Esercizi di elettrodinamica

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1 Esecii i elettoinamica Eseciio È ato un tooie a seione ettangolae i imensioni H e b-a (vei figua) composto i N spie. All inteno el tooie, su una seione aimutale, è posta una spia ettangolae i imensioni l e l. Tovae a) l inuttana mutua ta il tooie e la spia. La spia sia pecosa a coente constante; b) supposto che essa si muova i moto oscillatoio sul piano i seione (sena uscie al tooie) in ieione con velocità istantanea v(t), eteminae la fem inotta nella bobina el tooie. c) Supposto che la spia si muova i moto oscillatoio sul piano i seione (sena uscie al tooie) in ieione con velocità istantanea v(t), eteminae la fem inotta nella bobina el tooie. Soluione a) La mutua inuttana M si tova calcolano il flusso el campo geneato al tooie attaveso la spia: M Φ ( B S ) b) la fem è nulla in quanto il flusso non cambia quano la spia si muove lungo. c) la fem si calcola come to spia µ N µ B A N( ) log to i i S to to spia π π Φ fem µ i Nl spia π l ultimo passaggio vale poiché le velocità ei ue estemi sono uguali. Infine: ( Mi ) ( v v ) i Nl ( ) fem i spia spia M spia µ Nl l π µ i i Nl spia spia π µ v π v( t) ( t) ( ( t) + l ) log

2 Eseciio Una spia quaata i lato L e` montata su un nasto chiuso che scoe con velocita` v ta le espansioni polai i ue magneti (vei figua). Sia l la lunghea el nasto e (>L) la laghea elle espansioni polai. Pe semplicita` i calcolo si supponga che il campo magnetico B sia unifome ta le espansioni polai e nullo al i fuoi i esse. Tovae a) il valoe ella fem inotta nella spia, in funione el tempo, in un intevallo i tempo pai a un peioo i moto T el nasto. b) Si etemini quanto a lungo, all inteno el ciclo, la fem e` ivesa a eo. c) isponee alla omana (a) nel caso in cui la polaita` el magnete infeioe venga invetita. Soluione a) Pima che la spia enti ta le espansioni polai el pimo magnete la fem e` nulla. Quano la spia e` in pate entata ta le espansioni e in pate e` ancoa fuoi, la fem e`: Φ BA BLv fem BLv Quano la spia e` tutta contenuta ta le espansione polai la fem e` i nuovo nulla. Quano la spia e` in pate uscita alle espansioni e in pate e` ancoa ento, la fem assume lo stesso valoe BLv che all entata, ma con segno opposto:. Quano la spia e` uscita la fem e` nulla. La successione si ipete uguale pe il secono magnete. b) La fem e` ivesa a eo mente la spia enta e esce alle espansioni, quini pe un tempo i quatto volte il tempo i tansito: L τ 4 v c) La fem elativa al pimo magnete non cambia; il segno ella fem elativa al secono magnete e` opposto ispetto al punto (a).

3 Eseciio Un ampeometo a bobina mobile e` costituito a un sottile pacchetto i N spie ettangolai. La bobina (i base a e altea h) e` posta attono a un nucleo i feo i foma cilinica e e` libea i uotae attono a un filo i sospensione veticale, coinciente con l asse el cilino. Attono al nucleo vi sono ue espansioni polai oppotunamente sagomate, in moo che il campo magnetico nel tafeo (cioe` ta le espansioni e il nucleo) sia il piu` aiale e unifome possibile. L inice ello stumento, soliale con la bobina, in assena i coente cicolante nella bobina, assumeebbe (vei seione oiontale) la ieione veso l alto. Quano la bobina e` pecosa a coente la foa i Loent fa uotae la bobina (e l inice) i un angolo θ. A questo movimento si oppone il momento meccanico i tosione elastica el filo i sospensione. Deteminae: a) il momento ovuto alla foa i Loent, supposta nota la coente i cicolante nella bobina e il campo magnetico B nel tafeo (suppoe che il campo sia unifome su tutta l altea ella bobina); b) il momento ovuto all elasticita` el filo; c) l equaione el moto ella bobina (tascuano il momento fenante ovuto alla vaiaione i flusso magnetico nella bobina causato alla otaione). Si inichi con I il momento ineia ella bobina ispetto all asse i otaione. Soluione a) Il momento e` la somma ei momenti ovuti ai ue lati veticali ella spia, e ciascuno i questi e` ato al pootto ta il baccio a e la foa i Loent F L ihbnθˆ. Il momento e` inolte ietto lungo l asse veticale: τ L af L kˆ aihbnkˆ b) Il momento elastico e` ietto lungo l asse veticale, ma con veso opposto al momento elettoinamico, e` inolte popoionale, secono una costante α, all angolo i tosione θ: τ αθkˆ el.

4 ω I c) L equaione el moto e` infine: τ τ, ovveo, in temini scalai: L el ω I aihbn αθ. ioinano e espimeno in temini elle eivate i θ: θ α aihbn + θ I I che e` l equaione el moto amonico, con posiione i equilibio + θ eq aihbn α.

5 Eseciio 4 Un ampeometo a bobina mobile è costituito a un sottile pacchetto i N spie ettangolai. La bobina (i base a, altea h e esistena b ) è posta attono a un nucleo i feo i foma cilinica e è libea i uotae attono a un filo i sospensione veticale, coinciente con l asse el cilino. Attono al nucleo vi sono ue espansioni polai oppotunamente sagomate, in moo che il campo magnetico nel tafeo (cioè ta le espansioni e il nucleo) sia il più aiale e unifome possibile. L inice ello stumento, soliale e pepenicolae alla bobina, in assena i coente cicolante nella bobina, assumeebbe (vei seione oiontale) la ieione veso l alto. Quano la bobina è pecosa a coente, la foa i Loent fa uotae la bobina (e l inice) i un angolo θ. A questo movimento si oppone il momento meccanico i tosione elastica el filo i sospensione. ) Con ifeimento alle linee i campo tacciate in figua, eteminae il flusso el campo B attaveso la bobina (suggeimento: come supeficie i flusso usae S che ha come boo la bobina e è la metà ella supeficie cilinica che aeisce al nucleo; sfuttae la simmetia el sistema e fae attenione alle linee i campo entanti e uscenti; tascuae il flusso attaveso le basi); e) supposto che l ampeometo sia in seie a un caico i esistena, eteminae la coente inotta al moto ella bobina. Soluione ) Il flusso è efinito come Φ( ) B N S B a e poiché il campo è con buona appossimaione aiale e unifome, il pootto scalae nell integale saà negativo e pai a Ba o positivo e uguale a Ba. Pe tale motivo, i contibuti elativi agli intevalli π π angolai π + θ, e, θ elativi all intevallo [ θ,θ ] che in totale anno un flusso i B NBA θ NBaθ ( ) ( ) h si compenseanno. imangono solo i contibuti Φ ove A è l aea ella poione i supeficie lateale i ampiea θ.

6 fem Φ e) La coente autoinotta è ata a i + + b b ahbn θ l espessione tovata pe il flusso otteniamo i. + b. Inseeno

7 Eseciio 5 Una spia ACD, i esistena, ha la foma i un settoe cicolae, con angolo al cento C i ampiea Θ e aggio a. La spia giace su un piano oiontale e può uotae attono all asse veticale fisso passante pe C e pepenicolae al piano. Nella pate sinista ella figua (tatteggiata) è pesente un campo magnetico unifome B, pepenicolae al piano ella spia, mente nella pate esta il campo è nullo (pe semplicità si suppone che il campo cambi valoe buscamente te le ue pati). La spia uoti con velocità angolae istantanea ω. Diciamo θ la poione ell angolo Θ immesa nel campo B. Si vuole eteminae: a) la coente inotta nella spia nei te casi possibili: (i) quano è tutta fuoi al campo B, (ii) quano è in pate nel campo e in pate fuoi, e (iii) quano è tutta nel campo; b) la foa elettoinamica totale agente sulla spia nei te casi. x B D C A Soluione a) La coente inotta è popoionale alla fem, ovemo petanto eteminae quest ultima. Nei casi (i) e (iii) la fem (e quini la coente) è nulla, in quanto il flusso el campo non vaia. Nel caso (ii), etta θ la poione ell angolo Θ immesa nel campo B, la fem è ata a fem Φ BA Ba θ Ba ω fem Ba i ω., e la coente a b) Nei casi (i) e (iii) la foa è nulla. Nel caso (ii) la foa è ata a ue contibuti. Il pimo e` la foa agente sul lato DC immeso nel campo: essa ha ieione aimutale e sia che la spia enti o esca al campo, si oppone al moto i otaione ella spia e vale Il secono contibuto e` ato alla poione DK immesa nel campo ell aco DA, ha ieione aiale e è compensata alla eaione V el vincolo in C. Essa vale F i l B i AK F θ ˆ B a ia B iabθ θ B a θ ( DK ) B iasin Bˆ ω sin ˆ ωθˆ

8 Eseciio 6 E` ata una spia conuttice quaata i lato L e esistena, vincolata sul piano xy, in moto lungo x con velocita` iniiale v. Nel punto x la spia enta in un campo magnetico B unifome, i veso entante nel foglio (il campo pe x< venga supposto nullo pe semplicita`). Tovae a) la fem inotta nella spia nei te casi seguenti: la spia non ha ancoa aggiunto l asse y, la spia e` a cavallo ell asse y (cioe` pe x D > e x C < ) e la spia ha sopassato l asse y; esplicitae il veso ella fem; b) tovae la foa (moulo, ieione e veso) agente sulla spia ovuta all inteaione ta la coente inotta e il campo magnetico nei te casi citati al punto (a); c) ie se la foa vaia nell intevallo i tempo occoente alla spia pe attavesae l asse y. Giustificae la isposta. Soluione a) La fem inotta e` ivesa a eo solo quano la spia e` a cavallo ell asse y. Pima e opo infatti il flusso el campo non vaia (pima peche B e` nullo, opo peche B e` unifome). Quano la spia e` a cavallo abbiamo Φ BLx ove con x inichiamo la pate el lato CD che ha oltepassato l asse y. La fem e` unque Φ x fem BL BLv Il veso ella fem e` tale a fa cicolae coente in veso antioaio. b) la coente inotta nella spia e` i fem / e la foa e` ovuta al solo lato DE. Infatti le poioni ei lati CD e GE immese nel campo magnetico anno foe uguali e contaie e il lato CG non e` soggetto a foa, in quanto esteno al campo. La foa totale e` unque ivesa a eo solo quano la spia e` a cavallo ell asse y e vale, in moulo

9 F ilb fem LB ( LB) v con la egola ella mano esta si tova poi che essa e` ietta in veso x negativo. c) La foa vaia peche esseno una foa eceleatice, essa fa iminuie la velocita` ella spia e questo, a sua volta, pota a una iminuione ella foa.

10 Eseciio 7 È ata una spia quaata i lato L e esistena, e un filo pecoso a coente i lungo (vei figua). Diciamo a e b le istane el lato paallelo più vicino e più lontano al filo. La spia si muova con velocità v nel piano veso il filo. Tovae: a) il flusso el campo B attaveso la spia; b) la fem e la coente I inotte nella spia, specificanone il veso; c) la foa totale agente sulla spia. Soluione a) Il campo magnetico è el tipo Biot-Savat, il flusso è quini Φ( B) B a spia b µ i π L µ π illog b t a t ove si è scelto i oientae la supeficie ella spia paallelamente al campo, cioè in veso antioaio. b) la fem si tova eivano ispetto al tempo Φ fem ( B) µ ( ) a t il π b( t) ( t) a( t) b( t) a' ( t) a ( t) ove si è posto a' ( t) b' ( t) v e b( t) a( t) L a ( ) ( ) ( t) a( t) µ il v a( t) b( t) a( t) b( t) b' µ b ilv π π

11 la coente è ata a I fem, il veso i entambe è oaio. c) Siccome le foe agenti sui lati paalleli all asse sono uguali e contaie, basta consieae le foe agenti sui lati paalleli all asse. Queste sono F b ILB b( t) ( ) F a ILB( a( t) ) la foa totale agente sulla spia ovuta al campo magnetico è unque F tot F a F b IL[ B( a( t) ) B( b( t) )] IL µ π i a t ( ) b( t) Siccome F a è maggioe i F b la foa isultante è ietta nel veso positivo. µ π a t iil ( )+ L [ ] ( ) a t

12 Eseciio 8 Una spia cicolae i aggio a e esistena viene lanciata veso un ipolo magnetico i valoe m con velocità iniiale v (l asse el ipolo e ella spia coinciano, vei figua). icoano l espessione el campo i ipolo in cooinate ciliniche ove si è posto K µ m 4π B B B B ϕ K ( + ) + + pe semplicità, è la istana ta il cento ella spia e el ipolo e è la istana all asse. Si supponga a<< i moo che, vicino alla spia, si possa tascuae nel enominatoe i B. a) Calcolae il flusso el campo B attaveso la spia (peliminamente si etemini quale componente el campo enta nel calcolo); b) calcolae la coente inotta nella spia; c) calcolae la foa agente sulla spia (peliminamente si etemini quale componente el campo enta nel calcolo). Soluione Innanitutto sciviamo l espessione el campo tascuano i temini in i oine maggioe i uno: K B a) Come supeficie su cui effettuae il flusso conviene scegliee il cechio che poggia sulla spia, in tal caso la sola componente i B che enta nel calcolo è quella : Φ ( B) K K πa B a B a a C ( spia ) C ( spia ) C ( spia )

13 b) la coente inotta è ata a Φ ( B ) i 6Kπa 4 K πa 6Kπa ( ) v 4 Kπa ove v < è la velocità istantanea ella spia. c) La foa agente sulla spia è F il B spia scomponeno il campo e la foa lungo gli assi, otteniamo F ˆ + kf ˆ il B + il spia pe simmetia il pimo integale si annulla e imane Ka F F ilb i l spia spia spia v > 4 B Ka 6Kπa iπa 4 4 6Kπa i 4

14 Eseciio 9 Due stuenti vogliono calcolae il flusso i un campo magnetico unifome B concatenato con una spia non piana (vei figua) in cui i vetici A, B, C, D, E, F coinciono con sei egli otto vetici i un cubo a lato L. La spia può uotae attono all asse y, cosicché sia il lato AB che AF giacciono sempe nel piano x. Nel sistema i ifeimento scelto, il campo B non ha componenti lungo y. Il pimo stuente sceglie come supeficie i integaione l unione ei ue quaati ABCD e DEFA. Il secono stuente sceglie invece l unione el ettangolo BCEF e ei ue tiangoli ABF e DCE. Sia θ l angolo ta la ieione AB e il campo magnetico in un istante abitaio i tempo. a) Calcolae il flusso sulla supeficie scelta al pimo stuente. b) Calcolae il flusso sulla supeficie scelta al secono stuente. c) tovae la fem inotta nella spia se essa uota i moto cicolae unifome con velocità angolae i otaione ω. Soluione a) La pima scelta à: Ove si è inicata con A l aea comune elle ue supefici. b) La secona scelta à: Φ( B) Φ ABCD ( B)+ Φ DEFA ( B) BA ABCD cos π θ + BA DEFA cosθ BA( sinθ + cosθ) Φ' ( B) Φ BCEF ( B)+ Φ ABF ( B)+ Φ DCE ( B) BA BCEF cos π 4 θ + + BA' sin π 4 sinθ + cos π 4 cosθ BA' sinθ + cosθ ( ) ove con A si è inicata l aea el ettangolo BCEF e si è tenuto conto che il flusso sui ue tiangoli è nullo. La elaione ta le aee A e A è A' A, ne segue, come ev essee, che i ue calcoli anno lo stesso isultato. c) La fem si tova eivano il flusso ispetto al tempo:

15 fem [ BA( sin ωt + cosωt) ] BAω( cosωt + sinωt)

16 Eseciio È ata una spia non piana pecosa a coente I (vei cuva blu in figua, la figua ABCDEFGH è un cubo i lato L) e immesa in un campo magnetico unifome ietto lungo e ipenente a t secono l espessione Tovae: B B f ( t)kˆ a) il flusso el campo concatenato con la spia; b) la fem inotta nella spia. Calo e Fancesca stanno consieano il poblema e Calo popone i complicalo un po assumeno che il campo ipena a secono l espessione B B ( ) f ( t) kˆ ( B ) f ( t)kˆ γ Fancesca ci pensa un po su e esclama: Non è possibile, questa espessione è in isaccoo con una elle leggi i Maxwell c) quale legge i Maxwell viola l espessione el campo poposta a Calo? Dimostae tale violaione usano la fomulaione integale ella legge. Soluione a) Pe calcolae il flusso scegliamo come supeficie che poggia sul cicuito la supeficie unione elle facce ABCD, BCHG, GFAB: Φ Φ ABCD + Φ BCHG + Φ Gli ultimi ue temini sono nulli poiché su queste facce il campo è paallelo alla supeficie, il flusso vale Φ Φ. quini L B f ( t) ABCD fem GFAB b) La fem vale Φ L B f ( t). c) La legge violata è quella ell assena i caiche magnetiche. Se calcoliamo il flusso el campo attaveso la supeficie el cubo otteniamo infatti (le facce lateali anno contibuto nullo): Φ Φ ( L) f ( t) L B( ) f ( t) L f ( t) + Φ L B γ ABCD EFGH cioè un isultato non nullo, contaiamente al ettato ella legge.

17 Eseciio È ata una spia cicolae i aggio a, coente I e momento magnetico m. A istana sufficientemente gane il campo magnetico geneato alla spia è ato a B B B B ϕ µ m 4π A gane istana D alla spia è posta una secona spia cicolae, che funge a ivelatoe ella pima, i esistena, aggio b, e asse coinciente con la pima (vei figua). Se I ( t) I sin ωt è la coente inotta nella secona spia alla pima, tovae, a) l espessione ella coente nella pima spia. Calo e Fancesca stanno contemplano la soluione el poblema, quano Calo ice: Conosciamo b e, supponiamo anche i conoscee a e D, tuttavia, pe conoscee completamente la coente nella pima spia, non basta misuae la coente nella secona. b) A cosa si ifeisce Calo e peché il ivelatoe non pemette i eteminae completamente la coente I? Soluione a) La elaione ta le coenti elle ue spie si tova meiante la legge i Faaay:

18 I fem µ πd S Nota I, I si tova pe integaione: B ϕ Φ ( πa I πb ) S B a b µ π m 4π D µ D πa b I K I I ( t) ( ). I t + const I K K ω I cosωt + const., K, sin ωt + const. b) Calo si ifeisce al fatto che I si etemina meiante un pocesso i integaione e quini a meno i una costante abitaia, che nel nosto caso è la eventuale componente continua ella coente I, che non contibuisce alla fem ella secona spia e quini a I.