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1 delle Diagrammi di Bode La funzione di risposta armonica F(ω) = G(jω) può essere rappresentata graficamente in tre modi diversi: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi di Bode sono due: ) Diagramma delle ampiezze: rappresenta il modulo G(jω) in funzione della pulsazione ω. Sia il modulo G(jω) che la pulsazione ω vengono espressi in scala logaritmica. Tipicamente per i moduli G(jω) si usano i db (A db = 2log A), mentre per la pulsazione ω si usa la scala logaritmica in base. 2) Diagramma delle fasi: rappresenta la fase arg G(jω) in funzione della pulsazione ω. In questo caso la fase arg G(jω) viene espressa in scala lineare, mentre la pulsazione ω viene espressa in scala logaritmica base. Esempio: ( ) + s 8 G(s) = ( )( + s + s Diagrammi di Bode: Ampiezza [db] ) G(jω) = Diagramma dei moduli ( ) +j ω ( )( 8 ) +j ω +j ω Diagramma delle fasi Fase [gradi] Pulsazione ω [rad/s]

2 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Conversione delle ampiezze in db Il decibel è un unità logaritmica convenzionale che normalmente si impiega per esprimere quantità positive, tipicamente il guadagno di amplificatori: A db = 2log A Per la conversione si può utilizzare il seguente diagramma: Posto A nella forma: A = r n con r <, il valore di A in decibel è: A db = 2n+s db dove s si ricava dal diagramma a fianco: s < 2. Alcune conversioni di uso frequente: Esempio : Le decadi.. 8 db 6 db 4 db 2 db db. 2 db. 4 db. 6 db. 8 db.. A > 2 3 db 2 6 db 5 4 db 2 26 db 5 34 db A < / 2 3 db /2 6 db /5 4 db /2 26 db /5 34 db A = 24 A = 2.4 A db 2+8 = 28 Esempio 2: A =.56 A = 5.6 A db 2+5 = 5 Ogni 6 db il valore di A raddoppia; Ogni 2 db il valore di A è moltiplicato per ;

3 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Per i calcoli teorici si utilizzano tipicamente i logaritmi naturali: ) ] lng(jω) = ln [ G(jω) e jargg(jω) = ln G(jω) +jargg(jω) } {{ } } {{ } α β Peraltro, un cambiamento di base dei logaritmi equivale ad un semplice cambiamento di scala. Si possono utilizzare due tipi diversi di carta millimetrata: a) carta con doppia scala logaritmica per le ampiezze e carta semilogaritmica per le fasi; b) carta semilogaritmica sia per le ampiezze sia per le fasi. In questo caso la scala delle ampiezze è graduata in decibel: A db =2log A. Caso a) Caso b) I vantaggi che si hanno impiegando una scala logaritmica sono: ) è possibile avere una rappresentazione dettagliata di grandezze che variano in campi notevolmente estesi; 2) i diagrammi di Bode di sistemi in cascata si ottengono come somma dei diagrammi di Bode dei singoli sottosistemi; 3) i diagrammi di Bode di una funzione data in forma fattorizzata si ottengono come somma dei diagrammi elementari dei singoli fattori.

4 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Funzione G(s) in forma polinomiale : G(s) = K s m +b m s m +...+b s+b s h (s n h +a n s n h +...+a h+ s+a h ) Il fattore s h corrisponde ad un polo nell origine con grado di molteplicità h. Se h= la funzione G(s) non presenta poli nell origine. Forma fattorizzata a poli e zeri: G(s) = K (s z )(s z 2 )... (s z m ) s h (s p h+ )(s p h+2 )... (s p n ) Forma fattorizzata a costanti di tempo: ( +τ s )( +τ 2s )...( +2δ s G(s) = K s h( +τ s )( +τ 2 s )... ω n ) + s2 ω n 2 ( +2δ s ω n + s2 ω 2 n Il logaritmo del modulo della funzione G(s): log G(s) = log K +log +τ s log +2δ s ω n... )... + s2 ω 2 log s h log +τ s... log +2δ s ω n + s2 La fase della funzione G(s): argg(s) = argk +arg ( +τ s ) ( arg +2δ s arg(s h ) arg ( +τ s ) (... arg ω n n ω 2 n ) + s2 ω n 2 +2δ s ω n + s2 ω 2 n Il diagramma di Bode di una qualunque funzione G(s) si ottiene come somma dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari: K, s ±, ( +sτ ) ±, (+2δ s ω n + s2 ω 2 n ) ± )

5 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Guadagno costante: G(s) = K Funzione di risposta armonica: G(jω) = K e jϕ Modulo: G(jω) = K. { se K > Fase: ϕ = π se K < I diagrammi dei moduli e delle fasi sono costanti e indipendenti da ω. Ampiezza [db] Fase [gradi] K = 5 K =.5 K > K < Diagramma dei moduli Diagramma delle fasi 2 2 Pulsazione ω [rad/s] Polo nell origine: G(s) = s Funzione di risposta armonica: G(jω) = jω Ampiezza [db] Diagramma dei moduli -2 db/dec= - decade Diagramma delle fasi -2db Modulo: G(jω) = ω Fase costante: ϕ = π 2 Fase [gradi] Pulsazione ω [rad/s] Il diagramma delle ampiezze è una retta di pendenza - (cioè -2 db/dec) con guadagno unitario in corrispondenza della pulsazione ω =.

6 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Polo reale: G(s) = G(jω) = +τs Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: G(jω) = +ω2 τ 2, +jωτ argg(jω) = arctanωτ a) Alle basse frequenze: 5 Diagramma dei moduli G(jω) ω Modulo iniziale: G =. Fase iniziale: ϕ =. Ampiezza [db] ω a ω -2 db/dec ω b b) Alle alte frequenze: G(jω) ω jωτ Modulo finale: G =. Fase finale: ϕ = π 2. È possibile dimostrare che vale la seguente relazione: Fase [gradi] ω ω a Diagramma delle fasi ω Pulsazione ω [rad/sec] = ω b = e π 2 = 4,8 ω a ω I cambiamenti di pendenza dei diagrammi asintotici avvengono alle pulsazioni: ω = τ, ω a = ω 4.8 = 4.8τ, ω b = 4.8ω = 4.8 τ La massima distanza esistente tra la rappresentazione asintotica e l andamento reale si ha per ω=ω =/τ e vale / 2 3 db. La pendenza 2 db/decade viene tipicamente indicata con il simbolo -. I diagrammi di Bode della funzione G(s)=(+τs) si ottengono ribaltando attorno all asse delle ascisse quelli della funzione G(s)=(+τs). Quando τ è negativa, il diagramma delle ampiezze rimane immutato, mentre il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all asse delle ascisse. ω b

7 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Imag Poli complessi coniugati ( δ<): G(s) = + 2δ ω n s+ s2 ω 2 n G(jω) = ω2 ω 2 n +j2δ ω ω n Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: G(jω) = ( ) 2+4δ, argg(jω)= arctan 2δ ω ω n ω2 ωn 2 2 ω 2 ω2 ωn 2 ωn 2 DiagrammadiBodedelleampiezzeper δ {,.5,.,.2,.3,.5,.7, }: 3 Diagramma dei moduli Ampiezza [db] db/dec 3 4.ω n ω n ω n Pulsazione ω [rad/sec] La pendenza 4 db/decade viene tipicamente indicata con il simbolo -2.

8 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Per piccoli valori di δ il diagramma reale si discosta sensibilmente da quello asintotico. In particolare per δ = lo scostamento è infinito. Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: ) per δ / 2 il diagramma ha un massimo; 2) per δ /2ildiagrammaintersecal asseadestradelpuntoω=ω n ; 3) per /2 δ / 2 il diagramma interseca l asse a sinistra del punto ω=ω n ; 4) per / 2 δ il diagramma non interseca l asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica. Pulsazione di risonanza ω R. Posto u=ω/ω n, il massimo dell ampiezza corrisponde ad un minimo della funzione ( u 2 ) 2 +4δ 2 u 2 Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene 4( u 2 )u+8δ 2 u = Trascurando la soluzione nulla si ottiene u R = 2δ 2 ω R = ω n 2δ 2 Picco di risonanza M R : si calcola come modulo della funzione di risposta armonica in corrispondenza della pulsazione ω R : M R = ( 2δ2 ) 2 +4δ 2 ( 2δ 2 ) M R = 2δ δ 2

9 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagramma di Bode della fasi: duli 3 Diagramma delle fasi Fase [gradi] ω a ω n.ω n ω n Pulsazione ω [rad/sec] ω b Le pulsazioni ω a e ω b sono legate alla pulsazione ω n dalla relazione: ω n ω a = ω b ω n = e π 2 δ = 4,8 δ I cambiamenti di pendenza del diagramma asintotico delle fasi avviene alle pulsazioni: ω a = ω n 4.8 δ, ω b = 4.8 δ ω n

10 3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 Il Ampiezza coefficiente di smorzamento δ può essere calcolato a partire: ) dal picco di risonanza M R : M R = 2δ δ 2 δ = 2) dalle pulsazioni critiche ω a e ω b : ( 2 ω b ω a = e πδ δ = π ln ω b ω a M 2 R 3) dal guadagno M ωn della funzione G(jω) alla pulsazione ω = ω n : ) M ωn = G(jω) ω=ωn = 2δ δ = 2M ωn 2 Diagramma dei moduli.5 4. Ampiezza [db] ω n Pulsazione ω [rad/sec] Nel caso in cui il guadagno statico G() non si unitario, il picco di risonanza M R è definito come il rapporto tra il valore massimo M max e il guadagno statico M = G(): M R = M max M

11 3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 Diagramma di Assi nei diagrammi di Bode I Diagrammi di Bode usano l asse orizzontale in scala logaritmica. Considerando l asse reale R e fissata una origine, una pulsazione ω corrisponde ad un punto sull asse con coordinata x = log ω. Accanto all asse si possono quindi indicare o i valori della coordinata x oppure direttamente i valori di ω; questa seconda soluzione è la più comoda. - 2 x = log x = log Per il disegno qualitativo dei diagrammi conviene memorizzare alcuni valori: log 2.3 log 3.5 log 5.7 log 8.9 L asse verticale nei diagrammi di ampiezza è graduato in decibel (db): A db def = 2log A Con questa scala, le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sono ±2 db/decade, ±4 db/decade, ecc. Per comodità tali pendenze vengono indicate rispettivamente con i SIMBOLI ±, ±2, ecc. N.B.: se la scala verticale fosse semplicemente logaritmica (y = log A) le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sarebbero ± e ±2. L asse verticale nei diagrammi di fase può essere graduato sia in radianti sia in gradi. In ogni caso il diagramma delle fasi può essere traslato verso l alto o verso il basso di multipli interi di 2π, o di 36 o, mantenendo inalterato il suo significato.

12 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Graficazione qualitativa dei diagrammi asintotici di Bode Primo metodo: somma dei singoli contributi a) La funzione G(s) viene messa nella forma a costanti di tempo : G(s) = (s ) s(s+)(s 2 +8s+25) G(s) = 25 ( s) s(+s)(+ 8s 25 + s2 25 ) b) Si tracciano i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti: K = 25, G (s) = ( s), G 2 (s) = s, G 3(s) = c) Si sommano i contributi delle singole componenti. (+s), G 4(s) = (+ 8s 25 + s2 25 ) Il contributo del termine K è costante: K = 7.96 db e argk = π. Lozeroinstabile( s)eilpolostabile(+s) agisconoallapulsazioneω = e forniscono due contribuiti uguali e contrari nel diagramma delle ampiezze. Il loro contributo nel diagramma delle fasi si somma: l ampiezza complessiva per ω è π. La coppia di poli complessi coniugati (+ 8s 25 + s2 25 ) determina sul diagramma asintotico delle ampiezze una attenuazione di 4 db/dec a partire dalla pulsazione ω n = 5. Il contributo al diagramma delle fasi è negativo di ampiezza complessiva π al variare di ω. Le pulsazioni alle quali si ha un cambiamento di pendenza del diagramma asintotico delle fasi sono le seguenti ω a = 4.8, ω b = 4.8, ω a = ω n 4.8 δ, ω b = ω n 4.8 δ dove δ =.8 è il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi coniugati. La difficoltà nell utilizzare questo metodo sta nel fatto che la somma dei singoli contributi non è sempre agevole.

13 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) G(jω) (db) 4 G G (jω). 5 K B -2 2 β A G ω [log ] -4 3 G ω G (jω) C G 4 arg G(jω) π π 2 π 2 π ϕ = 3π 2 ω a. ω a 5 ω a G,G 3 ω b G 4 ω b ω [log ] G 2 K K,G 2 2π 5π 2 G 4 ω a ω b G,G 3 3π 7π 2 ω b ϕ = 7π 2

14 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Funzioni approssimanti Nei diagrammi di Bode e di Nyquist il comportamento frequenziale di una generica funzione G(s) per s + e per s si può studiare facendo riferimento alle funzioni approssimanti G (s) e G (s). Consideriamo, per esempio, la seguente funzione: G(s) = (s ) s(s+)(s 2 +8s+25) La funzione approssimante G (s) si ottiene dalla G(s) per s, cioè trascurando tutti i termini in s ad esclusione dei poli o degli zeri nell origine: G (s) = limg(s) = lim s s ( s ) s( s+)( s 2 +8 s+25) = 25s IngeneralesiottieneunafunzionedeltipoG (s) = K s h, dovehèilnumero di poli di G(s) nell origine, cioè il tipo di sistema in oggetto. La funzione approssimante G (s) si ottiene dalla G(s) per s, cioè considerando all interno di ogni fattore della funzione G(s) solo il termine in s a grado più elevato: G (s) = lim s G(s) = lim s (s ) s(s+ )(s 2 +8 s+ 25) = s 3. In generale si ottiene una funzione del tipo G (s) = K p s r, dove r = n m è il grado relativo della G(s). Per le funzioni approssimanti G (s) e G (s) è immediato calcolare i moduli e le fasi delle corrispondenti funzioni di risposta armonica: { G (jω) = 25ω G (s) = 25s G (s) = s 3 G (jω) = G (jω) = ϕ = 3π 2 { G (jω) = ω 3 ϕ = 3π 2

15 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Secondo metodo: graficazione rapida Diagramma delle ampiezze a) Si individua nella funzione G(s) tutte le pulsazioni in corrispondenza delle quali si ha un cambiamento di pendenza. Tali pulsazioni coincidono con gli zeri reali, i poli reali e le pulsazioni naturali ω n delle coppie di poli e zeri complessi coniugati della funzione G(s). Nel caso in esame si ha ω = e ω = 5. Tali pulsazioni vengono ordinate in ordine crescente di modulo. b) Tenendo conto del fatto che gli zeri (reali o complessi coniugati) determinano un incremento di pendenza (rispettivamente di + e di +2) e che, viceversa, i poli (reali o complessi coniugati) determinano un decremento della pendenza(rispettivamente di- e di-2), risulta chiaro che la forma del diagramma asintotico è già nota a priori. Nel caso in esame si ha: (, ) ( ) G (jω) 5 ω β A γ ω 3 G (jω) In corrispondenza della pulsazione ω = non si ha cambiamento di pendenza perchè in quel punto agisce sia un polo che uno zero. c) La posizione verticale del diagramma si determina nel seguente modo: )SelafunzioneG(s)èditipo,ilposizionamentoverticaleèdeterminato dal calcolo del guadagno statico G(). 2) Se il sistema è di tipo, o in generale di tipo h, il posizionamento verticale viene fatto calcolando l esatta posizione di un qualsiasi punto A appartenente al diagramma asintotico a spezzata. Tale calcolo può essere fattoinmodoagevoleutilizzandolefunzioniapprossimantig (s)eg (s).

16 3.2. DIAGRAMMI DI BODE d) Percalcolarelacoordinataβ delpuntoadiascissa ω = 5èinfattipossibile utilizzare la funzione approssimante G (s): β = G (s) s=j ω = 25s = 2 = 2.94 db. s=j5 25 InquestocasoèpossibileutilizzareanchelafunzioneapprossimanteG (s): γ = G (s) s=j ω = s 3 = 2 = 2.94 db. s=j5 25 È ora possibile tracciare il diagramma asintotico complessivo tracciando, a partire dal punto A, i vari tratti della spezzata, ognuno con la propria pendenza. Nel caso in esame, per esempio, il tratto di spezzata che precede il punto A si determina individuando il punto B. Questo punto si calcola a partire da A diminuendo la pulsazione di una decade ed aumentando di 2 db l ampiezza: B = (.5, β +2). Allo stesso modo si procede per determinare la pendenza del tratto che segue il punto A. In questo caso la pendenza è -3 e quindi il punto C si determina aumentando la pulsazione di una decade e diminuendo l ampiezza di 6 db: C = (5, β 6). Diagramma delle fasi Anche la graficazione del diagramma asintotico delle fasi può essere fatta rapidamente se si procede nel modo seguente. ) Si individua la fase di partenza ϕ del diagramma asintotico calcolando la fase iniziale della funzione approssimante G (s): ( ) ϕ = argg (jω) = arg = 3π 25s 2. s=jω La fase iniziale ϕ è comprensiva del segno negativo della costante K e della fase costante π 2 introdotta dal polo nell origine.

17 3.2. DIAGRAMMI DI BODE ) A partire da ϕ si costruisce un diagramma a gradoni i cui punti di qualitativa discontinuitá coincidono con le pulsazioni critiche ω c di tutti i poli e zeri della funzione G(s). L ampiezza di ciascuna discontinuitá è pari alla variazione di fase ϕ i introdotta dal termine dinamico che ha generato la discontinuitá. Le variazioni di fase ϕ i sono sempre un multiplo di π 2 e possono essere sia positive che negative in funzione del fatto che il termine dinamico considerato sia un polo, uno zero, sia stabile o instabile. Nel caso in esame i primi due termini da prendere in considerazione sono il polo stabile (s+) e lo zero instabile (s ) alla pulsazione ω =. Ciascuno di essi introduce uno sfasamento pari a π 2 per cui il loro contributo complessivo è π che va disegnata verso il basso a partire dalla fase iniziale ϕ = 3π 2. Iduepolicomplessiconiugatistabili(+ 8s 25 +s2 25 ) introduconounosfasamento di ampiezza π in corrispondenza della pulsazione ω n = 5. Il loro contributo va disegnato verso il basso nella fascia [ 5π 2, 7π 2 ]. 3) Il diagramma asintotico delle fasi si ottiene infine dal diagramma a gradoni sostituendo ad ogni discontinuità l interpolazione asintotica specifica dell elemento dinamico che agisce in quel punto ω: a) nel caso di poli o zeri reali si utilizzano i valori ω a = ω/4.8 e ω b = 4.8 ω; b) nel caso di poli o zeri complessi coniugati si utilizzano i valori ω a = ω/4.8 δ e ω b = 4.8 δ ω.. β G (s) Diagramma asintotico dei moduli i γ G (s) Diagramma a gradoni delle fasi 9. ϕ i ϕ

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