Il campionamento statistico

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1 Lezione 13 Gli strumenti per il miglioramento della Qualità Il campionamento statistico Aggiornamento: 19 novembre 2003 Il materiale didattico potrebbe contenere errori: la segnalazione e di questi errori è benvenuta. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 1

2 PROBLEMA Come è possibile decidere se un lotto di materiale è conforme o non conforme senza collaudare ogni singolo pezzo? Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 2

3 IL CAMPIONAMENTO IN ACCETTAZIONE o o o o L ispezione o il controllo ha come scopo l accettazione o il rifiuto di un prodotto in base alla corrispondenza agli standard (specifiche) richiesti. Concetto di ispezione del lotto; Ispezione completa: ogni unità del lotto viene ispezionata; Ispezione campionaria: l ispezione avviene su un campione casuale estratto dal lotto. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 3

4 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO Per adottare un procedimento di collaudo che utilizza campioni è necessario definire un Piano di Campionamento da adottare, ossia l insieme delle regole che definiscono: La partita o il lotto di elementi grezzi, semi-finiti, finiti che si intende prendere in considerazione; L ampiezza del campione che si deve estrarre dalla partita o dal lotto (numerosità campionaria); La caratteristica di qualità richiesta dalla specifica tecnica; Le condizioni di accettazione e/o di rifiuto della partita o del lotto Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 4

5 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO Quando si effettua un collaudo per campioni si possono commettere i seguenti errori: 1. Rifiutare il lotto che dovrebbe essere accettato; 2. Accettare il lotto che dovrebbe essere rifiutato. Ovvero: 1. H 0 = Il lotto soddisfa i requisiti di qualità, quindi accetto il lotto; 2. H 1 = Il lotto non soddisfa i requisiti di qualità, quindi non accetto il lotto. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 5

6 IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 1 MIL STD 105E militare ANSI/ASQ1.4 civile (Stati uniti, Canada e altri paesi occidentali) ISO 2859 campionamento per attributi ISO 3951 campionamento per variabili Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 6

7 IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 2 Piano di campionamento per attributi: La caratteristica di interesse è una variabile discreta e ci si basa su dati di conteggio: numero di elementi non conformi nel campione, numero di non conformità nel campione etc Piano di campionamento per variabili: La caratteristica di interesse è una variabile continua e ci si basa su misure relative alla variabile. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 7

8 Possono essere: IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 3 Semplici : se l accettazione del lotto dipende dal controllo di un solo campione; Doppi: se l accettazione del lotto dipende dal controllo di due campioni; Multipli: se l accettazione del lotto dipende dal controllo di più campioni; Sequenziali: se l accettazione del lotto dipende dal risultato ottenuto dopo ogni elemento collaudato. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 8

9 IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 4 Il piano di campionamento deve quindi prevedere due rischi: 1. Rischio fornitore (R F ) ovvero il rischio che il lotto non sia accettato pur essendo di qualità uguale o migliore di quella specificata negli accordi (LQA = Livello di Qualità Accettabile); 2. Rischio committente (R C ) ovvero il rischio che il lotto sia accettato pur essendo di qualità peggiore di quella specificata negli accordi (LQT = Livello di Qualità Tollerabile). Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 9

10 IL PIANO DI CAMPIONAMENTO - 5 Il piano di campionamento deve assicurare che: 1. Non si corra un rischio maggiore del 5% che un lotto di qualità migliore del Livello di Qualità Accettabile (LQA) venga rifiutato; 2. Non si corra un rischio maggiore del 5% che un lotto di qualità inferiore al Livello di Qualità Tollerabile venga accettato. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 10

11 PIANO DI CAMPIONAMENTO semplice per attributi N = Numerosità del lotto; Ogni unità prodotta può essere: Conforme / non difettoso; Non conforme / difettoso; M = Numero ignoto di elementi non conformi nel lotto. M in pratica descrive la qualità del lotto M grande lotto di scarsa qualità M piccolo lotto di buona qualità Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 11

12 PIANO DI CAMPIONAMENTO semplice per attributi p = M / N frazione di elementi non conformi 100 p percentuale di elementi non conformi Sia: n = numerosità del campione c = numero di accettazione c < n Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 12

13 REGOLA DI DECISIONE Sia X n il numero totale di elementi difettosi trovati nel campione. X n c accetto il lotto X n > c rifiuto il lotto H 0 : p p 0 H 1 : p > p 0 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 13

14 IL PIANO DI CAMPIONAMENTO La probabilità di accettazione e/o rifiuto di un lotto varia in funzione della qualità. Tale probabilità viene descritta dalla Curva Operativa. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 14

15 LA CURVA OPERATIVA N = Dimensione del lotto; n = Dimensione del campione; n A = Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione affinché il lotto sia accettato; n R = Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione a partire dal quale il lotto viene rifiutato; LQA = n A /n LQT = n R /n p = percentuale di pezzi difettosi; P(A) = probabilità di accettare il lotto. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 15

16 LA CURVA OPERATIVA IDEALE Tutti i lotti sono accettati Può essere ottenuta col 100% di ispezioni prive di errori. In pratica non si hanno dubbi: il lotto lo si accetta o lo si rifiuta. Tutti i lotti sono rifiutati Livello di qualità accettabile = Livello di qualità cattivo Mostra la capacità discriminatoria del piano di campionamento. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 16

17 CURVA OPERATIVA Un piano di campionamento è definito da: Dalla numerosità del lotto (N); Dalla numerosità del campione (n) ; Dal numero di accettazione (n A ); Dal numero di rifiuto (n R ). Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 17

18 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 18 Tecnologie Informatiche per la Qualità CURVA OPERATIVA CURVA OPERATIVA La probabilità di avere d elementi difettosi in un lotto composto di numerosità n risulta (distribuzione binomiale): E la probabilità di accettazione è la probabilità che d sia minore o uguale a c se c è è il numero di accettazione: ( ) d n d p p d n d f = 1 ) ( ( ) ( ) ( ) d n d c d d n d c d p p d n d n p p d n c d P A P = = = = = 1!!! 1 ) ( ) ( 0 0

19 Si ipotizza una distribuzione binomiale: 1 0,9 0,8 0,7 0,6 CURVA OPERATIVA P( A) n n A k = p 1 k= 0 k ( ) n p k P(A) 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 P Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 19

20 CURVA OPERATIVA: dimensione del campione Curve operative con differenti dimensioni del campione (il numero di accettazione è mantenuto proporzionale a n) Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 20

21 CURVA OPERATIVA: numero di acettazione Curve operative con differenti numeri di accettazione. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 21

22 CURVA OPERATIVA: acquirente Vs fornitore Il fornitore è interessato a questa parte L acquirente è interessato a questa parte 1 0,9 0,8 0,7 0,6 P(A) 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 P Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 22

23 CURVA OPERATIVA 1. La curva operativa illustra il comportamento prevedibile di un qualsiasi piano di campionamento per quanto riguarda l accettazione o il rifiuto dei lotti; 2. Sulla curva operativa si possono determinare LQA e LQT; Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 23

24 CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Si analizza un campione di 10 elementi. Il committente accetta l intero lotto se i pezzi difettosi sono al massimo 3. Determinare la probabilità di accettazione e la curva operativa caratteristica. Soluzione n = 10 n A =3 LQA = n A /n = 3/10 = 0,3 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 24

25 Sapendo che: CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Risulta: P( A) n A k = p 1 k= 0 n k ( ) n p k Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 25

26 CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 26

27 1 CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 1 Zona di rischio per il fornitore P(A) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 LQA Zona di rischio per il committente p Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 27

28 CURVA OPERATIVA: caso c=0 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 28

29 CURVA OPERATIVA: caso c/n=costante Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 29

30 CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione Si vuole un piano di campionamento tale che: La probabilità di accettazione per lotti con frazione di elementi difettosi p 1 sia 1-α; La probabilità di accettazione per lotti con frazione di elementi difettosi p 2 sia β; c n! ( ) = d n d 1 α p1 1 p1 d = 0 d!( n d )! Allora n e c sono dati da: c n! = d n d β p2 ( 1 p2 ) d = 0 d!( n d )! Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 30

31 CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione Si usa un monogramma Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 31

32 p 1 =0.01 CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione Esempio: p 1 =0.01 p 2 =0.06 β=0.1 α=0.05 p 2 =0.06 β=0.1 1-α=0.95 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 32

33 CURVA OPERATIVA: esempio di costruzione c=2 n=89 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 33

34 CURVA OPERATIVA: LQA e LQT Quando: p 1 = LQA p 2 = LQT I punti corrispondenti sulla curva operativa sono detti rispettivamente: Punto di rischio del fornitore Punto di rischio per l acquirente Sono anche detti: 1-α = rischio del fornitore β= rischio dell acquirente Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 34

35 CURVA OPERATIVA: ESEMPIO 2 In un contratto di compravendita si è stabilito che, al momento della consegna sarà estratto un campione di 8 elementi e che: 1. La merce sarà accettata se il campione conterrà al massimo un pezzo difettoso; 2. La merce sarà rifiutata se il campione conterrà più di tre pezzi difettosi; 3. Se il campione conterrà due o tre pezzi difettosi si ripeterà l operazione fino a quando non si verificherà una condizione di cui ai punti 1 e 2. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 35

36 Soluzione n = 8 n A = 1 n R = 4 LQA = n A /n = 1/8 = 0,125 LQT = n R /n = 4/8 = 0,50 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 36

37 p 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 P(A) 1 0,813 0,503 0,255 0,106 0,035 0,008 0,001 0,000 0,000 0 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 37

38 Rischio per il fornitore P(A) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Zona di incertezza 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 LQA LQT Rischio per il committente p Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 38

39 Determinazione dei piani di campionamento Si procede in conformità alle seguenti NORME: NORMA UNI ISO 2859 MIL-STD-105 E (Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti d America) Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 39

40 PROCEDURA 1. Si sceglie AQL; 2. Si sceglie il livello di ispezione; 3. Si determina la dimensione del lotto; 4. Si individua la lettera di codice appropriata per la dimensione del campione; 5. Si determina il tipo appropriato di piano di campionamento (semplice, doppio, multiplo); 6. Si utilizza la tabella appropriata per individuare il piano da impiegare; 7. Si determina il corrispondente piano normale per individuare il piano da impiegare. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 40

41 Passo 1 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 41

42 Passo 1 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 42

43 LIVELLO DI COLLAUDO Il livello di collaudo scelto determina il potere discriminante della prova. Il livello I è quello con minor potere discriminante, il livello III è quello con maggior potere discriminante. Salvo diversa indicazione e per normali necessità si usa Il livello II. I livelli speciali S1, S2, S3, S4 sono usati quando sono necessarie numerosità di campione piccole, e possono o devono essere tollerati i rischi determinati dal minor potere discriminante (ad es. controlli su materiali ricavati da un processo continuo). Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 43

44 Passo 2 Collaudo normale Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 44

45 Passo 2 Collaudo rinforzato Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 45

46 Passo 2 Collaudo ridotto Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 46

47 Esempio I vuole determinare il piano di campionamento ordinario per un lotto di 400 unità e con un livello accettabile (LQA) pari a 2,5 (numero di difetti per 100 unità ispezionate). Si ipotizzi una distribuzione di Poisson. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 47

48 Soluzione: Passo 1 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 48

50 Soluzione: Passo 2 (continua) Dalla tabella precedente si ottiene: n (dimensione del campione) = 50; n A (numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione affinché il lotto sia accettato) = 3; n R (numero massimo di elementi difettosi a partire dal quale il lotto sia rifiutato) = 4; Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 50

51 Soluzione: Passo 2 (continua) Significa che da un lotto di 400 unità sarà estratto un campione da 50 elementi; Se gli elementi difettosi sono al massimo 3 il lotto viene accettato; Se gli elementi difettosi sono 4 o più il lotto viene rifiutato. Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 51

52 Soluzione: Passo 3 LQA LQT = = n n nr n A 3 = = 0, = = 0,08 50 Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 52

53 Soluzione: Passo 4 La probabilità di accettazione può essere calcolata con la distribuzione di Poisson: P ( A) ( np) k 3 ( 50 p) k 50 p n A = e np = k! k! k= 0 k= 0 e Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 53

56 Regole di commutazione tra i piani di campionamento Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 56

57 Lezione 13 Gli strumenti per il miglioramento della Qualità Il campionamento statistico FINE Università degli Studi di Milano Polo di Crema - Dipartimento di Tecnologie dell Informazione 57