Lezione 1. Rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. Rappresentazione dei numeri naturali in base 2

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Flavia Locatelli
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1 Lezione 1 Rappresentazione dei numeri Aritmetica dei calcolatori Rappresentazione dei numeri naturali in base 2 Si utilizza un alfabeto binario A = {0,1} dove 0 corrisponde al numero zero e 1 corrisponde al numero uno d n-1...d 1 d 0 con di {0,1} Il numero rappresentato? N = d n-1 2 n d d = = = = 2 n = 2 n = 2 n - 1 Con sequenze di n bit sono rappresentabili 2 n -1 numeri naturali

2 Rappresentazione dei numeri naturali in base 2 Ricorda che: Domanda: Dire se i seguenti numeri naturali sono rappresentabili usando il numero di bit specificato su 5 bit? SI su 6 bit? NO su 9 bit? SI su 10 bit? NO 2 0 = = = = = = = = = = = Conversione binario - decimale Esercizio: =??? = Soluzione: = 11710

3 Conversione decimale - binario Esercizio: =???2 100 : 2 = 50 resto 0 50 : 2 = 25 resto 0 25 : 2 = 12 resto 1 12 : 2 = 6 resto 0 6 : 2 = 3 resto 0 3 : 2 = 1 resto 1 1 : 2 = 0 resto 1 Soluzione: = Conversione decimale - binario: un procedimento più pratico Si scrive il numero decimale come somma di potenze di 2 Esercizio: =??? = 39 ==> = 7 ==> = 3 ==> = 1 ==> = 0 ==> 2 0 Allora 103 = Soluzione: = Ricorda che: 2 0 = = = = = = = = = = =

4 Tre basi importanti : 2, 8, 16 Nel calcolatore i numeri sono rappresentati in base 2, ma sono importanti anche le basi 8 e 16. Infatti, la facilità di conversione binario-ottale binario-esadecimale consente di esprimere i numeri memorizzati nel calcolatore in forma più sintetica e comprensibile. Conversione binario - ottale Esercizio: =??? Soluzione: = 2578 Esercizio: 6358 =??? Soluzione: 6358 =

5 La base 16 Quali dei seguenti sono numeri esadecimali validi? BED CAR 938 DEAD BEBE A129 ACI DECADE BAG DAD 4H3 Conversione binario - esadecimale Esercizio: =??? B E D Soluzione: = BED16 = Esercizio: A3C916 =???2 A 3 C Ricorda che: 1 10 = 1 16 = = 2 16 = = 9 16 = = A 16 = = B 16 = = C 16 = = D 16 = = E 16 = = F 16 = Soluzione: A3C916 = =

6 Conversioni di base Esercizio: Considerare il numero 715FBFFA Quale numero binario rappresenta? F B F F A Quale numero ottale rappresenta? Quale numero decimale rappresenta? Rappresentazione dei numeri interi in complemento a due Come si riconosce un numero positivo da uno negativo? Positivo --> bit più significativo 0 Negativo --> bit più significativo 1 Su n bit sono rappresentabili 2 n numeri unsigned (0...2 n -1) = = = 2 n-1-1 (massimo) = 2 n-1 (minimo) = 2 n - 1 Dato N>0, il numero -N si rappresenta su n bit con il numero 2 n - N -1 ==> 2 n - 1 (1...1) -2 n-1 ==> 2 n - 2 n-1 = 2 n-1 (10...0)

7 Complemento a due: rappresentazione dei numeri negativi Esercizio: rappresentare in complemento a due = = Complemento a uno Soluzione: = Complemento a due: rappresentazione dei numeri negativi Esercizio: rappresentare in complemento a due Algoritmo alternativo: invertire tutti i bit a sinistra del bit 1 meno significativo =

8 Complemento a due: rappresentazione dei numeri negativi Esercizio: Quale numero decimale rappresenta il seguente numero binario in complemento a due? = = Soluzione: poichè il segno originale 1, cioè negativo, si ha = Complemento a due: somma e sottrazione Esercizio: eseguire in complemento a due su 8 bit = (-35) 10 = = ==> ==> ( ) mod = ATTENZIONE: ricordare di effettuare l operazione di modulo

9 Complemento a due: somma e sottrazione Esercizio: eseguire in complemento a due su 8 bit = (-38) 10 = = ==> ==> ( ) mod = Complemento a due: overflow In quali dei seguenti casi si può ottenere overflow: 1. somma di due numeri con segno concorde? SI 2. somma di due numeri con segno discorde? NO 3. sottrazione di due numeri con segno concorde? NO 4. sottrazione di due numeri con segno discorde? SI Regola per verificare la presenza di overflow: OVERFLOW ==> ultimi due riporti discordi NO OVERFLOW ==> ultimi due riporti concordi

10 Esercizio Considerate i numeri esadecimali x 1 = 7A, x 2 = 13, x 3 = FF, x 4 = C1, x 5 = Scrivere i quattro numeri in codice binario a 8 bit x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = Interpretare il codice binario in complemento a due ed eseguire le operazioni x 1 - x 2 ; x 3 + x 4 ; x 4 + x 5 ; x 4 - x x x = ( ) mod 2 8 = overflow? Esercizio (continua) x x = ( ) mod 2 8 = overflow? x x = ( ) mod 2 8 = overflow? x x = ( ) mod 2 8 = overflow?

11 Rappresentazione dei numeri razionali in virgola fissa Data una base B, si assegnano: " n cifre per rappresentare la parte intera " m cifre per rappresentare la parte frazionaria Il numero rappresentato? d n-1...d 1 d 0. d -1...d -m N = d n-1 B n d 1 B 1 + d 0 B 0 + d -1 B d -m B -m Per B=2 la rappresentazione dei numeri razionali in virgola fissa prevede l uso di n+m bit n m Rappresentazione dei numeri razionali in virgola fissa Esercizio: =??? 2 (usare la rappresentazione in virgola fissa con n=8, m=8) " Conversione della parte intera: 23 : 2 = 11 resto 1 11 : 2 = 5 resto 1 5 : 2 = 2 resto 1 2 : 2 = 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto 1 " Coversione della parte frazionaria: x 2 = 1.25 parte intera x 2 = 0.50 parte intera x 2 = 1 parte intera 1 Soluzione: =

12 Rappresentazione dei numeri razionali in virgola mobile (floating point) Un numero reale R può essere scritto come R = ±m B e m = mantissa e = caratteristica B = base Esempi: B = 10 R 1 = x 10 3 R 2 = x 10-6 R 3 = x 10 2 R 4 = x " notazione scientifica: m = 0. d -1...d -k notazione scientifica normalizzata: m = d 0. d -1...d -k con d 0 0 Rappresentazione dei numeri razionali in virgola mobile (floating point) Rappresentando mantissa ed esponente in binario si ottengono numeri del tipo ±1. ss...s 2 yy...y Si osservi che: " Spostare la virgola a destra di n bit significa decrementare di n l esponente es: = Infatti 1 ¼ = " Spostare la virgola a sinistra di n bit significa incrementare di n l esponente es: = Infatti ( ) 2 3 = ( ) =

13 Rappresentazione dei numeri razionali in virgola mobile (floating point) Esercizio: =??? 2 f.p = = = Esercizio: =??? 2 f.p = = x 2 = parte intera x 2 = 1 10 parte intera = Quindi = = = Rappresentazione dei numeri razionali in virgola mobile (floating point) Una volta fissato il numero di bit totale per la rappresentazione dei numeri razionali rimane da decidere " quanti bit assegnare per la mantissa? (maggiore? il numero di bit e maggiore? l accuratezza con cui si riescono a rappresentare i numeri) " quanti bit assegnare per l esponente? (aumentando i bit si aumenta l intervallo dei numeri rappresentabili) OVERFLOW: si ha quando l esponente positivo? troppo grande per poter essere rappresentato con il numero di bit assegnato all esponente UNDERFLOW: si ha quando l esponente negativo? troppo grande per poter essere rappresentato con il numero di bit assegnato all esponente

14 Rappresentazione dei numeri razionali in virgola mobile (floating point) " Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit) si riescono a rappresentare numeri " Standard IEEE754: Doppia precisione (64 bit) si riescono a rappresentare numeri Esercizio Supponiamo di contare in binario usando le dita delle mani: Dito esteso = 1 Dito chiuso = 0 Consideriamo il pollice come bit meno significativo e il mignolo come bit più significativo. 1. Come si rappresentano i numeri 6, 17, 31? 2. Fino a che numero si riesce a contare usando entrambe le mani? [2 10-1] 3. E... usando anche i piedi? [2 20-1] 4. Considerate il mignolo del piede sinistro come bit di segno della rappresentazione in complemento a due. Quale range di numeri si riesce a rappresentare? [ (2 19-1)]

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