Approfondimenti disciplinari

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1 UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI FERRARA CORSO SPECIALE ABILITANTE anno accademco 2006/2007 CORSO DI: Approfondment dscplnar UNITÁ DIDATTICA DELLA CLASSE A049 LA PROBABILITA DOCENTE: PROF. BERNARDI EROS

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3 TITOLO: La probabltà. CLASSE: V anno Lceo Scentfco. L argomento vene trattato durante l 2 quadrmestre, nell ambto dello studo n preparazone all esame d stato. Il modulo s apre con l elenco de prerequst, degl obettv d apprendmento e de suo contenut. PREREQUISITI: Concett base della teora degl nsem. Operazone d unone, ntersezone, passaggo al complemento, prodotto cartesano. Element d calcolo combnatoro. Equazon e funzon. OBIETTIVI GENERALI: Lo studo della probabltà e del calcolo delle probabltà contrbusce al persegumento delle seguent fnaltà: Conoscenza storca dello svluppo della probabltà Lnguaggo approprato al calcolo della probabltà. Capactà d dmostrare e generalzzare. Ragonamento potetco deduttvo. Il calcolo matematco applcato a problem d ncertezza. Lezone partecpata. Sapere rutlzzare problem svolt per rsolverne de nuov. Padronanza de process d anals, sntes. Cogntv: La probabltà e le sue applcazon. Le tre defnzon d probabltà. Teorem fondamental d somma e prodotto. Probabltà condzonata e d correlazone tra event. Enuncare e dmostrare l teorema d Bayes. Metacogntv: Gudare gl allev all uso consapevole della probabltà. Susctare l nteresse e la curostà degl student per l calcolo d probabltà semplc. Acqusre rgore scentfco sa nel lnguaggo che nella metodologa. Concetto d evento dpendente ed ndpendente. Calcolare n modo accorto la probabltà condzonata da altr event. Applcare correttamente l teorema d Bayes. Comportamental: Ruscre a lavorare n gruppo saper chedere spegazon rspettare temp d consegna svluppare l atttudne alla comuncazone e a rapport nterpersonal, contrbure allo svluppo dello sprto crtco e delle capactà logche e argomentatve. 1

4 OBIETTIVI SPECIFICI Sapere (conoscenze) Defnzone d Probabltà. Rconoscere uno spazo camponaro. Event dello spazo camponaro. Rappresentazone cartesana d uno spazo camponaro. Event dpendent ed ndpendent. Saper fare (competenze) Uso coretto del calcolo della probabltà. Rappresentazone grafca. Calcolare probabltà condzonate utlzzando opportunamente l teorema d Bayes. Acqusre la capactà d leggere e nterpretare var problem. Saper fare (capactà) Saper utlzzare cò che s è appreso per affrontare n modo autonomo dverse tpologe d problem anche se presentat per la prma volta. CONTENUTI Cenn storc. Introduzone al calcolo delle probabltà. Evoluzone del concetto d probabltà. Spazo camponaro ed event. Operare con event e spaz camponar. Cenn d probabltà classca, frequentsta ed soggettva. Probabltà assomatca punto d congunzone. Esercz d probabltà. La probabltà condzonata. Regola del prodotto. Il teorema d Bayes e la formula della probabltà totale; correlazone ed ndpendenza. METODOLOGIA DIDATTICA. S può ntrodurre l argomento descrvendo la probabltà n modo classco, rpercorrendo le tappe della sua evoluzone fno a gungere alla probabltà assomatca. Per avvcnare la classe a questo argomento s possono utlzzare dad monete per fare de calcol mmedat ed dare alcun esemp d calcolo delle probabltà. VERIFICA Controllo e verfca dell apprendmento: L andamento e l effcaca dell attvtà ddattca saranno controllate attraverso l assegnazone e la successva correzone n classe d opportun esercz applcatv nelle dverse fas d progressone dell untà ddattca. Saranno noltre effettuate verfche oral e verfche formatve studate per accertare che lo studente abba acqusto gradualmente tutt concett, n partcolare queste saranno studate n modo da verfcare conoscenze, comprensone e capactà d applcazone. A compmento dell untà ddattca s sommnstra una verfca sommatva che servrà a valutare l grado d conoscenze e competenze raggunto da ogn studente 2

5 Recupero: Per l effcaca e la completezza dell attvtà ddattca sono prevste attvtà d recupero. Tal attvtà d recupero sono artcolate n: Recupero svolto n classe attraverso la rpresa de concett non recept e lo svolgmento d esercz che autno a fare charezza sulle procedure non comprese. Attvtà pomerdane con gl student nteressat (sportello scolastco e tutorng). Assegnazone allo studente d esercz mrat alla dffcoltà da recuperare e gudat nella rsoluzone. Attvtà d gruppo gudate. I concett che necesstano d recupero verranno ndvduat attraverso le verfche formatve e sommatva, le prove oral ndvdual e le dscusson d gruppo n classe TEMPI DELL INTERVENTO DIDATTICO Proponamo uno schema dello svolgmento della presente untà ddattca suddvso per attvtà e comprendente temp presunt dell ntervento. S fa presente che esso non può però rteners rgdo n quanto è necessaro consderare varabl legate alle peculartà degl student. lezon Ore dedcate Argoment I 1 Introduzone storca ed le dverse concezon d probabltà, alcun esercz utlzzando tre modell. II 2 La teora assomatca come punto d congunzone delle dverse concezon d probabltà. Rcham sugl nsem. Spazo camponaro ed event. III 1 Tutt teorem della probabltà assomatca con relatve dmostrazon. IV 1 Esercz formatv e verfche oral V 1 Probabltà condzonata, teorema d Bayes, ed applcazon VI 2 Esercz e verfche oral VII 2 Verfca sommatva. 2 Eventuale recupero. 1 Verfca fnale sul recupero. Totale 13 ore CENNI STORICI Le orgn della teora Probablstca. SVILUPPO DEI CONTENUTI Lo studo della probabltà e del calcolo delle probabltà è una conqusta relatvamente recente del pensero matematco, s pens nfatt che nell'antchtà matematc grec dsconoscevano del tutto questo tpo d calcolo. La probabltà, pur essendo studata dal punto d vsta flosofco, era sconoscuta al mondo antco almeno per quanto rguarda suo aspett quanttatv. Per flosof llumnst l corso degl event era rgdamente fssato, l'ordne della natura venva consderato perfetto e nessuna azone umana poteva modfcarlo; tutt effett che percepamo seguono le loro cause, le conoscamo o no; per gl llumnst era scentfco cò che s basava sulla certezza, scarsamente scentfco cò che s basava sulla probabltà. 3

6 I prm document attorno all argomento rsalgono agl nz del XVI secolo, n concdenza non casuale con la nascta della fsca spermentale. Grolamo Cardano( ) con l suo lbro Lber de ludo aleae, presumblmente scrtto forse ntorno al 1526 e pubblcato postumo nel 1663, è l prmo ad occupars d questa matera. In questo lbro è contenuto l problema della probabltà de puntegg che s ottengo come somma lancando due dad; rsultat a cu gunge Cardano contengono qualche nesattezza, ed gl svlupp non sono molto char. I gudz sull opera per l motvo ctato prma rsultano controvers, ma ha certamente una mportanza storca notevole. Galleo Galle( ) con uno scrtto del 1620 crca, tratta l problema del lanco d tre dad, con una certa charezza; nel suo dscorso emergono concett ogg usual, la probabltà vene valutata medante numero de cas favorevol, ed emergono le legg emprche del caso. Nel 1654, mentre l matematco francese Blase Pascal( ) s stava dedcando agl stud sulle conche, un suo amco, l Cavalere d Mere, gl poneva queston sul goco de dad. Qualcuna delle queston potrebbe essere ogg formulata così: lancando un dado otto volte, un gocatore vnce quando esce l numero uno, ma dopo tre tentatv l goco vene nterrotto; n che msura l gocatore ha drtto alla posta? Oppure: perché è meglo scommettere che su quattro lanc d un dado uscrà almeno una volta l numero uno, puttosto che scommettere che su ventquattro lanc d due dad uscrà almeno una volta l doppo uno? Blase Pascal( ) scrsse a Perre Fermat( ) d queste queston e fra due nacque una ftta corrspondenza che fu l'nzo della moderna teora della probabltà. Interessante l collegamento con la flosofa, ed n partcolare l confronto tra Pascal e Carteso, che lo precedeva d poch decne d ann. La poszone d Carteso è alla base dello svluppo determnstco della scenza, culmnante con l affermazone che, conoscendo con precsone lo stato dell unverso n un dato stante, s dovrebbe potere calcolare la sua evoluzone n tutt gl stat successv. La poszone d Pascal è nvece la lontana orgne della moderna probabltà. I due matematc, però, non dedero ma una sstemazone alle loro dee e s deve a Chrstaan Huygens( ) la pubblcazone, nel 1657 del prmo, breve trattato sulla probabltà l De ludo aleae. Fu solo crca cnquant ann dopo, nel 1713, che fu pubblcato Ars Conjectand un trattato d Jacques Bernoull( ) su quest tem che comprendeva queston d permutazon e combnazon, e calcolo d valor d probabltà; appartene a questo trattato la famosa legge de grand numer. S deve arrvare però all'nzo dell'ottocento per far sì che la teora della probabltà abba una sua sstemazone. Guseppe Lug Lagrange (Torno1736-Parg1813), dopo aver pubblcato mportant stud, tra qual quell sul calcolo delle probabltà, fu l prmo a dare una defnzone d probabltà d un evento quale rapporto fra l numero d cas ad esso favorevol rspetto a quello de cas possbl. Fu soprattutto n questo secolo che l calcolo delle probabltà affrontò anche tem dvers da quello del goco, qual ad esempo l calcolo de prem asscuratv, estendendo po le sue possbltà all'astronoma, alla bologa, all'epdemologa ed a tutt camp della spermentazone scentfca. A partre dal Novecento, s ebbero nuove concezon della probabltà, legate soprattutto all'osservazone de fenomen ed alla frequenza con cu determnat event s verfcano. Nel 1919 Rchard von Mses propose una nuova defnzone d probabltà basata su quest crter, che metteva n luce l'nadeguatezza della defnzone classca (data da Lagrange) nel determnare, ad esempo, la probabltà d morte o d sopravvvenza d un ndvduo nserto n un certo ambente: non era n questo caso assolutamente possble parlare d cas favorevol o d cas possbl. La nuova concezone d probabltà prevedeva d avere a dsposzone un grande numero d osservazon del fenomeno e ben s adattava qund a rsolvere problem d tpo statstco. A partre dagl ann vent d questo secolo s cercò d applcare la teora della probabltà anche n stuazon n cu non s dsponeva d grand masse d dat e nemmeno s poteva parlare d cas favorevol e cas possbl. 4

7 A partre dal 1931 F.P.Ramsey e B.De Fnett sostennero, ndpendentemente uno dall altro, che la probabltà dovesse essere n quest cas, una msura della fduca che un soggetto, n possesso d determnate nformazon, attrbusce ad un evento. Nel corso della nostra trattazone, rpercorreremo queste fas storche rproponendo tre modell d probabltà ora vst a partre da quello classco che, come abbamo detto, storcamente vene per prmo. La defnzone classca d Probabltà La prma defnzone d probabltà, detta percò classca, s rtrova gà n Pascal e defnsce la probabltà d un evento come : l rapporto fra l numero de cas favorevol all evento e l numero de cas probabl, purché quest ultm sano tutt ugualmente possbl. Ma non s comprende bene la dfferenza tra ugualmente possbl e ugualmente probabl ; e coss molt vedono n questa defnzone una tautologa, nel senso che bsogna sapere gà prma che sgnfcato dare alla probabltà. Ad esempo, nell'espermento aleatoro che consste nell'estrarre numer della tombola, occorre essere a conoscenza della composzone dell'urna (coè quant e qual numer contene), occorre che dschett sano tutt ugual nel loro aspetto fsco (a parte l numero mpresso), occorre che dschett vengano ben mescolat prma d ogn estrazone, occorre che ch esegue l'estrazone non possa vedere l contenuto dell'urna. Tutte queste potes portano ad ntrodurre un modello secondo l quale ogn numero della tombola ha le stesse possbltà d essere estratto d un altro; la stessa osservazone s può fare per un mazzo d carte per un dado da goco ecc. Questa defnzone dventa una regola per msurare della probabltà d un evento n condzon opportune: Sano un numero fnto d event possbl. Essere ugualmente probabl. Per defnre che cosa sa la probabltà bsogna supporre che gl event elementar abbano la stessa possbltà d verfcars; ma questo è un modo dverso per affermare che hanno la stessa probabltà, facendo rfermento a quello stesso concetto che s pretende d defnre. la probabltà classca s può applcare solo n contest molto lmtat: goch d azzardo che abbano precse condzon d regolartà nel loro svolgmento (non è ad esempo ragonevolmente applcable n una scommessa su una corsa d cavall o su una partta d calco). L'mpostazone classca della probabltà non è però esaurente e ammette alcune alternatve radcalmente dverse. Applchamo la defnzone classca al caso del lanco d un dado: la probabltà che esca 6 è uguale al rapporto tra l numero d facce con se punt e l numero d facce total. Esstono tuttava alcun problem: che cosa accade se una facca del dado è stata alleggerta? Oppure appesantta? Conseguenze: La prevsone del calcolo non è pù adeguata al rsultato. Il denomnatore non è pù la somma de cas ugualmente possbl. La defnzone appare chusa su se stessa;con cò non va scartata ma solo applcata con attenzone, essendo nsosttuble n molt cas. La defnzone frequentsta d Probabltà Non sempre è possble calcolare la probabltà d un evento con la defnzone che abbamo dato prma,; se voglamo msurare la probabltà ha un tratore esperto d centrare un bersaglo al prmo colpo, oppure che probabltà ha un malato d cancro d sopravvvere dopo una operazone, oppure ancora la probabltà che ha un vaccno d rdurre le manfestazon dell nfluenza, non è evdentemente possble parlare d rapporto fra l numero de cas favorevol e quello de cas possbl. Quello che possamo fare è osservare quale sa l comportamento d quel tratore n numerose prove d tro, osservare quant fra pazent che hanno subto quell'operazone sono ancora vv, osservare n quant cas l vaccno ha dato evdent segn d prevenzone dell nsorgere dell nfluenza, e attrbure qund un valore alla probabltà dell'evento consderato valutando l rapporto fra l 5

8 numero d replche dell'espermento che hanno dato esto favorevole e quello totale d replche effettuate. Se, ad esempo, l vacno n questone fosse stato sommnstrato ad un campone d 100 e avesse dato est favorevol per 70 d ess e po su un altro campone avesse dato la stessa percentuale e cò s fosse rpetuto, pù o meno con le stesse proporzon n altr campon, potremmo dre che l vaccno ha una probabltà del 70% d ruscta. Questo aspetto d msura della probabltà era gà noto fno da temp d Pascal conoscuta ed andava sotto l nome d legge emprca del caso, secondo cu l gran numero d prove fatte nelle stesse condzon; la frequenza relatva ad un certo evento s avvcna alla probabltà dello stesso, l approssmazone mglora con l aumentare del numero delle prove. In generale dcamo allora che: relatvamente ad un espermento aleatoro A, che può essere osservato molte volte nelle stesse condzon, la probabltà d un evento è l lmte a cu tende l rapporto tra l numero d prove che hanno avuto esto favorevole ad l numero totale d prove fatte (ndpendent una dall'altra) quando queste tendono ad essere un numero molto grande. Ad esempo, supponamo d prendere n esame un comune dado non omogeneo ed d voler calcolare la probabltà de numero uno, esso non ha la stessa probabltà d presentars degl altr numer. Per determnare allora le nuove probabltà dovremo effettuare un grande numero lanc come campon ed vedere quante volte l rsultato è stato quello sperato; cascuna probabltà è qund determnable come lmte, al crescere del numero delle prove, del rapporto fra la frequenza degl est favorevol ed l numero delle prove stesse. Anche n questo caso s verfca che la probabltà p è un numero reale compreso tra 0 e 1, estrem nclus. La formulazone è forzatamente vaga, perché l aleatoretà delle prove non permette d precsare entro quanto tempo ed entro qual lmt l approssmazone è valda e soprattutto l esgenza che le prove successve sano fatte tutte nelle stesse condzon; cosa che a rgor d logca sono s può realzzare. Questa defnzone c garantsce l applcabltà solo cas ben determnat, come lanc successv d un dado, ma ad osservare bene la defnzone non sarebbe applcable neppure n questo caso, n quanto lanc non rsulteranno ma perfettamente sml tra loro, uno perché ch lanca non e detto che esegu l lanco perfettamente nella stessa manera del precedente ed po l dado lancato pù volte, ne var urt s modca. In realtà l campo d applcabltà della concezone frequentsta è molto vasto, n quanto s utlzza questa concetto per studare process dove s possedono dat statstc d fenomen n condzon analoghe, anche se non hanno perfettamente le stesse condzon. Occorre sottolneare che con questa concezone la probabltà d un evento non può essere calcolata a pror, ma vene determnata solo dopo aver effettuato delle osservazon spermental e che essa non ha sgnfcato separatamente da tal prove; noltre ha senso parlare d probabltà solo all'nterno d una certa popolazone. In generale non s può dre quante prove samo necessare, perché l numero delle prove dpende dal fenomeno n esame. La defnzone soggettva d Probabltà Esstono molt event aleator per cu non è possble valutare la probabltà ne secondo le concesson classca e neppure secondo la concezone frequenzsta. Cerchamo d calcolare la probabltà che ha un laureato n matematca d trovare lavoro, la probabltà per un cclsta d vncere una gara. S mpone nsomma n molt cas l esgenza d consderare l evento sngolo e d rferre a questo la probabltà. Da questa esgenza è nata la concezone soggettva, che s può fare rsalre a Davde Bernull e che è stata rpresa e svluppata recentemente, soprattutto da Bruno d Flett( ) e L. Jmmy Savane. L'esgenza d rendere maggormente operatvo l concetto d probabltà, per aumentarne qund anche l campo d applcabltà. La probabltà soggettva è l "grado d fduca che una persona coerente attrbusce al verfcars d un evento ". 6

9 La probabltà perde cos la sua caratterstca assoluta d numero ntrnsecamente legato all evento, per dpendere dalla persona che lo valuta e dalle nformazon dsponbl. La defnzone data non è ancora operatva ed è necessara una defnzone pù precsa, uno de mod per renderla operatva è fare rfermento alle scommesse defnendo la probabltà come: Il prezzo equo da pagare se l evento s verfch. Ad esempo se Tzo è dsposto a scommettere 3 euro contro 4 euro sul fatto che s verfch un certo evento, attrbusce n tal modo mplctamente a tale evento una probabltà par a 3/(3+4) (crca l 43%). La frazone che esprme la probabltà ha numeratore uguale a quanto Tzo è dsposto a puntare e denomnatore par alla sua puntata sommata a quella d uno sfdante nvocato a convaldare la valutazone. Tale somma rappresenta anche quanto cascuno de due partecpant alla scommessa vncerebbe a seguto della puntata. S parla d prezzo equo, e questo rchede una precsazone, che vene data dalla condzone d equtà, detta anche coerenza. Charamo subto questo punto, prendamo una moneta modfcata opportunamente n modo che la probabltà d ottenere testa sa 1/4 mentre quella d ottenere croce 1/2. S osserv che c e una certa ncoerenza n quanto la probabltà che s ottenga o testa o croce no è uguale ad uno. La condzone d coerenza mpone che la somma delle due probabltà sa uguale ad uno. In generale quando un ente od una persona organzza un goco(s pens alle lottere o al totocalco), trattene una parte della somma raccolta, ed entro cert lmt è gusto, anche se la condzone matematca d equtà no è verfcata. La defnzone assomatca d Probabltà Le defnzon date prma prvlegano cascuno un aspetto dverso del contenuto ntutvo della probabltà ed hanno evdent dfferenze operatve; ed non sono esent da crtche. Con lo svluppo degl stud matematc, soprattutto con l applcazone della logca formale all anal de fondament matematc e della scenza n genere, s gunge ad una mpostazone che da alla probabltà una defnzone medante una sere d assom, analogamente a quanto s può fare per le altre part della matematca. L'mpostazone assomatca della probabltà venne proposta da Andrey Nkolaevch Kolmogoroff nel 1933 n Grundbegrffe der Wahrschenlchketsrechnung (Concett fondamental del calcolo delle probabltà), svluppando la rcerca che era orma crstallzzata sul dbattto fra quant consderavano la probabltà come lmt d frequenze relatve ( mpostazone frequentsta) e quant cercavano un fondamento logco della stessa. La sua mpostazone assomatca s mostrava adeguata a prescndere dall'adesone a una o all'altra scuola d pensero. 1) Gl event sono sottonsem d uno spazo S, e formano una classe addtva A. 2) Ad ogn a appartenente alla classe A è assegnato un numero reale non negatvo P( a) e ma superore ad uno, detto probabltà d a. 3) P(S)=1, ovvero la probabltà d un evento certo è par ad 1 4) Se l'ntersezone tra a e b è vuota, allora P(a U b)=p(a)+p(b) 5) Se A(n) è una successone decrescente d event e al tendere d n all'nfnto l'ntersezone degl A(n) tende a 0, allora lm P ( A( n)) = 0 n S può verfcare che le tre postazon arrvano tutte alle stesse legg matematche, espresse dagl assom della probabltà e cò rene naturale prendere tal legg come base per una costruzone assomatca. La teora matematca s può qund svluppate a partre da quest assom, senza precsare la defnzone d probabltà da cu provengono. 7

10 Per meglo charre l postazone assomatca, bsogna charre l concetto d evento spazo camponaro e funzone d probabltà. Spazo camponar In probabltà lo spazo camponaro è un nseme cu punt vengono utlzzat per rappresentare gl stat che un partcolare sstema può assumere. Se, ad esempo, samo nteressat allo studo della caduta d una pallna sul pavmento, dovremo mmagnare un rettangolo: suo punt rappresenteranno possbl punt d mpatto della pallna col pavmento. Se lo studo d tale fenomeno vene mpostato dal punto d vsta probablstco, tale rettangolo prenderà l nome d spazo camponaro. Defnzone: lo spazo camponaro, ndcato con S è l nseme d tutt possbl rsultat(o punt campon) d un espermento. Esemp 1) Se l espermento consste nel lanco d una moneta lo spazo camponaro S rsulta uguale all nseme {T,C}. 2) Se l espermento consste nel lanco d un dado allora lo spazo camponaro S rsulta uguale all nseme {1,2,3,4,5,6}. 3) Se l espermento consste nel lanco d due monete lo spazo camponaro S rsulta uguale all nseme {(T,T);(T,C);(C,T);(C,C)} 4) Se l espermento consste nel lanco d due dad allora lo spazo camponaro S rsulta uguale all nseme ( 1,1 ) ( 1,2 ) ( 1,3) ( 1,4 ) ( 1,5 ) ( 1,6 ) ( 2,1) ( 2,2) ( 2,3) ( 2,4) ( 2,5) ( 2,6) ( 3,1 ) ( 3,2) ( 3,3) ( 3,4) ( 3,5) ( 3,6) ( 4,1) ( 4,2) ( 4,3) ( 4,4) ( 4,5) ( 4,6) ( 5,1 ) ( 5,2) ( 5,3) ( 5,4) ( 5,5) ( 5,6) ( 6,1) ( 6,2) ( 6,3) ( 6,4) ( 6,5) ( 6, 6) Uno spazo camponar vene defnto dscreto se è costtuto da un numero fnto d punt o da una successone nfnta d punt, mentre vene defnto contnuo se è costtuto da uno o pù ntervall d punt. Il termne camponaro sta a specfcare l fatto che l espermento è casuale, pertanto l rsultato è solo un campone d molt est probabl. Rappresentazone d uno spazo Camponaro 1) Lanco d una moneta. C T x 8

11 2) Lanco d un dado ) Lanco d due monete. y (C,T) (T,T) (C,C) (T,C) x 4) Lanco d due dat. y x 9

12 Evento Nella Teora della probabltà, un evento è un nseme d rsultat (un sottonseme dello spazo camponaro) al quale vene assegnata una probabltà. Tpcamente, qualsas sottonseme dello spazo camponaro è un evento (per esempo tutt gl element dell'nseme delle part d uno spazo camponaro sono event), ma quando s defnsce uno spazo d probabltà è possble escludere cert sottonsem dello spazo camponaro dagl event possbl. Funzone d Probabltà Sarebbe dffcle trovare una funzone d probabltà che fornsse valor corrspondent alla probabltà per ogn possble sottonseme A d uno spazo camponaro S, n quanto l numero de sottonsem d S rsulterebbe grande anche se S contene poch element. Fortunatamente, per spazz camponar contenent soltanto un numero fnto, o una successone nfnta,d punt dello spazo camponaro è suffcente assegnare una probabltà ad ogn punto dello spazo camponaro. Il valore della probabltà d A, per qualsas sottonsem A, s determna allora faclmente dalla probabltà assegnata a sngol punt camponar per mezzo del terzo assoma della probabltà formalzzato dopo. S ha qund che la probabltà d A: P ( A) = P A Dove la sommatora vene fatta sulla probabltà d tutt punt camponar che gaccono n A. 10

13 Insemstca Il concetto d nseme costtusce l'elemento fondante d gran parte delle esposzon della matematca moderna: la gran parte de test ntroduttv a buona parte delle aree della matematca nza con nozon d teora degl nsem. Intutvamente con l termne nseme s ndca una collezone d oggett chamat element dell'nseme. Cò che caratterzza l concetto d nseme e lo dfferenza da concett analogh sono essenzalmente le seguent propretà: Un elemento può appartenere o non appartenere a un determnato nseme, non c sono ve d mezzo (come accade nvece per gl nsem sfocat); Un elemento non può comparre pù d una volta n un nseme. Gl element d un nseme non hanno un ordne d comparzone. Gl element d un nseme lo caratterzzano unvocamente: due nsem concdono se e solo se hanno gl stess element. Per rappresentare gl nsem vengono usat dagramm d Elero-Venn, che sono un convenente sstema d rappresentazone. Lo spazo camponaro, d qualsas tpo sa, vene sempre rappresentato con l nseme ambente l quale è un rettangolo entro l quale s trovano tutt punt(event). Gl event A 1,A 2,, che sono sottonsem de punt d questo rettangolo, sono rappresentat da punt che gaccono all nterno d lnee curve chuse. A 1 S A 2 11

14 Per ogn coppa d event A 1,A 2 d uno spazo camponaro S s defnsce l nuovo evento A 1 A 2 (che è detto unone de due event) costtuto da tutt g element che sono o n A 1, o n A 2. A 1 A 2 ={x x A 1 oppure x A 2 } analogamente per ogn coppa d event A 1,A 2 d uno spazo camponaro S s defnsce l nuovo evento A 1 A 2 (che è detto ntersezone de due event) costtuto da tutt g element che sono e n A 1, e n A 2. A 1 A 2 ={x x A 1, x A 2 } Quando A 1 A 2 =, con tale smbolo s ndca l nseme vuoto, qund ndca l evento nullo, gl event A 1 e A 2 s dcono dsgunt. A 1 A 1 A 2 S A 2 12

15 Indchamo con A 1 - A 2, o anche A 1 \A 2 è l evento costtuto da tutt punt che appartengono ad A 1 ma no ad A 2, ossa A 1 \A 2 ={x x A 1, x A 2 } Per ogn evento A s defnsce un nuovo evento Ā alcune volte ndcato con A c, coè l nseme complementare d A che è costtuto da tutt punt dello spazo camponaro che appartengono ad A, ossa Ā =S-A 2 ={x x S, x A} Assom I) 0 P(A) 1 la probabltà d evento è compresa tra zero ed una. II) P(S)=1 la probabltà dell evento certo è uguale ad uno. III) Per ogn successone fnta o nfnta d event A 1,A 2,,tale che A A j =, per j, allora: P(A 1,A 2, )= P(A 1 )+P(A 2 )+ n (Ovvero P( A )= P(A), per successon fnta) = 1 n = 1 (Ovvero P( A)= P(A), per successon fnta) = 1 =1 13

16 IV) P(Ā)=1-P(A) dato un evento A la probabltà dell evento complementare è uno meno la probabltà d A. Infatt poché A Ā=S ed A Ā =, per l'assoma precedente possamo dre che P(A)+P(Ā)=P(S) da cu segue per l assoma due che P(A)+P(Ā)=1, ma allora P(Ā)=1-P(A) V) Se A B,P(A Β)=P(A)+P(B)-P(A B) la probabltà d due event compatbl A ed B e uguale alla somma delle probabltà d A e d B meno la probabltà dell evento comune. S A A B A Nel valutare l unone d due event compatbl capta che quando sommo la probabltà d A con B la probabltà dell evento comune come mostra n fgura rsult contata due volte pertanto è necessaro che sa tolta una volta. VI) Se A B, B C, A C, A B C allora: P(A Β C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)- P(A C)- P(B C)+ P(A B C) C S A A C A B C A B B C B Una verfca ntutva può avvenre esamnando grafco sopra mostrato. 14

17 Probabltà Condzonata. Supponamo d volere calcolare la probabltà che s verfch un evento B sotto la condzone che s sa gà verfcata l evento A, ndcheremo questa probabltà con P(B A). A tale scopo assumamo che lo spazo camponar contenga un numero fnto d punt. S A B L evento A è certo d verfcars solamente quando rduco lo spazo camponaro a sol punt che sono contenut all nterno d A. S vuole costrure qund una nuova funzone d probabltà sullo spazo camponaro A, n modo che se un punto a n A possede una probabltà doppa rspetto ad un punto b sempre n A la nuova funzone d probabltà mantenga tale relazone, n quanto non c è motvo che gnorando rsultat che non producano l verfcars d A, ess debbano alterare l rapporto d due o pù event d A. Per realzzare questo è suffcente trovare una costante c tale che moltplcando per essa la probabltà orgnara degl event la somma della nuova probabltà sua A sa uguale ad uno. Indchamo con π la nuova probabltà scelta nel seguente modo π =cp. 1 = π = cp = c p = cp(a) Come rsultato s ha che c=1/p(a) da cu la nuova funzone d probabltà è: A A π = P(A) Avendo defnto la probabltà del nuovo spazo camponaro rstretto, ora possamo calcolare la probabltà nel solto modo, qund la probabltà che s verfch l evento B sottoposto al verfcars d A è così ottenuta: p A B P(B A) = π = P(A) La prma somma è eseguta sull ntersezone de due event perchè sono sol event dello spazo camponaro A che corrspondo al verfcars dell evento B. La somma al numeratore nell espressone precedente è quella defnta P(A B) qund s ha : A B P(A B) P(B A) = P(A) Nel procedmento per l calcolo della nuova probabltà s è assunto che lo spazo camponaro contenga un numero fnto d event, ma questa defnzone d probabltà condzonata è usata anche per spaz camponar pù general. S verfca faclmente che la probabltà condzonata così defnta verfca tre assom dat prma s può assegnare tale verfca come eserczo alla classe. p A 15

18 Defnzone: la probabltà d un evento B, nell potes che s sa ga verfcato l evento A, è chamata probabltà condzonata ed è defnta nel seguente modo: Quando P(A) 0. P(B A) P(A B) = P(A) Analogamente, per P(B) 0, s ha: P(A B) P(A B) = P(B) Dalla defnzone d probabltà condzonata s rcava la regola d moltplcazone della probabltà o regola delle probabltà composte. P(A B) = P(A) P(B A) se P(A) 0. Event ndpendent. P(A B) = P(B) P(A B) se P(B) 0. Ora supponamo che A e B sano due event tal che: P(B A)=P(B) e P(A)P(B)>0. Allora l evento B s dce ndpendente nel senso della probabltà, o pù brevemente ndpendente dall evento A, per cu s ha che l verfcas dell evento A non ha nfluenzato che B s verfch. Da cu abbamo che le formule precedent dventano: P(A B) = P(A) P(B) Vceversa se vale questa formula s ha: P(B A)=P(B) e P(A)P(B)>0. Defnzone: due event s dcono ndpendent se Estendamo la defnzone precedente a pù event: P(A B) = P(A) P(B) Defnzone: gl event A 1,A 2,,A n s dcono ndpendent se, qualunque sa l numero k, con 2 k n e comunque s scelgano k event A 1, A,, A fra gl n event 2 k dat, s ha P(A A,...A ) = P(A )P(A )...P(A 1 2 k 1 2 k Dalla defnzone s osserva subto che se gl n event sono ndpendent lo sono pure un numero qualsas d quest event. Naturalmente un nseme d event può essere ndpendent a due a due ma non esserlo globalmente. ) 16

19 Teorema (o regola) d Bayes. Sano H,H,..., event esclusv, con P(H 1 ) > 0, per =1,2,..,n, e tale che H S, dove S 1 2 Hn è lo spazo camponaro. Supponamo noltre un evento casuale A con P(A)>0. P(H A) = n P(H ) P(A H ) j= 1 P(H ) P(A H ) Dal teorema s rleva che la probabltà P(H A) a posteror delle cause, sono proporzonal alle corrspondent probabltà a pror P(H ) corrette per l fattore d correzone P(A H ). In altre parole, se è alta la probabltà che l evento A sa effetto della causa H, l fatto che l evento A s sa verfcato aumenta la probabltà, anche se non da la certezza, che a produrlo sa propro la causa. H Dmostrazone. Prendamo H,H,..., event esclusv, con P(H 1 ) > 0, per =1,2,..,n, e tale che H S, 1 2 Hn dove S è lo spazo camponaro; s dce che gl event camponaro come n fgura. j H j n U = 2 = costtuscono una partzone dello spazo n U = 2 = H 1 H 3 H 4 H 5 S A H 6 H 2 Ess rappresentano le n possbl cause d un rsultato spermentale. Sa po A un evento, con P(A)>0, voglamo calcolare la probabltà che H sa la causa del verfcars d A. Dalla formula della probabltà condzonata abbamo: P(H A) P(H A) = P(A) Dalla regola d moltplcazone della probabltà c da: Dalla sntes delle due formule s ottene: P(H A) = P(H ) P(A H ) P(H A) P(H ) P(A H ) = P(A) 17

20 L evento A è ottenuto dall unone degl nsem dsgunt H 1 A, H 1 A,., H n A, alcun degl nsem potrebbe essere anche vuot come s vede nella fgura seguente H 7 A=. H 1 H 1 A H 3 A H 2 A H 5 A A H 3 H 5 H 6 H 6 A H 4 A S H 7 H 2 H 4 Per l terzo assoma della probabltà s può qund scrvere che: P(A) = n j= 1 P(H j A) Applcando la regola d moltplcazone rcordata prma s ha: P(A) = n j= 1 P(H j ) P(A H j) Questa formula stablsca che P(A) è uguale ad una meda pesata d P(A H ) da cò segue l teorema d Bayes: P(H A) = n P(H ) P(A H ) j= 1 P(H ) P(A H ) j j 18

21 La verfca dell'apprendmento La verfca dell'apprendmento non deve essere un fatto solato, eccezonale dell'attvtà scolastca. Per cu l untà ddattca prevede due verfche ntermede oral ed una verfca sommatva fnale che sarà rportata d seguto. Gl alunn devono percepre alle prove d verfca come moment ordnar dell'attvtà scolastca che consentono d rlevare, a loro prma che a docent qual è la preparazone raggunta e d acqusre consapevolezza n ordne al progredre dell'apprendmento. La verfca deve essere percepta come un fatto quotdano, altamente formatvo poché favorsce l'abtudne a studare ogn gorno ed è ndspensable per accertare se c'è stato apprendmento. La contnua verfca dell'apprendmento è una esgenza sostanzale da cu scatursce la possbltà d attrbure vot quadrmestral n base ad un gudzo brevemente motvato, desunto da un congruo numero d nterrogazon e d esercz scrtt, grafc o pratc. Verfca 1. Un'urna contene 6 pallne rosse, 4 nere, 8 banche. S estrae una pallna; calcolare la probabltà d avere: a) una pallna banca; b) una pallna nera; c) una pallna non banca; 2. Un'urna contene 90 pallne numerate da 1 a 90; s estrae una pallna. Calcolare la probabltà d avere: a) un numero par; b) un numero superore a 20 ed nferore a 35; c) un numero la cu somma delle cfre sa 8; 3. Da un mazzo d 40 carte s estrae una carta. Calcolare la probabltà d avere: a) una carta d for; b) un numero dspar; c) una carta non fgura. 4. Da un mazzo d 52 carte s estrae una carta, calcolare la probabltà de seguent event: a) la carta sa o d for o d pcche; b) la carta sa o una fgura o un asso; c) la carta sa o un sette o una carta d pcche. 5. Da un'urna contenente 30 pallne numerate da 1 a 30 s estrae una pallna, calcolare la probabltà de seguent event: a) esce una pallna con un numero mnore d 10 o maggore d 25; b) esce una pallna con un numero dvsble per 4 o per 5; c) esce una pallna con un numero dvsble per 7 o per S lancano due dad, calcolare la probabltà de seguent event: a) due numer sono entramb par o entramb dspar; b) la somma de due numer è un multplo d 5; c) due numer sono egual fra loro o hanno per somma 4; d) almeno uno de due numer è par. 6. Da un mazzo d 40 carte s estrae una carta. Calcolare la probabltà che sa un "re", sapendo che è una fgura. 7. Da un mazzo d 52 carte s estrae una carta. Calcolare la probabltà che sa un numero par sapendo che non è fgura. 8. Un'urna contene 50 pallne numerate; s estrae una pallna. Calcolare la probabltà che sa un numero prmo, sapendo che la pallna uscta è un numero dspar. 9. S lanca 8 volte una moneta. Calcolare la probabltà d avere: a) per 5 volte testa; b) almeno per 5 volte testa. 10. S lanca 6 volte un dado. Calcolare la probabltà d avere: a) l numero 6 per due e due sole volte; b) un numero dvsble per 3 non pù d due volte. 19

22 Valutazone. DESCRITTORI PUNTI Interpretazone de dat 0-1 Indvduazone e conoscenza delle formule necessare alla rsoluzone de quest 0-1 Grado d svluppo 0-2 Correttezza mpostazone e lneartà procedmento 0-2 Correttezza ne calcol 0-2 Autonoma e creatvtà 0-2 Totale 10 Ogn eserczo assegnato verrà valutato con dec punt l campto ha un punteggo totale d cento punt. S raggunge la suffcenza con 60punt. Recupero. Osservato che l argomento non rsulta spesso a pù d semplce comprensone, una volta termnate le vare verfche oral e scrtte del caso, se rsultat ottenut da tutt non saranno soddsfacent. S predsporranno de grupp d lavoro format da ch meglo ha assmlato gl argoment a fare da docente ad ch ancora non raggunge rsultat soddsfacent. In questo modo l corso rsulterà d approfondmento per ch è gà n grado d lavorare n modo autonomo sugl argoment e d recupero per ch ancora no ha acqustato quella autonoma suffcente a padroneggare bene l argomento. Eventualmente solo per un numero mnmo d alunn s potranno realzzare cors pomerdan. Conclusa l opera d recupero verrà effettuata una verfca del recupero effettvamente ottenuto facendo un punto della stuazone paragonando rsultat d partenza con quell d arrvo. 20

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