Scegliere quando il mondo è incerto

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1 Scegliere quando il mondo è incerto (Tratto da I. Lavanda e G. Rampa, Microeconomia. Scelte individuali e benessere sociale, Roma, Carocci, 2004) 1. Introduzione Nei capitoli precedenti abbiamo studiato il processo di scelta di individui, i consumatori, che hanno un informazione perfetta sulle circostanze che caratterizzano il loro problema di scelta. In particolare, non esisteva alcuna incertezza circa le conseguenze delle scelte. Per esempio, ad ogni specifico numero di ore dedicate al lavoro corrispondeva un ben preciso ammontare di reddito, oppure ad ogni unità di consumo odierno al quale si rinunciava corrispondeva un ben preciso ammontare di consumo che si poteva ottenere in futuro. Ovviamente, l esperienza ci insegna che in generale le cose non stanno così: qualche malattia potrebbe impedirmi di lavorare tanto quanto avevo programmato; qualche evento esterno, per esempio climatico o tecnologico, potrebbe alterare il profitto che posso ottenere dalla mia attività; in futuro i prezzi dei beni, e quindi le mie possibilità di consumo, potrebbero rivelarsi diversi da quelli che avevo previsto. Come si vede, l incertezza relativa alla scelta può dipendere da varie circostanze. Tuttavia, il problema può essere impostato in modo semplificato. Anzitutto le varie fonti di incertezza possono essere ricondotte all unico caso generale in cui incerte sono le conseguenze delle scelte. Inoltre, le diverse forme di incertezza analizzate sopra possono essere rappresentate in termini di incertezza sulla somma monetaria di cui posso venire in possesso dopo aver rinunciato a qualcosa il cui valore monetario è invece certo. Ciò significa che possiamo pensare alla scelta sotto incertezza come scelta fra diverse lotterie. 2. Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie Se si accetta la semplificazione proposta sopra, il comportamento di scelta di fronte ad un mondo incerto consiste sostanzialmente nello scegliere tra diverse lotterie alternative, ciascuna delle quali ha caratteristiche diverse, cioè prezzi di partecipazione e premi potenziali diversi. L insieme di scelta di chi prende una decisione, dunque, è costituito dalle lotterie disponibili, il vincolo alla scelta potrebbe essere pensato come l ammontare di risorse che si possono impegnare nella partecipazione alle diverse lotterie e l informazione consiste nella conoscenza delle caratteristiche delle lotterie disponibili. La descrizione delle conseguenze delle lotterie e il loro ordinamento saranno gli aspetti nuovi che ci impegneranno in questo capitolo. Definiti questi aspetti, la scelta consisterà nel selezionare la lotteria preferita fra quelle disponibili. Per semplificare ulteriormente le cose, supporremo che le lotterie disponibili siano solo due Conseguenze di una lotteria Gli esiti di una lotteria possono essere rappresentati per mezzo di variabili casuali. Consideriamo, per esempio, le conseguenze di una puntata di x euro su un singolo numero alla roulette: se esce quel numero si vince 36 volte la posta, altrimenti non si vince nulla. Tale conseguenza può essere descritta tramite una variabile casuale che assume valore zero con probabilità 36/37, e valore 36x con probabilità 1/37 (si rammenti che può uscire anche il numero zero). Un altro esempio è la scommessa di x euro sul fatto che esca croce nel lancio di una moneta: se esce croce si vince il doppio della puntata, altrimenti si perde tutto. Se la moneta non è truccata, la conseguenza è una variabile casuale che vale 2x con probabilità ½ e zero con probabilità ½. Più in generale, una lotteria è caratterizzata da un costo di partecipazione x e da esiti che prendono la forma di diverse somme monetarie alternative, ciascuna con una sua probabilità. 1

2 Esempi di lotterie importanti in economia possono essere i seguenti. Un progetto di investimento è caratterizzato da un costo iniziale, usualmente noto con certezza, e da possibili rendimenti futuri alternativi, alti o bassi, che potranno dipendere da varie circostanze non ancora note. La semina di un cereale ha le stesse caratteristiche, poiché il profitto che se ne potrà ottenere dipenderà dal clima durante l anno. Anche il profitto ottenibile da un attività industriale è soggetto a incertezza, per esempio a causa di possibili problemi di produzione. La guida di un autoveicolo potrà causare danni più o meno gravi a sé o ad altri, solitamente quantificati in termini monetari. L acquisto di un titolo in borsa ha le medesime caratteristiche, perché se ne conosce il prezzo di acquisto odierno, ma il prezzo futuro di realizzo è incerto. Interessante potrà essere più avanti anche il seguente esempio. Supponiamo che la qualità di un bene che vorrei comprare non mi sia nota, perché non tutti gli esemplari esistenti di quel bene, pur somigliandosi esteriormente, sono tra loro uguali. Supponiamo inoltre che io riesca ad attribuire valori monetari diversi alle diverse qualità, cioè supponiamo che io sia disposto a pagare prezzi diversi per i diversi benefici che le varie qualità mi arrecano. Anche l acquisto di un bene di qualità incerta, dunque, può essere rappresentato come una lotteria. Una prima caratteristica sintetica di una variabile casuale è il suo valore atteso, che si calcola moltiplicando ciascuno dei possibili esiti per la sua probabilità, e poi sommando tutti questi prodotti. Il valore atteso di una variabile casuale è una stima sintetica dell esito che ci si aspetta di poter osservare. Nel caso di una lotteria, gli esiti sono somme monetarie, per cui parleremo di valore monetario atteso o vincita monetaria attesa della lotteria. Se la lotteria è quella descritta nel precedente esempio della roulette, il valore monetario atteso è 0 (36/37) + 36x (1/37) = (36/37) x. Nel caso della moneta non truccata il valore monetario atteso della lotteria è pari a 0 (1/2) + 2x (1/2) = x. Una lotteria si dice equa se il suo valore monetario atteso è pari al costo di partecipazione. La puntata alla roulette, per esempio, non è una lotteria equa, mentre lo è la scommessa sulla moneta non truccata. La maggior parte delle lotterie effettivamente esistenti non è equa, perché altrimenti i suoi organizzatori non ne ricaverebbero alcun beneficio. Una seconda caratteristica molto importante di una variabile casuale è la variabilità dei suoi possibili valori rispetto al valore atteso. Tale caratteristica è misurabile tramite la varianza della variabile casuale, definita come media degli scostamenti dei diversi possibili esiti dal valore atteso, elevati al quadrato. La varianza misura in qualche modo il rischio connesso con la variabile casuale. Se quest ultima può assumere solo valori molto vicini tra loro, la media sarà essa stessa vicina a quei valori e gli scostamenti dalla media saranno piccoli. Se la variabile casuale, quindi, descrive gli esiti di una lotteria, quando la varianza è piccola la lotteria presenta un rischio basso: posso vincere somme tutte molto vicine al valore monetario atteso. Il contrario accade per una variabile che può assumere valori tra loro molto diversi, cosicché la varianza è grande. In questo caso la variabile casuale rappresenta gli esiti di una lotteria caratterizzata da un rischio elevato: posso vincere somme molto più alte, ma anche molto più basse, del valore monetario atteso. Siccome poi partecipare alla lotteria ha un prezzo, quando la lotteria ha varianza elevata posso sì guadagnare molto ma posso anche perdere molto. Lotterie caratterizzate da gradi diversi di rischiosità, cioè da varianza diversa, per alcuni soggetti possono non essere tra loro equivalenti pur avendo il medesimo valore monetario atteso. Si noti che possiamo avere, come caso particolare, variabili casuali che in realtà coincidono con eventi certi. In questo caso uno degli esiti, quello certo, ha probabilità pari ad uno, mentre tutti gli altri hanno probabilità pari a zero. Si tratta ovviamente di un artificio, ma l artificio è utile perché mostra che un evento certo può essere rappresentato come un caso particolare di variabile casuale. È facile calcolare che una variabile certa ha valore atteso pari al suo unico esito possibile, e ha varianza pari a zero, cioè comporta un rischio nullo, coerentemente con la nostra interpretazione della varianza. Ciò posto, la scelta sotto incertezza diventa una scelta tra lotterie alternative, ciascuna caratterizzata da un valore atteso ed una varianza. Nell insieme di scelta appariranno anche lotterie degenerate, cioè somme monetarie certe, e ciò potrà essere molto utile per comprendere meglio il processo di scelta. Per esempio, la scelta se partecipare o meno alla scommessa sul lancio di una moneta non truccata, con costo x e premio 2x, può essere reinterpretata come 2

3 scelta fra due lotterie: quella appena descritta, nel caso in cui si scommetta effettivamente, e quella coincidente con l avere x euro in tasca con certezza nel caso in cui non si scommetta. A questo punto occorre rivolgere l attenzione all ordinamento di preferenza fra le diverse lotterie Utilità, e utilità attesa A prima vista potrebbe apparire che il confronto fra lotterie possa avvenire sulla base dei soli valori monetari attesi: un valore monetario atteso, cioè un aspettativa di vincita, maggiore dovrebbe essere preferibile ad uno minore. Abbiamo già osservato, però, che anche il rischio costituisce un importante elemento di valutazione. Alcune persone, infatti, potrebbero essere molto caute e preferire un valore monetario atteso più basso, purché il rischio sia limitato, mentre altre persone potrebbe amare l azzardo. Inoltre, parlando della scelta del consumatore, abbiamo detto che ciò che conta non è ciò di cui un individuo dispone, beni o danaro, ma il benessere o soddisfazione che egli ottiene da ciò di cui dispone. Nel caso di lotterie con vincite monetarie, non è la vincita in sé che rileva, ma la soddisfazione che un individuo ottiene da quella vincita. In questo capitolo utilizzeremo esplicitamente il concetto di funzione di utilità. Si tratta di una funzione che assegna indicatori numerici di soddisfazione alle diverse possibili conseguenze delle scelte. Poiché nel caso di scelta tra lotterie le conseguenze sono somme monetarie, ipotizzeremo l esistenza di una funzione di utilità la cui variabile indipendente sono le diverse somme monetarie potenzialmente disponibili: ad ogni somma monetaria corrisponde un ammontare di soddisfazione, misurato da questa funzione. Ovviamente la relazione deve essere crescente, cioè al crescere della somma monetaria l utilità aumenta. L ipotesi di utilità crescente è illustrata nelle Fig. 1a e 1b. In entrambi i casi l utilità aumenta al crescere delle somme monetarie, tuttavia nel primo caso la relazione è concava, mentre nel secondo caso la relazione è convessa. Il significato economico della concavità, per esempio, è che quanto più grande è la somma che il signor Rossi già possiede, tanto più piccola è l utilità addizionale che egli ottiene da un euro addizionale. Ciò ricorda l ipotesi che abbiamo adottato nel capitolo precedente, e che allora giustificava la forma convessa delle curve di indifferenza: il possedere quantità maggiori di un certo bene rende le unità aggiuntive meno appetibili. Ma un soggetto potrebbe anche avere preferenze diverse da queste, come per esempio il signor Neri della Fig. 1b, la cui funzione di utilità è convessa. Non si può neppure escludere, infine, che un soggetto abbia una funzione di utilità lineare, cioè rappresentata da una retta. Figura 1 Due tipi di utilità delle somme monetarie Utilità di Rossi (a) Utilità di Neri (b) 0 Somma 0 Somma monetaria monetaria Data questa descrizione del benessere ottenibile da somme monetarie alternative, possiamo ora affrontare il problema dell ordinamento delle lotterie. Ogni lotteria dà luogo ad una variabile casuale che consiste in varie somme monetarie alternative, ciascuna ottenibile con una certa 3

4 probabilità. Da ciò consegue che chi partecipa alla lotteria può ottenere diversi livelli di utilità, ciascuno con una certa probabilità. Il suggerimento offerto dagli studiosi della scelta sotto incertezza è allora il seguente. Si consideri una lotteria e si valuti, tramite la funzione di utilità del consumatore, l utilità che egli otterrebbe in corrispondenza di ogni possibile esito della lotteria. Si calcoli poi il valore atteso, cioè la media, di queste utilità, usando come pesi proprio le probabilità dei diversi esiti. Il risultato di questa operazione è chiamato utilità attesa della lotteria, vale a dire è il valore atteso delle diverse possibili utilità. Si osservi quindi che l utilità attesa della lotteria si calcola come media di valori della grandezza rappresentata sull asse verticale del grafico, l utilità, e si dovrà rappresentarla sul medesimo asse. Il valore monetario atteso, invece, si calcola come media delle somme monetarie, rappresentate sull asse orizzontale del grafico. L utilità attesa, dunque, è un indicatore numerico del benessere fornito dalla lotteria in questione. Poiché ordinare i numeri è facile, chi deve prendere una decisione può scegliere, fra diverse lotterie alternative, quella caratterizzata dall utilità attesa più alta. Se si prende una decisione in questo modo, si dice che ci si comporta secondo il principio dell utilità attesa, e noi assumeremo che ci si comporti proprio in questo modo. Arrivati a questo punto, siamo riusciti anche nel caso di decisioni sotto incertezza a definire gli elementi essenziali del problema di scelta: l insieme di scelta sono le varie lotterie a disposizione del decisore, inclusa le scelta di non partecipare ad alcuna lotteria e disporre di somme certe; le conseguenze delle scelte sono variabili casuali (somme monetarie incerte) che conseguono dalle diverse scelte; l ordinamento è costruito guardando all utilità attesa di ogni scelta (lotteria); i vincoli dipendono in vario modo dalle regole e dai costi di partecipazione delle diverse lotterie; l informazione è, nelle nostre ipotesi, completa nel senso che le proprietà delle diverse lotterie (ma ovviamente non i loro esiti specifici) sono note con precisione a chi deve compiere la scelta. La Fig. 2 illustra alcuni esempi di calcolo dell utilità attesa. Supponiamo di avere tre diverse lotterie, caratterizzate dalle stesse possibili vincite monetarie, una bassa e una alta. Di conseguenza, le due utilità che un dato soggetto può ottenere nei due diversi esiti di ogni lotteria sono le medesime: l utilità B, se la vincita monetaria è quella bassa, e l utilità A, se la vincita monetaria è quella alta. Ovviamente A è maggiore di B, come rappresentato nella Fig. 2. La differenza tra le tre lotterie consiste nelle probabilità dei loro possibili esiti: nella prima lotteria la probabilità che si verifichi la vincita monetaria alta, e che quindi l utilità ottenuta sia A, è ¼ (dunque la probabilità di ottenere l utilità B è ¾); nella seconda lotteria la probabilità dell esito migliore è ½; nella terza lotteria infine tale probabilità è ¾. Di conseguenza (come si spiega nel Cap. 10, Par. 6), l utilità attesa, cioè la media delle possibili utilità, è diversa nei tre casi. Nella prima lotteria, dove la probabilità dell esito peggiore è più grande, l utilità attesa UA 1 si situa più vicino a B (per la precisione a un quarto di strada fra B e A); nella seconda lotteria l utilità attesa UA 2 è proprio a metà strada fra A e B; nella terza lotteria l utilità attesa UA 3 è più vicina ad A (a tre quarti di strada fra B e A). Figura 2 Se cambiano le probabilità cambia l utilità attesa O B O UA 1 UA 2 UA 3 A Utilità Naturalmente un soggetto che si comporta secondo il principio dell utilità attesa sceglie la terza lotteria, che ha utilità attesa più alta. Ma questa semplice osservazione non esaurisce ciò che abbiamo da dire sulla scelta sotto incertezza Avversione e propensione al rischio Di fronte a prospettive incerte alcuni soggetti si sentono timorosi, mentre altri, amanti dell azzardo, potrebbero invece entusiasmarsi: soggetti diversi hanno attitudini diverse nei 4

5 confronti del rischio, manifestando una maggiore o minore propensione nei suoi confronti. La definizione di avversione al rischio che adottiamo è piuttosto intuitiva: un individuo è avverso al rischio se, di fronte a due lotterie che hanno uguale valore monetario atteso, sceglie sempre quella caratterizzata da minore rischio, ovvero minore varianza. In caso contrario diremo che quell individuo è propenso al rischio. Infine, è neutrale nei confronti del rischio chi è indifferente fra lotterie con uguale valore atteso monetario, anche se hanno varianza diversa. Per collegare in modo semplice questa definizione con il principio dell utilità attesa conviene considerare inizialmente la scelta fra coppie di lotterie di uguale valore monetario atteso quando una delle due lotterie sia in realtà un evento certo. Il caso più semplice è la scelta se partecipare o meno ad una lotteria equa. In questo caso la scelta di non partecipare implica che alla fine avremo in tasca per certo il costo di partecipazione x: se non partecipiamo alla scommessa possiamo godere sicuramente della somma x che abbiamo risparmiato. Possiamo anche dire che la scelta di non partecipare ci promette un valore monetario atteso pari a x, in quanto si tratta del valore atteso di una variabile in realtà certa il cui valore è x. La partecipazione, invece, implica esiti incerti, ma con un valore monetario atteso esattamente pari al costo di partecipazione, essendo la lotteria equa. I valori monetari attesi delle due scelte sono dunque uguali, ma la varianza è diversa: non partecipare implica una varianza nulla, mentre partecipare implica una varianza positiva. Studiamo il problema secondo il principio dell utilità attesa. Figura 3 Avversione al rischio Utilità U(OA) U(OX) UA = ½U(OA) + ½U(OB) U(OB) 0 B X A Somme monetarie Consideriamo un soggetto che abbia una funzione di utilità concava. Supponiamo che costui possa scegliere se partecipare ad una lotteria equa i cui due esiti monetari, alto e basso, sono indicati come al solito come OA e OB. Il valore monetario atteso, OX, si situa a metà strada fra OB e OA poiché ipotizziamo che le probabilità dei due esiti siano ½; e OX è anche il costo di partecipazione alla lotteria. Questa situazione è illustrata nella Fig. 3. Se il nostro soggetto decide di non partecipare, risparmia OX euro, che si ritrova in tasca per certo e che gli garantiscono un utilità pari a U(OX), come vediamo dalla figura. Se invece decide di partecipare, il nostro decisore potrà ottenere due diversi livelli di utilità, ciascuno con probabilità ½, a seconda dell esito monetario. Se la vincita monetaria è quella più alta, l utilità ottenuta sarà U(OA), altrimenti sarà U(OB). Questi due livelli di utilità sono indicati in ordinata nella Fig. 3. Ciò che conta ai fini della decisione, tuttavia, è l utilità attesa UA, cioè la media fra U(OA) e U(OB): siccome le probabilità di ottenere questi due livelli di utilità sono pari a ½, l utilità attesa si trova a metà strada fra i due (in verticale!), e corrisponde all altezza della linea continua riportata in figura. Siccome l utilità attesa di partecipare alla lotteria, UA, è chiaramente inferiore all utilità di non partecipare, U(OX), questo soggetto decide di non partecipare. Ne segue che un soggetto la cui funzione di utilità è concava è avverso al rischio, perché fra le due alternative di uguale valore monetario atteso preferisce quella di minor varianza. La scelta di non partecipare, infatti, dà luogo ad un esito certo, la cui varianza è zero, 5

6 mentre la lotteria ha varianza positiva in quanto i due possibili esiti sono discostati dal valore monetario atteso. Consideriamo invece ora il caso di un individuo che abbia una funzione di utilità convessa. Gli altri dati del problema sono gli stessi di prima. La Fig. 4 illustra questa situazione, e se ne può agevolmente ricavare che in questo caso U(OX) è inferiore a UA. Il nostro individuo, dunque, sceglie di partecipare alla lotteria, perché ciò gli fornisce un utilità attesa maggiore. Questo è il caso di propensione al rischio: il soggetto preferisce la prospettiva con maggiore varianza. Una situazione esattamente intermedia fra le due precedenti sarà caratterizzata da una funzione di utilità né concava né convessa. Il grafico di questa funzione di utilità sarà una linea retta, e in tal caso chi deve decidere sarà indifferente fra le due alternative in esame. Costui è neutrale nei confronti del rischio, cioè guarda solo al valore monetario atteso delle due lotterie senza preoccuparsi della maggiore o minore varianza. Utilità U(OA) Figura 4 Propensione al rischio U(OX) U(OB) 0 B X A UA= ½U(OA) + ½U(OB) Somme monetarie Si potrebbe sospettare che i risultati appena ottenuti siano validi solo perché l alternativa alla prospettiva incerta è un evento certo. Da ciò potremmo dedurre, per esempio, che un soggetto avverso al rischio è semplicemente uno che preferisce solo le prospettive certe, ma in realtà le definizioni che abbiamo dato all inizio di questo paragrafo, che vi preghiamo di andare a rileggere, sono valide in generale. Per capire questo punto ci limitiamo al caso dell avversione al rischio, e ricorriamo alla Fig. 5. Qui un soggetto caratterizzato da una funzione di utilità concava si trova di fronte a due diverse lotterie con uguale vincita monetaria attesa: la prima ha come esiti possibili OA 1 e OB 1, la seconda ha esiti OA 2 e OB 2 ed in entrambe le lotterie le probabilità degli esiti sono pari a ½. Evidentemente la prima lotteria ha varianza maggiore della seconda, perché i suoi esiti sono più lontani, rispetto alla seconda, dal valore atteso. Utilità Figura 5 Due lotterie diverse U(OA 1 ) U(OA 2 ) U(OB 2 ) L 2 L 1 U(OB 1 ) O B 1 B 2 A 2 A 1 Somme monetarie 6

7 Ciò che conta per chi deve decidere è l utilità attesa. Siccome la probabilità degli esiti in entrambe le lotterie è pari a ½, l utilità attesa di ciascuna di esse si situa esattamente a metà strada fra le utilità dei due diversi esiti a cui esse possono condurre. Dunque l utilità attesa della prima lotteria è L 1, media fra U(OA 1 ) e U(OB 1 ), mentre l utilità attesa della seconda lotteria è L 2, media fra U(OA 2 ) e U(OB 2 ). La prima lotteria implica per il decisore un utilità attesa inferiore rispetto alla seconda: quest ultima, che ha varianza più bassa, sarà dunque preferita alla prima, e ciò significa avversione al rischio. Resta dunque confermato che un soggetto la cui funzione di utilità è concava è anche avverso al rischio. Poiché un soggetto avverso al rischio ha una funzione di utilità concava, potremmo pensare che una funzione di utilità più concava, cioè caratterizzata da una curvatura più pronunciata, implichi una maggiore avversione al rischio. Questa ipotesi è in un certo senso corretta, come avremo modo di vedere più avanti. Possiamo affermare, quindi, che la curvatura della funzione di utilità è un indicatore dell attitudine al rischio. Più la curva è concava, più il soggetto è avverso al rischio; se la curva è meno concava, lineare, o addirittura convessa, il soggetto è meno avverso, neutrale, o addirittura propenso nei confronti del rischio. Per concludere, accettando il principio dell utilità attesa abbiamo potuto giustificare rigorosamente un ipotesi abbastanza ragionevole: un individuo avverso al rischio sceglierà, fra diverse lotterie di uguale valore monetario atteso, quella caratterizzata da minor incertezza, cioè da minore varianza. Dunque, il fatto che oggi esista una gran quantità di persone che si dedicano a fare scommesse e a comprare biglietti di lotterie (e sappiamo che non si tratta di lotterie eque) può, al punto attuale della nostra analisi, essere interpretato in un solo modo: se sono persone che agiscono secondo il principio dell utilità attesa e sanno valutare correttamente le opzioni a loro disposizione, si tratta di persone amanti del rischio. 3. Il mondo visto da un economista 3.1. Assicurarsi o correre il rischio? Il signor Rossi possiede un appezzamento di terreno e sa che mettendolo a coltura potrebbe ottenere un certo profitto, che è dato dalla differenza tra ricavi e costi. Il profitto sarà alto se il clima sarà favorevole, e basso nel caso contrario. Supponiamo che la probabilità di un clima favorevole sia ½. Rossi, dunque, è incerto sul risultato finale della sua attività, ma d altra parte questo è l unico modo per ottenere un reddito. Rossi, quindi, non potrà astenersi dal coltivare il suo appezzamento. Un giorno arriva il signor Verdi, che è un assicuratore, il quale propone a Rossi questo contratto: Rossi pagherà a Verdi ogni anno una somma, che si chiama premio assicurativo, pari alla metà della differenza fra il profitto alto e il profitto basso. Nel caso di un annata sfavorevole per il raccolto, Verdi pagherà a Rossi come risarcimento tutta la differenza fra profitto alto e profitto basso. Rossi deciderà di assicurarsi? Se A è il profitto alto e B il profitto basso, quando Rossi non si assicura può aspettarsi di avere in media ogni anno una somma pari a ½ A + ½ B = ½ (A + B). Cosa accade se Rossi si assicura? Se le cose vanno male, egli ottiene il profitto basso, riceve il risarcimento e paga il premio, cioè ottiene il reddito B + (A B) ½ (A B) = ½ (A + B). Se le cose vanno bene, invece, Rossi riceve il profitto alto e paga il premio, cioè ottiene il reddito A ½ (A B) = ½ (A + B). Allora, poiché in entrambi i casi Rossi riceve ½ (A + B), se si assicura egli può contare ogni anno su un reddito certo pari a tale valore. Rossi quindi si trova a scegliere tra due lotterie con lo stesso valore monetario atteso ma con una diversa varianza, perché l esito di una delle due lotterie, quella che consiste nell accettare l assicurazione, è certo. Dunque, se Rossi è avverso al rischio preferisce assicurarsi, e rinuncia ad assicurarsi se è propenso al rischio. 7

8 Come già sappiamo, se Rossi è avverso al rischio accetterà di assicurarsi non solo quando gli si promette un reddito costante, ma anche quando gli si propone un qualsiasi contratto caratterizzato da un premio x e da un risarcimento 2 x, il cui effetto è una riduzione del rischio per Rossi. Si consideri infatti quanto segue. Se non si assicura Rossi può continuare ad avere in media un reddito pari a ½ (A + B). Se Rossi si assicura, quando le cose vanno bene ottiene il profitto alto e paga il premio, cioè ha un reddito pari a A x, e quando le cose vanno male ottiene il profitto basso, riceve il risarcimento e paga il premio, cioè ha un reddito pari a B + 2 x x = B + x. Il valore monetario atteso di questa lotteria, quindi, è ½ (A x) + ½ (B + x) = ½ (A + B). Rossi, dunque, deve scegliere tra due lotterie che hanno lo stesso valore monetario: ma la seconda ha varianza più bassa della prima, visto che i suoi esiti sono più vicino al valore monetario atteso. Se Rossi è avverso al rischio, dunque, deciderà di assicurarsi. (omissis) Osserviamo che molti problemi diffusi nella società si prestano ad una soluzione di tipo assicurativo. Un lavoratore potrebbe essere incerto se nel futuro avrà ancora il suo lavoro oppure sarà licenziato, cosa che implica un incertezza sul suo reddito futuro. Il lavoratore, quindi, potrebbe essere disposto a versare ogni anno un contributo al fondo disoccupazione (o al fondo cassa integrazione) per ricevere un sussidio se sarà disoccupato (o sarà in cassa integrazione). In alternativa il lavoratore potrebbe accettare un salario stabile ma inferiore a quello che potrebbe ottenere negli anni di buona riuscita dell impresa, in cambio della promessa che non sarà licenziato negli anni di magra. Un individuo potrebbe essere incerto sul proprio stato di salute futuro, che di nuovo potrebbe implicare abbandono del lavoro e mancanza di reddito, e potrebbe essere disposto a pagare un contributo al fondo malattia per ricevere un indennità quando dovrà assentarsi. Si immagini infine il seguente caso. Un soggetto sta accumulando risparmi per potersi sostenere anche nella parte della vita in cui non lavorerà più, per un periodo residuo atteso che dipende dalla lunghezza media della vita e dall età di pensionamento. Potrebbe però capitargli il caso sfortunato di vivere più a lungo della vita media, e dunque non avere accumulato risorse sufficienti. Allora gli potrebbe convenire consorziarsi con molti altri in un fondo pensione, dove i rischi indipendenti dei partecipanti si diluiscono nell aggregato: i contributi versati da chi vive meno compensano le esigenze di chi vive più a lungo, e i contributi individuali possono essere più bassi di quanto accade se ciascuno deve cautelarsi da solo rispetto alle esigenze di una vita lunga Scelte sul mercato finanziario Per poter discutere della scelta sotto incertezza sui mercati che per antonomasia implicano un rischio, cioè i mercati finanziari, è utile premettere una breve descrizione delle caratteristiche istituzionali di tali mercati, per evitare che il lettore inesperto possa rimanere intrappolato nelle nozioni intuitive dedotte da qualche titolo di giornale. Per seguire meglio le prossime argomentazioni potrebbe essere utile conoscere gli argomenti trattati nel Cap. 10, Par. 5. Acquistare un titolo finanziario significa rinunciare oggi ad una somma certa, il prezzo odierno del titolo, in cambio di incassi futuri più o meno incerti, che dipenderanno per esempio dal prezzo del titolo al momento della sua vendita. Esistono vari tipi di titoli, che si differenziano per le caratteristiche contrattuali e dunque per quelle economiche. Alcuni titoli promettono il pagamento di un valore certo di rimborso alla scadenza, ed eventualmente interessi (cedole) fissi durante la vita del titolo se questa è superiore ai mesi. In particolare, i BOT (Buoni Ordinari del Tesoro) non pagano interessi durante la loro vita, che non è superiore all anno, e il rendimento dell operazione consiste nel fatto che il valore di acquisto (detto valore di emissione) è inferiore al valore di rimborso. Altrettanto avviene con i CTZ (Certificati del Tesoro Zero coupon, dove coupon significa cedola), che hanno durata di 24 mesi ma per il resto si comportano come i BOT. Le obbligazioni (e nel caso di quelle pubbliche in Italia si parla di BTP, Buoni del Tesoro Poliennali) hanno alcune caratteristiche 8

9 simili a quelle dei titoli precedenti. Le obbligazioni sono emesse e rimborsate a prezzi prefissati e praticamente uguali, cosicché si dice che vengono emesse alla pari : se il valore di emissione è 100 lo è anche quello di rimborso. Questi titoli, però, durano più di 24 mesi, e durante la loro vita pagano cedole annue (o semestrali) fisse. I CCT (Certificati di Credito del Tesoro) hanno durata pluriennale, valore di rimborso prefissato, emissione alla pari, e interessi semestrali variabili a seconda delle condizioni che prevalgono di volta in volta sui mercati finanziari. Esistono infine le azioni, cioè quote di proprietà delle società, che offrono rendimenti annui (dividendi) e valore di realizzo al momento della vendita entrambi incerti. I dividendi sono incerti, perché lo sono i risultati economici delle società, e il prezzo delle azioni è incerto, perché varia nel tempo la valutazione che i potenziali acquirenti danno della società e quindi del titolo che la rappresenta. Le azioni non hanno di fatto una data di scadenza, perché gli statuti delle società prevedono durate molto lunghe. Ciò non significa che chi compra un azione debba tenerla indefinitamente: la borsa è proprio il mercato in cui chi lo desidera può comprare e vendere in qualsiasi momento le azioni. Si tratta di un mercato cosiddetto secondario, contrapposto al mercato di emissione iniziale, dove è possibile comprare e vendere anche tutti i tipi di titoli di cui abbiamo parlato prima (BOT, CTZ, eccetera). Neanche l acquirente di un obbligazione è obbligato a tenerla sino alla scadenza, e inoltre può decidere di comprarne sul mercato secondario anziché all emissione. Sul mercato secondario, inoltre, si contrattano anche altre forme di titoli, che hanno caratteristiche contrattuali tali da far dipendere il valore di realizzo o le cedole dall andamento di altri titoli. Tali forme vengono denominate derivati, e se ne inventano di nuove ogni giorno: trascureremo per semplicità questi titoli. In borsa, infine, è anche possibile comprare valuta estera, o titoli denominati in tale valuta, per venderli in un futuro. Poiché il prezzo della valuta, chiamato tasso di cambio, è variabile nel tempo, anche questa è un operazione finanziaria dai risultati incerti. Potrebbe sembrare che i titoli a cedola e valore di rimborso fissi diano luogo a operazioni finanziarie dal risultato certo, a differenza di quelle che riguardano CCT e, soprattutto, azioni. Si noti tuttavia quanto segue. Il tasso di interesse è il tasso di rendimento annuo di una somma prestata per un periodo breve, usualmente 3 12 mesi. Questo tasso è sempre espresso in base annua: se un operazione trimestrale mi rende x%, il suo equivalente su base annua è 4x%. Il rendimento misurato dal tasso di interesse può essere ottenuto tramite diverse operazioni di prestito, incluso l acquisto di BOT a 3 6 mesi o (all incirca) di CCT. Queste operazioni sono quelle che si riferiscono al cosiddetto mercato monetario o della liquidità. Per la precisione su questo mercato vigono tassi di interesse lievemente diversi tra loro, a seconda del tipo di operazione monetaria intrapresa, ma per semplicità assumiamo che esista un solo tasso. Il tasso di interesse implicito nell acquisto di un BOT può essere calcolato a partire dal suo valore di emissione e da quello di rimborso. Se il valore di rimborso, per esempio, è 100 e il valore di emissione è 98, il tasso di interesse è dato da 100/98 1 = circa 1, = 0,0204. Moltiplicando per cento questo risultato si ottiene il tasso di rendimento in termini percentuali, cioè 2,04%. I BOT semestrali (trimestrali) dovranno dare un rendimento percentuale pari a circa la metà (un quarto) del tasso annuale. Il tasso di interesse, tuttavia, può variare nel tempo, e di fatto varia anche di molto. Si supponga, dunque, che all inizio di gennaio di un certo anno il tasso di interesse prevalente sul mercato monetario sia il 2%. Un BOT annuale, quindi, deve essere emesso ad un prezzo pari a circa 98, se supponiamo che il valore di rimborso sia 100, perché altrimenti nessuno o troppi lo vorrebbero comprare. Se qualcuno, subito dopo aver acquistato all emissione un BOT annuale, volesse rivenderlo, non potrebbe sicuramente venderlo a una somma più alta di 98. Chi considera la possibilità di acquistare quel titolo, infatti, può sempre trovare sul mercato monetario altri modi di prestare che gli garantiscono il 2% e quindi non sarà disposto a pagare più di 98 per questo titolo. Supponiamo, però, che subito dopo l emissione del titolo per qualche ragione il tasso di interesse prevalente diventi 4%. Ora non solo chi ha comprato il titolo non può rivenderlo a 98, ma dovrà rivenderlo a 96,2 circa, perché chi considera la possibilità di comprare questo titolo può sempre trovare altri titoli o prestiti che gli garantiscono il 4% all anno. In effetti 100, il valore di rimborso, è proprio pari al montante di 96,2 al tasso del 4% (si veda il Cap. 10, Par. 5). Abbiamo dunque imparato che quando il tasso di interesse aumenta (diminuisce), il prezzo di mercato dei titoli a rimborso fisso deve diminuire (aumentare). 9

10 Consideriamo ora un obbligazione di durata abbastanza lunga (BTP, oppure obbligazione di una società privata), che garantisce una cedola fissa costante per molti anni. Si sappia che i tassi di interesse per prestiti di lunga durata sono superiori a quelli del mercato monetario, perché il rischio affrontato dal prestatore è maggiore. Se per esempio questa obbligazione viene emessa in un periodo in cui il tasso di interesse prevalente per i prestiti a lunga è il 4%, essa dovrà pagare 4 euro ogni anno per ogni 100 euro di valore di emissione, perché altrimenti nessuno la sottoscriverebbe. Allora, poiché il valore nominale o di rimborso di un obbligazione è convenzionalmente 100, diremo che la sua cedola è 4. Poiché la sua durata è superiore all anno, questo titolo potrà essere rivenduto in qualsiasi momento a 100, perché anche da quel momento esso pagherà 4 ogni 12 mesi. Questo è vero, tuttavia, solo se il tasso di interesse continua a rimanere il 4%. Cosa succede se il tasso di interesse a lunga diventa il 6%? Chi considera la possibilità di comprare questo titolo, e ottenere il diritto ad incassare 4 ogni anno, lo farà soltanto se anche questa operazione rende il 6% ogni anno. Costui, quindi, sarà disposto a pagare solamente una somma rispetto alla quale 4 rappresenti il 6%. Il nuovo prezzo dell obbligazione, P, deve pertanto essere tale che 4/P = 6% = 0,06, cioè deve essere P = 4/0,06 cioè P = 66,7 circa. In generale il prezzo dell obbligazione è uguale al valore della cedola diviso il tasso di interesse. Il calcolo appena svolto è approssimativo, ed è valido a rigor di termini solo per un obbligazione di durata infinita o almeno molto lunga. Se infatti la scadenza dell obbligazione è imminente, chi desidera comprarla o venderla deve tenere conto che il rimborso avverrà comunque al valore nominale 100. La convenienza di detenere il titolo, quindi, dipende non solo dal rendimento percentuale delle cedole, ma anche dal possibile guadagno o perdita derivante dalla variazione del valore dal titolo da ora al momento del rimborso. Ne segue che per titoli la cui scadenza sia imminente la variabilità del prezzo indotta dalle variazioni del tasso di interesse tende ad essere moderata. I titoli che in Italia meglio approssimano la durata molto lunga sono i BTP trentennali. Dunque, anche nel caso della lunga durata un aumento del tasso di interesse implica in generale una caduta del prezzo di mercato del titolo. Per esempio, se la cedola è 4 e il tasso di interesse diventa l 8% il prezzo dovrà cadere a 50; se il tasso di interesse diventa il 2% il prezzo dovrà salire a 200. Poiché i tassi di interesse che prevarranno in futuro sono incerti, il rischio implicito in un BTP con scadenza lontana nel tempo, se si è programmato di rivenderlo a breve, può essere piuttosto elevato. Che dire, invece, di un CCT? Poiché le cedole semestrali vengono fatte variare per contratto in corrispondenza di eventuali variazioni del tasso di interesse, il rapporto fra le due grandezze rimane stabile. Dunque, data la regola che abbiamo scoperto poco sopra, il prezzo di mercato di un CCT rimane praticamente costante nel tempo attorno a 100, e il rischio sul suo valore di rimborso è nullo. I tipi di titoli si differenziano dunque in relazione alla rischiosità per chi voglia comprarli e rivenderli dopo un tempo prefissato. Da una parte esistono operazioni monetarie praticamente senza rischio, come i prestiti a tre mesi e l acquisto di BOT o CCT; dall altra esistono operazioni finanziarie rischiose, come l acquisto di BTP, obbligazioni e azioni. Possiamo presumere, dunque, che i comportamenti sul mercato finanziario possano essere analizzati per mezzo degli strumenti che abbiamo imparato a usare nel Par. 2 di questo capitolo. BOT oppure obbligazioni? Il signor Rossi dispone di una certa somma, che ha deciso di utilizzare per l acquisto di un titolo. Esistono solo due tipi di titoli, che hanno il medesimo prezzo di acquisto odierno: un BOT, che dà un rimborso certo dopo un anno, e un obbligazione, che dopo un anno potrà avere due prezzi diversi, alto e basso, con probabilità ½. Dunque la ricchezza che Rossi potrà avere se compra un obbligazione è una variabile casuale. Supponiamo che Rossi sia avverso al rischio. Sappiamo già che se il valore monetario atteso dell obbligazione è pari al valore di rimborso del BOT, egli sceglie di acquistare il BOT, che ha il vantaggio di avere un valore di rimborso certo. Anche gli intermediari finanziari consigliano alle persone molto avverse al rischio di mantenersi su posizioni più monetarie. Ma non è detto che Rossi preferisca sempre le opzioni meno rischiose. 10

11 Consideriamo la Fig. 9, dove l asse orizzontale misura il rimborso ottenibile con le due scelte. Il rimborso certo ottenibile acquistando il BOT è OB, che garantisce a Rossi un utilità pari a OF. L acquisto dell obbligazione, invece, offre la possibilità di un rimborso pari a OA, che comporta un utilità pari a OE, con probabilità ½ oppure un rimborso più alto, OD, che comporta un utilità pari a OH, con probabilità ½. L utilità attesa di Rossi, dunque, è pari a OG, che è superiore a OF. Figura 9 Rossi è avverso al rischio ma preferisce un obbligazione ai BOT Utilità H G F E Utilità attesa dell obbligazione Valore monetario atteso dell obbligazione 0 A B C D Valore di rimborso Come si vede, Rossi preferisce acquistare l obbligazione anche se è avverso al rischio. Se infatti l opzione più rischiosa, l obbligazione, offre la possibilità di avere rimborsi elevati ancorché incerti, la sua utilità attesa supera quella dell alternativa non rischiosa: in effetti nell esempio precedente il valore monetario atteso di rimborso dell obbligazione è OC, decisamente maggiore del valore certo di rimborso del BOT, OB. Analogamente, un soggetto propenso al rischio potrebbe decidere di acquistare un BOT e vendere un obbligazione che promette valori medi di rimborso troppo bassi. Ciò spiega perché in caso di prospettive negative anche i soggetti propensi al rischio escono dalla borsa, causandone ribassi anche vistosi Tassazione progressiva come assicurazione Supponiamo che le attività del governo, tassazione e spesa pubblica, siano effettuate mantenendo il bilancio pubblico in pareggio: le entrate derivanti dalla tassazione sono sempre pari alle uscite, cioè alla spesa pubblica. Supponiamo inoltre che le spesa pubblica prenda la forma di sussidi monetari ai cittadini. In tal caso ogni atto del governo costituisce una redistribuzione di reddito fra cittadini, con l eccezione del caso banale in cui ognuno riceva in sussidi esattamente ciò che ha pagato a titolo di tasse. Uno schema di tassazione si dice progressivo se la percentuale di reddito prelevata dai più ricchi è maggiore della percentuale prelevata dai più poveri. Con una tassazione progressiva e sussidi distribuiti in modo uniforme tra i cittadini, l azione del governo fa sì che una parte non irrilevante del reddito dei ricchi passi nelle tasche dei poveri. Secondo una certa tradizione di pensiero, questo tipo d intervento aumenta il benessere della società. La giustificazione è che l utilità che è stata sottratta ai ricchi è inferiore a quella aggiunta ai poveri. La precedente Fig. 1a dovrebbe essere chiara al proposito: un euro tolto a chi ha un reddito alto riduce la sua utilità di un ammontare inferiore all incremento di utilità che si ottiene dando quell euro a chi ha un reddito basso. Dunque dopo il trasferimento monetario l utilità totale della società è aumentata. Esistono, tuttavia, alcune obiezioni a questo ragionamento. Innanzitutto esso presuppone che ricchi e poveri abbiano funzioni di utilità tra loro uguali, o almeno molto simili, e ciò non è necessariamente vero. In secondo luogo, si ragiona come se il benessere sociale fosse dato dalla somma delle utilità individuali, ma questo non è l unico modo per misurare il benessere sociale. 11

12 L argomento principalmente usato contro la progressività della tassazione, però, è il seguente. È probabile che gli individui più facoltosi lo siano perché sono anche i più dinamici e produttivi: tassandoli eccessivamente si corre il rischio di disincentivare proprio le persone che maggiormente contribuiscono alla creazione di ricchezza. L analisi svolta in questo capitolo ci consente, tuttavia, di proporre una diversa giustificazione per la tassazione progressiva. In una società liberale dovrebbe essere possibile una forte mobilità sociale: ogni soggetto dovrebbe avere l opportunità di emergere se ha talento. Ora, è improbabile che i figli di un soggetto dinamico e produttivo siano sempre dinamici e produttivi: può ben accadere che alcuni cadano in disgrazia ed altri migliorino la propria posizione. Dunque in una società liberale è inevitabile che vi sia una certa variabilità dei redditi personali e inter generazionali. Se le famiglie devono affrontare redditi che variano in modo casuale, si troveranno di fronte ad una prospettiva incerta. Supponiamo che le persone desiderino il proprio benessere e quello dei propri figli, e inoltre siano avverse al rischio. In tali circostanze costoro preferiranno una minore variabilità dei redditi. La tassazione progressiva assicura proprio questo risultato: mi viene tolto qualcosa quando ho un reddito elevato, ma mi viene dato qualcosa quando il mio reddito è basso. Ogni soggetto avverso al rischio, quindi, in presenza di mobilità sociale, dovrebbe preferire una tassazione progressiva, perché essa può essere considerata come una forma di assicurazione contro la variabilità dei redditi personali e familiari. 4. Alcune osservazioni finali In questo capitolo abbiamo imparato qualcosa sul possibile comportamento di individui che si trovano a decidere in situazioni di incertezza. Non sarà passato inosservato che nei nostri esempi le variabili casuali che esprimevano l incertezza (la probabilità che esca croce nel lancio di una moneta, quella di un incidente automobilistico, la probabilità di vendere a buon prezzo, di subire una condanna, di perdere reddito) non dipendevano dal comportamento di chi doveva prendere una decisione. Alcuni preferiscono utilizzare il termine rischio per questo tipo di casualità, poiché l incertezza è, secondo costoro, un fenomeno che ha caratteristiche ben diverse. In primo luogo, si dice, molti eventi sono incerti per chi deve prendere una decisione, ma non è possibile definirne la probabilità con riferimento ad altri eventi simili. Si pensi all incertezza circa il fatto che domani avvenga un accordo commerciale fra l impresa A e l impresa B. Questo è un evento che non abbiamo mai osservato in passato, per cui non possiamo formarci un opinione in proposito osservando la frequenza con la quale il fenomeno si verifica. In secondo luogo, si prosegue, l incertezza su alcuni avvenimenti è incertezza sulle azioni di altri individui. Poiché tali altri individui prendono le loro decisioni anche sulla base delle proprie opinioni, ciò solleva un delicato problema di interdipendenza fra le opinioni di tutti coloro che prendono decisioni. Per esempio, se tutti sono ottimisti sui ricavi futuri, vorranno spendere di più; ma poiché la spesa di qualcuno costituisce il ricavo di un altro, le aspettative di buoni affari vengono confermate. Immaginiamo poi che tutti abbiano la seguente convinzione: sanno che le macchie solari non hanno alcun effetto sull attività economica, ma pensano che gli altri siano convinti del contrario, cioè che la presenza di macchie solari faccia migliorare l attività economica. Allora, per il principio secondo cui un soggetto produce molto quando si aspetta che gli altri producano e domandino molto, è probabile che davvero l attività economica subisca un miglioramento in presenza delle macchie solari. Tale esempio non deve suonare poi così strano se si pensa a ciò che accade spesso in borsa, dove il ruolo delle macchie solari è svolto per esempio da un aggettivo utilizzato dal Ministro dell Economia. Neppure deve stupire il fatto che il modo migliore che molti hanno per prendere decisioni sia quello di adeguarsi alle opinioni altrui, anche se queste sono diverse dalle proprie convinzioni intime. Queste osservazioni sono molto serie, e vanno tenute presenti quando si voglia approfondire l analisi. In particolare, la seconda osservazione richiederebbe un discorso molto complesso, che qui evitiamo di affrontare. Per quanto riguarda la prima osservazione, però, possiamo 12

13 menzionare il fatto che la teoria statistica della scelta ammette che le opinioni degli individui possano essere soggettive, nel senso che non devono corrispondere necessariamente ad alcuna eventuale osservazione passata di un fenomeno e delle sue frequenze. La cosa importante è che le opinioni assumano una forma trattabile in termini di probabilità, da cui consegue che è ancora possibile utilizzare la teoria dell utilità attesa. Ovviamente ciò implica che le opinioni di soggetti diversi possano essere tra loro diverse, ma a priori nessuno può giudicare se sia meglio credere nella fusione delle imprese A e B. D altra parte, ciò corrisponde proprio a quanto accade nella realtà: se tutti pensassero la stessa cosa circa l evoluzione futura dei titoli in borsa, tutti vorrebbero fare la stessa cosa (comprare, oppure vendere) e non vi sarebbero scambi! Dobbiamo aggiungere, infine, un altro punto importante. Pur supponendo che un certo fenomeno sia ripetutamente osservabile, può darsi che qualcuno non lo conosca ancora perfettamente, e dunque possa apprendere qualcosa su di esso. Se dunque osserviamo un individuo che di fronte alle stesse alternative muta nel tempo le proprie scelte, non necessariamente dobbiamo dedurne che le sue preferenze sono mutate oppure che non sa formulare giudizi coerenti: potrebbe essere cambiata la sua opinione sulle variabili casuali che riguardano quel fenomeno. Ma talora apprendere qualcosa può essere costoso, e dunque potremmo osservare qualcuno che preferisce non cambiare le sue scelte perché ha preferito non cambiare le sue opinioni. Ciò potrebbe non essere condiviso da altri, che invece non hanno voluto tenere conto dell esperienza, oppure hanno saputo apprendere dall esperienza. Questa potrebbe essere un altra causa di difformità dei giudizi tra individui. 13