Studio del segnale atteso da collasso gravitazionale stellare in presenza delle oscillazioni del neutrino

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TORINO FACOLTÀ DI SCIENZE M.F.N. Corso di Laurea triennale in FISICA Studio del segnale atteso da collasso gravitazionale stellare in presenza delle oscillazioni del neutrino Relatore: Piero Galeotti Correlatore: Walter Fulgione Candidato: Alessandro Giacobbe Anno Academico 24/25

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3 Indice 1 Neutrini da Supernova Collasso gravitazionale Emissione neutrinica Oscillazioni dei neutrini Oscillazioni a due flavour nel vuoto Oscillazioni a due flavour nella materia Equazione di evoluzione temporale Densità costante Approssimazione adiabatica Oscillazioni con tre flavour Level crossing schemes Calcolo dei flussi di neutrini Gerarchia normale Gerarchia inversa Oscillazioni neutriniche nella materia terrestre Segnali nel rivelatore LVD Descrizione dell apparato sperimentale Calcolo del numero di eventi attesi Decadimento β-inverso Effetto della materia terrestre sul segnale atteso Dipendenza dai parametri astrofisici Interazioni con il 12 C Interazioni a correnti cariche Interazioni a correnti neutre Conclusioni 41 Bibliografia 42 3

4 4 INDICE

5 Capitolo 1 Neutrini da Supernova 1.1 Collasso gravitazionale Una stella trascorre la maggior parte della propria vita in uno stato di equilibrio dovuto al bilanciamento tra la forza grazitazionale, che tende a far contrarre la stella su se stessa, e la sua pressione interna che invece a farla espandere. Tuttavia per una stella di grande massa (M = 1 4M ) questo equilibrio si rompe quando negli strati più interni si giunge alla fusione del silicio, il cui risultato è la formazione di un core composto in larga parte di 56 F e. Ciò accade perchè non sono più possibili reazioni esotermiche, dal momento che il ferro è l elemento con la più grande energia di legame per nucleone. A questo punto la forza gravitazionale viene bilanciata dalla pressione di degenerazione degli elettroni (quasi) liberi presenti, ma quando il nucleo supera la massa limite di Chandrasekhar (1.4M ), esso collassa sotto il proprio peso. L evento che segue a questo collasso rappresenta l esplosione di una supernova e può essere suddiviso in quattro fasi: 1. Infall phase. La densità neutronica delle parti più interne del core (M.6M ) aumenta a causa della fotodissociazione del ferro seguita da cattura elettronica γ + 56 F e 13 4 He + 4n (1.1) e + p n + ν e (1.2) con conseguente riduzione della densità elettronica e della relativa pressione di degenerazione. Quando raggiunge la densità nucleare l aumento della pressione é sufficiente a fermare il collasso. Le parti più esterne del nucleo, che stanno ancora collassando subiscono un rimbalzo sulle parti interne. 2. Flash phase. In seguito al rimbalzo si forma un onda d urto propagantesi verso l esterno che produce una neutronizzazione prompt nel materiale attraversato. 5

6 6 CAPITOLO 1. NEUTRINI DA SUPERNOVA 3. Accretion phase. L onda d urto rallenta velocemente, andando in stallo dopo pochi ms dal rimbalzo e trasformandosi in uno shock di accrescimento ad una distanza R s 12 2km, che rappresenta il raggio della protostella di neutroni. Il materiale che si trova all esterno di R s, attraversando il fronte dell onda d urto in stallo, continua a collassare sul core e ad accrescerne la massa. Al termine di questa fase, a causa di moti convettivi e dell energia trasportata dai neutrini emessi nelle parti più interne, si ha che lo shock viene rivitalizzato (shock revival) dando luogo all espulsione degli strati esterni della stella (esplosione della SN). 4. Cooling phase. Il core interno si stabilisce in una nuova fase di quasiequilibrio chiamata stella di neutroni, che si raffredda emettendo neutrini di tutte le specie ( 1s) mediante i processi e + + e ν i + ν i e e + (e ) + n(p) p(n) + ν e (ν e ) L energia gravitazionale rilasciata durante il collasso è stimata essere pari a ɛ B (1 5) 1 53 erg, di cui 1%ɛ B è emesso in energia cinetica del materiale espulso,.1%ɛ B in fotoni e.1%ɛ B è la frazione di energia emessa sotto forma di onde gravitazionali. Tutta l energia rimanente 99%ɛ B è trasportata via dai neutrini che si suppone siano emessi dalla neutrinosfera, definita come quella superficie all interno della stella oltre la quale i ν possono sfuggire liberamente dalla stella, poichè la probabilità di assorbimento da parte della materia è trascurabile. 1.2 Emissione neutrinica In corrispondenza delle quattro fasi descritte, è possibile dintinguere tra una prima emissione neutrinica, durante le fasi di infall e flash e una seconda emissione durante le fasi di accretion e cooling. Quello che ci si apetta è un flash iniziale legato allo shock, seguito da una lenta ed esponenziale decrescita che termina quando il nucleo diventa trasparente. Nei conti che verranno svolti in seguito si ipotizzerà equipartizione dell energia emessa nelle varie specie di neutrini durante la fase di cooling: E νe E νe E νx ɛ B 6, con ɛ B erg è l energia totale emessa dalla stella sotto forma di neutrini. Simulazioni numeriche danno i seguenti valori per le energie medie dei neutrini emessi: E νe = 1 12 MeV E νe = MeV (1.3) E νx = MeV La ragione di queste diversità è da attribuirsi al fatto che i neutrini che interagiscono maggiormente con la materia - ν e e ν e a causa delle interazioni

7 1.2. EMISSIONE NEUTRINICA 7 a CC, proibite invece ai ν x - si disaccoppiano negli strati più esterni della stella, i quali si trovano a temperature inferiori. Si ha quindi che ogni tipo di neutrino ha la propria neutrinosfera con T νe < T νe < T νx. I risultati di simulazioni numeriche sugli spettri energetici dei neutrini emessi possono essere rappresentati analiticamente da funzioni dipendenti da alcuni parametri quali valor medio dell energia, energia totale emessa, temperatura della neutrinosfera. Gli spettri energetici per neutrini di specie i vengono ben rappresentati dalla distribuzione di Fermi-Dirac : E 2 n(e, T i, η i ) = 1 (1.4) N 1 + e E η T i i dove T i è la temperatura della neutrinosfera in MeV, N = F 2 (η i )Ti 3 è una costante di normalizzazione in cui F 2 (η i ) è l integrale di Fermi di ordine 2, dove l n-esimo integrale di Fermi è definito da: F n (η) = x n dx (1.5) 1 + ex η Con semplici passaggi si giunge inoltre ad ottenere la relazione che lega E e T : E = T F 3(η) (1.6) F 2 (η) Alcuni valori delle F 3 (η) e F 2 (η) al variare di η sono: η =, 1, 2 F 2 = 1.83, 4.128, F 3 = 5.682, 14.39, 34.3 η i è un parametro detto di pinching, che viene introdotto perché la neutrinosfera non é una regione ben definita, ma ha una sua estensione radiale. Si ha infatti che i neutrini ad energia maggiore, interagendo più facilmente con la materia, si disaccoppiano a distanze maggiori dal centro della stella, mentre quelli meno energetici a distanze minori. È quindi necessario introdurre il parametro di pinching η per tenere conto del fatto che gli spettri risultano essere depressi alle alte ed alle basse energie. Tipici valori assegnati ad essi e ottenuti con simulazioni numeriche danno: η e 3, ηē 3, η µ = η τ 2. Le figure 1.1 e 1.2 mostrano alcuni spettri Fermi-Dirac. Ad una distanza D dalla sorgente il flusso differenziale in energia per ogni specie di neutrini (non considerando le oscillazioni) vale: dfi (E, T i, η i ) = 1 de i 4πD 2 f E 2 1 iɛ B F 3 (η i )Ti 4 (1.7) 1 + e E η T i i

8 8 CAPITOLO 1. NEUTRINI DA SUPERNOVA Spettro normalizzato =3.5 MeV T νe =5.5 MeV T νe T νx =8 MeV Energia dei neutrini (MeV) Figura 1.1: Spettro Fermi-Dirac per le tre famiglie neutriniche (η = ) Spettro normalizzato η= η=1 η= Energia dei neutrini (MeV) Figura 1.2: Spettro emesso dalla neutrinosfera( ν e ) al variare di η, con T νe = 5.5

9 1.2. EMISSIONE NEUTRINICA 9 dove f i è la frazione di energia ɛ B emessa nella specie ν i che come detto in precedenza verrà considerata f i = 1 6, utilizzando l equipartizione dell energia. Questo flusso, integrato su tutta la superficie di emissione e su tutte le energie dei neutrini, dà il numero di neutrini di tipo i emessi: N i = 4πD 2 + de df i de = f iɛ B E i (1.8)

10 1 CAPITOLO 1. NEUTRINI DA SUPERNOVA

11 Capitolo 2 Oscillazioni dei neutrini I tre flavour di neutrino ν e, ν µ, ν τ sono definiti come gli stati che corrispondono ad una ben definita specie leptonica: e, µ, τ. Nel 1968 Pontecorvo suggerì che per neutrini massivi 1, gli autostati di flavour siano combinazioni lineari di tre autostati di massa ν e, ν µ, ν τ secondo la relazione : ν e ν µ ν τ = U ν 1 ν 2 ν 3 (2.1) dove la U è la matrice (unitaria) di mixing per il caso leptonico, analoga alla matrice CKM per il caso dei quarks. Come vedremo in seguito, gli autostati di massa sono anche autostati dell Hamiltoniana descrivente la propagazione dei neutrini nel vuoto. Con il trascorrere del tempo essi acquistano fasi diverse e può quindi capitare che un neutrino creato come autostato di un certo flavour dopo aver percorso una certa distanza venga rivelato come un autostato di flavour diverso proprio a causa dell interferenza dei tre autostati di massa. Nel caso in cui il mezzo attraversato dai neutrini non sia il vuoto, si dovrà tenere conto della loro interazione con la materia e delle conseguenti modifiche del fenomeno di mixing. Per stimare il flusso di neutrini da supernova atteso è perciò necessario studiare, oltre che le oscillazioni nel vuoto, anche le oscillazioni indotte dalla propagazione nella materia stellare e quelle dovute alla materia terrestre attraversata per giungere al rivelatore. Analizzando il segnale rivelato si può viceversa tentare di individuare, tra i vari modelli di mixing esistenti, quello piu consistente con i dati sperimentali. 1 nel caso in cui tutti i 3 neutrini siano privi di massa non sono previste oscillazioni 11

12 12 CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI DEI NEUTRINI 2.1 Oscillazioni a due flavour nel vuoto Considerando solamente 2 famiglie di neutrini ν e, ν µ, gli autostati di flavour e di massa sono legati da una matrice ortogonale reale 2 x 2 che dipenderà da un solo parametro θ che rappresenta appunto l angolo di mixing nel vuoto. La matrice è : ( ) cosθ sinθ U = (2.2) sinθ cosθ Ipotizzando che gli autostati di massa ν a (a = 1, 2) si propaghino nel vuoto come onde piane, ossia che siano descritti da ν a = ν a ( x, t) = e ī h ( pa xa Eat) ν a (t = ) (2.3) vogliamo calcolare la probabilità di oscillazione P µ e. Per fare questo è necessario fare alcune assunzioni: 1. i neutrini in questione sono ultrarelativistici: p a m a (2.4) dove m a è la massa dell a-esimo autostato di massa. Si puo quindi calcolare l energia (in unità naturali c = h = 1); infatti dato che E 2 = p 2 + m 2 si ha: E a = p a 2 + m 2 a = p a 1 + ( m a p a )2 ma tenendo conto della (2.4) e ricordando lo sviluppo (1+ɛ) α 1+αɛ, valido per ɛ 1, otteniamo: E a p a + m a 2 2 p a (2.5) 2. gli autostati di massa hanno tutti lo stesso impulso p 1 = p 2 = p = p, ma diversa energia 3. il moto avviene lungo l asse x e cioè: Sotto queste ipotesi, la (2.3) diventa p x = p x ν a = ν a (x, t) = e i(pxa pat) e i m 2 a t 2p ν a (t = ) (2.6) dove si vede che il primo esponenziale se ne va poichè, essendo i neutrini ultrarelativistici, in unità naturali si ha x t.

13 2.2. OSCILLAZIONI A DUE FLAVOUR NELLA MATERIA 13 Tenendo conto del mixing dovuto alla matrice U otteniamo che l evoluzione nel tempo degli autostati di flavours nel vuoto è data da: ν e (t) = cosθ e i m 2 1 t 2p ν µ (t) = sinθ e i m 2 1 t 2p ν 1 () + sinθ e i m2 2 t 2p ν 2 () (2.7) ν 1 () + cosθ e i m2 2 t 2p ν 2 () (2.8) La probabilità P µ e che un neutrino prodotto come ν µ venga rivelato come ν e da un rivelatore posto a distanza L = x dalla sorgente è data da P µ e = ν e () ν µ (t) 2 (2.9) Inserendo la (2.7) calcolata per t = e la (2.8) nella (2.9) si ottiene (cosθ ν 1 () sinθ ν 2 () )(sinθ e i m 2 1 t 2p ν 1 () + cosθ e i m2 2 t 2p ν 2 () ) 2 Tenendo conto dell ortogonalità degli autostati { ν a () }, svolgendo i calcoli cosθ sinθ e i m 2 1 t 2p m 2 cosθ sinθ e i m2 2 t 2 t 2p 2 = sin2θ ( e i 2p = sin 2 2θ ( (m2 2 1 cos m2 1 )t 2p ) 2 e i m2 1 t 2p 2 e ricordando che 1 cosα 2 = sin α 2, definendo α = m2 2 m2 1 2p t otteniamo ) 2 = P µ e = sin 2 2θ sin 2 ( m2 2 m2 1 t) (2.1) 4p Ponendo infine m 2 2 m2 1 = m2, p E, t x = L la precedente equazione diventa: P µ e = sin 2 2θ sin 2 ( m2 L 4E ) (2.11) Si vede così che il segnale rivelabile varia periodicamente con la distanza del rivelatore dalla sorgente, ripetendosi periodicamente per multipli interi della lunghezza di oscillazione, che si ottiene ponendo la fase φ = π nella (2.11). In unitá convenzionali si ottiene: λ = 2.47 E(MeV ) m 2 (ev ) 2.2 Oscillazioni a due flavour nella materia (2.12) Nel vuoto la probabilità di oscillazione non può mai superare il valore sin 2 θ (vedi 2.1) La materia invece può modificare il mixing, e le probabilità di oscillazione dei neutrini attraversanti un mezzo possono essere grandi 2 anche se l angolo di mixing è piccolo (ma diverso da zero). 2 prossime all unità

14 14 CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI DEI NEUTRINI Equazione di evoluzione temporale I neutrini ν e, ν µ, ν τ possono interagire con gli elettroni, i protoni e i neutroni della materia attraverso correnti neutre (CN) mediante lo scambio del bosone Z. I ν e inoltre possono interagire con gli elettroni attraverso correnti cariche (CC) mediante lo scambio di bosoni W ±. Si ha che i potenziali relativi a queste interazioni sono dati da: V e = 2G F (N e N n 2 ), V µ = V τ = 2G F ( N n 2 ) (2.13) dove N e è la densità numerica degli elettroni, N n è la densità numerica dei neutroni e G F è la costante di accoppiamento di Fermi. Nel caso di antineutrini si deve effettuare la sostituzione V a V a. Mentre nel vuoto è più facile seguire l evoluzione temporale nella base degli autostati di massa del vuoto, nella materia conviene farlo nella base degli autostati di flavour perchè i potenziali (2.56) sono diagonali in questa base. In assenza di materia si avrà che l evoluzione temporale data dalle (2.3) può essere scritta in maniera compatta come i( d dt ) ν a = H a ν a (2.14) dove H a = diag(p + m2 1 2E, p + m2 2 2E ), avendo così nella base degli autostati di flavour i( d dt ) ν fl = H fl ν fl = UH a U ν fl, con ν fl = U ν a Svolgendo il calcolo e aggiungendo il termine diagonale dovuto all interazione con la materia si ottiene: i d ( ) ( νe m 2 = 4E cos2θ + m 2G F N 2 e 4E sin2θ ) ( ) νe dt ν µ m2 4E sin2θ m 2 4E cos2θ (2.15) ν µ con θ angolo di mixing nel vuoto. I termini dovuti alle correnti neutre presenti sulla diagonale sono stati omessi in quanto non contribuiscono alle oscillazioni neutriniche Densità costante In generale la densità numerica N e varia lungo la traiettoria percorsa dal neutrino. Nel caso più semplice in cui invece N e = cost., diagonalizzando la matrice (2.57) si ottengono come autostati della materia: ν 1 = ν e cosθ m + ν µ sinθ m, (2.16) ν 2 = ν e sinθ m + ν µ cosθ m, (2.17) dove θ m è l angolo di mixing nella materia dato da sin2θ m = ( m2 2E )2 sin 2 2θ ( m2 4E cos2θ (2.18) 2G F N e ) 2 + ( m2 2E )2 sin 2 2θ

15 2.3. APPROSSIMAZIONE ADIABATICA 15 Si nota che esso è differente dall angolo di mixing nel vuoto θ e quindi i due autostati ν 1, ν 2 non coincidono più con ν 1, ν 2, tuttavia anche in questo caso l hamiltoniana data dalla matrice (2.57) può essere diagonalizzata da una trasformazione unitaria Ũ simile alla (2.2), in cui si sostituisce θ θ m Inoltre l ampiezza dell oscillazione sarà, come nel caso del vuoto, proporzionale a sin 2 2θ, ma nella materia, data la forma di (2.18) si vede che essa può assumere il valore massimo sin 2 2θ = 1, quando la condizione di risonanza 2GF N e = m2 2E cos2 2θ (2.19) è soddisfatta. Questa è la condizione di risonanza MSW. Essa viene soddisfatta quando θ = 45 e come già si era anticipato prima la probabilità di oscillazione nella materia può essere grande anche se l angolo di mixing nel vuoto è piccolo. (2.18) si comprende inoltre che: per N e che soddisfa alla condizione MSW si ha grande mixing indipendentemente dall angolo θ per piccoli 3 valori di N e si ha che θ m θ e come era da aspettarsi ci si riconduce al caso del vuoto per grandi valori di N e si ha che θ m π 2 e dalle (2.16),(2.17) si nota che gli autostati di flavour coincidono con gli autostati di massa e la matrice di ev.temporale è già diagonale poichè la trasformazione Ũ si riduce alla matrice identità. Non si ha quindi il fenomeno di mixing. 2.3 Approssimazione adiabatica Ovviamente il caso più realistico (ed interessante) è quello in cui la densità numerica del mezzo attraversato dai neutrini è variabile. In ogni istante di tempo si avrà che l Hamiltoniana H fl, data dalla matrice a secondo membro della (2.57) con N e = N e (t), può essere diagonalizzata da una matrice Ũ simile alla (2.2), in cui si sostituisce θ θ m : ν fl = Ũ(t)ν, Ũ (t)h fl (t)ũ(t) = H diag (t) = diag(e 1 (t), E 2 (t)) (2.2) con ν fl = (ν e (t), ν µ (t)) T è il vettore colonna con componenti i soliti autostati di flavour e ν = (ν 1 (t), ν 2 (t)) T contiene gli autostati di massa istantanei con relativi autovalori E 1 (t), E 2 (t). Sostituendo le (2.2) nella (2.14) ed effetuando la derivazione al primo membro si ottiene: i dũ d ν ν + iũ = H fl Ũ ν (2.21) dt dt 3 rispetto alla (2.19)

16 16 CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI DEI NEUTRINI Moltiplicando ambo i membri per Ũ e ricordando che per l unitarietà di Ũ vale Ũ = Ũ 1, riordinando i termini si ottiene: i d ν dt = ( H diag iũ dũ ) ν (2.22) dt Effettuando il calcolo della derivata temporale di Ũ, tenendo conto che la matrice dipende in realtà da θ m (t) e che quindi compare un fattore θ m (t) si ha infine: i d ( ) ( ν1 E1 (t) i = θ ) ( ) m (t) ν1 dt i θ (2.23) m (t) E 2 (t) ν 2 L Hamiltoniana nella base degli autostati di massa non è diagonale se θ m (t) non è costante, ossia se la densità non lo è, e quindi la base di autostati di massa nella materia varia nel tempo. Nel caso in cui i termini diagonali siano trascurabili, ossia la densità varii lentamente, si ha che la condizione di approssimazione adiabatica θ m E 1 (t) E 2 (t) (2.24) è soddisfatta e le transizioni ν 1 ν 2 sono esponenzialmente depresse. Ciò significa che gli autostati ν 1, ν 2 si propagano indipendentemente come nel vuoto e nella materia a densità costante. Nel caso più generale, ossia condizione di adiabaticità non soddisfatta, si avrà una certa probabilità P f che un neutrino in un autostato di massa salti nell altro autostato di massa data dall espressione analitica: P f = e2 π r k cos2 θ 1 e 2 π r k (2.25) in cui r è il fattore di scala della densità calcolato in x p [ q r = V (x) ν 2 ] dv (x) 1 (2.26) dx x=x p e con x p il punto in cui il potenziale eguaglia il numero d onda k = m2 2E : V (x p ) = k (2.27) 2.4 Oscillazioni con tre flavour Nel caso di oscillazioni in presenza di tre autostati di flavour gli elementi della matrice U(3 3) saranno ora in funzione di due angoli di mixing (θ 12, θ 13 ). Poichè nello studio di neutrini da supernova i ν µ, ν τ sono indistinguibili, le

17 2.4. OSCILLAZIONI CON TRE FLAVOUR 17 transizioni interessanti dipendono solamente dai tre elementi della prima riga della matrice U. Essi valgono: U 2 e1 = cos 2 θ 13 cos 2 θ 12, (2.28) U 2 e2 = cos 2 θ 13 sin 2 θ 12, (2.29) U 2 e3 = sin 2 θ 13, (2.3) Inoltre essi sono legati dalla condizione unitaria U ei 2 = 1 e quindi sono sufficienti soltanto due elementi. Nel nostro caso verranno usati U e2 2 e U e3 2. I parametri cinematici sono dati invece dalle due differenze di massa 4 (δm 2, m 2 ). I risultati degli esperimenti sui neutrini solari ed atmosferici suggeriscono i seguenti valori numerici : δm 2 = m 2 2 m ev 2, m 2 m 2 3 m2 1, ev 2, Ue2 2 sin 2 θ 12.33, Ue1 2 cos2 θ 12.7, Ue3 2 sin2 θ 13 < pochi %. In questo schema quindi si ha che δm 2 m 2 e m 23 m 13. Tuttavia l ambiguità nel segno di m 2 23 porta a due gerarchie di massa diverse: 1. m 2 23 >, m 3 > m 2, m 1 : gerarchia NORMALE (NH) 2. m 2 23 <, m 3 < m 2, m 1 : gerarchia INVERSA (IH) La differenza fondamentale tra le due gerachie è che nel caso diretto il piccolo contributo di mixing dovuto a U e3 si trova nello stato più massivo, mentre nella gerarchia inversa in quello con massa minore. Ricordando la formula (2.19) si comprende che i neutrini da supernova incontrano nel loro percorso due zone di risonanza. La risonanza SUPERIORE, per m 2, avverrà in corrispondenza della densità ρ H g cm 3 (2.31) mentre la risonanza INFERIORE, per δm 2, si avrà in corrispondenza di ρ L 5 3 g cm 3 (2.32) Per i neutrini da SN si ha che le condizioni di adiabaticità sono sempre soddisfate nella risonanza inferiore (L) e quindi la probabilità P f di salto tra due autostati di massa è P L =. (2.33) Nel caso di risonanza superiore (H) la probabilità P f dipende sensibilmente dal valore di U e3. Nel caso in cui U 2 e3 > si ha conversione completamente adiabatica, mentre se U 2 e3 < 5 14 è non adiabatica è sbagliato questo!? ho visto che l hai evidenziato: 4 indipendenti tra loro P H =, AD. (2.34)

18 18 CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI DEI NEUTRINI P H = 1, non AD. (2.35) La gerachia delle differenze di massa e quella delle densità di risonanza porta ad una fattorizzazione della dinamica della conversione neutrinica: le transizioni nelle due zone di risonanza possono essere considerate indipendenti e ognuna di esse si riconduce ad un problema di oscillazione a due neutrini. Si ha inoltre che le zone dove le due transizioni neutriniche avvengono sono lontane dal core stellare e quindi si può ragionevolmente ipotizzare che non influenzino la dinamica del collasso. 2.5 Level crossing schemes Nelle figure 2.1 e 2.1 sono riportati gli schemi di level-crossing nel caso di gerarchia di massa normale ed inversa con grande θ 12 (LMA). In questi diagrammi le energie degli autostati di flavour sono rappresentate dalla linea tratteggiata. L incrocio di due di queste rappresenta una zona di risonanza, mentre le linee continue mostrano l andamento degli autovalori dell Hamiltoniana del sistema, ossia le energie degli autostati di massa al variare della densità del mezzo. Come già detto in precedenza, nel caso degli antineutrini il potenziale Figura 2.1: Level crossing schemes nel caso di gerarchia di massa diretta V = 2G F N e va cambiato di segno e quindi le energie degli antineutrini possono essere rappresentate negli diagrammi precedenti come neutrini attraversanti strati di materia con densità negativa. I neutrini(antineutrini) sono prodotti all interno della stella in zone di alta densità e nel loro percorso attraversano via via strati a densità sempre minore, il che equivale a leggere gli schemi a partire da destra (sinistra) e spostandosi verso l origine, ossia verso N e =. Ci si aspetta che risonanze

19 2.6. CALCOLO DEI FLUSSI DI NEUTRINI 19 Figura 2.2: Level crossing schemes nel caso di gerarchia di massa inversa H, L avvengano nel canale dei neutrini(antineutrini) a seconda della gerarchia di massa considerata. Nel caso (NH) si ha che m 23 > e quindi la risonanza superiore avviene nel canale dei neutrini, mentre per (IH) si verifica per gli antineutrini. La risonanza L invece interessa il canale neutrinico per entrambe le gerarchie di massa. Nel seguito considereremo quattro casi differenti per le oscillazioni di neutrini da SN: 1. NH con transizione adiabatica nella zona H (NH ad ) 2. NH con transizione completamente non-adiabatica nella zona H (NH non ad ) 3. IH con transizione adiabatica nella zona H (IH ad ) 4. IH con transizione completamente non-adiabatica nella zona H (IH non ad ) 2.6 Calcolo dei flussi di neutrini Gerarchia normale Poichè i neutrini vengono creati nelle zone interne della stella, dove ρ ρ H, ρ L e quindi ricordando quanto detto al paragrafo (blabla.2) θ m π 2 tutti i mixing sono soppressi perchè i tre autostati di flavour coincidono con quelli di massa: ν 3 = ν e, ν 2 = ν τ, ν 1 = ν µ. (2.36) I flussi iniziali di neutrini negli autostati di massa sono quindi: F 3 = F e, F 2 = F x, F 1 = F x. (2.37)

20 2 CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI DEI NEUTRINI Vogliamo ora calcolare il flusso degli autostati di massa alla superficie della stella. Questi stati essendo autostati dell hamiltoniana nel vuoto viaggiano indipendenti dalla superficie della stella alle terra e per calcolarne i relativi flussi basta semplicemente seguire il percorso del neutrino nei diagrammi level crossing. Per prima cosa calcoliamo il flusso dei ν 1, il cui totale sarà la somma di tre contributi provenienti dai flussi iniziali di ν e, ν µ e ν τ. La probabilità che un neutrino originariamente creato come ν e (che coincide con ν 3 nel core della stella) arrivi sulla superficie della stella come ν 1 è P H P L poichè lo stato deve saltare nell altro autostato di materia in ciascuna delle due zone di risonanza. Il contributo al flusso finale di ν 1 dovuto al flusso iniziale di ν e è quindi P H P L F e. Analogamente, per quanto riguarda i contributi dovuti ai flussi iniziali di ν µ e ν τ si ottengono rispettivamente (1 P L )F x e (1 P H )P L F x. Il flusso totale di ν 1 che giunge sulla superficie della stella 5 è dunque: F 1 = P H P L F e + (1 P H P L )F x (2.38) Analogamente per gli altri due autostati di massa abbiamo F 2 = P H (1 P L )F e + (1 P H + P H P L )F x (2.39) Riscrivendo in maniera più compatta con e tenendo conto che F 3 = (1 P H )F e + P HF x (2.4) F a = α a F e + (1 α a )F x, (2.41) α 1 = P H P L, α 2 = P H (1 P L ), α 3 = 1 P H (2.42) F e = a Il flusso finale di ν e a terra è quindi dove UeaF 2 a = Fe Ueaα 2 a + Fx (1 a a U 2 eaα a ) (2.43) F e = pf e + (1 p)f x (2.44) p = a U 2 eaα a = U 2 e1p H P L + U 2 e2p H (1 P L ) + U 2 e3(1 P H ) (2.45) p è quindi la probabilità di sopravvivenza dei ν e. Usando la conservazione del flusso totale di neutrini, sapendo che il flusso 5 omettendo il termine 1 D 2

21 2.6. CALCOLO DEI FLUSSI DI NEUTRINI 21 iniziale totale è dato da F = F e + 2F x si ottiene che il flusso di ν µ e ν τ a terra vale F µ + F τ = (1 p)f e + (1 + p)f x (2.46) Analogamente per gli antineutrini, essendo assente la risonanza H, si riottiengono le (2.44) e (2.46) con la necessaria sostituzione p p, dove Gerarchia inversa p = U 2 e1 (1 P L) + U 2 e2 P L (2.47) Nel caso di gerarchia inversa si vede dai diagrammi di fig.2.1 che la trasizione ad alte densità avviene nel canale degli antineutrini mentre quella a basse densità avviene nel canale dei neutrini. Analogamente a quanto fatto per lo schema a gerarchia diretta si possono calcolare i flussi attesi a terra. Osservando dal diagramma si conclude che gli autostati della materia nella regione di creazione dei neutrini (e quindi a elevati valori di N e ) sono In questo caso ν 2 = ν e, ν 1 = ν µ, ν 3 = ν τ (2.48) ν 2 = ν µ, ν 1 = ν τ, ν 3 = νē (2.49) F 1 = P L F e + (1 P L)F x (2.5) F 2 = (1 P L )F e + P LF x (2.51) F 3 = F x (2.52) E quindi sommando i tre contributi e proiettando su ν e si ha con F e = pf e + (1 p)f x (2.53) p = U 2 e1 P L + U 2 e2 (1 P L) (2.54) Per gli antineutrini si procede analogamente, ottenedo: p = U 2 e1p H (1 P L ) + U 2 e2p H P L + U 2 e3(1 P H ) (2.55) Riassumendo ed facendo il calcolo esplicito dei flussi a terra tenendo conto delle condizioni 2.33,2.34 e 2.35 otteniamo NH - caso adiabatico: F e = Ue3 2 F e + (1 Ue3 2 )F x )F x Fē = Ue1 2 F ē + (1 Ue1 2 F µ + F τ = (1 Ue3 2 ) + (1 + U e3 2 )F x F µ + F τ = (1 U 2 e1 )F ē + (1 + U 2 e1 )F x

22 22 CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI DEI NEUTRINI NH - caso non adiabatico: F e = Ue2 2 F e + (1 Ue2 2 )F x )F x Fē = Ue1 2 F ē + (1 U e1 2 F µ + F τ = (1 Ue2 2 ) + (1 + U e2 2 )F x F µ + F τ = (1 U 2 e1 )F ē + (1 + U 2 e1 )F x IH - caso adiabatico: F e = Ue2 2 F e + (1 U e2 2 )F x )F x Fē = Ue3 2 F ē + (1 U e3 2 F µ + F τ = (1 Ue2 2 ) + (1 + U e2 2 )F x F µ + F τ = (1 U 2 e3 )F ē + (1 + U 2 e3 )F x IH - caso non adiabatico: F e = Ue2 2 F e + (1 U e2 2 )F x )F x Fē = Ue1 2 F ē + (1 U e1 2 F µ + F τ = (1 Ue2 2 ) + (1 + U e2 2 )F x F µ + F τ = (1 U 2 e1 )F ē + (1 + U 2 e1 )F x 2.7 Oscillazioni neutriniche nella materia terrestre Le probabilità di sopravvienza p e p calcolate nel paragrafo precedente, sono state ricavate nell ipotesi che i neutrini raggiungessero il rivelatore senza attraversare la materia terrestre. Nel caso in cui ció avvenga bisogna tener conto che gli autostati di massa nel vuoto non coincidono con quelli nella materia e che quindi le probabilitá di sopravvivenza andranno modificate con le sostituzioni: (U 2 e1, U 2 e2, U 2 e3) (P e1, P e2, P e3 ) (2.56) La correzione dovuta all attraversamento terrestre verrà calcolata per il flusso di ν e nell inverse β-decay. Delle due possibili risonanze si vede subito che l effetto di quella atmosferica ( m 2 13, θ 13) è trascurabile. Si ha infatti che il termine V = 2G F Ne, che rappresenta l effetto della materia terrestre nell hamiltoniana di propagazione nella terra, vale circa 1 7 ev 2 MeV avendo posto ρ = 3.5 g cm, mentre per 3 un energia tipica dei neutrini da supernova dell ordine dei 1M ev si ottiene che il termine m2 ev 2 2E, dovuto all oscillazione nel vuoto, vale 1 4 MeV. Il termine di materia è trascurabile rispetto a quello del vuoto e l angolo di mixing nella materia sarà quindi, con ottima approssimazione, uguale all angolo di mixing nel vuoto θ 13, avendo così che P e3 U 2 e3. La risonanza solare (δm 2 12, θ 12) non è invece trascurabile in quanto il suo termine di vuoto nell hamiltoniana di propagazione terrestre vale δm2 12 2E

23 2.7. OSCILLAZIONI NEUTRINICHE NELLA MATERIA TERRESTRE ev 2 MeV ed è quindi paragonabile con il termine dell hamiltoniana dovuto alla materia. Si puó quindi calcolare la probabilità Pe2 nel formalismo a due sapori ottenendo: P e2 ( ν e) = sin 2 θ + sin2θ sin(2θ 2θ) sin 2 (12.5 δm2 L E ) (2.57) con θ dato dalla (2.18), L lo spessore di materia terrestre attraversata espresso in migliaia di km, E l energia del neutrino in MeV e δm 2 = δm 2 (cos2θ + 2EV δm 2 )2 + sin 2 2θ (2.58) dove V νe = 2G F N e = ρ ev 2 Y e g/cm 3 MeV Nei conti che verranno eseguiti si assumerà ρ = 3.5 g cm 3 e Y e =.5. (2.59)

24 24 CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI DEI NEUTRINI

25 Capitolo 3 Segnali nel rivelatore LVD 3.1 Descrizione dell apparato sperimentale LVD è costituito da 84 contatori a scintillazione detti tank, ciascuno delle dimensioni di 1.5m 3 e rimpito di liquido scintillatore (C n H 2n con n 9.6), su cui si affacciano tre fotomoltiplicatori. Le tanks sono disposte in una struttura modulare ed intervallate da tubi a streamer per il tracciamento dei muoni da raggi cosmici. La massa attiva di LVD è pari a M 1t. Il segnale prodotto dai PMT è discriminato ad una soglia di 5MeV, è richiesta la concidenza tripla dei tre PMT entro 15 ns. Per permettere di osservare il γ ritardato dovuto a cattura neutronica, in caso di coincidenza la soglia viene abbassata a 1MeV per un intervallo della durata di 1ms. Nel seguito saranno presentati i risultati ottenuti nei seguenti canali di rivelazione di neutrini: 1) ν e p, e + n 2) ν 12 e C, 12 N e 3) ν 12 e C, 12 B e + 4) ν l ( ν l ) 12 C, ν l ( ν l ) 12 C (l = e, µ, τ) In tutti i eseguiti, se non diversamente specificato, sono stati utilizzati i seguenti valori per i parametri astrofisici: D = 1kP c, ε B = erg, T νe T νe =.8, T νx T νe = 1.5, η ν = 3.2 Calcolo del numero di eventi attesi Il numero totale di eventi attesi al rivelatore sarà dato dall integrale : N tot = N tar ɛ riv de ε (E ) de df (E, T i) de dσ i (E, E ) de (3.1) dove N tar è il numero di particelle bersaglio, ɛ riv è l efficienza di rivelazione della reazione al di sopra dell energia di soglia, è la sezione d urto 25 dσ de

26 26 CAPITOLO 3. SEGNALI NEL RIVELATORE LVD differenziale nella energia (E ) della particella secondaria prodotta nella reazione e df de è il flusso differenziale nell energia dei neutrini calcolato secondo la (1.7) nel caso di assenza di oscillazione o secondo le formule date alla fine del cap.2, nel caso di oscillazioni. L efficienza del rivelatore ε (E ) è data dal seguente integrale: ε (E, E h ) = 1 2π x e y2 2 dy, (3.2) dove x = (E E h ) σ h, con σ h =.86MeV e E h = 5MeV. Nel caso di processi di assorbimento di un neutrino su protoni o su nuclei, trascurando il rinculo del bersaglio, si ha che l energia E del positrone (e quindi l energia rivelata) dipende solo dall energia del neutrino incidente e si può quindi porre : dσ(e, E) de σ(e)δ(e E d ) (3.3) con E d energia rivelabile. Con questa ipotesi l equazione (3.1) si semplifica e diventa N tot = N tar ɛ riv ε(e d ) df E th de σ i(e)de (3.4) 3.3 Decadimento β-inverso La reazione in questione è che ha energia di soglia pari a ν e + p e + + n (3.5) E th = (m n m p + m e )c 2 = 1.8MeV (3.6) Il positrone perde energia all interno dello scintillatore e poi dà luogo a due fotoni con energia.5m ev ciascuno, annichilandosi con un elettrone nel processo e + + e 2γ. L energia rivelabile E d sarà data dalla somma delle energie a riposo della coppia elettrone positrone e dall energia persa dall anti-elettrone nel rivelatore. Essa sarà dunque, trascurando il rinculo del bersaglio: E d = E νe E th + 2m e c 2 = E νe.8 Vi è inoltre un secondo segnale, in ritardo rispetto al primo di t 18µs e dovuto all assorbimento da parte di un protone dello scintillatore del neutrone prodotto nella (3.5): n + p D + γ (3.7)

27 3.3. DECADIMENTO β-inverso 27 con E γ = 2.2MeV che fornisce un ulteriore fattore discriminante per la reazione 3.5). Per questa interazione si ha che il numero di particelle bersaglio vale N tar = (3.8) e l efficienza di rivelazione della reazione al di sopra dell energia di soglia E th = 5MeV vale ɛ νep = 95%. La sezione d urto dell inverse β decay (vedi [7]) è rappresentata in figura 3.1 ) 2 σ (cm Energia ν e (MeV) Figura 3.1: Sezione d urto dell interazione ν e + p e + + n in funzione dell energia del neutrino Ricordando quanto calcolato nel cap.2 si ha che per gli ν e, Fē = (1 U 2 e2 U 2 e3)f ē + (U 2 e2 + U 2 e3)f x (3.9) nel caso di NH adiab, NH non adiab e IH non adiab mentre si ha Fē = U 2 e3 F ē + (1 U 2 e3 )F x (3.1) nel caso di IH adiab, dove i vari F i sono dati dalla (1.7). Inserendo i flussi differenziali nella (3.4), tenendo conto della sezione d urto, si ottiene il numero di eventi attesi nel caso dei vari modelli. Esso dipenderà dalla temperatura della neutrinosfera che compare, come paramentro, nell espressione dei flussi differenziali. Osservando gli andamenti in fig.3.2 si vede come il numero di eventi cambi sensibilmente nelle diversi modelli di mixing utilizzati e che, ovviamente, cresca all aumentare della T νe. Per un valore tipico di T νe = 5MeV sono attesi i seguenti risultati:

28 28 CAPITOLO 3. SEGNALI NEL RIVELATORE LVD modello N.eventi E e + (MeV ) no osc NH adiab, NH(IH) non adiab IH adiab Tabella 3.1: Valori attesi in LVD per D = 1kP c, ε B = erg, Tνe T νe =.8, Tνx T νe = 1.5, η ν = Number of event No oscillation Normal hierarchy-adiabatic Normal(inverse) hierarchy-not adiab. Inverse hierarchy- adiabatic T νe (MeV) Figura 3.2: Numero di eventi attesi nel canale ν e + p e + + n in funzione della T νe

29 3.3. DECADIMENTO β-inverso 29 È inoltre utile graficare il numero di eventi atteso, in corrispondenza di un ben definito valore della T νe (5MeV ) in funzione dell energia del positrone (E e + = E νe 1.3), ottenendo il grafico di fig.3.3. Gli spettri di fig. 3.3 mostrano che nel caso di oscillazioni neutriniche vi E N No oscillation 6 5 Normal hierarchy-adiabatic Normal(inverse) hierarchy-not adiab. Inverse hierarchy- adiabatic (MeV) E e + Figura 3.3: Numero di eventi attesi nel canale ν e + p e + + n in funzione dell energia rivelata nel caso T νe = 5MeV sia un aumento, rispetto al caso senza oscillazioni, dei rates nella regione delle alte energie (E e + > 3 MeV ) e viceversa, ci si aspetti una carenza di eventi per energie inferiori a i 3 MeV. Il fenomeno è più marcato nel caso di modello IH adiab. Questi fatti sono facilmente comprensibili dal momento che in presenza di oscillazioni il flusso di ν e che giunge a terra è in parte composto da neutrini prodotti come ν x nel core della SN e aventi, in media, un energia maggiore. Infatti nel caso di IH adiab, dalla (3.1) e tenendo conto che Ue3 2 1 si ha che il flusso di ν e che giunge ha terra è praticamente coincidente con F x. Ossevando i valori in tabella 3.1 si nota che le E e + differiscono in maniera apprezzabile tra i vari modelli in esame. Ricordando inoltre che la E e + rivelata non dipende dall energia ɛ 1 B liberata in ν dalla SN, è utile graficare la T νe in funzione della E e +, quantità misurabile sperimentalmente nel rivelatore. L andamento è visualizzato in figura 3.4. È così possibile, avendo la E e +, 1 all aumentare di ɛ B aumenta il numero di eventi per unità di energia, ma il valor medio degli e + al rivelatore resta costante

30 3 CAPITOLO 3. SEGNALI NEL RIVELATORE LVD No oscillation (MeV) T νe 1 8 Normal hierarchy-adiabatic Normal(inverse) hierarchy-not adiab. Inverse hierarchy- adiabatic <E e +> (MeV) Figura 3.4: Temperatura della T νe in funzione della E e + rivelata in LVD stimare la T νe a seconda dei tre modelli di oscillazione. Nel paragrafo si vedrà che variazioni sui parametri η e f i hanno un piccola influenza sul valore dell E e + al rivelatore, rendendo ancora più significativi gli andamenti di fig Effetto della materia terrestre sul segnale atteso Per calcolare l effetto dell attraversamento della materia terrestre è stato usato il modello a un guscio con densità costante esposto nel paragrafo 2.7. L effetto è trascurabile nel caso di gerarchia inversa con conversione totalmente adiabatica nella risonanza H in quanto le oscillazioni dovute alla terra si manifestano solo in ν 1 ν 2 e il flusso dei ν e, coincidenti nella zona di creazione con ν 3, non ne viene influenzato. Diversa è la situazione nei casi di NH adiab, NH non adiab e IH non adiab in cui Fē = (1 Ue2 2 U e3 2 )F ē + (U e2 2 + U e3 2 )F x Per ottenere la Fē corretta bisogna effettuare la sostituzione 2 Ue2 2 P e2, nella precedente espressione, con Pe2 calcolata secondo la (2.57), ipotizzando una traiettoria dei neutrini all interno della terra di 15km, una densità di ρ = 3.5 g e δm 2 cm 3 12 = ev 2. Con il flusso differenziale così corretto si procede come nel caso di assenza di oscillazioni nella mat. terrestre e si ricalcola il numero di eventi attesi in 2 la sostituzione U 2 e3 P e3 è superflua poichè si è visto che P e3 U 2 e3

31 3.3. DECADIMENTO β-inverso 31 LVD al variare della T = T νe. I risultati sono in fig 3.5. Per T νe = 5MeV si sono ottenuti 363 eventi a cui corrisponde una variazione Number of event No oscillation Normal hierarchy-adiabatic Normal(inverse) hierarchy-not adiab. Inverse hierarchy- adiabatic. 1 Normal hierarchy-adiabatic EM effect Normal(inverse) hierarchy-not adiab. EM effect (MeV) T νe Figura 3.5: Numero di eventi attesi nel canale ν e + p e + + n in funzione della T νe percentuale del 2.5% rispetto al caso con oscillazioni e senza Earth-Matter Effect. La diminuzione del numero di eventi è dovuta alla rigenerazione del flusso di ν e iniziali che è da attribuirsi al secondo addendo della (2.57). Anche lo spettro energetico degli e + nel rivelatore cambia ma, come si può osservare in fig.3.6, anch esso in maniera lieve. È interessante poi andar a studiare come ci si aspetta che vari il segnale atteso per una distanza all interno della terra maggiore (45km). Il risultato è in fig Le ampiezze degli spettri ottenuti risultano oscillare con un periodo che, in accordo con la (2.57), aumenta all aumentare dell energia del neutrino 3. Sempre in accordo con la (2.57) le oscillazioni sono inoltre più marcate nel caso in cui la distanza attraversata sia maggiore. Anche le variazioni sul valore di δm 2 12 sono importanti dal momento che questo parametro è ad oggi ancora affetto da incertezza. I risultati ottenuti sono mostrati in fig Al diminuire del valore di δm 2 12 si ha un taglio via via più consistente nella parte dello spettro ad grandi energie (E e + > 3 MeV ). 3 e quindi, ricordando che E e + = E ν 1.3, anche all aumentare dell E e +

32 ( ) ) ( 32 CAPITOLO 3. SEGNALI NEL RIVELATORE LVD 1 5MeV N E No oscillation Oscillations Oscillations with Earth-matter effects E e + (MeV) Figura 3.6: Spettro energetico degli e + in presenza di EM-Effect per una T νe = 5MeV e d = 15Km NO Oscillations 1.1MeV E N 1.2 Oscillations with no Earth-matter effects Oscillations with EM-Effects d=15 km 1 Oscillations with EM-Effects d=45 km E e + (MeV) Figura 3.7: Spettro energetico degli e + in presenza di EM-Effect al variare di d all interno della terra, per T νe = 5MeV, δm 2 12 = ev 2

33 ) 3.3. DECADIMENTO β-inverso 33 ( NO Oscillations 1.1MeV E N 1.2 Oscillations with EM-Effects δ Oscillations with EM-Effects δ -5 m^2 = m^2 = ev 2 ev 1 Oscillations with EM-Effects δ -5 m^2 = ev E e + (MeV) Figura 3.8: Spettro energetico degli e + in presenza di EM-Effect al variare di δm 2 12 per T ν e = 5MeV, d = 15km Dipendenza dai parametri astrofisici Naturalmente i risultati ottenuti dipendono fortemente dai parametri astrofisici(temperature neutrinosfere, parametri di pinching, energia liberata, distanza della supernova) utilizzati nel calcolo del numero di eventi. In questa sezione ci si propone di studiare questi effetti. Nel calcoli precedenti sono stati utilizzati i seguenti valori (standard): T νe = 5MeV, ɛ B = erg, f νe = f νe = f νx = 1 6, η = per tutte le specie di neutrini. Per quanto riguarda la temperatura della neutrinosfera si ha che variandola di un T νe = ±1MeV attorno al valore 5MeV si ottengono, a seconda del modello in considerazione, variazioni del numero di eventi che comprese tra il 16% e il 2%. I risultati sono in tabella 3.2. Variando i parametri η i si modello T νe = +1MeV T νe = 1MeV no osc. 386(+18%) 26( 2%) NH adiab, NH(IH) non adiab 437(+17%) 31( 19%) IH adiab 539(+16%) 384( 18%) Tabella 3.2: Numero di eventi al variare della T νe sono invece ottenute variazioni del numero di eventi attesi comprese tra il

34 34 CAPITOLO 3. SEGNALI NEL RIVELATORE LVD 3% e il 9%. Esse sono riassunte nelle tabelle 3.3 e 3.4. Si nota che variazioni η νe = η νe = η νx = 1 η νe = η νe = 2, η νx = 1 modello N.eventi E e + (MeV ) N.eventi E e + (MeV ) no osc. 337 (+3%) 24.3 (+1.5%) 355 (+9%) 25.1 (+5%) NH adiab, NH(IH) non adiab 384 (+3%) 29.1 (+1.5%) 397 (+6%) 29.5 (+3%) IH adiab 48 (+3%) 36. (+2%) 48 (+3%) 36. (+2%) Tabella 3.3: Numero di eventi al variare delle η ν η νe = η νe = η νx = 2 η νe = η νe =, η νx = 2 modello N.eventi E e + (MeV ) N.eventi E e + (MeV ) no osc. 355 (+9%) 25. (+5%) 325 ( %) 23.8 (+5%) NH adiab, NH(IH) non adiab 45 (+8%) 3.1 (+5%) 385 (+3%) 29.7 (+3.5%) IH adiab 54 (+8%) 37.3 (+5.5%) 54 (+8%) 37.3 (+5.5%) Tabella 3.4: Numero di eventi al variare delle η ν ancora minori ( %) sono state ottenute per i E e +. Non facendo piú l ipotesi di equipartizione dell energia f νe = f νe = f νx = 1 6, ma studiando altri modelli di ripartizione energetica si sono ottenuti i risultati nelle tabelle 3.5 e 3.6. Come si vede le variazioni sono significative, soprattutto nei casi di assenza f νe = 1/5, f νe = 1/7, f νx = (1 f νe f νe )/4 modello N.eventi E e + (MeV ) no osc. 279 ( 14%) 23.8 (+%) NH adiab, NH(IH) non adiab 339 ( 9%) 29. (+1.5%) IH adiab 459 ( 2%) 35.3 (+%) Tabella 3.5: Variazioni del numero di eventi e di E e + per differenti f i di oscillazioni neutriniche, poichè variare la f i significa a aumentare (diminuire) l energia disponibile che, a parità di E ν, equivale ad un aumento (diminuzione) del numero di neutrini emesso dalla stella. Anche l incertezza sulla distanza si ripercuote in un incertezza sul numero di eventi attesi. Poichè N.ev 1 D, si avrà che un certo errore percentuale 2 sulla distanza darà luogo ad un incertezza percentuale sul numero di eventi doppia. Tuttavia il parametro che influenza maggiormente il numero di eventi attesi in tutti i casi studiati è l energia ɛ B rilasciata sotto forma di neutrini nell esplosione della SN. Esso infatti compare come fattore moltiplicativo nel

35 3.4. INTERAZIONI CON IL 12 C 35 f νe = f νe = 1/4, f νx = 1/8 modello N.eventi E e + (MeV ) no osc. 488 (+5%) 23.8 (+%) NH adiab, NH(IH) non adiab 443 (+19%) 26.9 ( 6%) IH adiab 352 ( 24%) 35.2 ( %) Tabella 3.6: Variazioni del numero di eventi e di E e + per differenti f i calcolo e ad una sua incertezza percentuale ne corrisponde una uguale per quanto riguarda il numero degli eventi. Purtroppo, non esistendo ancora un modello che spieghi completamente la dinamica dell eplosione di una SN, abbiamo che il valore dell energia rilasciata si può soltanto stimare esser compreso tra i (2 5) 1 53 erg. 3.4 Interazioni con il 12 C Interazioni a correnti cariche Le reazioni in questione sono due, una con i ν e e una con gli ν e. La prima è: ν e + 12 C 12 N + e (3.11) che viene osservata attraverso due segnali: un primo segnale dovuto all e (E = E νe 17.8MeV ) e un secondo dovuto al decadimento β + del 12 N con una vita media di τ = 15.9 ms. La seconda interazione con il carbonio è quella che riguarda gli ν e : ν e + 12 C 12 B + e + (3.12) anch essa osservata attraverso due segnali: quello dovuto all e + che attraversa lo scintillatore (E d = E νe 13.9MeV + 2m e c 2 ) e un secondo dovuto al decadimento β del 12 B con una vita media di τ = 29.4 ms. Poichè il tempi di vita media dei β ± sono simili non è possibile distinguere, se non su basi statistiche, i due segnali che verranno quindi sommati per ottenere il numero di eventi nelle interazioni con il 12 C. Le relative sezioni d urto sono graficate in figura 3.9. In questo caso il numero di targets è pari a N tar = , mentre le efficienze di rivelazione delle reazioni valgono rispettivamente ɛ ν 12 e C =.85 e ɛ ν 12 e C =.7. Utilizzando come nel caso del β-decay la (3.4), con le efficienze del rivelatore calcolate per le E d del carbonio si ottiene l andamento del numero di eventi in funzione della T νe rappresentato nel grafico di fig.3.1. Ci si aspettano per una T νe = 5 MeV i seguenti valori in tabella 3.7. Nel caso del carbonio il mixing si manifesta con un incremento conside-

36 36 CAPITOLO 3. SEGNALI NEL RIVELATORE LVD ) 2 σ (cm ν e C, B e ν e C, N e Neutrino energy (MeV) Figura 3.9: Sezioni d urto relativa alle interazioni a c.c. con il 12 C in funzione dell energia dei ν e ( ν e ) incidenti Number of event No oscillation Normal hierarchy- adiabatic Normal(inverse) hierarchy- not adiab. Inverse hierarchy- adiabatic (MeV) T νe Figura 3.1: Numero di eventi attesi a c.c. con il 12 C in funzione della T νe

37 3.4. INTERAZIONI CON IL 12 C 37 modello N.eventi no osc. 8 NH adiab 27 NH(IH) non adiab 21 IH adiab 26 Tabella 3.7: Valori attesi in LVD per le interazioni a c.c. con il 12 C, ipotizzando D = 1kP c, ε B = erg, Tνe =.8, Tνx = 1.5, η T νe T νe ν = revole del numero di eventi atteso rispetto al caso senza oscillazioni. Si ha infatti per i modelli NH adiab e IH adiab si ha un aumento superiore al 2%, mentre nei casi di NH(IH) non adiab si ha un aumento del numero di eventi attesi del 16% Interazioni a correnti neutre I neutrini possono interagire con il carbonio anche in un processo a correnti neutre. In questo caso sono coinvolte tutte le tre specie di neutrini 4. L interazione è la seguente: ν i ( ν i ) + 12 C ν i ( ν i ) + 12 C (i = e, µ, τ) (3.13) il cui segnale è un fotone monocromatico (E γ = 15.1MeV ) emesso in seguito alla diseccitazione del carbonio. Le sezioni d urto dei ν i e degli ν i sono graficate in figura Poichè nelle interzioni a correnti neutre il 12 C non distingue tra (anti)neutrini di specie differenti, si ha che il flusso che giunge a terra e che interagisce con il materiale del rivelatore non è influenzato dalle oscillazioni, dal momento che non fa differenza se un neutrino cambia o no il proprio flavour durante il suo percorso. Si ha quindi che : e F ν = F e + 2F x (3.14) F ν = F ē + 2F x (3.15) Inserendo le (3.14) e (3.15) nella (3.4), tenendo conto che il numero di bersagli vale come per le interazioni a c.c. N tar = , l efficienza di rivelazione ɛ ν 12 e C =.55 e l energia rivelabile E d = E ν 15.1MeV, si calcola il numero di eventi attesi in LVD al variare della temperatura della neutrinosfera. I risultati ottenuti sono graficati in figura Nel caso di temperatura della neutrinospera pari a 5 MeV ci si aspetta di osservare 26 eventi, indipendentemente dalla presenza delle oscillazioni. 4 a differenza delle interazioni a c.c., a cui erano soggetti solo gli (anti)neutrini eletronici

38 38 CAPITOLO 3. SEGNALI NEL RIVELATORE LVD ) 2 σ (cm ν i C, ν i C* ν i C, ν i C* neutrino energy (MeV) Figura 3.11: Sezioni d urto relativa alle interazioni a c.n. funzione dell energia dei ν e ( ν e ) incidenti con il 12 C in Number of event 12 7 interazioni a c.n. con il C (MeV) T νe Figura 3.12: Numero di eventi attesi per le interazioni a c.n. con il 12 C

39 3.4. INTERAZIONI CON IL 12 C 39 È interessante andare a studiare il rapporto tra il numero di eventi atteso per le reazioni a correnti neutre e quello per le correnti cariche. Si ha infatti che questo numero non dipende dall energia ɛ B rilasciata sotto forma di neutrini nell esplosione, in quanto essa compare come fattore moltiplicativo in entrambi i casi e quindi si semplifica. Graficando il rapporto R(T ) = Nev c.n.(t ) Nev c.c. (T ) (3.16) si è ottenuta la figura Si nota la netta differenza tra il caso senza No oscillation c.n c.c. 7 Normal hierarchy-adiabatic Normal(inverse) hierarchy-not adiab. 6 Inverse hierarchy- adiabatic T νe (MeV) Figura 3.13: Rapporto Nevc.n. Nev c.c. in funzione di T νe oscillazione e i modelli che tengono conto del mixing di neutrini, ottenendo rispettivamente i seguenti valori: modello R(5 MeV ) no osc NH adiab.97 NH(IH) non adiab 1.23 IH adiab 1.2 Andando invece a variare la frazione di energia emessa nelle varie specie di neutrini si ottiene, nel caso in cui f νe = f νe = 1 4 e f ν x = 1 8 :