a )Det(A) = k(k + ), che è quindi negativo per k < e k >, che sono interamente contenuti nel nostro intervallo. Quindi essendo questa quantità sempre negativa, abbiamo sempre un ellisse a punti reali. Se < k < e < k < + : In questo caso abbiamo un iperbole non degenere. Se k = : Siamo nel caso analizzato prima in cui C è un iperbole degenere. Se k = ± : In questo caso abbiamo una parabola non degenere. (ii) La nostra equazione diventa x + x + = e dal punto precedente sappiamo già che è una iperbole non degenere. Primo metodo Vogliamo studiare e diagonalizzare la sua matrice A : ( ) A =. Il suo polinomio caratteristico P (λ) = A λi = λ =, ha come soluzioni λ / = ±, che corrispondono quindi agli autovalori di A. I corrispondenti ( ) autovettori ( sono ) ottenuti considerando i sistemi A λ i I =, dove i =, e sono v = + e v =. Questo ci fornisce il primo cambio di coordinate date da ( ) x = ( + ) ( x Effettuando questa sostituzione otteniamo che la nostra curva diventa ( + )x ( ) + ( )x + ( ) =. ).

5 Adesso per annullare i termini di primo grado basta effettuare il cambio di variabile seguente: x = x ( ) + = x + 4 = ( ) = + 4. Quindi effettuando anche questa sostituzione otteniamo che l equazione diventa ( + )x ( ) 4 =, che moltiplicando tutto per 4 è uguale a 8( + )x 8( ) =. Ora per ottenere la forma canonica basta normalizzare i coefficienti: x x = che porta finalmente alla forma canonica = 8(+ ) 8(, ) x =. L affinità cercata è l inversa della composizione dei vari cambiamenti di variabili fatti finora. Completiamo i quadrati x + x + = (x x + ) + da cui otteniamo Secondo metodo ( + ) ( 4 = (x ) + ) = ( (x ) + 4 = ) se appplichiamo il cambio di variabili { x = ( ) = (x ) abbiamo che l equazione è scritta nella forma canonica x =. Se vogliamo calcolare la trasformazione esplicita basta invertire quella appena scritta. (iii) Calcoliamo il risultante di C : x + x + = e C : x + x + = rispetto alla variabile x det = det + det ( ) ( ) ( ) ( ) = det + ( ) det + det ( ) det = (4 + ) + ( )( + ) + (4 + ) ( )( + ) = 4 + ( )( + ) + 4 ( )( + ) = = 4 + = ( + ) da cui otteniamo che per la variabile l unico valore reale per un punto di intersezione tra C e C è =. Dalle equazioni delle due curve abbiamo che quindi l unica intersezione reale (con molteplicità ) tra le curve è data dall origine O.