AM Sett. 11. IL TEOREMA DI COMPATTEZZA DI RELLICH. u n p. c(r) sup. u n (x + h) u n (x) dx

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1 AM30 0- Sett.. IL TEOREMA DI COMPATTEZZA DI RELLICH. Sia u n C 0 (B R ), con su n ( u n ) < +. Allora (i) se < < N, u n ha una sottosuccessione convergente in L r (B R ) r < N N. (ii) se = N, u n ha una sottosuccessione convergente in L r (B R ) r. (iii) se > N, u n ha una sottosuccessione uniformemente convergente in B R Prova. (i) Sia r < N N. su n B R u n r r Da Holder e quindi Sobolev segue che c(r) su n u n < + Poi, la diseguaglianza di interolazione con α u n (x + h) u n (x) u n (x + h) u n (x) r dx α (0, ], α + ( α) N N = r dá r u n (x + h) u n (x) N N ( α)(n ) N Il secondo fattore, grazie a Sobolev, resta, nelle nostre iotesi, limitato e u n (x + h) u n (x) dx ( 0 ) < u n (x + th), h > dt dx vol(b R ) h 0 u n (x + th) dx dt c h su n La comattezza di u n in L r ( ) segue quindi da Frechet-Kolmogoroff. u n (x) dx

2 (ii) In tal caso su n ( u n r la comattezza di u n in ogni L r. ) r < + r, e quindi, come in (i), otteniamo (iii) La (i) nel Teorema di Morrey dice su n u n < + mentre la (ii) assicura la equicontinuitá delle u n. La conclusione segue quindi dal Teorema di Ascoli-Arzelá. Nota. Rellich non vale in tutto né fino all esonente limite := N N (i) Se f C 0 ( ), f 0, h, h 0, f n (x) := f(x + nh), allora f n f, ma f n non ha estratte convergenti in alcun L (i) Se f C0 (B ), f 0, ɛ n n 0, f n (x) := ɛ N n f( x ɛ n ) f n f, f n N N f n N N allora e quindi f n non ha estratte convergenti in L N N < N ). N (mentre converge a zero in L er SPAZI DI SOBOLEV: DISEGUAGLIANZE DI SOBOLEV E TEOREMA DI RELLICH u Abbiamo visto che u v = Derivate deboli, lo sazio H loc. u j L loc( ) : u v u C, v C 0 ( ) u j v = Se u L loc( ) (i.e. u < + R) e B R u v v C 0 ( ) diremo che u j é la derivata debole di u risetto alla j-esima variabile e scriveremo = u j, u := ( u u x,..., x N ). Diremo anche che u Hloc(R N ). Proosizione (unicitá della derivata debole, regolarizzazione). (i) u j, v j L loc( ), u j v = u v x j = v j v v C0 ( ) u j = v j. In articolare, ogni funzione C ha derivate deboli e queste coincidono con

3 le derivate usuali. (ii) ϕ C 0, u H loc ϕ u C e (ϕ u) = ϕ u (iii) Se u H loc( ) e v C 0 ( ) allora uv H loc( ) e uv = u v + u v Prova di (ii). u L loc ϕ u C e (ϕ u) = u ϕ(x y) u(y) dy = ϕ(x y) u(y) dy = ϕ(x y) dy = ϕ u y j y j Prova di (iii). u x j vϕ = u [ v ϕ x j er ogni ϕ C0 ( ). + ϕ v ] uv ϕ = ϕ [ u v x j ] + v u Definizione di H, ( ). Sia N,. H, ( ) é lo sazio delle funzioni L con derivate deboli in L, dotato della norma u, = u + u La norma in H ( ) := H, ( ) deriva dal rodotto scalare < u, v > = < u, v > +u v Proosizione : C 0 é denso in H,. Prova. u H,, u n C0 ( ) : u n u, j u n j u in L. Infatti, sia ψ R (x) := ψ( x ), ψ R C 0 (B ), 0 ϕ, ψ in B e ϕ C0 nucleo regolarizzante. Posto u R := u ψ R, risulta ϕ ɛ u R C 0, ϕ ɛ u R ɛ u R in L j (ϕ ɛ u R ) = ϕ ɛ ( j u R ) C 0, ϕ ɛ ( j u R ) ɛ j u R in L Basta quindi rovare che u ψ R R u in H,, ed infatti ( u uψ R + (u uψ R ) u + u + u R ψ( x ) R ) R + 0 x R Corollario ( Diseguaglianza di Sobolev in H ( ) ). Sia [, N ]. N Allora u c(n, ) u + u u H ( ) 3

4 Segue da: u H ( ) u n C0 tale che u n u in L e q.o. e u n u in L e dalla diseguaglianza di Sobolev er u n, er cui u lim inf n u n c(n, ) lim u n + u n = u + u NOTA. (i) Stesso argomento di densitá mostra che é anche vero che esiste S > 0 tale che S u u H u N N (ii) Allo stesso modo si estendono le diseguaglianze di Sobolev a funzioni H, nel caso (, N)) e Morrey, nel caso > N. Proosizione 3. H é sazio di Hilbert H é comleto: Sia u n di Cauchy in H, ovvero u n, j u n sono di Cauchy in L. Dunque esistono u L, u j L tali che u n u in L, j u n u j in L. Ma u j ϕ = lim n u n j ϕ = lim n ϕ j u n = ϕ v j Dunque u ha derivate deboli in L date da j u = u j, ovvero u H. Teorema di Rellich (in H ) Sia u n H ( ) con su n u n <. Se R > 0 : x R u n (x) = 0, allora u n ha una sottosuccessione che converge in L ( ). Prova. Basta rovare che se F é insieme limitato in H e u 0 fuori di B R er ogni u F, allora F é totalmente limitato in L, ovvero se, indicata con B ɛ (v) la alla in L di raggio ɛ e centro v, ɛ > 0, = (ɛ) e v,..., v in L tali che F j= B ɛ (v j ) Per densitá, er ogni u F esiste φ u C0 (B R+ ) tale che (u φ u ) ɛ. L insieme {φ u : u F } é evidentemente limitato in H C0, e quindi, er il Teorema di Rellich, é totalmente limitato in L, ovvero esiste un numero finito di alle B ɛ (v j) in L di raggio ɛ e centro v j tali che {φ u : u F } j B ɛ (v j). Siccome, se u F e φ u B ɛ (v j) allora u B ɛ (v j ) concludiamo che F j=b e (v j ). NOTA É essenziale che le u siano suortate in una medesima alla. 4

5 Un alicazione: I autovalore del Lalaciano in Ω aerto limitato in Sia λ (Ω) := inf{ u : u C0 (Ω), u = }. Allora u H ( ), u 0 in Ω c : u = e u = λ (Ω) Per trovare u, costruiamo una successione minimizzante w n : w n C0 (Ω) : w n =, w n λ Siccome w n é limitata in H, che é un Hilbert, ossiamo suorre (eventualmente assando a una sottosuccessione) che esista u H tale che w n u in H ed anche in L, erché, er Riesz, f L, g f H : wf = w g f + wg f w H e quindi w n f = w n g f + w n g f n u g f + ug f = uf f L. D altra arte. er Rellich, w n ha una sottosuccessione convergente in L, dunque necessariamente convergente ad u, che é quindi l u cercato. Sia SOLUZIONI DEBOLI DELL EQUAZIONE DI POISSON in = N j= x j Ω aerto di. Se, data f, u C (Ω) é soluzione di (equazione di Poisson) u = f in Ω allora, moltilicando l equazione er ϕ C 0 (Ω) ed integrando er arti, si ha ( ) u ϕ = f ϕ ϕ C 0 (Ω) ( ) u ϕ = f ϕ ϕ C 0 (Ω) Viceversa, se u C (Ω) e vale ( ), allora u é soluzione dell equazione di Poisson. Diremo che u é soluzione debole (molto debole ) dell equazione di Poisson in Ω se u Hloc e soddisfa ( ) (riset.,u L loc e soddisfa ( )). Abbiamo visto che se Ω = e f C0 ( ), f N é una soluzione C. Tale convoluzione dá sotto iotesi molto iú deboli su f, una soluzione in senso debole. 5

6 Soluzioni deboli via convoluzione e regolaritá Sia N 3, < < N, f L ( ), c(n) := N(N ) dξ. (+ ξ ) N+ Allora, f N, N = G N é soluzione debole dell eq. di Poisson. c(n) Infatti, sia f n C 0 ( ), f n n f in L, er cui, er (HLS), f n N f N N N n 0 Da (f n N ) = f n segue allora [f N ] ϕ = lim n [f n N ] ϕ = lim n f n ϕ = f ϕ ϕ C 0 Osserviamo ora che, se u ϕ = f ϕ, ϕ C0 (B R ) allora [u f N ] ϕ = 0 ϕ C0 (B R ) (si dice che u f N é debolmente armonica in B R ). Ed allora u ha (almeno) la stessa regolaritá di f N, in virtú del Lemma di Weil. Sia u L loc(ω) tale che u ϕ = 0 ϕ C0 (Ω). Allora u C (Ω) Ω Lemma (Regolaritá di f N ). Sia N 3, < < N, f L ( ). Allora f N L N N, j (f N ) = f j N L N N Prova. Sia darima f C 0 ( ). Dunque, se x r, esiste R > 0 : f(x z) z f χ BR (z) e f (x z) N z N cioé z f(x z) e z f z N (x z) z N derivare sotto segno di integrale: (f G N ) = f dz (x z) z = N z N f χ BR (z) z N sono equidominate (in x) e quindi si uó f dz (x z) z j ( z ) N Non si uó, senza usare cautela, integrare er arti. Tuttavia, er quanto sora, (f G N ) = lim ɛ 0 f dz (x z) z j (ɛ + z ) N 6 =

7 lim ɛ 0 f(x z) (N )z j (ɛ + z ) N D altra arte, se f n C 0, f(y)(xj y j ) dz = (N ) dy = f G N x y N f n f n 0, usando (HLS) vediamo che [fn (y) f(y)](x j y j )dy x y N N N c f n f n 0 ovvero f n j N n f j N in L N N e quindi (f N ) j ϕ = lim n (fn N ) j ϕ = lim n j (f n N ) ϕ = lim n [fn j N ] ϕ = (f j N ) ϕ ovvero f j N L N N sono le derivate deboli derivate deboli di f N. Esemio: regolaritá delle autofunzioni del lalaciano. Abbiamo visto che, se Ω é aerto limitato in, N 3, e λ (Ω) := u C 0 inf (Ω), u 0 u H ( ), u 0 in Ω c : u u, allora λ > 0 e u = e u = λ (Ω) É facile vedere che u é autofunzione (in senso debole) del lalaciano, cioé u ϕ = λ u ϕ ϕ C0 (Ω) Piú in generale, suoniamo u L, u nulla fuori di Ω (e quindi u L r (Ω) (, ]) sia soluzione debole di u = λu ovvero u ϕ = λ u ϕ, ϕ C0 (B R ) r Proviamo che u é Holderiana. Sia = N q. Se 0 < q, u L r r < N e quindi u L Nr N r (Teorema di Morrey). Se < q, da u L N q segue che u L nuovo Morrey dá l Holderianitá di u. N N q N N q N N q r < N e quindi u é Holderiana = L N q. Siccome q, di N Se < q 4, u L N q = L N N q. Siccome q >, Sobolev dá u L q e ritroviamo le situazioni recedenti (0 < q ), e quindi u é holderiana. Se 4 < q 6, come sora troviamo che u L N q ove ora < q 4 e quindi u é 7

8 holderiana. Iterando la rocedura, troviamo che u é holderiana quale che sia q. Se la u ha derivate deboli sommabili in Ω, allora, se U j := j u, allora λ ( j u) ϕ = λ u j ϕ = u ( j ϕ) = u j ( ϕ) = ( j u) ϕ Anche er le derivate deboli j u vale quanto sora: sono holderiane. Con un ó ií di lavoro si vede che u C (Ω). Soluzioni deboli del roblema di Dirichlet in aerti limitati. Il roblema di Dirichlet er l equazione di Lalace consiste nel trovare la soluzione (unica!) dell equazione u = f in un aerto Ω, che coincida sul bordo di Ω con una data funzione g. Consideriamo qui il caso g 0: u = f in Ω, u = 0 su Ω TEOREMA. Sia Ω, N 3 aerto limitato, f L N N+ (Ω). Allora! u f H ( ), u(x) = 0 se x / Ω : u f ϕ = f ϕ ϕ C0 (Ω) e (diendenza continua dal dato) ( Prova. u f ) c(n) f N N+ Possiamo ensare che f sia in L N N+ ( ), f 0 fuori di Ω. Sia E(u) = u f u, u H Osserviamo innanzi tutto che erché inf E(u) > (Ω) u C 0 u j C0 (Ω), u j P oincare E(u j ) u j N c(n) f u j N+ +. Ma allora u n C0 (Ω), E(u n ) n inf E(u) u C0 (Ω) su n u n < + u, n k : u nk k u in H. Inoltre, usando Rellich, ossiamo suorre anche che u nk converga ad u in L e q.o.. Infine, siccome la norma é debolmente inferiormente semicontinua, cioé lim inf u nk + u nk u + u e quindi anche lim inf u nk u. Dunque E(u) = inf E e quindi 0 = d [ ] (u + tϕ) f (u + tϕ) = u ϕ hϕ ϕ C0 dt t=0 ovvero u é soluzione debole. 8