Esercizi riassuntivi di probabilità

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1 Esercizi riassuntivi di probabilità Esercizio 1 Una ditta produttrice di fotocopiatrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si distribuisce come una normale con µ = 1600 e 2 = Essa risarcisce 500 euro all acquirente se la durata della macchina è inferiore a Calcolare la probabilità che 1. in seguito alla vendita di una fotocopiatrice la ditta debba risarcire 500 euro 2. su 5 fotocopiatrici vendute la ditta debba risarcire al massimo 500 euro 3. su 5 fotocopiatrici vendute la ditta debba risarcire almeno 500 euro. 4. su 100 macchine vendute la ditta debba risarcire più di 5000 euro. 5. su 120 macchine vendute la ditta debba risarcire meno di 5000 euro. Esercizio 2 Data una scheda telefonica da 5 euro di cui non si sa se sia mai stata usata e nel caso sia stata usata non si conosce l ammontare ancora disponibile, è ragionevole ipotizzare per tale ammontare X una distribuzione di probabilità uniforme (continua). 1. Calcolare valore atteso e varianza di X 2. Devo fare una telefonata interurbana il cui costo sarà di 2 euro. Quale è la probabilità che la scheda telefonica sia sufficiente per fare la telefonata? 3. Ho 10 schede telefoniche tutte con un ammontare che si distribuisce come descritto sopra, quale è la probabilità che l ammontare complessivo delle 10 schede sia superiore a 30 euro? Esercizio 3 Si osserva il tempo di attesa Y delle auto al casello autostradale in un ora di punta e si vede che per il 95% delle auto tale tempo è almeno 3 minuti mentre solo il 2% aspettano più di 14 minuti. Supponendo che Y abbia una distribuzione normale, calcolare 1. il tempo medio di attesa e la varianza 2. la probabilità che il tempo di attesa sia al massimo di 3 minuti 3. la probabilità che il tempo di attesa sia tra 3 e 7 minuti 4. la probabilità che il tempo di attesa sia tra 7 e 10 minuti 5. la probabilità che il tempo di attesa sia più di 10 minuti

2 Esercizio 4 Una marca di birra offre confezioni contenenti nominalmente 55 cl di prodotto. Si osserva che il 10% delle confezioni contiene meno di 53,5 cl di birrra e che il 15% più di 56 cl. Assumendo che la distribuzione del contenuto sia normale calcolare: 1. il contenuto medio delle lattine di birra e la sua varianza 2. la probabilità che selezionando a caso una lattina questa abbia un contenuto minore di quello nominale 3. la probabilità che selezionando a caso 3 lattine al massimo due abbiano un contenuto inferiore a quello nominale

3 Soluzioni degli esercizi riassuntivi di probabilità Esercizio 1 1. Sia X la variabile che descrive la durata (in migliaia di copie) di una fotocopiatrice. Allora, X N(1600,3600). In seguito alla vendita di una fotocopiatrice, la ditta deve risarcire 500 euro solo se la fotocopiatrice ha una durata inferiore a Quindi la probabilità richiesta è: ( ) P(X < 1506) = Φ = Φ( 1, 57) = 3600 = 1 Φ(1, 57) = 1 0, 9418 = 0, Dire che su 5 fotocopiatrici vendute la ditta deve risarcire al massimo 500 euro è equivalente a dire che su 5 fotocopiatrici vendute al massimo una ha durata inferiore a Pertanto la probabilità richiesta è la probabilità che su 5 fotocopiatrici vendute al massimo una ha durata inferiore a Indicando con N la variabile casuale che descrive il numero di fotocopiatrici con durata inferiore a 1506 tra le 5 vendute, si ha N Bin(5, p = 0, 0582), dove la probabilità di successo della binomiale p è in questo caso data dalla probabilità che una fotocopiatrice abbia durata inferiore a 1506, ossia 0,0582, come ottenuto al punto 1. La probabilità richiesta è quindi ( ) 5 P(N 1) = P(N = 0) + P(N = 1) = 0, (1 0, 0582) 5 + ( ) , (1 0, 0582) 4 = 0, La probabilità richiesta è P(N 1) = 1 P(N < 1) = 1 P(N = 0) = ( ) 5 = 1 0, (1 0, 0582) 5 = dove N è la variabile casuale binomiale definita al punto Dire che su 100 macchine vendute la ditta deve risarcire più di 5000 euro equivale a dire che su 100 macchine vendute più di 10 hanno durata inferiore a Sia M la variabile casuale che descrive il numero di macchine con durata inferiore a 1506, tra le 100 vendute. Allora, la probabilità richiesta è P(M > 10). Sappiamo che M Bin(100,0,0582). Per calcolare P(M > 10) possiamo usare l approssimazione normale (in base al teorema del limite centrale), dato che sia np che nq sono maggiori di 5. Abbiamo, M N(100 0, 0582, 100 0, 0582 (1 0, 0582)). Allora, P(M > 10) = 1 Φ ( , , 0582 (1 0, 0582) ) =

4 = 1 Φ(1, 79) = 1 0, 9633 = 0, 0367 dove Φ(z) indica la funzione di ripartizione di una N(0,1). 5. Seguiamo lo stesso procedimeno del punto precedente. Se R è la variabile casuale che descrive il numero di macchine di durata inferiore a 1506 tra le 120 vendute, allora R Bin(120,0,0582) e la probabilità richiesta è P(R < 10). Per calcolare tale probabilità usiamo l approssimazione normale (in base al teorema del limite centrale) R N(120 0, 0582, 120 0, 0582 (1 0, 0582)), ( ) , 0582 P(R < 10) = Φ = Φ(1, 18) = 0, , 0582 (1 0, 0582) Esercizio 2 1. Per quanto specificato dal testo è ragionevole assumere per X, la disponibilità residua della scheda, una distribuzione uniforme (continua) sull intervallo (0,5): X U(0, 5). Per tanto il valore atteso di X è E(X)=5/2=2,5 euro e V(X)=(5 0) 2 /12 = 25/12 = 2, 083 euro La probabilità richiesta è P(X 2). Usando la formula per la funzione di ripartizione di una variabile casuale uniforme, tale probabilità risulta: P(X 2) = 1 P(X 2) = 1 (2 0)/(5 0) = 0, 6 3. Sia X i la variabile casuale che descrive la disponibilità residua (in euro) dell i-esima scheda telefonica, i = 1,...,10 e sia T = X 1 +X X 10 la variabile casuale che descrive l ammontare complessivo delle 10 schede. La probabilità cercata è P(T > 30). Per calcolare tale probabilità utilizziamo l approssimazione normale (in base al teorema del limite centrale), per cui T N(E(T),V (T)), dove E(T) = E(X 1 + X X 10 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X 10 ) = e = 10 E(X i ) = 10 2, 5 = 25 euro V (T) = V (X 1 + X X 10 ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) V (X 10 ) = = 10 V (X i ) = 10 2, 083 = 20, 83 euro 2 dove per la varianza si è usata l indipendenza delle variabili X i. Allora, ( ) P(T > 30) = 1 Φ = 1 Φ(1, 1) = 1 0, 8643 = 0, , 83

5 Esercizio 3 1. Sia Y la variabile casuale che descrive il tempo di attesa in minuti. Allora, Y N(µ, 2 ), dove µ e 2 sono ignote. Tuttavia è noto che P(Y 3) = 0, 95 e P(Y > 14) = 0, 02. Usiamo queste due informazioni per ricavare µ e 2. ( ) 3 µ 0, 95 = P(Y 3) = 1 Φ ossia ( ) 3 µ Φ = 1 0, 95 = 0, 05 3 µ = z 0,05 = z 1 0,05 = 1, 645 dove z 0,05 indica come al solito il quantile 0,05 della normale standardizzata. Inoltre, ( ) 14 µ 0, 02 = P(Y > 14) = 1 Φ ossia ( ) 14 µ Φ = 0, µ = z 0,98 = 2, 07 Abbiamo quindi ottenuto il sistema 3 µ = 1, µ = 2, 07 che, risolto rispetto a µ e, produce: µ = 7, 87 minuti e = 2, 96 minuti. Quindi la media del tempo di attesa è 7,87 minuti e la varianza è 2,96 2 =8,76 minuti La probabilità richiesta è P(Y 3)=1 P(Y 3)=1-0,95=0, La probabilità richiesta è ( ) ( ) 7 7, , 87 P(3 < Y < 7) = F(7) F(3) = Φ Φ = 2, 96 2, 96 = Φ( 0, 29) Φ( 1, 65) == (1 Φ(0, 29)) (1 Φ(1, 65)) = = Φ(1, 65) Φ(0, 29) = 0, 95 0, 6141 = 0, 336

6 4. La probabilità richiesta è ( ) ( ) 10 7, , 87 P(7 < Y < 10) = F(10) F(7) = Φ Φ = 2, 96 2, 96 Φ(0, 72) Φ( 0, 29) = Φ(0, 72) (1 Φ(0, 29)) = 0, , 6141 = 0, La probabilità richiesta è ( ) 10 7, 87 P(Y > 10) = 1 F(10) = 1 Φ = 1 Φ(0, 72) = 1 0, 7642 = 0, , 96 Esercizio 4 1. Sia X la variabile casuale che descrive il contenuto di una confezione di birra (in cl). Allora, X N(µ, 2 ), dove µ e 2 sono ignote. Per calcolare media e varianza si dispone però delle seguenti informazioni: P(X < 53, 5) = 0, 1 e P(X > 56) = 0, 15. Dalla prima condizione abbiamo ( ) 53, 5 µ 0, 1 = P(X < 53, 5) = Φ 53, 5 µ = z 0,1 = z 0,9 = 1, 282. dove z 0,1 indica il quantile 0,1 della normale standardizzata. Dalla seconda condizione si deriva ( ) 56 µ 0, 15 = P(X > 56) = 1 P(X 56) = 1 Φ ossia ( ) 56 µ Φ = 0, µ = z 0,85 = 1, 04 Abbiamo quindi ottenuto il sistema 53, 5 µ = 1, µ = 1, 04 che, risolto rispetto a µ e, produce: µ = 54, 88 e = 1, 08. Quindi, il contenuto medio è 54,88 cl e la varianza è 1,08 2 =1,17 cl La probabilità richiesta è ( ) 55 54, 88 P(X < 55) = Φ = Φ(0, 11) = 0, , 08

7 3. Sia N la variabile casuale che descrive il numero di lattine con un contenuto inferiore a quello nominale tra le 3 estratte. Allora, N Bin(3, 0,5438), dove la probabilità di successo della binomiale è la probabilità che una lattina abbia contenuto inferiore a quello nominale, ossia 0,5438 come calcolato al punto 2. La probabilità richiesta è P(N 2) = 1 P(N > 2) = 1 P(N = 3) = ( ) 3 = 1 0, (1 0, 5438) 0 = 0,

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