cm, (C) cm, (D) cm, (B) cm, (E) (A) 262 6) Per quanti valori distinti del numero reale b l equazione x 2 + bx 16 = 0,

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1 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede-GaraTriennio 19 novembre ) La prova consiste di 25 problemi; ogni domanda è seguita da cinquerisposteindicate con le lettere A, B, C, D, E. 2) Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. ) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l uso di alcun tipo di calcolatrice. 4) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova èun oraemezza. Buon lavoro e buon divertimento. Nome Cognome Classe ) Un pilota vuole stabilire un nuovo record su un percorso di 50 km: percorrerlo alla velocità media di 100 km/h. A causa di alcuni problemi tecnici impiega 40 minuti per percorrere i primi 25 km. A quale velocità deve percorrere il resto del percorso (andando a velocità costante) per riuscire nel suo intento? (A) Nessuna velocità glielo consente, (B) 50 km/h, (C) 100 km/h, (D) 150 km/h, (E) 200 km/h. 2) Alberto, Barbara e Clara giocano in un grande piazzale dove ci sono 2008 birilli. Alberto butta giù il triplo dei birilli buttati giù da Barbara, che a sua volta butta giù il doppio dei birilli buttati giù da Clara. Quanti birilli al massimo può aver buttato giù Alberto? (A) 121, (B) 18, (C) 142, (D) 15, (E) 162. ) Pietro e Paolo festeggiano il loro onomastico in pizzeria con iloroamici. Alla fine della cena il conto viene diviso in parti uguali tra tutti ipresentieciascuno dovrebbe pagare 12 Euro. Con grande generosità però, gli amici decidono di offrire la cena a Pietro e Paolo; il conto viene nuovamente diviso in parti uguali tra gli amici di Pietro e Paolo (cioè tutti i presenti esclusi Pietro epaolo),eciascunodi loro paga 16 Euro. Quanti sono gli amici di Pietro e Paolo? (A) 6, (B) 8, (C) 10, (D) 12, (E) 16. 4) Su Marte, il Gran Ciambellano dell Istruzione Marziana ha dichiarato che il prossimo anno scolastico ridurrà del 0% il numero dei maestri di scuolaecheacoloro che rimarranno in servizio lo stipendio sarà aumentato del 5%. La spesa complessiva per gli stipendi dei maestri quindi: (A) si ridurrà del 5,5%, (B) si ridurrà del 5%, (C) aumenterà del 5%, (D) resterà invariata, (E) aumenterà del 7%. 5) In un triangolo rettangolo ABC icatetibc e CA misurano 7 cm e 24 cm rispettivamente. Sia H la proiezione di C sull ipotenusa AB. Quantovaleilperimetro del triangolo HBC? (A) cm, (B) cm, (C) cm, (D) ) Per quanti valori distinti del numero reale b l equazione x 2 + bx 16 = 0, cm, (E) cm. ha due soluzioni reali (eventualmente coincidenti) e queste sono entrambe numeri interi? (A) Due, (B) tre, (C) quattro, (D) cinque, (E) sei. 7) In un foglio a quadretti in cui il lato di un quadretto è 2 c m, s o n o d i s e g n a t i d u e c e r c h i c o m e n e l l a fi g u r a afianco. Lamisuradellaminimadistanzatraidue cerchi è: (A) 10 cm, (B) cm, (C) ( 10+) cm, (D) ( 10 2) cm, (E) ( 10 ) cm. 8) Per ogni numero naturale n indichiamo con S n la somma dei primi dieci multipli di n: ad esempio S 2 = Quantovale S 1 + S 2 + S S 10? (A) 2925, (B) 025, (C) 125, (D) 225, (E) 25. 9) Un quadrilatero ABCD ha le diagonali perpendicolari tra loro ed è inscritto in una circonferenza c di diametro AC. L area e il perimetro del quadrilatero sono rispettivamente 48 cm 2 e28cm.quantomisurailraggiodellacirconferenzac? (A) 4cm, (B) 5cm, (C) 6cm, (D) 7cm, (E) 8cm. 10) Uno studente di Fibonacci inventò una sequenza di numeri definita in questo modo: il primo e il secondo numero della sequenza sono 0 e 1 rispettivamente; ogni numero della sequenza, dal terzo in poi, è pari alla somma di tutti i numeri che lo precedono (lui escluso!). Qual è il quindicesimo numero della sequenza? (A) 77, (B) 2084, (C) 2584, (D) 012, (E) ) n e m sono due numeri interi positivi per cui: =m + n 2. Quanto vale m + n? (A), (B) 4, (C) 5, (D) 6, (E) 7.

2 12) La media aritmetica di ventisette numeri naturali consecutivi è Quanto vale il più piccolo tra essi? (A) 1995, (B) 1997, (C) 1999, (D) 2001, (E) ) Sia N il più grande tra i numeri naturali n che verificano la disuguaglianza n n +1 < Qual è la somma delle cifre di N? (A) 6, (B) 7, (C) 8, (D) 9, (E) ) Quante sono le terne ordinate distinte (x, y, z) formatedanumeriinteripositivi (strettamente maggiori di zero) tali che x 2 +2xy + y 2 z 2 =9? (A) Nessuna, (B) due, (C) tre, (D) quattro, (E) più di sei. 15) Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra 5 e 7 e minori o uguali a 1000? (A) 288, (B) 02, (C) 14, (D) 42, (E) ) In un sacchetto ci sono 20 palline e su ciascuna è scritto un numero intero compreso tra 0 e 10 (0 e 10 inclusi). Il numero scritto su ogni pallina se non è zero è la somma dei numeri scritti su tutte le altre palline. Allora le palline su cui è scritto zero sono: (A) non più di cinque, (B) dieci, (C) tredici, (D) sedici, (E) almeno diciotto. 17) La figura a fianco è la pianta di un quartiere: i punti A, B, C e D sono le case e i segmenti sono le strade. Da quante delle quattro case è possibile partire per fare un percorso che passi una e una sola volta da ogni strada (passando eventualmente più di una volta per una stessa casa)? (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D), (E) 4. 18) La somma di tutti i numeri naturali formati da due cifre distinte è: (A) 840, (B) 960, (C) 4140, (D) 4260, (E) ) Il raggio della circonferenza a fianco è di 5 cm; inoltre i punti A, B e C dividono la circonferenza in tre archi di uguale lunghezza. Calcolare l area delimitata dalle corde AC e BC e dall arco di estremi A e B contenente D. (A) 25( π + 2 )cm2, (B) 25( π 6 + ) cm 2, (C) 15( π + 2 ) cm 2, (D) 25 2 cm 2, (E) 25 2 ( π + /2) cm 2. A A D C B D B 20) Le caselle di una scacchiera quadrata sono numerate come illustrato nella figura a fianco. Nella seconda colonna si trova la casella numero 8 e la casella della terza colonna che sta sulla sua stessa riga ha il numero 4. Quante caselle ha la scacchiera? (A) 144, (B) 160, (C) 225, (D) 400, (E) ) Ogni volta che Agilulfo torna a casa da scuola dopo aver preso un brutto voto, se la sua mamma è in casa lo mette in punizione. Sapendo che ieri pomeriggio Agilulfo non è stato messo in punizione, quale delle seguenti affermazioni è certamente vera? (A) ieri Agilulfo ha preso un brutto voto, (B) ieri Agilulfo non ha preso un brutto voto, (C) ieri pomeriggio la sua mamma era in casa, (D) ieri pomeriggio la sua mamma non era in casa, (E) nessuna delle precedenti affermazioni è certamente vera. 22) La Polisportiva I tropici ha organizzato un torneo di calcio a cui partecipano squadre ciascuna composta da 15 giocatori (riserve comprese) con maglie numerate da 1 a 15. La notte prima delle partite ha nevicato e per poter giocare è necessario spalare la neve dal campo. Viene deciso allora di nominare un gruppo di spalatori scegliendo un giocatore per squadra in modo che non ci siano due giocatori con lo stesso numero di maglia. In quanti modi diversi può essere formato il gruppo degli spalatori? (A) 48, (B) 455, (C) 1125, (D) 270, (E) 75. 2) Su un foglio del quaderno di Carlo c è un rettangolo con due lati gialli di 24 cm e due lati rossi di 6 cm. Carlo colora ogni punto del rettangolo dellostessocolore del lato più vicino al punto stesso. Quale sarà l area della partedelrettangolo colorata di giallo? (A) 144 cm 2, (B) 288 cm 2, (C) 64 cm 2, (D) 442 cm 2, (E) 524 cm 2. C 24) C e T sono rispettivamente un cono e un cilindro circolari retti, che hanno lo stesso asse e hanno le basi nello stesso piano (e sono rivolti dalla stessa parte rispetto a questo piano). L area di base di C misura 400 π cm 2 mentre il raggio di base di T misura 10 cm. Inoltre le altezze di C e T misurano entrambe 20 cm. Quale percentuale del volume di C è contenuta dall intersezione C etra T? (A) 20 2%, (B) 40 %, (C) 50 %, (D) 60 %, (E) 50 2%. 25) Giovanni vuole disegnare un quadrato formato da nove caselle (tre caselle per lato) escrivereinognicasellaunnumeroasceltatra0,1,2,,4,inmodochefissata comunque una riga, una colonna o una diagonale del quadrato, la somma dei numeri presenti nelle sue caselle sia sempre uguale a 4. Quanti diversi quadrati può costruire? (A) Nessuno, (B) 1, (C) 2, (D), (E)

3 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 19 novembre 2008 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta 1 A 2 B A 4 A 5 C 6 D 7 E 8 B 9 B 10 E 11 B 12 A 1 D Problema Risposta corretta 14 D 15 C 16 E 17 C 18 E 19 A 20 D 21 E 22 D 2 B 24 C 25 A Risoluzione dei problemi 1. La risposta è (A). Se il pilota vuole percorrere 50 km alla velocità media di 100 km/hiltempocomplessivoper percorrerli deve essere di mezz ora. D altra parte per coprire solo la prima metà del percorso ha già impiegato più di mezz ora e qualsiasi sia la velocità media con cui copre la seconda metà, il tempo complessivo di percorrenza sarà strettamente maggiore di mezz ora. 2. La risposta è (B). Indichiamo con A, B e C il numero di birilli buttati giù da Alberto, Barbara e Clara rispettivamente. Abbiamo A + B + C 2008; inoltre A =B e B =2C quindi A =6C. Allora 6C +2C + C =9C 2008 da cui segue C = Poichè C è u n n u m e r o n a t u r a l e a b b i a m o c h e i l n u m e r o m a s s i m o d ichecliarapuòaver i b i r i l l buttato giù è 22. Di conseguenza il numero massimo di birilli che Alberto può aver buttato giù è 22 6=18.. La risposta è (A). Indichiamo con N il numero di amici di Pietro e Paolo che partcipano alla festa in pizzeria, 1

4 (esclusi Pietro e Paolo stessi). Il conto della cena in Euro deve coincidere sia con 12(N + 2) che con 16N. Uguagliandoquesteduequantitàsiottiene12N +24=16N da cui si ricava N =6. 4. La risposta è (A). Indichiamo con N il numero di maestri presenti quest anno e con S il loro stipendio per quest anno. La spesa complessiva per quest anno è dunque SN. Ilprossimoannocisaranno 7 10 N maestri e lo stipendio di ciscuno di loro sarà di S.Laspesacomplessivasaràallora 7 10 N S = SN ovvero il 94, 5%dellaspesadiquest anno. Quindilaspesacomplessivadiminuirà del 5, 5%. 5. La risposta è (C). In base al teorema di Pitagora l ipotenusa AB del triangolo ABC misura cm = cm = 625 cm = 25 cm. Quindi il perimetro del triangolo ABC è d i ( ) cm = 56cm. Il triangolo HBC è anch esso rettangolo ed è simile ABC. ad Quindi il rapporto tra il perimetro di HBC equellodiabc è p a r i a l r a p p o r t o t r a l e m i s u r e d e l l e l o r o ripettive ipotenuse ovvero è pari a 7 25.QuindiilperimetrodiHBC è cm = cm. 6. La risposta è (D). Data un equazione di secondo grado che ammetta due soluzioni reali e che abbia coefficiente del termine di secondo grado uguale a 1, la somma delle soluzioni coincide con il termine di primo grado cambiato di segno, e il loro prodotto è pari al termine noto. Quindi, se l equazione del problema ammette due soluzioni reali, la loro somma deve essere uguale a b eilloroprodotto deve essere 16. Se richiediamo inoltre che le soluzioni siano intere si hanno solo le seguenti possibilità: una delle soluzioni è 1 e l altra è 16 b =15; una delle soluzioni è 1 el altraè16 b = 15; una delle soluzioni è 8 e l altra è 2 b = 6; una delle soluzioni è 8 el altraè2 b =6; una delle soluzioni è 4 el altraè4 b =0. Pertanto b può assumere 5 valori distinti. 7. La risposta è (E). Indichiamo con O e O icentridelcerchiograndeedelcerchiopiccolorispettivamente e siano P e P ipuntiincuiilsegmentooo interseca il cerchio grande e il cerchio piccolo, rispettivamente. La lunghezza del segmento PP è l a d i s t a n z a m i n i m a t r a i d u e c e r c h i. D a l r a p a r t zza e l a l u n g h e di questo segmento è data dalla lunghezza di OO meno la somma dei due raggi dei cerchi. In base al Teorema di Pitagora abbiamo OO = cm = 10 cm. Quindi PP =( 10 (2 + 1)) cm = ( 10 ) cm. 2

5 8. La risposta è (B). Fissato comunque un numero naturale n abbiamo Quindi S n = n +2n + +10n = n( )=n 55. S 1 + S S 10 =55( )=55 55 = La risposta è (B). Osserviamo che i triangoli ABC e ACD sono rettangoli perchè inscritti in una semicirconferenza. Chiamiamo a e b le misure dei lati AB e BC rispettivamente. L area del quadrilatero ABCD è l a s o m m a d e l l e a r e e d e i t r i a ABC n g o l i e ACD, quindi ab 2 + ab 2 = ab =48cm2. B A C D Inoltre 2a +2b =28cm a + b =14cm. Quindi conosciamo somma e prodotto di a e b esappiamoalloracheessisonolesoluzioni dell equazione di secondo grado x 2 14x +48=0, da cui si ricava a =8cmeb =6cmoppurea =6cmeb =8cm. Inciascunodiquestidue casi abbiamo AC = cm = 10 cm equindiilraggiodic misura 5 cm. 10. La risposta è (E). Se calcoliamo a mano i primi termini della sequenza troviamo: 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 2,... Ovvero, eccettuato il primo termine, sono tutti potenze di 2 epiùprecisamentedalterzo termine in poi vale F n =2 n, dove F n indica il termine n esimo della sequenza. Questa uguaglianza può essere dimostrata così: per n possiamoscrivere F n = F n F 0, F n+1 = F n + F n F 0 = F n + F n =2F n. Quindi ogni termine della sequenza (dal quarto in poi) è il doppio del precedente. Poichè il terzo termine è F =1=2 0 segue che F n =2 n.inparticolaref 15 =2 12 =4096.

6 11. La risposta è (B). Se eleviamo al cubo entrambi i termini dell uguaglianza troviamo: =m +2 2n + 2m 2 n +6mn 2 = m(m 2 +6n 2 )+n(m 2 +2n 2 ) 2. Da questa relazione, sapendo che 2nonpuòessereespressocomerapportodiduenumeri interi, segue m(m 2 +6n 2 )=45, n(m 2 +2n 2 )= è un numero primo che può essere scomposto solo come Quindi, poiché n è m i n o r e d i (m 2 +2n 2 ), deve essere n =1em 2 +2=29,dacuisitrovafacilmente m =em + n = La risposta è (A). Sia n il quattordicesimo dei ventisette numeri di cui si fa la media aritmetica,ovveron si trova esattamente a metà della sequenza dei numeri consecutivi di cui stiamo facendo la media;allora la media è data da (n 1) + (n 12) + +(n 1) + n +(n +1)+ +(n +12)+(n +1) 27 Quindi n =2008eilpiùpiccolodeinumeridicuisifalamediaèn 1 = = 27n 27 = n. 1. La risposta è (D). Osserviamo che = ;quindiladisuguaglianzachedeveessereverificatapuòessere scritta nella forma > n n +1. Si vede allora che la disuguaglianza è vera per n =2007edèfalsapern =2008. Daltraparte la quantità n n +1 =1 1 n +1 1 cresce al crescere di n, poichèlafrazione decresce al crescere di n. Quindiladisuguaglianza è vera per n =2007epertuttiivalorin 2007 mentre è falsa per n Concludiamo n +1 che N =2007elasommadellesuecifreè La risposta è (D). Dalla relazione contenuta nel problema si ricava: ovvero (x + y) 2 z 2 =9, (x + y + z)(x + y z) =9. Quindi (x + y + z) e(x + y z) devonoesseredivisoridi9.inparticolare,poichèx, y e z sono positivi, (x + y + z) èpositivoequindilodeveessereanche(x + y z). Il numero 9 può essere scomposto solo nei due modi 9 = 9 1, 9 =, come prodotto di interi positivi. Poichè (x + y + z) > (x + y z) (datochez>0) l unica possibilità è { x + y + z =9 x + y z =1 Questo sistema porta a z =4ex+y =5esuccessivamentealleterne(1, 4, 4), (2,, 4), (, 2, 4), (4, 1, 4). In tutto abbiamo quindi quattro soluzioni. 4

7 15. La risposta è (C). Dobbiamo considerare i multipli di 5 minori o uguali a 1000 che sono200;aquestidobbiamo aggiungere i multipli di 7 minori o uguali a 1000, che sono 142. Otteniamocosì =42. Aquestidobbiamotogliereinumerichesonosiamultiplidi5che di 7, (perchè questi sono stati contati due volte): questi sono tutti e soli i multipli di 5 minori o uguali a 1000, ovvero 28. Complessivamente i numeri cercati sono = La risposta è (E). Supponiamo che ci siano almeno tre palline con su scritti numeri strettamente maggiori di zero; siano p, q e r itrenumeriscrittisuquestetrepalline. Ilnumerop, dovendoesserelasomma dei numeri scritti su tutte le altre palline, sarà uguale alla somma di q, r etuttiinumeriscritti sulle altre 17 palline. Quindi p q + r epoichèr>0seguep>q.ribaltandoiruolidip e q si dimostra esattamente alla stessa maniera che q>pe quindi si arriva ad una contraddizione. È quindi assurdo supporre che ci siano almeno tre palline con numeri strettamente positivi. 17. La risposta è (C). Consideriamo un percorso che parta da B; supponiamochelaprimastradapercorsasiaba. Se successivamente andiamo in C, nonpossiamopoiandareinb perchè rimarremmo bloccati, senza aver percorso tutte le strade. Se invece andiamo in D siamo poi obbligati ad andare in A rimanendo di nuovo bloccati e senza aver percorso la strada BC. Analogamente (il ragionamento è del tutto simmetrico) si dimostra che se partendo da B si va in C non è possibile completare il percorso con le caratteristiche richieste. Ancora per simmetria, questo dimostra anche che non esistono percorsi con le caratteristiche richieste che partano da D. Il percorso che parte da A: A C B A D C ha invece le caratteristiche richieste. Analogamente il percorso che parte da C: C A B C D A ha le proprietà richieste. partendo da A edac. In conclusione, esistono percorsi con le proprietà richieste solo 18. La risposta è (E). La somma di tutti i numeri con due cifre è = ( ) ( ) = A questa somma devo sottrarre la somma dei numeri formati da due cifre uguali: =11( )= Il risultato è quindi = = = La risposta è (A). Chiamiamo O il centro della circonferenza. L angolo AOB è d i equindil angoloacb è d i 6 0. Inoltre, essendo corde che sottendono ad archi di lunghezzaugualiac e AB hanno lunghezza uguale. Deduciamo che il triangolo ABC è equilatero. Di conseguenza area(aoc) =area(boc) =25 4 cm2. 5

8 L area del settore circolare delimitato dall arco ADB è p a r i a d u n t e r z o d e l l a r e a d e l c e r c h i o, ovvero è 25 π cm2. L area cercata è la somma delle aree dei triangoli AOC e BOC edaquelladelsettorecircolare che abbiamo appena calcolato: ( ) 25 4 cm cm2 +25 π cm2 = π cm La risposta è (D). Indichiamo con N il numero delle caselle di ciascuna riga e di ciascuna colonna dellascacchiera. Indichiamo inoltre con M il numero di caselle della seconda colonna, successive, secondo la numerazione indicata, alla casella con il numero 8. Nella terza colonna ci sono allora M caselle che precedono la casella 4 nella numerazione indicata. Quindi 8 + M + M +1 = 4 da cui si ricava M =2. Alloral ultima(nellanumerazioneindicata)caselladella seconda colonna ha il numero 8 + M =40,machiaramentequestacasellahailnumero2N equindin =20e il numero di caselle della scacchiera è N 2 = La risposta è (E). Dal fatto che Agilulfo non sia stato messo in punizione deduciamo che: ieri Agilulfo non ha preso un brutto voto, oppureieri pomeriggio la mamma non era in casa. D altra parte non possiamo dire con certezza che proprio una di queste due circostanze si sia verificata, nè, a maggior ragione, possiamo affermare che una delle due sia falsa. Quindi non si può essere certi che nessuna delle affermazioni (A), (B), (C), (D) sia vera. 22. La risposta è (D). Supponiamo di aver scelto uno qualsiasi dei quindici giocatoridella prima squadra; nella seconda squadra abbiamo la possibilità di scegliere tra quatordici giocatori(tutti eccettuato quello con lo stesso numero di maglia del giocatore scelto dalla prima squadra). Scelto anche il giocatore della seconda squadra, per scegliere il giocatore della terza squadra abbiamo tredici possibilità. Complessivamente abbiamo = 270 possibilità distinte. 2. La risposta è (B). Facendo riferimento alla figura, i punti del rettangolo per i quali il lato più vicino è uno dei due lati lunghi 24 cm sono quelli appartenenti ai triangoli isosceli AED e BCF, rettangoliin E ed F rispettivamente. La lunghezza di DE è 24 cm e quindi l area di AED è d i cm2 =144cm 2 equestaèanchel areadibcf. Quindilamisuradellapartedifogliocoloratadi giallo è = 288 cm 2 D C E F A B 6

9 24. La risposta è (C). Nella figura vediamo una sezione assiale del cono e del cilindro. L intersezione dei due solidi è formata da un cilindro circolare retto di raggio di base 10 cm ealtezza10cm,edauncono circolare retto di raggio di base 10 cm e altezza 10 cm. Quindi il volume dell intersezione è 100π 10 cm + 100π 10 cm = 4000π cm. D altra parte il volume del cono C è 400π 20 cm = 8000π Quindi il volume della parte di C contenuta nel cilindro T è l a m e t à d e l v o l u m e c o m p l e s s i v o d i C equindirappresentail50%delvolumedic. 25. La risposta è (A). Se abbiamo un quadrato di tre caselle per ogni lato in cui, fissata una qualsiasi riga, colonna o diagonale, la somma dei numeri scritti nelle sue caselle (che supponiamo numeri interi) è uguale sempre allo stesso numero S, alloras deve essere un multiplo di tre. cm. a b c d e f g h i Infatti, facendo riferimento alla figura abbiamo: D altra parte (d + e + f)+(b + e + h)+(a + e + i)+(c + e + g) =S + S + S + S =4S. (a + b + c)+(d + e + f)+(g + h + i) =S + S + S =S. Sottraendo termine a termine la seconda uguaglianza dalla prima, troviamo e = S, ovvero S è u n m u l t i p l o d i. Q u i n d i n o n e s i s t e n e s s u n q u a d r a t aratteristiche o c o n l e c richieste in cui S =4. 7

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